준동형 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 예
4. 정리의 주장 (일본어판)
참조

1. 개요

준동형 정리는 대수 구조 A와 B 사이의 준동형 φ가 주어졌을 때, A 위에 정의된 합동 관계를 통해 새로운 준동형 χ를 유일하게 구성할 수 있다는 정리이다. 이 정리는 준동형 사상, 전사 함수, 단사 함수와 관련된 여러 명제를 포함하며, 제1 동형 정리를 따름 정리로 얻을 수 있다. 군, 환, 가군 등 다양한 대수 구조에 적용되며, 군의 준동형적 상은 몫군과 동형이라는 형태로도 표현된다.

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준동형 정리
개요
분야	추상대수학
하위 분야	군론, 환론, 가군론
종류	정리
관련 항목	동형 정리
군론에서의 준동형 정리 (제1 동형 정리)
내용	G와 H가 군이고, φ: G → H가 군 준동형사상일 때, G/ker(φ)는 im(φ)와 동형이다. 즉, G/ker(φ) ≅ im(φ)이다.
기호 설명	G: 군 H: 군 φ: G에서 H로의 군 준동형사상 ker(φ): φ의 핵 im(φ): φ의 상 ≅: 동형
환론에서의 준동형 정리 (제1 동형 정리)
내용	R과 S가 환이고, φ: R → S가 환 준동형사상일 때, R/ker(φ)는 im(φ)와 동형이다. 즉, R/ker(φ) ≅ im(φ)이다.
기호 설명	R: 환 S: 환 φ: R에서 S로의 환 준동형사상 ker(φ): φ의 핵 im(φ): φ의 상 ≅: 동형
가군론에서의 준동형 정리 (제1 동형 정리)
내용	M과 N이 R-가군이고, φ: M → N이 R-가군 준동형사상일 때, M/ker(φ)는 im(φ)와 동형이다. 즉, M/ker(φ) ≅ im(φ)이다.
기호 설명	M: R-가군 N: R-가군 φ: M에서 N으로의 R-가군 준동형사상 ker(φ): φ의 핵 im(φ): φ의 상 ≅: 동형
추가 정보
기타 명칭	제1 동형 정리 (First Isomorphism Theorem), 준동형 정리 (Homomorphism Theorem), 기본 준동형 정리 (Fundamental Homomorphism Theorem)
관련 정리	제2 동형 정리, 제3 동형 정리, 격자 정리

2. 정의

같은 형의 대수 구조 $A$ 와 $B$ 및 그 사이의 준동형 $\phi\colon A\to B$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $A$ 위에 합동 관계 $\sim_\phi$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $a\sim_\phi a'\iff\phi(a)=\phi(a')\;\forall a,a'\in A$

$\sim_\theta$ 가 $\sim_\phi$ 보다 더 고른 $A$ 위의 합동 관계라고 하자. 즉, 다음이 성립한다고 가정한다.

: $a\sim_\theta a'\implies a\sim_\phi a'$

또한, $\theta\colon A\to A/{\sim}_\theta$ 가 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. '''준동형 정리'''에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.

$\chi\circ\theta=\phi$ 인 준동형 $\chi\colon A/{\sim}_\theta\to B$ 가 유일하게 존재한다.
만약 $\phi$ 가 전사 함수라면 $\chi$ 역시 전사 함수이다.
만약 ${\sim}_\theta={\sim}_\phi$ 라면, $\chi$ 는 단사 함수이다.

이로부터 제1 동형 정리를 따름정리로 얻을 수 있다.

'''군에 관한 준동형 정리'''

군

G, H

및 군 준동형

f\colon G \to H

가 주어졌다고 하자. 이때,

G

의 정규 부분군

K

및 자연 사영

\varphi\colon G \to G/K

(여기서

G/K

는 잉여군)에 대해, 만약

K \subseteq \operatorname{ker}(f)

(

f

의 핵)이 성립한다면,

f = h \circ \varphi

를 만족하는 군 준동형

h\colon G/K \to H

가 유일하게 존재한다.

이 상황은 다음의 가환도로 나타낼 수 있다.

이는 자연 사영

\varphi

가

K

를 단위원으로 보내는

G

상의 준동형 중에서 가장 일반적인 것임을 의미한다.

특히, 정리에서

K = \operatorname{ker}(f)

로 놓으면 제1 동형 정리를 바로 얻을 수 있다.

3. 예

이 정리는 보편 대수학의 정리이므로, 임의의 대수 구조에 대하여 성립한다. 아래에서는 대표적인 대수 구조인 군, 환, 가군 등에서 준동형 정리가 어떻게 적용되는지 구체적인 예를 살펴본다.

3. 1. 군에 대한 형태

군 준동형

\phi\colon G\to H

와 정규 부분군

K\vartriangleleft G

가 주어져 있고,

K

가

\phi

의 핵

\ker\phi

의 부분군 (

K\subseteq\ker\phi

)이라고 하자. 또한,

\theta\colon G\to G/K

를 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. 이때 다음 명제들이 성립한다.^[1]

$\chi\circ\theta=\phi$ 를 만족하는 유일한 군 준동형 $\chi\colon G/K\to H$ 가 존재한다.
만약 $\phi$ 가 전사 함수라면, $\chi$ 역시 전사 함수이다.
만약 $K=\ker\phi$ 라면, $\chi$ 는 단사 함수이다.

이 정리는 자연스러운 몫 준동형

\theta

가

K

를 항등원으로 보내는

G

위의 준동형들 중에서 보편적임을 의미한다. 특히

K = \ker\phi

일 경우,

\chi

는 단사 준동형이 된다. 만약

\phi

가 전사 함수이면서

K = \ker\phi

이면,

\chi

는 동형 사상이 되며, 이는 제1 동형 정리의 내용과 같다. 즉, 군의 준동형적 상(

\phi(G)

)은 그 핵에 대한 몫군 (

G/\ker\phi

)과 동형이다.

3. 1. 1. 군론적 형태의 추가 설명 (영문판)

준동형 정리의 도해, 여기서 $f$ 는 준동형사상이고, $N$ 는 $G$ 의 정규 부분군이며, $e$ 는 $G$ 의 항등원이다.

두 개의 군

G

와

H

가 주어지고 군 준동형사상

f: G \rarr H

가 주어졌다고 하자. 이때

N

을

G

의 정규 부분군이라고 하고,

\phi

를 자연스러운 전사 함수 준동형사상

\phi: G \rarr G / N

(여기서

G / N

은

N

에 의한

G

의 몫군이다)이라고 하자. 만약

N

이

f

의 커널

\ker(f)

의 부분 집합이라면, 즉

N \subseteq \ker(f)

라면, 다음을 만족하는 유일한 준동형사상

h: G / N \rarr H

가 존재한다.^[1]

:

f = h \circ \phi

다시 말해, 자연 투영

\phi

는

N

을 항등원으로 보내는

G

상의 준동형사상들 중에서 보편적이다.

이 상황은 다음의 가환도표로 설명될 수 있다.

여기서 준동형사상

h

는

N = \ker(f)

일 때, 그리고 오직 그때만 단사 함수이다.^[1] 따라서,

N

을

f

의 커널

\ker(f)

로 설정하면, 즉시 제1 동형 정리를 얻게 된다. 이는 군의 준동형 정리가 "군의 모든 준동형적 상은 그 커널에 대한 몫군과 동형이다"라는 사실을 함의하기 때문이다.

3. 1. 2. 증명 (영문판)

증명은 준동형 사상에 대한 두 가지 기본적인 사실, 즉 군 연산의 보존과 항등원의 항등원 매핑에서 비롯된다.

\phi: G \to H

가 군의 준동형 사상이라면 다음을 보여야 한다.

$\text{im}(\phi)$ 는 $H$ 의 부분군이다.
$G / \ker(\phi)$ 는 $\text{im}(\phi)$ 와 동형이다.

3. 1. 3. 응용 (영문판)

군론에서 준동형 정리는 두 군이 동형임을 보이는 데 사용될 수 있다. 다음은 두 가지 예시이다.

3. 2. 환에 대한 형태

환 준동형

\phi\colon R\to S

및

R

의 아이디얼

\mathfrak a\subset R

가 있고,

\mathfrak a\subset\phi^{-1}(0)

이라고 하자. 또한,

\theta\colon R\to R/\mathfrak a

가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

$\chi\circ\theta=\phi$ 인 환 준동형 $\chi\colon R/\mathfrak a\to S$ 가 유일하게 존재한다.
만약 $\phi$ 가 전사 함수라면 $\chi$ 역시 전사 함수이다.
만약 $\mathfrak a=\phi^{-1}(0)$ 이라면, $\chi$ 는 단사 함수이다.

3. 3. 가군에 대한 형태

환

R

의 왼쪽 가군

M,N

사이의 가군 준동형

\phi\colon M\to N

및

M

의 부분 가군

P\subset M

가 있고,

P\subset\phi^{-1}(0)

이라고 하자. 또한,

\theta\colon M\to M/P

가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

$\chi\circ\theta=\phi$ 인 가군 준동형 $\chi\colon M/P\to N$ 이 유일하게 존재한다.
만약 $\phi$ 가 전사 함수라면 $\chi$ 역시 전사 함수이다.
만약 $P=\phi^{-1}(0)$ 이라면, $\chi$ 는 단사 함수이다.

4. 정리의 주장 (일본어판)

군 $G, H$ 및 군 준동형 $f: G \to H$ 가 주어졌다고 하자. 이때, $G$ 의 정규 부분군 $K$ 와 자연 사영 $\phi: G \to G/K$ (여기서 $G/K$ 는 잉여군이다)에 대해, 만약 $K \subseteq \ker(f)$ ( $f$ 의 핵)이 성립한다면, $f = h \circ \phi$ 를 만족하는 군 준동형 $h: G/K \to H$ 가 유일하게 존재한다.^[1]

이 상황은 다음의 가환도로 나타낼 수 있다.

이는 곧 자연 사영 $\phi$ 가 $K$ 를 단위원으로 보내는 $G$ 상의 준동형 중에서 가장 일반적인 것임을 의미한다.

정리에서 $K = \ker(f)$ 로 놓으면 바로 제1 동형 정리를 얻을 수 있다.

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