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도널드슨 불변량

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목차

1. 개요

도널드슨 불변량은 4차원 다양체의 미분 구조를 연구하는 데 사용되는 위상 불변량이다. 1983년 사이먼 도널드슨에 의해 도입되었으며, 4차원 다양체 위에 정의된 SU(2) 양-밀스 순간자들의 모듈라이 공간을 이용하여 정의된다. 도널드슨 불변량은 도널드슨 다항식으로 표현되며, 이는 4차원 다양체의 호몰로지 정보를 반영한다. 또한, 초대칭 게이지 이론의 상관 함수로 정의될 수도 있으며, 크론하이머-므로카 기본류를 통해 자이베르그-위튼 불변량과 연결된다.

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도널드슨 불변량

2. 정의

도널드슨 불변량은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체 M의 불변량이며, 대수적 위상수학 또는 초대칭 위상 양자장론을 통해 정의할 수 있다.[5]

2. 1. 수학적 정의

푸앵카레 쌍대성과 합곱을 사용해 2차 코호몰로지 \operatorname H^2(M;\mathbb Q) 위에 다음과 같은 '''교차 형식'''(intersection form영어)을 정의할 수 있다.

:I\colon\operatorname H^2(M;\mathbb Q)\times\operatorname H^2(M;\mathbb Q)\to\mathbb Q

:I(\alpha,\beta)=[M]\frown(\alpha\smile\beta)

여기서 [M]은 M의 기본류다. 이 형식의 양의 고윳값의 수를 b_2^+(M), 음의 고윳값의 수를 b_2^-(M)이라고 한다.

:b_2^+(M)+b_2^-(M)=b_2f(M)

은 M의 2차 베티 수이다. 앞으로, b_2^+>1이라고 가정한다.

M에 임의의 리만 계량 g와 SU(2) 벡터다발 E\twoheadrightarrow M을 부여하자. 이 경우, E의 SU(2) 양-밀스 순간자들의 모듈라이 공간 \mathcal M_{E,g}를 생각할 수 있다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이루고, 그 차원은 다음과 같다.[5]

:\dim\mathcal M_E=\begin{cases}

  • 8c_2(E)-3(1-b_1(M)+b_2^-(M))&c_2(E)<0\\

8c_2(E)-3(1-b_1(M)+b_2^+(M))&c_2(E)>0

\end{cases}



(만약 이 수가 음수라면 \mathcal M_{E,g}는 공집합이다.) 여기서 c_2(E)는 E의 2차 천 수이고, b_i(M)은 M의 i차 베티 수이다. (게이지 군이 SU(2)이므로, 1차 천 특성류는 항상 0이다.)

\mathcal C_E가 E 위에 존재하는 모든 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈라이 공간이라고 하자. 이는 무한 차원 공간이다. 이 경우, 전자는 후자의 자연스러운 부분공간을 이룬다.

:\mathcal M_{E,g}\hookrightarrow\mathcal C_E

\mathcal M_{E,g}는 리만 계량 g에 의존하지만, b_2^+(M)>1이라면 호몰로지류 [\mathcal M_{E,g}]\in\operatorname H_\bullet(\mathcal C_E)는 g에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다. 따라서

:[\mathcal M_E]\in\operatorname H_\bullet(\mathcal C_E)

를 정의할 수 있다. 이는 리만 계량에 의존하지 않지만, M의 미분 구조에 의존한다. 즉, 이는 위상동형(위상다양체로서 동형)이지만 미분동형(매끄러운 다양체로서 동형)이지 않은 다양체들을 구분할 수 있다.

스펙트럼 열을 사용하여, 다음과 같은 군 준동형을 정의할 수 있다.

:\mu\colon\operatorname H_k(M;\mathbb Q)\to H^{4-k}(\mathcal C_E;\mathbb Q)

M은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체라고 가정하였으므로, M의 (유리수 계수) 호몰로지는 다음과 같다.

:\operatorname H_0(M;\mathbb Q)=\mathbb Q

:\operatorname H_1(M;\mathbb Q)=0

:\operatorname H_2(M;\mathbb Q)=\mathbb Q^{b_2}=\operatorname{span}\{\gamma_1,\dots,\gamma_{b_2}\}

:\operatorname H_3(M;\mathbb Q)=0

:\operatorname H_4(M;\mathbb Q)=\mathbb Q

여기서 \gamma_1,\dots,\gamma_{b_2}는 임의로 잡은 H_2(M;\mathbb Q)의 기저다. 그렇다면 다음을 보일 수 있다.

  • \mu(\operatorname H_4(M;\mathbb Q))=0
  • \mathcal C_E의 코호몰로지 환 H^\bullet(\mathcal C_E;\mathbb Q)는 \mu에 의하여 다항식환 \mathbb Q[x,\gamma_1,\dots,\gamma_{b_2}]와 표준적(canonical)으로 동형이다. 여기서 x는 H_0(M;\mathbb Q)에 대응하는 생성원이다.


이제, '''도널드슨 다항식'''(Donaldson多項式, Donaldson polynomial영어) D_E\colon\mathbb Q[x,\gamma_1,\dots,\gamma_{b_2}]\to\mathbb Q은 다음과 같은 사상이다.

:Q_E(p)=[\mathcal M_E]\frown p\left(\mu(x),\mu(\gamma_1),\dots,\mu(\gamma_{b_2})\right)

2. 2. 물리학적 정의

SU(2)left×SU(2)right×SU(2)R×U(1)R뒤튼 뒤 군 표현
SU(2)left×SU(2)right×U(1)R뒤튼 뒤 설명Q_\alpha왼쪽 초전하(½, 0, ½)−1(½, ½)−1Q_\mu\bar Q_{\dot\alpha}오른쪽 초전하(0, ½, ½)+1(0,0)+1BRST 연산자 Q(0, 1)+1Q_{\mu\nu}A_\mu게이지 보손(½, ½, 0)0(½,½)0A_\mu 게이지 보손\psi왼손 게이지노(½, 0, ½)+1(½,½)+1\psi_\mu 유령\bar\psi오른손 게이지노(0, ½, ½)−1(0,1)−1\chi_{\mu\nu} 반유령 (F^+=0 제약에 대응)(0,0)−1\eta 반유령\phi스게이지노(sgaugino영어)(0, 0, 0)+2(0,0)+2\phi (게이지 변환 매개변수)\phi^*반스게이지노(antisgaugino영어)(0, 0, 0)−2(0,0)−2\lambda 유령



뒤튼 뒤에는 두 개의 스칼라장과 두 개의 벡터장만이 존재한다. 이 경우, (A_\mu,\psi_\mu), (\lambda,\eta)는 Q에 대한 초다중항을 이룬다. \chi는 F^+=0 제약에 대응하며, \phi는 게이지 변환의 매개변수에 대응한다.

이제, 초대칭 연산자 Q를 BRST 대칭으로 생각하여, 모든 관측가능량을 Q에 의한 코호몰로지에 닫혀 있게 한다. 그렇다면 이 이론은 위튼형 위상 양자장론을 이룬다.

다음과 같은 게이지 불변, Q-닫힌 연산자를 생각하자.

:\mathcal O_0=\frac1{8\pi^2}\operatorname{tr}\phi^2

이제 다음과 같은 일련의 연산자들을 정의할 수 있다.

:d\mathcal O_0=i\{Q,\mathcal O_1\}

:d\mathcal O_1=i\{Q,\mathcal O_2\}

:d\mathcal O_2=i\{Q,\mathcal O_3\}

:d\mathcal O_3=i\{Q,\mathcal O_4\}

:d\mathcal O_4=0

\mathcal O_k는 k차 코호몰로지류이다. 따라서, 임의의 k_i차 호몰로지류 \Sigma_i들에 대하여, 다음과 같은 상관 함수를 정의할 수 있다.

:\left\langle\int_{\Sigma_1}\mathcal O_{k_1}\cdots\int_{\Sigma_i}\mathcal O_{k_i}\cdots\right\rangle

이 경우, \mathcal O_4\propto F\wedge F\propto c_2(E)는 CP 위반항이므로,

:\int_M\mathcal O_4\sim\int_MF\wedge F=[M]\frown c_2(E)

는 단순히 순간자수(게이지 주다발의 2차 천 특성류)이다. 따라서 \mathcal O_4의 삽입은 상관 함수를 특별히 변화시키지 않는다. 2차 호몰로지 류 \Sigma_i\in H_2(M) 및 0차 호몰로지 류 x_i\in H_0(M)를 사용하여, 상관 함수

:\left\langle\int\mathcal O_0(x_1)\cdots\int_{\Sigma_1}\mathcal O_2\cdots\right\rangle

를 정의할 수 있다. 이를 '''도널드슨 다항식'''이라고 하며, 이는 위상수학으로 정의한 도널드슨 다항식과 일치함을 보일 수 있다.

2. 3. 크론하이머-므로카 기본류

게이지 군 G가 SU(2)일 경우를 생각하자. 4차원 매끄러운 다양체 M 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 '''단순형 다양체'''(manifold of simple type영어)라고 한다.

:Q_{8+\deg p}(x^2p(x,\vec\gamma))=4Q_{\deg p}(p(x,\vec\gamma))

여기서 p\in\mathbb Q[x,\vec\gamma]이며, \deg p는 x를 차수 4, \vec\gamma를 차수 2로 하여 센 다항식의 차수이다.

이 경우, 도널드슨 불변량은 다음과 같은 생성 함수로 완전히 결정된다.

:D(\vec\gamma)=\sum_n\left(\frac{Q_{2n}(\gamma^d)}{d!}+\frac{Q_{2n+4}(x\gamma^d)}{2d!}\right)

:\mathbb D(\vec\gamma)=D(0,\vec\gamma)+\frac12\frac{\partial}{\partial x}D(0,\vec\gamma)

이 생성 함수는 다음과 같은 간단한 형태로 나타내어진다.

:\mathbb D(\gamma)=\exp(\gamma.\gamma/2)\sum_{x\in H^2(M;\mathbb Z)}\exp(x\cdot\gamma)n_x

여기서 n_x\ne0인 2차 코호몰로지 원소들을 '''크론하이머-므로카 기본류'''(Kronheimer–Mrowka basic class영어)라고 하며, 이러한 기본류들의 수는 유한하다. 이 n_x들은 자이베르그-위튼 불변량과 같다고 추측된다.

3. 역사

사이먼 도널드슨이 1983년에 도널드슨 불변량을 도입하였다.[8] 이후 에드워드 위튼이 1994년에 이를 초대칭 게이지 이론의 위상 양자장론으로 정의할 수 있음을 보였다.[9]

피터 크론하이머와 토머스 므로카(Thomasz S. Mrowka|토마시 므로프카영어)는 1994년에 도널드슨 불변량을 크론하이머-므로카 기본류에 대한 합으로 나타낼 수 있음을 보였다.[10][11] 같은 해에 에드워드 위튼은 자이베르그-위튼 이론을 기반으로 자이베르그-위튼 불변량을 도입하였으며, 이들이 크론하이머-므로카 기본류와 관계가 있음을 제시하였다.[12][13]

참조

[1] 서적 The geometry of four-manifolds http://ukcatalogue.o[...] Clarendon Press 1997-08-28
[2] 서적 Instantons and four-manifolds Springer-Verlag 1991
[3] 서적 The wild world of 4-manifolds http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society 2005
[4] 저널 Lectures on four-manifolds and topological gauge theories 1996-02
[5] 저널 What do topologists want from Seiberg–Witten theory? 2002-12-10
[6] 저널 Gauge theory is dead!—long live gauge theory! http://www.ams.org/n[...] 1995-03
[7] 저널 Lectures on four-manifolds and topological gauge theories http://citeseerx.ist[...] 1996-02
[8] 저널 An application of gauge theory to four dimensional topology http://projecteuclid[...] 1983
[9] 저널 Supersymmetric Yang–Mills theory on a four-manifold 1994-10
[10] 저널 Recurrence relations and asymptotics for four-manifold invariants 1994-04
[11] 저널 Embedded surfaces and the structure of Donaldson’s polynomial invariants http://www.math.harv[...] 1995
[12] 저널 Monopoles and Four-Manifolds 1994
[13] 저널 Integration over the ''u''-plane in Donaldson theory 1998


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