정축체

3. 정의 및 작도

정축체를 작도하는 방법은 다음과 같다. 순환 좌표 $(\backslash pm1,0,0,\backslash cdots,0),\; (0,\backslash pm1,0,\backslash cdots,0),\; \backslash cdots\; ,\; (0,0,\backslash cdots,0,\backslash pm1)$을 정점으로 하고, 가장 가까운 (거리 $\backslash sqrt\{2\}$ 의) 2점씩을 변으로 연결한다.

이렇게 작도된 정축체는 ''n'' 차원 유클리드 공간을 $\backslash mathbb\; R^n$로 나타내어 $\backslash \{x\backslash in\backslash mathbb\; R^n\; :\; \backslash |x\backslash |\_1\; \backslash le\; 1\backslash \}$로 정의할 수 있다.

3. 1. 작도

4. 성질

n차원 정축체(변의 길이 a)의 초부피는 $\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}^n\}\{n!\}a^n$이고, 초표면적은 $\backslash frac\{2^n\backslash sqrt\{n\}\}\{(n-1)!\backslash sqrt\{2^\{n-1\}\}\}a^\{n-1\}$이다.

0 ≤ m ≤ n-1인 m차원 면은 m차원 정단체이며, m차원 면의 초부피는 $\backslash frac\{\backslash sqrt\{m+1\}\}\{m!\backslash sqrt\{2^m\}\}a^m$이다.

대각선의 길이는 $\backslash sqrt\{2\}a$이며, 모두 직교한다.

m차원 면의 개수는 $2^\{m+1\}\{n\; \backslash choose\; m+1\}$이고, m차원 면에 모이는 l차원 면(m+1 ≤ l ≤ n-1)의 개수는 $2^\{l-m\}\{n-m-1\; \backslash choose\; l-m\}$이다.

쌍대 다포체는 초입방체이다.

5. 고차원에서의 교차 다포체

콕서터는 교차 다포체를 *β_n*으로 표기했다. *n*차원 교차 다포체는 2*n*개의 꼭짓점과 2^*n*개의 면((*n*-1)차원 단순체)을 갖는다. 꼭짓점 도형은 (*n*-1)차원 교차 다포체이다. 슐레플리 기호는 {3,3,...,3,4}이다. 이 면각은 $\backslash delta\_n\; =\; \backslash arccos\backslash left(\backslash frac\{2-n\}\{n\}\backslash right)$이다.^[4]

• n*차원 교차 다포체의 초부피는 다음과 같다.

• n*-직교다면체의 확장된 f-벡터는 ('''1''',2)^*n*으로 계산할 수 있으며, 이는 다항식 곱셈의 계수와 유사하다. 예를 들어, 16-세포는 ('''1''',2)⁴ = ('''1''',4,4)² = ('''1''',8,24,32,16)이다.

축 정렬된 교차 다포체의 꼭짓점은 맨해튼 거리(L¹ 노름)에서 서로 같은 거리에 있다. 쿠스너의 추측은 이 2*d*개의 점 집합이 이 거리에 대한 가장 큰 등거리 집합임을 명시한다.^[4]

6. 일반화된 정축체

정규 복소수 다면체는 ''일반화된 정축체''(또는 교차 다면체)라고 하는 복소수 힐베르트 공간에서 정의될 수 있으며, β = ₂{3}₂{3}...₂{4}_''p''로 나타낸다. ''p'' = 2인 경우 실수 해가 존재하며, β = β_''n'' = ₂{3}₂{3}...₂{4}₂ = {3,3,..,4}이다. ''p'' > 2인 경우, $\backslash mathbb\{\backslash Complex\}^n$에 존재한다. ''p''-일반화된 ''n''-정축체는 ''pn''개의 꼭짓점을 가지며, 정규 단순체 (실수)를 면으로 갖는다.^[5]

일반화된 정축체는 완전 다분할 그래프를 생성한다. β는 완전 이분 그래프 K_''p'',''p''를, β는 완전 삼분 그래프 K_{''p'',''p'',''p''}를 생성하며, β는 K_''p''^''n''을 생성한다.

모든 꼭짓점이 원 위에 동일한 간격으로 배치되고, 모든 꼭짓점 쌍이 연결되지만 ''n''의 배수를 제외한 직교 투영을 정의할 수 있다. 이러한 직교 투영에서 정다각형의 둘레는 페트리 다각형이라고 한다.

일반화된 정축체

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
$\backslash mathbb\{R\}^2$	2{4}2 = {4} K2,2	$\backslash mathbb\{\backslash Complex\}^2$	2{4}3 K3,3	2{4}4 K4,4	2{4}5 K5,5	2{4}6 K6,6	2{4}7 K7,7	2{4}8 K8,8
$\backslash mathbb\{R\}^3$	2{3}2{4}2 = {3,4} K2,2,2	$\backslash mathbb\{\backslash Complex\}^3$	2{3}2{4}3 K3,3,3	2{3}2{4}4 K4,4,4	2{3}2{4}5 K5,5,5	2{3}2{4}6 K6,6,6	2{3}2{4}7 K7,7,7	2{3}2{4}8 K8,8,8
$\backslash mathbb\{R\}^4$	2{3}2{3}2 {3,3,4} K2,2,2,2	$\backslash mathbb\{\backslash Complex\}^4$	2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3	2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4	2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5	2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6	2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7	2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8
$\backslash mathbb\{R\}^5$	2{3}2{3}2{3}2{4}2 {3,3,3,4} K2,2,2,2,2	$\backslash mathbb\{\backslash Complex\}^5$	2{3}2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3,3	2{3}2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4,4	2{3}2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5,5	2{3}2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6,6	2{3}2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7,7	2{3}2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8,8
$\backslash mathbb\{R\}^6$	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}2 {3,3,3,3,4} K2,2,2,2,2,2	$\backslash mathbb\{\backslash Complex\}^6$	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3,3,3	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4,4,4	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5,5,5	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6,6,6	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7,7,7	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8,8,8

7. 관련 다포체족

초입방체와 쌍대 관계이며, 함께 결합하여 화합 다포체를 형성할 수 있다.

• 2차원: 팔각별
• 3차원: 정육면체와 정팔면체의 화합
• 4차원: 초입방체와 16-포체의 화합

참조

_[1] 서적 Miscellanea Mathematica Springer
_[2] 서적 Geometric Regular Polytopes Cambridge University Press 2020
_[3] Mathworld Cocktail Party Graph
_[4] 간행물 An olla-podrida of open problems, often oddly posed
_[5] 서적 Regular Complex Polytopes