정사도법

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 고대
- 2.2. 르네상스 시대 이후
3. 수학적 원리
4. 원통 도법
참조

1. 개요

정사도법은 고대부터 사용된 지도 투영법으로, 구면의 표면을 평면에 투영한다. 히파르코스와 비트루비우스가 천문 관측과 해시계 제작에 사용했으며, 르네상스 시대에는 알브레히트 뒤러가 디자인한 정교한 지도가 제작되기도 했다. 수학적으로는 구의 경도와 위도를 기준으로 하며, 삼각법을 사용하여 수식을 유도한다. 특정 범위의 위도 밖의 점은 지도에서 잘려나갈 수 있다. 광의의 의미에서, 무한대에 투시점이 있는 모든 평행 투영은 정사도법으로 간주되며, 람베르트 원통 도법이 그 예시이다.

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정사도법
개요
정사도법으로 투영된 세계 지도
유형	원근법 도법
속성	방위도법
중심	지정 가능
용도	그림 같은 지도 삽화 천문학 지도
속성
도법 종류	기하학적
도법 계열	방위도법
중심 투영	지구 중심
접점	극지방, 적도, 사선
대칭	중심점
경선	등간격의 직선
위선	중심에 따라 다름 (적도 또는 극지방)
특징	거리, 각도, 면적 왜곡이 심함
장점	구체의 모습을 쉽게 연상 가능
단점	면적, 형태, 거리가 심하게 왜곡됨
활용
용도	천체의 위치 표현 지도 제작 시각적 효과
참고	천구의 투영에 유용
기타
관련 도법	정거 방위도법 평사도법 입체 투영도법

2. 역사

정사도법은 고대부터 알려져 지도 제작에 사용되었다. 기원전 2세기 히파르코스가 별의 위치를 결정하는 데 사용했고, 기원전 14년경 마르쿠스 비트루비우스 폴리오는 해시계 제작과 태양 위치 계산에 활용했다.^[2] 16세기 초에는 요하네스 쇠너, 아피안 등의 목판 지구본 그림이 현존하며, 1515년 알브레히트 뒤러와 요하네스 스타비우스가 제작한 정교한 지도가 등장했다.^[2] 현대에는 우주에서 촬영한 지구와 행성 사진 덕분에 천문학과 행성 과학 분야에서 다시 주목받고 있다.

2. 1. 고대

히파르코스는 기원전 2세기에 별의 뜨고 짐의 위치를 결정하기 위해 이 투영법을 사용했다.^[2] 기원전 14년경, 로마의 기술자 마르쿠스 비트루비우스 폴리오는 해시계를 만들고 태양의 위치를 계산하기 위해 이 투영법을 사용했다.^[2]

비트루비우스는 이 투영법에 대해 정사라는 용어(그리스어 ''orthos'' (= "직선")와 ''graphē'' (= "그림"))를 고안한 것으로 보인다. 하지만, 위도와 경도를 보여주는 해시계를 의미하는 아날렘마라는 이름이 1613년에 앤트워프의 프랑수아 다귀용이 현재의 이름을 홍보하기 전까지 일반적인 이름이었다.^[2]

2. 2. 르네상스 시대 이후

이 투영법으로 만들어진 가장 오래된 현존하는 지도는 1509년(익명), 1533년과 1551년(요하네스 쇠너), 1524년과 1551년(아피안)의 조잡한 목판 지구본 그림으로 나타난다.^[2] 1515년에는 르네상스 시대의 박학자 알브레히트 뒤러가 디자인하고 요하네스 스타비우스가 제작한 매우 정교한 지도가 등장했다.^[2]

우주선에서 촬영한 지구와 다른 행성의 사진은 천문학과 행성 과학에서 정사도법에 대한 새로운 관심을 불러일으켰다.

3. 수학적 원리

구면 정사도법의 수식은 삼각법을 사용하여 유도된다.^[1] 정사도법의 타원체 버전에 대한 내용은 해당 문서를 참조하라.^[3]

3. 1. 공식

구의 반지름 ''R''과 투영의 ''중심'' 점 (및 원점) (''λ''₀, ''φ''₀)을 정의하고, 구의 경도(''λ'') 및 위도(''φ'')를 기준으로 (''x'', ''y'') 접선 평면에 대한 정사도법의 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

\begin{align}x &= R\,\cos\varphi \sin\left(\lambda - \lambda_0\right) \\y &= R\big(\cos\varphi_0 \sin\varphi - \sin\varphi_0 \cos\varphi \cos\left(\lambda - \lambda_0\right)\big)\end{align}

지도 범위를 벗어나는 위도는 정사도법의 ''중심''에서 각거리 ''c''를 계산하여 잘라내야 한다. 이렇게 하면 반대 반구의 점이 표시되지 않는다.

:

\cos c = \sin\varphi_0 \sin\varphi + \cos\varphi_0 \cos\varphi \cos\left(\lambda - \lambda_0\right)\,

.

cos(''c'')가 음수이면 지도에서 점을 잘라내야 한다. 즉, 매핑에 포함된 모든 점은 다음을 만족한다.

:

-\frac{\pi}{2} < c < \frac{\pi}{2}

.

역 공식은 다음과 같다.

:

\begin{align}\varphi &= \arcsin\left(\cos c \sin\varphi_0 + \frac{y\sin c \cos\varphi_0}{\rho}\right) \\\lambda &= \lambda_0 + \arctan\left(\frac{x\sin c}{\rho \cos c \cos\varphi_0 - y \sin c \sin\varphi_0}\right)\end{align}

여기서

:

\begin{align}\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} \\c &= \arcsin\frac{\rho}{R}\end{align}

계산을 위해 역 공식을 사용할 때는 두 개의 인수를 사용하는 아크탄젠트 함수(atan)의 atan2 형태를 사용하는 것이 좋다. 이를 통해 작성된 정사도법의 부호가 모든 사분면에서 정확해진다.

역 공식은 (''λ'', ''φ'') 그리드에서 정의된 변수를 (''x'', ''y'')의 정형 그리드로 투영하려는 경우 특히 유용하다. 정사도법을 직접 적용하면 (''x'', ''y'')에 점이 분산되어 그리기 및 수치 적분에 문제가 발생한다. 한 가지 해결책은 (''x'', ''y'') 투영 평면에서 시작하여 정사도법의 역 공식을 사용하여 (''λ'', ''φ'')에 정의된 값에서 이미지를 구성하는 것이다.

3. 2. 역 공식

:

\begin{align}\varphi &= \arcsin\left(\cos c \sin\varphi_0 + \frac{y\sin c \cos\varphi_0}{\rho}\right) \\\lambda &= \lambda_0 + \arctan\left(\frac{x\sin c}{\rho \cos c \cos\varphi_0 - y \sin c \sin\varphi_0}\right)\end{align}

여기서

:

\begin{align}\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} \\c &= \arcsin\frac{\rho}{R}\end{align}

역 공식을 계산에 사용할 때는 두 개의 인수를 사용하는 아크탄젠트 함수(atan)의 atan2 형태를 사용하는 것이 좋다.^[1] 이를 통해 작성된 정사도법의 부호가 모든 사분면에서 정확해진다.

3. 3. 한계

지도 범위를 벗어나는 위도는 정사도법의 ''중심''에서 각거리 ''c''를 계산하여 잘라내야 한다. 이렇게 하면 반대 반구의 점이 표시되지 않는다.^[1]

:

\cos c = \sin\varphi_0 \sin\varphi + \cos\varphi_0 \cos\varphi \cos\left(\lambda - \lambda_0\right)\,

cos(''c'')가 음수이면 지도에서 점을 잘라내야 한다. 즉, 매핑에 포함된 모든 점은 다음을 만족한다.^[1]

:

-\frac{\pi}{2} < c < \frac{\pi}{2}

4. 원통 도법

광의의 의미에서, 무한대에 투시점이 있는 모든 투영(따라서 평행 투영선)은 투영되는 표면에 관계없이 정사도법으로 간주된다. 이러한 투영은 극점 근처의 각도와 면적을 왜곡한다.^[1]

원통에 대한 정사도법 투영의 예는 람베르트 원통 도법이다.^[1]

참조

_[1] 서적 Map Projections—A Working Manual (US Geologic Survey Professional Paper 1395) https://archive.org/[...] US Government Printing Office
_[2] 서적 Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections The University of Chicago Press
_[3] 웹사이트 Ellipsoidal Orthographic Projection via ECEF and Topocentric (ENU) http://www.hydrometr[...] 2011-06
_[4] 서적 Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections The University of Chicago Press

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