초거리 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 부치환과의 관계
3. 성질
4. 예
5. 응용
참조

1. 개요

초거리 공간은 초거리 함수를 갖춘 집합이다. 초거리 함수는 대칭성, 자명성, 초거리 부등식을 만족하는 함수로, 초거리 공간은 거리 공간의 일종이다. 초거리 공간에서는 모든 삼각형이 이등변 삼각형이며, 열린 공과 닫힌 공은 열린닫힌집합이다. 이산 거리 공간, p진수 공간, 단어 집합 등이 초거리 공간의 예시이며, 수축 사상, 스핀 글래스, 생물 분류학, 난류 모델, 지리학 등 다양한 분야에 응용된다. 한국에서는 p진수 연구와 관련하여 초거리 공간이 연구되며, p진 해석에서 p진 거리의 초거리 성질이 중요하게 사용된다.

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초거리 공간
개요
유형	거리 공간
거리 함수	초거리 부등식을 만족하는 거리 함수
관련 개념	거리 공간, 초거리 부등식
정의
정의	임의의 세 점 x, y, z에 대해 d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}를 만족하는 거리 공간
성질
성질	초거리 공간에서는 모든 삼각형이 이등변삼각형임 (두 변의 길이가 항상 세 번째 변의 길이보다 크거나 같음) 초거리 공간에서는 모든 점이 열린 공의 중심이 될 수 있음 초거리 공간에서는 열린 공 내부의 모든 점이 공의 중심이 될 수 있음 초거리 공간에서는 두 개의 열린 공이 교차하면, 한 공이 다른 공에 포함됨
예시
예시	이산 공간 p-진수 칸토어 공간
활용
활용	계층적 군집화 DNA 서열 분석 단백질 구조 분석 통신 시스템

2. 정의

집합 $M$ 위의 '''초거리 함수'''(ultrametric^영어)는 실수 값을 가지는 함수 $d\colon M \times M \to \mathbb{R}_{\ge0}$ 이며, 모든 $x, y, z \in M$ 에 대해 다음 조건들을 만족시킨다.

# $d(x, y) \ge 0$ (양의 값)

# $d(x, y) = d(y, x)$ (대칭성)

# $d(x, y) = 0 \iff x = y$ (비식별자 동일성)

# $d(x, z) \le \max\{d(x, y), d(y, z)\}$ ('''강한 삼각 부등식''' 또는 '''초거리 부등식''' ultrametric inequality^영어)

'''초거리 공간'''은 집합 $M$ 과 $M$ 위의 초거리 함수 $d$ 로 구성된 순서쌍 $(M, d)$ 이다. 이때 함수 $d$ 를 공간의 거리 함수 또는 거리라고 부른다.

만약 함수 $d$ 가 위의 조건 중 세 번째 조건 ' $d(x, y) = 0 \implies x = y$ ' 부분을 제외한 나머지 조건을 모두 만족하면, 즉, $d(x,y)=0$ 일 때 $x=y$ 가 성립하지 않을 수도 있다면, $d$ 는 $M$ 위의 '''초유사거리'''(ultrapseudometric^영어)라고 불린다. '''초유사거리 공간'''은 집합 $M$ 과 $M$ 위의 초유사거리 $d$ 로 구성된 순서쌍 $(M, d)$ 이다.

2. 1. 부치환과의 관계

M이 덧셈에 대해 가환군이고, 길이 함수

\|\cdot\|

를 통해 초거리

d(x,y) = \|x - y\|

가 정의된다고 하자. 이 경우, 초거리 부등식은 다음과 같은 더 강한 형태로 표현될 수 있다.

:

\|x+y\|\le \max \left\{ \|x\|, \|y\| \right\}

특히, 만약

\|x\| \ne \|y\|

이면 위 부등식에서 반드시 등호가 성립한다. 즉,

\|x+y\| = \max \left\{ \|x\|, \|y\| \right\}

이다.

더 일반적으로, M이 부치환 (또는 length function|길이 함수^영어)

|\cdot|

를 갖는 0을 포함하는 순서 가군이고, 그 부치환으로부터 유래하는 거리

d(x, y) = |x - y|

를 생각할 때도 유사한 성질이 성립한다. 이 경우에도 초거리 부등식은 다음과 같은 더 엄격한 형태로 강화될 수 있다.^[9]^[10]

:

|x + y| \le \max\{|x|, |y|\}

마찬가지로, 만약

|x| \ne |y|

이면 반드시 등호가 성립한다. 즉,

|x + y| = \max\

3. 성질

초거리 공간에서 가능한 삼각형. 모든 삼각형은 밑변의 길이가 다른 두 변의 길이보다 크지 않은 이등변 삼각형이다.

초거리 함수는 거리 함수이며, 따라서 초거리 공간은 거리 공간이다.초거리 공간에서, 모든 삼각형은 이등변 삼각형이며, 밑변이 같은 두 변보다 더 길지 않다. 즉, 임의의

x, y, z \in M

에 대하여, 다음 세 조건 가운데 항상 하나 이상이 성립한다.^[1]

$d(x,y) = d(y,z)$
$d(y,z) = d(z,x)$
$d(z,x) = d(x,y)$

초거리 공간

(M,d)

의 열린 공

B(x, r) := \{y \in M \mid d(x,y) < r\}

에 대하여, 다음이 성립한다.^[1]^[11]

열린 공 속의 모든 점은 공의 중심이다. 즉, 만약 $d(x,y) < r$ 라면 $B(x,r) = B(y,r)$ 이다.
서로 교차하는 두 열린 공의 경우, 하나가 다른 하나의 부분 집합이다. 즉, $B(x,r) \cap B(y,s) \ne \varnothing$ 이라면 $B(x,r) \subseteq B(y,s)$ 이거나 $B(y,s) \subseteq B(x,r)$ 이다.
열린 공과 닫힌 공( $<$ 을 $\leq$ 로 대체한 경우)은 모두 유도된 위상에서 열린닫힌집합이다.
반경이 $r > 0$ 인 닫힌 공에 포함된, 중심이 그 닫힌 공 안에 있고 반경이 $r$ 인 열린 공들의 집합은, 원래 닫힌 공의 분할을 형성한다. 또한, 서로 다른 두 열린 공 사이의 거리는 $r$ 이상이다.

이러한 성질들은 모두 초거리 삼각 부등식으로부터 직접 유도될 수 있다. 특히 두 번째 성질은 하나의 공이 거리가 0이 아닌 여러 중심점을 가질 수 있음을 의미하는데, 이는 초거리에서는 강한 삼각 부등식으로 인해 거리가 일반적인 방식으로 합산되지 않기 때문에 나타나는 현상이다.

4. 예

집합 $S$ 위의 이산 거리 공간은 초거리 공간이다.^[1] 즉, 모든 서로 다른 두 점 사이의 거리는 1이고, 같은 점 사이의 거리는 0으로 정의하면 이는 초거리 부등식을 만족한다.
p진수의 공간 $\mathbb{Q}_p$ 는 p진 노름 $|\cdot|_p$ 를 부여하면 완비 초거리 공간을 이룬다.^[1]
알파벳 Σ 위의 단어 집합 Σ^*(유한 또는 무한 길이의 모든 단어 포함)에서, 두 개의 서로 다른 단어 ''w''₁, ''w''₂ 사이의 거리를 $d(w_1, w_2) = 2^{-n}$ 으로 정의할 수 있다. 여기서 ''n''은 두 단어가 처음으로 달라지는 문자의 인덱스이다. 이 거리 함수는 초거리를 정의한다.^[1]
알파벳 Σ 위에서 길이가 ''n''인 단어들의 집합(단, 단어의 끝과 시작이 연결된 것으로 간주)은 ''p''-근접 거리(''p''-close distance)에 대해 초거리 공간을 형성한다. 두 단어 ''x''와 ''y''는, 길이가 ''p'' (''p'' < ''n'')인 모든 연속된 부분 문자열이 ''x''와 ''y''에서 동일한 횟수(0번 포함)로 나타날 때 ''p''-근접하다고 한다.^[2]
만약 ''r'' = (''r_n'')이 0으로 단조롭게 감소하는 실수 수열이라면, $|x|_r := \limsup_{n\to\infty} |x_n|^{r_n}$ 는 유한한 값을 갖는 모든 복소수 수열 ''x'' = (''x_n'')의 공간 위에 초거리를 유도한다. (단, 이 함수는 동차성이 부족하여 반노름은 아니다. 만약 ''r_n'' = 0이 허용된다면, 0⁰ = 0이라는 관례를 사용한다.)^[1]
''G''가 모든 변의 가중치가 양수인 가중 무방향 그래프라고 하자. 두 정점 ''u''와 ''v'' 사이의 거리 ''d''(''u'',''v'')를 ''u''와 ''v''를 잇는 경로 중, 경로 상의 최대 가중치를 갖는 변의 가중치가 최소가 되는 경로(즉, 최소-최대 경로)의 해당 최대 가중치로 정의하면, 이 거리 ''d''에 대해 그래프의 정점 집합은 초거리 공간을 형성한다. 모든 유한 초거리 공간은 이러한 방식으로 표현될 수 있다.^[3]

5. 응용

초거리 공간의 개념은 다양한 분야에서 응용된다.

수축 사상은 계산의 최종 결과를 근사하는 방법으로 생각할 수 있으며, 이는 바나흐 고정점 정리에 의해 존재가 보장된다. 유사한 아이디어는 영역 이론에서도 찾아볼 수 있다.
p진 해석에서는 p진수 거리의 초거리 특성이 중요하게 활용된다. 예를 들어, p진 해석 함수는 복소 해석에서의 함수와 달리 해석적 연속을 통해 정의역을 진정으로 확장할 수 없다.
응집 물질 물리학에서는 스핀 글래스의 SK 모형을 다룰 때 초거리 개념이 사용된다. 조르지오 파리시와 동료들이 제안한 레플리카 이론^[14]에 따르면, 스핀 간의 자기 평균 겹침은 초거리 구조를 나타낸다.^[4] 초거리는 비주기 고체 이론에서도 나타난다.^[5]^[15]
생물 분류학 및 계통수 구성에서도 초거리가 이용된다. 특히 UPGMA 및 WPGMA와 같은 가중되지 않은 결합법은 초거리 거리를 사용한다.^[6]^[15] 이러한 알고리즘은 분자 시계라 불리는 일정한 속도 가정을 전제로 하며, 그 결과 뿌리에서 모든 가지 끝까지의 거리가 동일한 트리를 생성한다.
유체의 3차원 난류 연구에서는 간헐성을 설명하는 캐스케이드 모델, 특히 이진 캐스케이드의 이산 모델이 초거리 구조를 갖는 것으로 알려져 있다.^[7]
지리학 및 경관 생태학에서는 경관의 복잡성을 측정하고, 특정 경관 기능이 다른 기능보다 얼마나 더 중요한지를 평가하는 데 초거리 거리가 적용되었다.^[8]

참조

_[1] 웹사이트 Ultrametric Triangle Inequality https://math.stackex[...]
_[2] 간행물 Clustering of periodic orbits in chaotic systems
_[3] 간행물 Description combinatoire des ultramétriques
_[4] 서적 SPIN GLASS THEORY AND BEYOND World Scientific
_[5] 논문 Ultrametricity for physicists http://rmp.aps.org/a[...] 2011-06-20
_[6] 서적 Numerical Ecology. Second English Edition. Elsevier, Amsterdam
_[7] 논문 Ultrametric Structure of Multiscale Energy Correlations in Turbulent Models
_[8] 논문 Mathematical modelling of land use and landscape complexity with ultrametric topology
_[9] 웹사이트 ultrametric triangle inequality
_[10] 문서
_[11] Stack Exchange Ultrametric Triangle Inequality http://math.stackexc[...]
_[12] 간행물 Clustering of periodic orbits in chaotic systems
_[13] 간행물 Description combinatoire des ultramétriques
_[14] 서적 SPIN GLASS THEORY AND BEYOND World Scientific
_[15] 논문 Ultrametricity for physicists http://rmp.aps.org/a[...] 2011-06-20

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