질량껍질

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1. 개요
2. 질량 껍질 (Mass Shell)
3. 자유도 (Degrees of Freedom)
4. 스칼라장에서의 예시
참조

1. 개요

질량 껍질은 에너지-운동량 공간에서 입자의 에너지와 운동량의 관계를 나타내는 쌍곡면으로, 입자의 특수 상대성 이론에서 허용되는 에너지와 운동량의 조합을 설명한다. 질량 껍질 방정식은 입자의 에너지, 운동량, 정지 질량 사이의 관계를 보여주며, 파인만 다이어그램에서 외선은 질량 껍질 위에 있지만, 내선인 전파자는 껍질 밖으로 벗어날 수 있다. 양자장론에서 껍질 위 자유도는 질량 껍질 위에 존재하는 고전적인 진동 모드의 수이고, 껍질 밖 자유도는 질량 껍질 밖에 존재하는 성분을 포함한다.

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질량껍질
개요
정의	특수상대성이론 또는 양자장론에서 입자의 에너지-운동량 관계는 질량-껍질 조건으로 주어진다. "질량-껍질에 있다(on shell)" 또는 "질량-껍질 위(on-shell)"라는 용어는 고전적인 운동 방정식들을 만족시키는 계(system)의 구성(configuration)을 가리킨다. "질량-껍질에서 벗어나 있다(off shell)" 또는 "질량-껍질 밖(off-shell)"이라는 용어는 그렇지 않은 구성을 가리킨다.
질량-껍질 조건	E² - \|p\|²c² = (mc²)² 또는 pμpμ = m²c² 여기서 E는 에너지, p는 3차원 운동량, \|p\|는 p의 유클리드 노름(길이), m은 정지 질량, c는 광속이다.
설명	자연 단위계를 사용하는 경우 c = 1로 간주되며, 따라서 질량-껍질 관계는 E² - \|p\|² = m² 또는 pμpμ = m²으로 간소화된다. "질량-껍질"이라는 이름은 에너지-운동량 공간(상대성이론적 운동량 공간)에서 이 방정식을 만족시키는 해들이 쌍곡면을 형성하기 때문에 붙여졌다. 이 쌍곡면은 다음과 같이 정의된다. m > 0인 경우 두 개의 조각으로 구성되며, 각각은 시간꼴 운동량(time-like momentum)을 나타낸다(하나는 미래를 향하고 다른 하나는 과거를 향함). m = 0인 경우, 쌍곡면은 광추(light cone)로 축퇴된다.
상세 내용
가상 입자	양자장론에서 가상 입자는 질량-껍질 조건을 만족시키지 않는 입자로, 전파인자(propagator)에 의해 설명된다. 실제 입자는 질량-껍질 조건을 만족시킨다.
고전역학	작용의 극솟값(stationary action)은 질량-껍질 경로에 해당한다.

2. 질량 껍질 (Mass Shell)

질량 껍질은 특수 상대성이론에서 유래된 개념으로, 에너지-운동량 공간에서 입자의 에너지와 운동량이 만족해야 하는 방정식을 나타내는 쌍곡면을 의미한다. 파인만 도형에서 외부 선은 온 쉘(on shell) 상태, 즉 질량 껍질 위에 있는 입자를 나타내고, 내부 선 전파자에 해당하는 가상 입자는 오프 쉘(off shell) 상태, 즉 질량 껍질에서 벗어난 상태를 나타낸다.

2. 1. 질량 껍질 방정식

질량 껍질 방정식은 입자의 에너지(

E

), 운동량 (

\vec{p}

), 정지 질량(

m_0

) 사이의 관계를 나타내는 방정식으로, 다음과 같이 표현된다.^[4]

:

E^2 - |\vec{p} \,|^2 c^2 = m_0^2 c^4

이 방정식은 에너지-운동량 관계를 나타낸다. 4-운동량(

p^\mu

)을 사용하여 방정식을 표현할 수도 있다. 아인슈타인 표기법에서, 계량 텐서 부호를 (+,−,−,−)로 하고, 광속(

c

) = 1인 단위를 사용하면,

p^\mu p_\mu \equiv p^2 = m_0^2

으로 나타낼 수 있다. 문헌에 따라서는, 계량 텐서 부호가 (−,+,+,+)인 경우

p^\mu p_\mu = - m_0^2

로 나타나기도 한다.^[4]

파인만 도형에서 내부 전파자에 해당하는 가상 입자는 일반적으로 껍질에서 벗어나는 것이 허용되지만, 과정의 진폭은 껍질에서 얼마나 벗어났는지에 따라 감소한다.^[4] 전파자는 일반적으로 질량 껍질에서 수학적 특이점을 갖는다.^[5]

전파자에 대해 이야기할 때, 방정식을 만족하는 음의

E

값은 껍질 위에 있는 것으로 간주되지만, 고전 이론은 입자의 에너지에 음의 값을 허용하지 않는다. 이는 전파자가 입자가 한 방향으로 에너지를 전달하는 경우와 반입자가 다른 방향으로 에너지를 전달하는 경우를 하나의 식으로 통합하기 때문이며, 음의 및 양의 껍질 위

E

는 단순히 반대 방향의 양의 에너지 흐름을 나타낸다.^[4]

2. 2. 가상 입자와 전파자

파인만 도형에서 내부 전파자에 해당하는 가상 입자는 일반적으로 껍질에서 벗어나는 것(오프 쉘, off shell)이 허용되지만, 과정의 진폭은 껍질에서 얼마나 벗어났는지에 따라 감소한다.^[4] 이는 전파자의

q^2

의존성이 입사 입자와 출사 입자의 4-운동량에 의해 결정되기 때문이다. 전파자는 일반적으로 질량 껍질에서 수학적 특이점을 갖는다.^[5]

2. 3. 음의 에너지와 반입자

고전 이론에서는 입자의 에너지가 음수가 되는 것을 허용하지 않지만, 전파자에 대해 이야기할 때는 방정식을 만족하는

E

의 음의 에너지 값도 껍질 위에 있는 것으로 간주한다.^[4] 이는 전파자가 입자가 한 방향으로 에너지를 전달하는 경우와 반입자가 다른 방향으로 에너지를 전달하는 경우를 하나의 식으로 통합하기 때문이다.^[5] 음과 양의 껍질 위

E

는 단순히 반대 방향의 양의 에너지 흐름을 나타낸다.

3. 자유도 (Degrees of Freedom)

양자장론에서 장(field)의 자유도는 껍질 위 자유도와 껍질 밖 자유도로 구분된다.^[8] 껍질 위 자유도는 질량껍질 위에 존재하는 고전적인 진동 모드의 수를, 껍질 밖 자유도는 질량껍질 밖의 성분(고전적 운동 방정식을 만족하지 않는 성분도 포함)을 의미한다.

껍질 위 자유도와 껍질 밖 자유도는 다음과 같이 계산한다.

껍질 위 자유도 = 장의 성분 수 - 게이지 변환 성분 수 - 운동 방정식에 의한 제약의 수
껍질 밖 자유도 = 장의 성분 수 - 게이지 변환 성분 수

광자와 중력자의 경우를 예로 들면 다음과 같다.

광자는 4차원 벡터로 표현되어 4개의 성분을 가지며, 게이지 변환을 고려하면 껍질 밖 자유도는 3개이다. 맥스웰 방정식에 의한 제약을 빼면 껍질 위 자유도는 2개 (전자기파의 편광 모드)가 된다.
중력자는 4x4 대칭 텐서로 10개의 성분을 가지며, 미분동형사상을 게이지 변환으로 고려하면 껍질 밖 자유도는 6개이다. 아인슈타인 방정식에 의한 제약을 빼면 껍질 위 자유도는 2개가 된다.

일반적으로, D차원 시공간에서 각종 장들의 자유도는 아래 표와 같다.

입자 종류	껍질 밖 자유도	껍질 위 자유도
실수 스칼라	1	1
복소 스칼라	2	2
디랙 스피너	$2^{\lfloor D/2\rfloor+1}$	$2^{\lfloor D/2\rfloor}$
바일 또는 마요라나 스피너	$2^{\lfloor D/2\rfloor}$	$2^{\lfloor D/2\rfloor-1}$
마요라나-바일 스피너	$2^{\lfloor D/2\rfloor-1}$	$2^{\lfloor D/2\rfloor-2}$
게이지 보손	$D-1$	$D-2$
$p$ 차 미분형식 게이지장	$\binom{D-1}p$	$\binom{D-2}p$
유질량 벡터 보손	$D$	$D-1$
그래비티노	스피너 자유도 $\times (D-1)$	스피너 자유도 $\times(D-3)$
중력자	$D(D-1)/2$	$(D-3)D/2$

$D=2(p+1)$ 차원에 존재하는 ''p''차 미분형식 퍼텐셜의 경우, $F_{p+1}=\pm*F_{p+1}$ 과 같은 조건을 부여할 수 있다. (예를 들어, IIB형 초중력의 4차 미분형식 라몽-라몽 장이 이와 같다.) 이 경우 자유도는 위 표의 값의 절반이 된다.

3. 1. 껍질 위 자유도 (On-shell Degrees of Freedom)

양자장의 '''껍질 위 자유도'''(on-shell degrees of freedom^영어)는 질량껍질 위에 존재하는 고전적인 진동 모드의 수를 의미한다. 껍질 위 자유도는 다음 식으로 계산된다.^[8]

:껍질 위 자유도 = 장의 성분 수 - 게이지 변환 성분 수 - 운동 방정식에 의한 제약의 수

예를 들어, 광자는 4차원 벡터로 표현되므로 4개의 성분을 가진다. 또한 하나의 게이지 변환을 가지므로 껍질 밖 자유도는 3개이다. 여기에 맥스웰 방정식에 의한 제약을 빼면 2개의 껍질 위 자유도를 얻는다. 이는 전자기파의 두 편광 모드에 해당한다.^[8]

중력자의 경우 4×4 대칭 텐서로 표현되어 10개의 성분을 가진다. 중력자는 미분동형사상을 게이지 변환으로 가지므로 껍질 밖 자유도는 6개이다. 아인슈타인 방정식에 의한 제약을 빼면 껍질 위 자유도는 2개가 된다.^[8]

일반적으로,

D

차원 시공간에서 다양한 장들의 자유도는 다음과 같다.^[8]

입자 종류	껍질 밖 자유도	껍질 위 자유도
실수 스칼라	1	1
복소 스칼라	2	2
디랙 스피너	$2^{\lfloor D/2\rfloor+1}$	$2^{\lfloor D/2\rfloor}$
바일 또는 마요라나 스피너	$2^{\lfloor D/2\rfloor}$	$2^{\lfloor D/2\rfloor-1}$
마요라나-바일 스피너	$2^{\lfloor D/2\rfloor-1}$	$2^{\lfloor D/2\rfloor-2}$
게이지 보손	$D-1$	$D-2$
$p$ 차 미분형식 게이지장	$\binom{D-1}p$	$\binom{D-2}p$
유질량 벡터 보손	$D$	$D-1$
그래비티노	스피너 자유도 $\times (D-1)$	스피너 자유도 $\times(D-3)$
중력자	$D(D-1)/2$	$(D-3)D/2$

$D=2(p+1)$ 차원에 있는 ''p''차 미분형식 퍼텐셜의 경우, $F_{p+1}=\pm*F_{p+1}$ 같은 조건을 부여할 수 있다. (예: IIB형 초중력의 4차 미분형식 라몽-라몽 장) 이 경우 자유도는 위 표의 절반이 된다.

3. 2. 껍질 밖 자유도 (Off-shell Degrees of Freedom)

껍질 밖 자유도는 양자장에서 질량껍질 밖에 존재하는 성분을 포함한다. 이때, (고전적 운동 방정식을 만족하지 않는) 성분도 포함한다. 껍질 밖 자유도는 "장의 성분 수 - 게이지 변환 성분 수"로 계산된다.^[8]

예를 들어, 광자는 4차원 벡터로 표현되므로 4개의 성분을 갖는다. 또한 하나의 게이지 변환을 가지므로 껍질 밖 자유도는 3개이다. 중력자는 4×4 대칭 텐서로 표현되어 10개의 성분을 갖지만, 미분동형사상을 게이지 변환으로 가지므로 껍질 밖 자유도는 6개이다.^[8]

일반적으로,

D

차원 시공간에서 다양한 장들의 껍질 밖 자유도는 다음과 같다.^[8]

입자 종류	껍질 밖 자유도
실수 스칼라	1
복소 스칼라	2
디랙 스피너	$2^{\lfloor D/2\rfloor+1}$
바일 또는 마요라나 스피너	$2^{\lfloor D/2\rfloor}$
마요라나-바일 스피너	$2^{\lfloor D/2\rfloor-1}$
게이지 보손	$D-1$
$p$ 차 미분형식 게이지장	$\binom{D-1}p$
유질량 벡터 보손	$D$
그래비티노	스피너 자유도 $\times (D-1)$
중력자	$D(D-1)/2$

$D=2(p+1)$ 차원에 존재하는 ''p''차 미분형식 퍼텐셜의 경우, $F_{p+1}=\pm*F_{p+1}$ 과 같은 조건을 부여할 수 있다. (예: IIB형 초중력의 4차 미분형식 라몽-라몽 장) 이 경우 자유도는 위 표의 값의 절반이 된다.

''D''차원 민코프스키 공간에서의 스칼라장을 예로 들어보자. 라그랑지안 밀도 $\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$ 로 주어지는 작용은 다음과 같다.

: $S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$

이 작용에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 장과 그 도함수를 변분하고, 변분을 0으로 설정하여 찾을 수 있으며, 다음과 같다.

: $\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}$

이제, 무한소 시공간 평행이동 $x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu$ 을 고려하면, 라그랑지안 밀도 $\mathcal{L}$ 는 스칼라이므로, $\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}$ 로 변환된다. 테일러 급수에 의해 일반적으로 다음을 얻는다.

: $\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi)$

$\delta \mathcal{L}$ 를 대입하고 $\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi)$ 임을 (시공간의 각 점에서 변분은 독립적이므로) 주목하면 다음과 같다.

: $\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi$

이것은 독립적인 평행이동 $\alpha^\mu = (\epsilon, 0,...,0) , (0,\epsilon, ...,0), ...$ 에 대해 성립해야 하므로, $\alpha^\mu$ 로 "나눌" 수 있다.

: $\partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi$

이것은 운동 방정식(이 경우, 위에 주어진 오일러-라그랑주 방정식)을 만족하는지 여부에 관계없이 모든 장의 구성에 대해 참이므로, ''off shell''을 만족하는 방정식의 예시이다.

3. 3. 예시: 광자와 중력자

광자는 4차원 벡터로 나타내므로 그 장은 4개의 성분을 가지고, 또한 하나의 게이지 변환을 가지므로 껍질 밖 자유도는 3개이다. 여기에 맥스웰 방정식에 의한 제약을 빼면 2개의 껍질 위 자유도를 가지는 것을 알 수 있다. 이는 전자기파의 두 개의 편광 모드에 해당한다.^[8]

마찬가지로, 중력자는 4×4 대칭 텐서로 나타내므로 총 10개의 성분을 가진다. 그러나 중력자는 미분동형사상을 게이지 변환으로 가지므로 껍질 밖 자유도는 6개이다. 여기에 아인슈타인 방정식에 의한 제약을 빼면 2개의 껍질 위 자유도를 가진다.^[8]

3. 4. 다양한 입자의 자유도

입자 종류	껍질 밖 자유도	껍질 위 자유도
실수 스칼라	1	1
복소 스칼라	2	2
디랙 스피너	$2^{\lfloor D/2\rfloor+1}$	$2^{\lfloor D/2\rfloor}$
바일 또는 마요라나 스피너	$2^{\lfloor D/2\rfloor}$	$2^{\lfloor D/2\rfloor-1}$
마요라나-바일 스피너	$2^{\lfloor D/2\rfloor-1}$	$2^{\lfloor D/2\rfloor-2}$
게이지 보손	$D-1$	$D-2$
$p$ 차 미분형식 게이지장	$\binom{D-1}p$	$\binom{D-2}p$
유질량 벡터 보손	$D$	$D-1$
그래비티노	스피너 자유도 $\times (D-1)$	스피너 자유도 $\times(D-3)$
중력자	$D(D-1)/2$	$(D-3)D/2$

$D=2(p+1)$ 차원에 존재하는 ''p''차 미분형식 퍼텐셜의 경우, $F_{p+1}=\pm*F_{p+1}$ 과 같은 조건을 부여할 수 있다. (예를 들어, IIB형 초중력의 4차 미분형식 라몽-라몽 장이 이와 같다.) 이 경우 자유도는 위 표의 값의 절반이 된다.^[8]

4. 스칼라장에서의 예시

D차원 민코프스키 공간에서의 스칼라장을 예로 들어 온 쉘/오프 쉘 방정식을 유도하는 과정을 살펴보자.

무한소 시공간 평행이동 $x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu$ 을 고려하면, 라그랑지안 밀도 $\mathcal{L}$ 는 스칼라이므로, $\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}$ 로 변환된다. 테일러 급수를 통해 $\delta \mathcal{L}$ 를 전개하고, $\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi)$ 임을 이용하면,

: $\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi$

를 얻는다. 이 식은 독립적인 변환에 대해서도 성립해야 하므로,

: $\partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi$

로 쓸 수 있다. 이 방정식은 운동 방정식(오일러-라그랑주 방정식) 만족 여부와 관계없이 성립하므로, ''오프 쉘(off shell)'' 방정식의 예시이다.

반면, 오일러-라그랑주 방정식을 대입하여 ''온 쉘(on shell)'' 방정식을 유도할 수 있다.

: $\partial_\mu \mathcal{L} = \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi$

이 식은

: $\partial_\nu \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} \right) = 0$

로 변환 가능하며, 괄호 안의 양을 $T^\nu{}_\mu$ 로 정의하면,

: $\partial_\nu T^\nu{}_\mu = 0$

을 얻는다. 이는 뇌터 정리의 예시이며, 보존량은 응력-에너지 텐서이다. 응력-에너지 텐서는 운동 방정식이 만족될 때, 즉 온 쉘에서만 보존된다.

4. 1. 라그랑지안과 작용

''D''차원 민코프스키 공간에서의 스칼라장을 예시로 들어보자. 라그랑지안 밀도가

\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

로 주어지면, 작용은 다음과 같이 정의된다.

:

S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

이 작용에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 장과 그 도함수를 변분하고, 변분을 0으로 설정하여 찾을 수 있으며, 다음과 같다.

:

\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}

4. 2. 오일러-라그랑주 방정식

D^영어차원 민코프스키 공간에서의 스칼라장을 예로 들어보자. 라그랑지안 밀도가

\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

로 주어지면, 작용은 다음과 같다.

:

S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

이 작용에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 변분법을 사용하여 장과 그 도함수를 변분하고, 변분을 0으로 설정하여 찾을 수 있으며, 다음과 같다.^[1]

:

\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}

무한소 시공간 평행이동

x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu

를 고려해 보자. 라그랑지안 밀도

\mathcal{L}

는 스칼라이므로, 무한소 변환에 따라

\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}

로 변환된다. 한편, 테일러 급수에 의해 일반적으로 다음을 얻는다.

:

\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi)

\delta \mathcal{L}

를 대입하고

\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi)

임을 (시공간의 각 점에서 변분은 독립적이므로) 주목하면 다음과 같다.

:

\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것은 독립적인 평행이동

\alpha^\mu = (\epsilon, 0,...,0) , (0,\epsilon, ...,0), ...

에 대해 성립해야 하므로,

\alpha^\mu

로 "나눌" 수 있으며 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것은 운동 방정식(이 경우, 위에 주어진 오일러-라그랑주 방정식)을 만족하는지 여부에 관계없이 모든 장의 구성에 대해 참이므로, ''off shell''을 만족하는 방정식의 예시이다. 그러나 오일러-라그랑주 방정식을 대입함으로써 ''on shell'' 방정식을 유도할 수 있다.

:

\partial_\mu \mathcal{L} = \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}  \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\partial_\nu \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} \right) = 0

괄호 안의 양을

T^\nu{}_\mu

로 정의하면, 다음을 얻는다.

:

\partial_\nu T^\nu{}_\mu = 0

이것은 뇌터 정리의 한 예이다. 여기서 보존량은 응력-에너지 텐서이며, 이는 운동 방정식이 만족될 경우, 즉 on shell에서만 보존된다.^[1]

4. 3. 시공간 평행이동

''D''차원 민코프스키 공간에서의 스칼라장을 예시로 들어보자. 라그랑지안 밀도가

\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

로 주어지면, 작용은 다음과 같다.

:

S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

이 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 장과 그 도함수를 변분하고, 변분을 0으로 설정하여 찾을 수 있으며, 다음과 같다.

:

\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}

이제, 무한소 시공간 평행이동

x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu

를 고려해 보자. 라그랑지안 밀도

\mathcal{L}

는 스칼라이므로, 무한소 변환에 따라

\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}

로 변환된다. 한편, 테일러 급수에 의해 일반적으로 다음을 얻는다.

:

\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi)

\delta \mathcal{L}

를 대입하고

\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi)

임을 (시공간의 각 점에서 변분은 독립적이므로) 주목하면 다음과 같다.

:

\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것은 독립적인 평행이동

\alpha^\mu = (\epsilon, 0,...,0) , (0,\epsilon, ...,0), ...

에 대해 성립해야 하므로,

\alpha^\mu

로 "나눌" 수 있으며 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것은 운동 방정식(이 경우, 위에 주어진 오일러-라그랑주 방정식)을 만족하는지 여부에 관계없이 모든 장의 구성에 대해 참이므로, ''off shell''을 만족하는 방정식의 예시이다. 그러나 오일러-라그랑주 방정식을 대입함으로써 ''on shell'' 방정식을 유도할 수 있다.

:

\partial_\mu \mathcal{L} = \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}  \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\partial_\nu \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} \right) = 0

괄호 안의 양을

T^\nu{}_\mu

로 정의하면, 다음을 얻는다.

:

\partial_\nu T^\nu{}_\mu = 0

이것은 뇌터 정리의 한 예이다. 여기서 보존량은 응력-에너지 텐서이며, 이는 운동 방정식이 만족될 경우, 즉 on shell에서만 보존된다.

4. 4. 오프 쉘 방정식 유도

''D''차원 민코프스키 공간에서의 스칼라장을 예시로 들어보자. 라그랑지안 밀도가

\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

로 주어지면, 작용은 다음과 같다.

:

S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

이 작용에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 장과 그 도함수를 변분하고, 변분을 0으로 설정하여 구할 수 있으며, 다음과 같다.

:

\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}

이제 무한소 시공간 평행이동

x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu

을 고려한다. 라그랑지안 밀도

\mathcal{L}

는 스칼라이므로, 무한소 변환에 따라

\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}

로 변환된다. 한편, 테일러 급수에 의해 일반적으로 다음을 얻는다.

:

\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi)

\delta \mathcal{L}

를 대입하고,

\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi)

임을 (시공간의 각 점에서 변분은 독립적이므로) 주목하면 다음과 같다.

:

\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것은 독립적인 평행이동

\alpha^\mu = (\epsilon, 0,...,0) , (0,\epsilon, ...,0), ...

에 대해 성립해야 하므로,

\alpha^\mu

로 "나눌" 수 있으며, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것은 운동 방정식(이 경우 위에 주어진 오일러-라그랑주 방정식)을 만족하는지 여부와 관계없이 모든 장의 구성에 대해 참이므로, ''off shell''을 만족하는 방정식의 예이다.

4. 5. 온 쉘 방정식 유도

예시로 ''D''차원 민코프스키 공간에서의 스칼라장을 고려해 보자. 라그랑지안 밀도가

\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

로 주어지면, 작용은 다음과 같다.

:

S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

이 작용에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 장과 그 도함수를 변분하고, 변분을 0으로 설정하여 찾을 수 있으며, 다음과 같다.

:

\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}

이제, 무한소 시공간 평행이동

x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu

을 고려해 보자. 라그랑지안 밀도

\mathcal{L}

는 스칼라이므로, 무한소 변환에 따라

\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}

로 무한소 변환된다. 한편, 테일러 급수에 의해 일반적으로 다음을 얻는다.

:

\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi)

\delta \mathcal{L}

를 대입하고

\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi)

임을 (시공간의 각 점에서 변분은 독립적이므로) 주목하면 다음과 같다.

:

\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것은 독립적인 평행이동

\alpha^\mu = (\epsilon, 0,...,0) , (0,\epsilon, ...,0), ...

에 대해 성립해야 하므로,

\alpha^\mu

로 "나눌" 수 있으며 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것은 운동 방정식(이 경우, 위에 주어진 오일러-라그랑주 방정식)을 만족하는지 여부에 관계없이 모든 장의 구성에 대해 참이므로, ''off shell''을 만족하는 방정식의 예시이다. 그러나 오일러-라그랑주 방정식을 대입함으로써 ''on shell'' 방정식을 유도할 수 있다.

:

\partial_\mu \mathcal{L} = \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}  \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\partial_\nu \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} \right) = 0

괄호 안의 양을

T^\nu{}_\mu

로 정의하면, 다음을 얻는다.

:

\partial_\nu T^\nu{}_\mu = 0

이것은 뇌터 정리의 한 예이다. 여기서 보존량은 응력-에너지 텐서이며, 이는 운동 방정식이 만족될 경우, 즉 on shell에서만 보존된다.

4. 6. 뇌터 정리와 에너지-운동량 텐서

''D''차원 민코프스키 공간에서의 스칼라장을 예시로 들어 뇌터 정리를 설명하고, 보존량인 에너지-운동량 텐서를 정의할 수 있다. 우선, 라그랑지안 밀도

\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

로 주어지는 작용은 다음과 같다.

:

S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)

이 작용에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 장과 그 도함수를 변분하고, 변분을 0으로 설정하여 찾을 수 있으며, 다음과 같다.

:

\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}

이제, 무한소 시공간 평행이동

x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu

을 고려한다. 라그랑지안 밀도

\mathcal{L}

는 스칼라이므로, 무한소 변환에 따라

\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}

로 변환된다. 한편, 테일러 급수에 의해 일반적으로 다음을 얻는다.

:

\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi)

\delta \mathcal{L}

를 대입하고

\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi)

임을 (시공간의 각 점에서 변분은 독립적이므로) 주목하면 다음과 같다.

:

\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것은 독립적인 평행이동

\alpha^\mu = (\epsilon, 0,...,0) , (0,\epsilon, ...,0), ...

에 대해 성립해야 하므로,

\alpha^\mu

로 "나눌" 수 있으며 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것은 운동 방정식(이 경우, 위에 주어진 오일러-라그랑주 방정식)을 만족하는지 여부에 관계없이 모든 장의 구성에 대해 참이므로, ''off shell''을 만족하는 방정식의 예시이다. 그러나 오일러-라그랑주 방정식을 대입함으로써 ''on shell'' 방정식을 유도할 수 있다.

:

\partial_\mu \mathcal{L} = \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}  \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi

이것을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\partial_\nu \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} \right) = 0

괄호 안의 양을

T^\nu{}_\mu

로 정의하면, 다음을 얻는다.

:

\partial_\nu T^\nu{}_\mu = 0

이는 뇌터 정리의 한 예이다. 여기서 보존량은 응력-에너지 텐서이며, 이는 운동 방정식이 만족될 경우, 즉 on shell에서만 보존된다.

참조

_[1] 서적 Modern particle physics Cambridge University Press 2013
_[2] 웹사이트 A Deeper Dive: On-Shell and Off-Shell https://www.perimete[...] 2012-12-21
_[3] 논문 Scattering Amplitudes and the Positive Grassmannian 2012-12-21
_[4] 간행물 Are virtual particles less real? http://philsci-archi[...] 2019
_[5] 서적 Modern particle physics Cambridge University Press 2013
_[6] 서적 Modern particle physics Cambridge University Press 2013
_[7] 서적 Modern particle physics Cambridge University Press 2013
_[8] 저널 Lectures on supergravity 2002-10

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