장 방정식

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1. 개요

장 방정식은 전기 및 자기 현상을 설명하기 위해 도입된 물리적 장의 개념과 관련된 이론을 다룬다. 마이클 패러데이는 '장'과 '힘의 선'이라는 용어를 처음 사용했으며, 켈빈 경은 1851년 장의 개념을 공식화했다. 맥스웰은 전자기학 이론을 확립하여 전기장과 자기장을 통합하고 빛의 전자기적 성질을 밝혔다. 뉴턴의 만유인력 법칙은 중력을 설명하는 최초의 장 이론이며, 아인슈타인의 일반 상대성 이론은 중력을 시공간의 곡률로 설명한다. 장 방정식은 비상대론적 장 이론과 상대론적 장 이론으로 나뉘며, 전자기학, 중력, 통일장 이론 등 다양한 분야에서 연구된다.

장 방정식

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 전자기학의 발전
- 2.2. 중력 이론의 발전
3. 비상대론적 장 이론
- 3.1. 뉴턴 중력
- 3.2. 전자기학
4. 상대론적 장 이론
5. 통일장 이론

2. 역사

고전장 이론의 역사는 전기와 자기 현상을 설명하기 위한 노력에서 시작되었다. 마이클 패러데이는 전기 및 자기 현상을 설명하기 위해 "장"과 "힘의 선"이라는 용어를 만들었고, 켈빈 경은 1851년 물리학의 여러 분야에서 장의 개념을 공식화했다.

2.1. 전자기학의 발전

마이클 패러데이는 전기 및 자기 현상을 설명하기 위해 "장"과 "힘의 선"이라는 용어를 만들었다. 켈빈 경은 1851년 물리학의 여러 분야에서 장의 개념을 공식화했다.

역사적으로, 장이 진지하게 받아들여진 것은 패러데이가 힘선으로 전기장을 설명하면서였다. 그 후 중력장도 비슷하게 설명되었다.

역사적으로, 최초의 (고전) 장 이론은 전기장과 자기장을 분리하여 기술하는 장 이론이었다. 수많은 실험 후, 이 두 장이 관련되어 있으며, 실제로 동일한 전자기장이라는 장의 두 가지 측면임이 밝혀졌다. 맥스웰의 전자기장 이론은 전하를 가진 물질과 전자기장의 상호 작용을 기술한다. 이 장 이론의 최초 공식화는 전기적 장과 자기적 장을 기술하기 위해 벡터장을 사용했다. 특수 상대성 이론의 등장으로, 텐서를 사용한 보다 완전한 공식화가 발견되었다. 전기장과 자기장을 사용하는 두 개의 벡터장 대신, 이 두 장을 동시에 표현하는 텐서장이 사용된다.

전자기 포텐셜 $A_a=\left(-\phi, \vec{A} \right)$ 과 전하·전류 밀도 (전자기 4-카렌트) $j_a=\left(-\rho, \vec{j}\right)$ 이 알려져 있지만, 임의의 시공간 점에서의 전자기장은 반대칭 (0,2)-계의 전자기 텐서장
: $F_{ab} = \partial_a A_b - \partial_b A_a.$
에 의해 기술된다.

2.2. 중력 이론의 발전

아이작 뉴턴의 만유인력 법칙은 두 질량 사이에 작용하는 중력을 설명하는 최초의 장 이론이었다. 이 이론은 태양 주위의 행성들의 움직임을 예측하는 데 매우 유용했다. 그러나 뉴턴 역학의 중력은 특수 상대성 이론과 일치하지 않는다는 것이 밝혀졌다.

이후 알베르트 아인슈타인은 일반 상대성 이론이라는 새로운 중력 이론을 수립했다. 이 이론은 중력을 질량에 의해 발생하는 기하학적 현상('휘어진 시공간')으로 취급하며, 수학적으로 중력장을 계량 텐서라고 불리는 텐서장으로 나타낸다. 아인슈타인 방정식은 이 곡률이 어떻게 생성되는지 설명한다. 뉴턴 역학의 중력은 이제 중력이 질량에 의해 야기된 휘어진 시공간에 의한 것으로 간주되는 일반 상대성 이론으로 대체되었다.

3. 비상대론적 장 이론

역사적으로, 장(field)이 진지하게 받아들여진 것은 패러데이가 힘선으로 전기장을 설명하면서부터였다. 그 후 중력장도 유사하게 설명되었다.

3.1. 뉴턴 중력

뉴턴의 중력 이론은 질량을 가진 두 물체 사이에 작용하는 인력을 설명하며, 이는 역제곱 법칙을 따른다. 이 이론은 태양 주위의 행성들의 움직임을 예측하는 데 매우 유용하게 사용되었다.

모든 질량이 있는 물체 M은 중력장 g를 가지며, 이 중력장은 다른 질량이 있는 물체에 영향을 미친다. 공간의 한 점 r에서 M의 중력장은 r에 위치한 작은 시험 질량 m에 M이 가하는 힘 F를 m으로 나누어 계산한다. 이때, m이 M보다 훨씬 작다고 가정하면, m의 존재는 M의 거동에 거의 영향을 미치지 않는다.

뉴턴의 만유인력의 법칙에 따르면, F(r)은 다음과 같이 주어진다.

: $\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\frac{G M m}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$

여기서 $\hat{\mathbf{r}}$ 는 M에서 m으로 가는 선을 따라 가리키는 단위 벡터이고, G는 중력 상수이다. 따라서 M의 중력장은 다음과 같다.

: $\mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m} = -\frac{G M}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$

실험적으로 관성 질량과 중력 질량이 매우 정확하게 같다는 사실이 밝혀졌는데, 이는 중력장 세기를 입자가 경험하는 가속도와 동일하게 취급할 수 있다는 것을 의미한다. 이는 일반 상대성 이론으로 이어지는 등가 원리의 출발점이 된다.

중력장 g는 중력 포텐셜의 기울기로 표현될 수 있다.

: $\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -\nabla \phi(\mathbf{r})$

이는 중력 F가 보존적이기 때문이다.

중력에 대한 가우스 법칙은 적분 형태와 미분 형태로 나타낼 수 있다.

* 적분 형태:
: $\iint\mathbf{g}\cdot d \mathbf{S} = -4\pi G M$

* 미분 형태:
: $\nabla \cdot\mathbf{g} = -4\pi G\rho_m$

이 법칙들은 질량 분포와 중력장의 관계를 설명한다.

3.2. 전자기학

전자기학은 전하와 전류에 의해 발생하는 전기장과 자기장의 상호작용을 다룬다. 역사적으로 전기장과 자기장은 개별적으로 설명되었으나, 수많은 실험을 통해 이 두 장이 서로 관련되어 있으며, 사실상 동일한 장인 전자기장의 두 측면이라는 것이 밝혀졌다.

맥스웰의 전자기학 이론은 전하를 띤 물질과 전자기장의 상호 작용을 설명한다. 특수 상대성 이론의 출현과 함께, 텐서장을 사용한 보다 완전한 공식화가 발견되었다. 전기장과 자기장을 설명하는 두 개의 벡터장을 사용하는 대신, 이 두 장을 함께 나타내는 텐서장이 사용된다.

전자기 사중 포텐셜은 $A_a = (-\phi, \mathbf{A})$ 로 정의되고, 전자기 사중 전류는 $j_a = (-\rho, \mathbf{j})$ 로 정의된다. 시공간의 임의의 점에서 전자기장은 반대칭 (0,2) - 랭크 전자기장 텐서로 설명된다.

: $F_{ab} = \partial_a A_b - \partial_b A_a.$

3.2.1. 정전기학

전하 q를 띤 하전된 시험 입자는 전하에만 기초한 힘 F를 경험한다. 이와 유사하게 소스 전하 Q에 의해 생성된 전기장 E는 F = qE로 설명할 수 있다.

이것과 쿨롱의 법칙을 사용하면 단일 하전 입자에 의한 전기장은 다음과 같다.

: $\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{\mathbf{r}} \,.$

전기장은 보존적이며, 따라서 스칼라 전위의 기울기에 의해 주어진다.

: $\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla V(\mathbf{r}) \, .$

전기에 대한 가우스 법칙은 적분 형태와 미분 형태는 다음과 같다.
: $\iint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$
: $\nabla \cdot\mathbf{E} = \frac{\rho_e}{\varepsilon_0} \,.$

양전하는 전기장 선을 방출하고, 장선은 음전하에서 끝난다. 이러한 장 개념은 일반적인 발산 정리, 특히 중력 및 전기에 대한 가우스 법칙에서도 설명된다. 시간과 무관한 전자기장의 경우, 장은 해당 포텐셜의 기울기이다.

: $\mathbf{E} = - \nabla \phi_e$

따라서 가우스 법칙에 이를 대입하면 다음을 얻는다.

: $\nabla^2 \phi_e = 4\pi k_e \rho_e = - {\rho_e \over \varepsilon_0}$

여기서 ρ_e는 전하 밀도, k_e = 1/4πε₀는 전기력 상수이다.

그런데, 이러한 유사성은 뉴턴의 만유인력의 법칙과 쿨롱의 법칙 사이의 유사성에서 비롯된다.

소스 항이 없는 경우(예: 진공 또는 쌍을 이룬 전하) 라플라스 방정식을 따른다.

: $\nabla^2 \phi = 0.$

질량(또는 전하) 분포의 경우, 포텐셜은 구면 조화 함수의 급수로 확장될 수 있으며, 급수의 n번째 항은 2ⁿ-모멘트에서 발생하는 포텐셜로 볼 수 있다(다중극 전개 참조). 많은 경우에 계산에 모노폴, 다이폴, 쿼드루폴 항만 필요하다.

전하 q로 전하된 시험 입자는 전하만으로 힘 F를 가지며, 전장 E는 F = qE로 나타낼 수 있다. 쿨롱의 법칙을 이용하여 단독으로 대전된 입자에 의한 전장은 다음과 같다.

: $\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}}.$

전장은 보존장(conservative field)이므로 스칼라 포텐셜 V(r)에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla V(\mathbf{r})$

3.2.2. 정자기학

경로 ℓ을 따라 흐르는 정상 전류 I는 위에 설명된 전기장력과는 정량적으로 다른 힘을 인근 하전 입자에 가한다. 속도 v를 가진 인근 전하 q에 의해 I가 가하는 힘은 다음과 같다.

: $\mathbf{F}(\mathbf{r}) = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r}),$

여기서 B(r)는 자기장이며, 이는 비오-사바르 법칙에 의해 I로부터 결정된다.

: $\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\boldsymbol{\ell} \times d\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.$

자기장은 일반적으로 보존적이지 않으므로 일반적으로 스칼라 포텐셜로 표현할 수 없다. 그러나 벡터 포텐셜, A(r)로 표현할 수 있다.

: $\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}(\mathbf{r})$

적분 형태의 자기에 대한 가우스 법칙은 다음과 같다.

: $\iint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0,$

미분 형태는 다음과 같다.

: $\nabla \cdot\mathbf{B} = 0.$

물리적 해석은 자기 홀극이 없다는 것이다.

3.2.3. 전동기학

일반적으로 전하 밀도 ρ(r, t)와 전류 밀도 J(r, t)가 모두 존재하는 경우, 전기장과 자기장이 모두 존재하며 시간에 따라 변동한다. 전기장과 자기장은 E와 B를 전하 밀도(단위 부피당 전하) ρ 및 전류 밀도(단위 면적당 전류) J와 직접적으로 관련시키는 맥스웰 방정식에 의해 결정된다.

또는, 스칼라 및 벡터 포텐셜 V와 A를 사용하여 시스템을 설명할 수 있다. 지연 포텐셜이라고 알려진 일련의 적분 방정식은 ρ와 J로부터 V와 A를 계산할 수 있게 해주며, 여기서부터 전기장과 자기장은 다음과 같은 관계를 통해 결정된다.

: $\mathbf{E} = -\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$

: $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$

4. 상대론적 장 이론

고전장 이론의 현대적 공식화는 일반적으로 로렌츠 공변성을 요구하는데, 이는 현재 자연의 근본적인 측면으로 인식되고 있기 때문이다. 장 이론은 작용 원리에 적용될 때, 장 방정식과 이론에 대한 보존 법칙을 생성하는 함수인 라그랑지안을 사용하여 수학적으로 표현된다.

전반적으로 진공에서의 빛의 속도가 1, 즉 c = 1이 되도록 단위를 사용한다.

4.1. 라그랑지안 역학

장 텐서 $\phi$ 가 주어지면, 라그랑지안 밀도라고 불리는 스칼라 $\mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x)$ 를 장 텐서 $\phi$ 와 이 텐서의 미분으로 구성할 수 있다. 이 밀도를 시공간에 걸쳐 적분함으로써 작용 범함수를 구성할 수 있다.

: $\mathcal{S} = \int{\mathcal{L} \mathrm{d}^4x}$

따라서 라그랑지안 자체는 모든 공간에 대한 라그랑지안 밀도의 적분과 같다.

작용 원리를 적용하면 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다.

: $\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta\phi}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} -\partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)+.~.~.+(-1)^m\partial_{\mu_1} \partial_{\mu_2}.~.~.\partial_{\mu_{m-1}} \partial_{\mu_m} \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu_1} \partial_{\mu_2}...\partial_{\mu_{m-1}}\partial_{\mu_m} \phi)}\right)=0.$

4.2. 전자기학

전자기학은 전하를 띤 물질과 전자기장의 상호작용을 다루는 학문이다. 역사적으로 전기장과 자기장은 별개의 것으로 여겨졌으나, 수많은 실험을 통해 이 둘이 사실은 전자기장이라는 하나의 현상의 서로 다른 두 측면임이 밝혀졌다.

제임스 클러크 맥스웰의 전자기학 이론은 전자기 현상을 통합적으로 설명한다. 이 이론은 전기장과 자기장을 사용하여 전자기장을 표현했지만, 특수 상대성 이론의 등장 이후에는 텐서를 사용하여 두 장을 동시에 나타내는 더 완전한 공식이 발견되었다.

전자기 사중 포텐셜은 로, 전자기 사중 전류는 로 정의된다. 이들을 사용하여 임의의 시공간에서 전자기장은 반대칭 (0,2)-랭크 전자기장 텐서로 표현된다.
$F_{ab} = \partial_a A_b - \partial_b A_a.$

이 전자기장 텐서를 통해 맥스웰 방정식을 로렌츠 불변 형태로 나타낼 수 있다.

4.3. 중력

뉴턴 역학의 중력이 특수 상대성 이론과 일치하지 않는다는 것이 밝혀진 후, 알베르트 아인슈타인은 일반 상대성 이론이라는 새로운 중력 이론을 수립했다. 이 이론은 중력을 질량에 의해 발생하는 기하학적 현상('휘어진 시공간')으로 취급하며, 수학적으로 중력장을 계량 텐서라고 불리는 텐서장으로 나타낸다. 아인슈타인 방정식은 이 곡률이 어떻게 생성되는지 설명한다. 뉴턴 역학의 중력은 이제 중력이 질량에 의해 야기된 휘어진 시공간에 의한 것으로 간주되는 일반 상대성 이론으로 대체되었다. 아인슈타인 방정식은 다음과 같다.

: $G_{ab} = \kappa T_{ab}$

여기서 G_ab는 아인슈타인 텐서이고,

: $G_{ab} \, = R_{ab}-\frac{1}{2} R g_{ab}$

리치 텐서 R_ab와 리치 스칼라를 사용하여 작성되었으며, $T_{ab}$ 는 응력-에너지 텐서이고, $\kappa$ 는 상수이다. 물질과 방사선(소스를 포함)이 없는 경우, '진공장 방정식'

: $G_{ab} = 0$

은 아인슈타인-힐베르트 작용을 변화시켜 얻을 수 있으며,

: $S = \int R \sqrt{-g} \, d^4x$

여기서 g는 계량 텐서 g^ab의 행렬식이다. 진공장 방정식의 해를 진공 해라고 부른다. 아서 에딩턴에 따르면, $R$ 이 근본적이고, $T$ 는 단지 $R$ 의 한 측면이며, $\kappa$ 는 단위 선택에 의해 강제된다는 대안적인 해석도 존재한다.

5. 통일장 이론

고전 물리학에 기반한 통일장 이론을 만들려는 시도는 고전적 통일장 이론이다. 두 차례의 세계 대전 사이 기간 동안, 알베르트 아인슈타인, 테오도어 칼루차, 헤르만 바일, 아서 에딩턴, 구스타프 미에, 에른스트 라이헨바허와 같은 여러 수학자들과 물리학자들은 중력과 전자기력의 통일을 위한 아이디어를 적극적으로 추구하였다.

이러한 이론을 만들려는 초기 시도는 전자기장을 일반 상대성 이론의 기하학에 통합하는 것에 기반했다. 1918년, 헤르만 바일은 전자기장의 첫 번째 기하학화 사례를 제안하였다. 1919년, 테오도어 칼루차는 5차원적 접근 방식의 아이디어를 제시하였다. 이를 통해 칼루차-클라인 이론이 개발되었다. 이 이론은 5차원 시공간에서 중력과 전자기력을 통일하려는 시도이다.

아인슈타인과 다른 연구자들이 고려한 통일장 이론의 표현 프레임워크를 확장하는 몇 가지 방법이 있다. 이러한 확장들은 일반적으로 두 가지 옵션에 기반한다. 첫 번째 옵션은 원래 공식에 부과된 조건을 완화하는 것이고, 두 번째는 다른 수학적 객체를 이론에 도입하는 것이다. 첫 번째 옵션의 예시는 고차원 표현을 고려하여 4차원 시공간에 대한 제한을 완화하는 것이다. 이는 칼루차-클라인 이론에서 사용된다. 두 번째 옵션의 경우, 가장 두드러진 예시는 툴리오 레비-치비타와 헤르만 바일의 연구를 통해 일반 상대성 이론에 도입된 아핀 연결의 개념에서 비롯된다.

양자장론의 발전으로 통일장 이론 탐구의 초점은 고전적 설명에서 양자적 설명으로 바뀌었다. 그 때문에 많은 이론 물리학자들이 고전적 통일장 이론을 찾는 것을 포기했다. 양자장론은 아원자 수준에서 작용하는 강력과 약력을 포함한 다른 두 기본 상호작용의 통일을 포함하게 된다.