최대공약수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 계산
5. 확률 및 기대값
6. 환으로의 확장
참조

1. 개요

최대공약수는 두 정수의 공약수 중 가장 큰 수로, gcd(n, m) 또는 (n, m)으로 표기하며, 여러 정수의 경우에도 정의된다. 최대공약수는 약수 관계, 정수 계수 선형 결합, 소인수분해 등을 통해 정의되며, 서로소 정수를 판별하는 데 사용된다. 최대공약수는 여러 가지 성질을 가지며, 유클리드 호제법, 이진 최대공약수 알고리즘, 레머의 알고리즘 등 다양한 계산 방법이 존재한다. 또한, 최대공약수는 확률 및 기대값과 관련이 있으며, 환(ring)으로의 확장도 가능하다.

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최대공약수
개요
정의	두 개 이상의 정수의 공약수 중에서 가장 큰 수이다.
다른 이름	최대공통약수, 최대공통인수
영어	Greatest Common Divisor (GCD)
기호	gcd
예시	gcd(8, 12) = 4
계산 방법
소인수분해	각 수를 소인수 분해하여 공통된 소인수들의 곱을 구한다.
유클리드 호제법	두 수 중 큰 수를 작은 수로 나눈 나머지를 구하고, 작은 수를 나머지로 나누는 과정을 반복하여 나머지가 0이 될 때의 제수가 최대공약수이다.
연속 나눗셈	두 수를 동시에 나눌 수 있는 수로 계속 나누어, 더 이상 나눌 수 없을 때까지 나눈 후, 나눈 수들을 모두 곱한다.
활용
분수 약분	분수에서 분자와 분모의 최대공약수를 구하여 약분한다.
암호	RSA 암호의 기초가 된다.
성질
공약수 관계	두 수의 공약수는 최대공약수의 약수이다.
배수 관계	두 수가 서로소이면 최대공약수는 1이다.
나눗셈 관계	두 수 중 하나가 다른 하나의 배수이면, 작은 수가 최대공약수이다.
결합 법칙	gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)
분배 법칙	gcd(ak, bk) = k * gcd(a, b)
관련 개념
최소공배수	두 개 이상의 정수의 공배수 중에서 가장 작은 수이다.
서로소	최대공약수가 1인 두 수이다.

2. 정의

두 정수 n, m의 '''공약수'''는 n의 약수이자 m의 약수인 정수이다. 모두 0이 아닌 두 정수 n, m의 '''최대공약수'''는 다음의 정의를 가지며, 서로 동치이다.

n, m의 가장 큰 공약수
n, m의 공약수이자, n, m의 모든 공약수의 배수인 양의 정수
n, m의 정수 계수 선형 결합인 최소 양의 정수

모두 0이지는 않은 두 정수의 최대공약수는 항상 존재하며 유일하다. 최대공약수는 일반적으로 gcd(n, m) 또는 (n, m)으로 표기한다.

여러 정수 n₁, n₂, ..., nₖ의 '''공약수'''는 이들의 공통 약수이며, 모두 0이지는 않은 여러 정수의 '''최대공약수'''는 다음의 정의를 가지며, 서로 동치이다. 이는 항상 유일하게 존재한다.

가장 큰 공약수
공약수이자, 모든 공약수의 배수인 양의 정수
정수 계수 선형 결합인 최소 양의 정수
(재귀적 정의) gcd(gcd(gcd(⋯gcd(gcd(n₁, n₂), n₃)⋯), nₖ₋₁)nₖ)

최대공약수가 1인 정수들을 '''서로소'''라고 한다.

a와 b 중 하나가 0이면, 최대공약수는 0이 아닌 정수의 절댓값이다. 이는 유클리드 호제법의 종료 단계로 중요하다.

a와 b의 최대공약수는 약수의 전순서 관계에서 그들의 가장 큰 원소인 양의 공약수이다. 이것은 a와 b의 공약수가 정확히 그들의 최대공약수의 약수임을 의미한다.

54와 24의 예를 들어 보자.

54의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
24의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
54와 24의 공약수: 1, 2, 3, 6
최대공약수: 6 (gcd(54, 24) = 6)

3. 성질

약수 관계는 최대공약수를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $n\mid m\iff\gcd\{n,m\}=n$

공약수는 최대공약수의 약수와 동치이다.

: $k\mid n,m\iff k\mid\gcd\{n,m\}$

: $k\mid n_1,n_2,\dots,n_t\iff k\mid\gcd\{n_1,n_2,\dots,n_t\}$

최대공약수는 정수 계수 선형 결합으로 나타낼 수 있는 최소 양의 정수이다.

: $\gcd\{n,m\}=\min\{an+bm>0\colon a,b\in\mathbb Z\}$

: $\gcd\{n_1,n_2,\dots,n_t\}=\min\{a_1n_1+a_2n_2+\cdots+a_tn_t>0\colon a_1,a_2,\dots,a_t\in\mathbb Z\}$

최대공약수는 음이 아닌 정수 $k$ 에 대하여 다음과 같다.

: $\gcd\{nk,mk\}=\gcd\{n,m\}k$

: $\gcd\{n_1k,n_2k,\dots,n_tk\}=\gcd\{n_1,n_2,\dots,n_k\}k$

: $\gcd\left\{\frac nk,\frac mk\right\}=\frac{\gcd\{n,m\}}k\qquad(k\mid n,m)$

: $\gcd\left\{\frac{n_1}k,\frac{n_2}k,\dots,\frac{n_t}k\right\}=\frac{\gcd\{n_1,n_2,\dots,n_t\}}k\qquad(k\mid n_1,n_2,\dots,n_t)$

특히, 정수들을 최대공약수로 나눈 몫들은 서로소다.

: $\gcd\left\{\frac n{\gcd\{n,m\}},\frac m{\gcd\{n,m\}}\right\}=1$

: $\gcd\left\{\frac{n_1}{\gcd\{n_1,n_2,\dots,n_t\}},\frac{n_2}{\gcd\{n_1,n_2,\dots,n_t\}},\dots,\frac{n_t}{\gcd\{n_1,n_2,\dots,n_t\}}\right\}=1$

소인수분해가 주어진 정수들의 최대공약수는 공통된 소인수의 최소 지수 거듭제곱의 곱이다. 두 정수의 경우 소인수분해가 다음과 같다고 하자.

: $n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_t^{e_t}$

: $m=p_1^{f_1}p_2^{f_2}\cdots p_t^{f_t}$

: $e_1,e_2,\dots,e_t,f_1,f_2,\dots,f_t\in\mathbb Z_{\ge0}$

그렇다면, 최대공약수는 다음과 같다.

: $\gcd\{n,m\}=p_1^{\min\{e_1,f_1\}}p_2^{\min\{e_2,f_2\}}\cdots p_t^{\min\{e_t,f_t\}}$

두 정수의 최대공약수와 최소공배수의 관계는 다음과 같다.

: $\gcd\{n,m\}\operatorname{lcm}\{n,m\}=nm$

최대공약수는 교환 함수이다.

: $\gcd(a,b) = \gcd(b,a)$

최대공약수는 결합 함수이다.

: $\gcd(a, \gcd(b,c)) = \gcd(\gcd(a,b),c)$

따라서 $\gcd(a,b,c,...)$ 는 여러 인수의 최대공약수를 나타내는 데 사용할 수 있다.

다음 형태의 분배 법칙이 성립한다.

: $\gcd(a, \operatorname{lcm}(b,c)) = \operatorname{lcm}(\gcd(a,b),\gcd(a,c))$

: $\operatorname{lcm}(a, \gcd(b,c)) = \gcd(\operatorname{lcm}(a,b),\operatorname{lcm}(a,c))$

오일러 피 함수를 포함하는 항등식은 다음과 같다.

: $\gcd(a,b) = \sum_{k|a \text{ and } k|b} \varphi(k)$

토메 함수 $f$ 를 사용하면,

: $\gcd(a,b) = af\left(\frac b a\right)$

최대공약수 합산 함수(Pillai의 산술 함수)는 다음과 같다.

: $\sum_{k=1}^n \gcd(k,n) = \sum_{d|n} d \phi \left( \frac n d \right) =n\sum_{d|n}\frac{\varphi(d)}{d} =n\prod_{p|n}\left(1+\nu_p(n)\left(1-\frac{1}{p}\right)\right)$ 여기서 $\nu_p(n)$ 은 $p$ -진 평가이다.

4. 계산

최대공약수는 각 정수의 약수를 구하고, 공통되는 약수를 찾은 후, 가장 큰 것을 선택하여 계산할 수 있다. 예를 들어 12와 18의 경우, 12의 모든 약수는 (±) 1, 2, 3, 4, 6, 12이며, 18의 모든 약수는 (±) 1, 2, 3, 6, 9, 18이므로, 공약수는 (±) 1, 2, 3, 6이다. 이 중 가장 큰 6이 최대공약수이다.

다른 방법으로는 소인수분해를 이용하는 방법이 있다. 예를 들어, 두 수 192와 72의 최대공약수를 구하기 위해 소인수분해를 하면 다음과 같다.

192 = 2⁶ × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
72 = 2³ × 3² = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

두 소인수분해 결과에서 공통된 부분을 찾으면 2가 세 번, 3이 한 번 중복된다. 따라서 2 × 2 × 2 × 3 = 24가 최대공약수이다. 그러나 소인수분해는 큰 수에 대해서는 효율적이지 않은 방법이다.

유클리드 호제법, 이진 최대공약수 알고리즘, 레머의 최대공약수 알고리즘 등 더 효율적인 방법들이 존재한다. 이진 최대공약수 알고리즘은 컴퓨터에서 이진법 표현에 적합하며, 레머의 최대공약수 알고리즘은 큰 숫자에 효율적이다. (각 방법에 대한 자세한 설명은 해당 항목을 참조)

4. 1. 유클리드 호제법

유클리드가 최대공약수를 계산하기 위해 제시한 방법은 두 양의 정수 a와 b가 주어지고 a > b 일 때, a와 b의 공약수는 a - b와 b의 공약수와 같다는 사실에 기반한다.^[27]

따라서 두 양의 정수의 최대공약수를 계산하는 유클리드 방법은 더 큰 수를 두 수의 차이로 바꾸고, 두 수가 같아질 때까지 이를 반복하는 것이다. 즉, 두 수가 최대공약수가 된다.

예를 들어, gcd(48,18)를 계산하려면 다음과 같이 진행한다.

:

\begin{align}\gcd(48,18)\quad&\to\quad \gcd(48-18, 18)= \gcd(30,18)\\&\to \quad \gcd(30-18, 18)= \gcd(12,18)\\&\to \quad \gcd(12,18-12)= \gcd(12,6)\\&\to \quad \gcd(12-6,6)= \gcd(6,6).\end{align}

따라서 gcd(48, 18) = 6이다.

이 방법은 한 숫자가 다른 숫자보다 훨씬 클 경우 매우 느릴 수 있다. 따라서 다음 변형이 일반적으로 선호된다.

유클리드 알고리즘을 사용하여 62와 36의 최대공약수를 구하는 애니메이션. 최대공약수는 2이다.

더 효율적인 방법은 ''유클리드 알고리즘''인데, 이는 두 수 a와 b의 차이를 a를 b로 나눈 유클리드 나눗셈 (또는 ''나머지가 있는 나눗셈'')의 ''나머지''로 대체하는 변형이다.

이 나머지를 a mod b로 표시하면, 알고리즘은 (a, b)를 (b, a mod b)로 반복적으로 대체하여 쌍이 (d, 0)이 될 때까지 진행하며, 여기서 d는 최대공약수이다.

예를 들어, gcd(48,18)을 계산하면 다음과 같다.

:

\begin{align}\gcd(48,18)\quad&\to\quad \gcd(18, 48\bmod 18)= \gcd(18, 12)\\&\to \quad \gcd(12, 18\bmod 12)= \gcd(12,6)\\&\to \quad \gcd(6,12\bmod 6)= \gcd(6,0).\end{align}

다시 gcd(48, 18) = 6을 얻는다.

예를 들어, 333과 57의 최대공약수를 유클리드 호제법으로 구해보자.^[36] 333 = 57 × 5 + 48이므로 gcd(333,57) = gcd(57,48)이다. 57 = 48 × 1 + 9이므로 gcd(57,48) = gcd(48,9)이다. 48 = 9 × 5 + 3이므로 gcd(48,9) = gcd(9,3)이다. 9 = 3 × 3 + 0이므로 gcd(9,3) = gcd(3,0) = 3이며, 최대공약수가 3임이 밝혀졌다.

4. 2. 이진 최대공약수 알고리즘

이진 최대공약수 알고리즘은 대부분의 컴퓨터에서 사용되는 숫자의 이진법 표현에 특별히 적합하도록 개량된 유클리드 알고리즘의 변형이다. 이진 최대공약수 알고리즘은 계산 중에 만나는 모든 짝수를 2로 나누는 방식으로 유클리드 알고리즘과 근본적으로 다르다. 이 효율성은 이진법 표현에서 짝수와 홀수를 구별하는 것이 가장 오른쪽 자릿수를 확인하는 것으로, 2로 나누는 것이 가장 오른쪽 자릿수를 제거하는 것으로 구성된다는 사실에서 비롯된다.

이진 최대공약수 알고리즘은 다음과 같이 동작한다.

# 최대공약수를 구하려는 두 개의 양의 정수 ''a''와 ''b''로 시작한다.

# ''a''와 ''b''가 모두 짝수라면, 둘 중 적어도 하나가 홀수가 될 때까지 둘 다 2로 나눈다. 이러한 쌍으로 나눈 횟수를 ''d''라고 한다.

# 만약 ''a''가 짝수라면, 홀수가 될 때까지 2로 나눈다.

# 만약 ''b''가 짝수라면, 홀수가 될 때까지 2로 나눈다.

#: 이제 ''a''와 ''b''는 모두 홀수이며, 계산이 끝날 때까지 홀수로 유지된다.

# ''a'' ≠ ''b''인 동안

#* 만약 ''a'' > ''b''라면, ''a''를 ''a'' – ''b''로 바꾸고 ''a''가 홀수가 될 때까지 결과를 2로 나눈다 (''a''와 ''b''가 모두 홀수이므로, 적어도 한 번은 2로 나눈다).

#* 만약 ''a'' < ''b''라면, ''b''를 ''b'' – ''a''로 바꾸고 ''b''가 홀수가 될 때까지 결과를 2로 나눈다.

# 이제 1=''a'' = ''b''이고, 최대공약수는

2^d a

이다.

1단계는 ''a''와 ''b''를 나누는 2의 최고 거듭제곱을 ''d''로 결정하고, 따라서 최대공약수를 결정한다. 어떤 단계도 ''a''와 ''b''의 홀수 공약수의 집합을 변경하지 않는다. 이는 알고리즘이 멈출 때 결과가 정확함을 보여준다. 각 단계가 최소한 한 개의 피연산자를 최소한 2로 나누기 때문에 알고리즘은 결국 멈춘다. 또한, 2로 나누는 횟수, 즉 뺄셈 횟수는 총 자릿수보다 많지 않다.

예: (''a'', ''b'', ''d'') = (48, 18, 0) → (24, 9, 1) → (12, 9, 1) → (6, 9, 1) → (3, 9, 1) → (3, 3, 1); 원래 GCD는 2^''d'' = 2¹과 ''a'' = ''b'' = 3의 곱인 6이다.

이진 최대공약수 알고리즘은 특히 구현하기 쉽고, 이진 컴퓨터에서 특히 효율적이다. 계산 복잡도는 다음과 같다.

:

O((\log a + \log b)^2).

이 복잡도에서 제곱은 2로 나누기와 뺄셈이 입력의 비트 수에 비례하는 시간을 차지한다는 사실에서 비롯된다.

계산 복잡도는 일반적으로 입력의 길이 ''n''으로 표현된다. 여기서 이 길이는 1=''n'' = log ''a'' + log ''b''이며, 복잡도는 다음과 같다.

:

O(n^2)

.

4. 3. 레머의 최대공약수 알고리즘

레머의 알고리즘은 유클리드 호제법에 의해 생성된 초기 몫이 처음 몇 자리 숫자만을 기반으로 결정될 수 있다는 관찰에 기반을 두고 있다. 이는 컴퓨터 워드보다 큰 숫자에 유용하다. 본질적으로, 일반적으로 하나 또는 두 개의 컴퓨터 워드를 형성하는 초기 숫자를 추출하고, 몫이 원래 숫자에서 얻는 것과 동일하게 보장되는 한 이 작은 숫자에 대해 유클리드 호제법을 실행한다. 몫은 원래 숫자를 줄이기 위해 작은 2x2 변환 행렬(단일 워드 정수의 행렬)로 수집된다. 이 프로세스는 이진 알고리즘(아래 참조)이 더 효율적일 만큼 숫자가 작아질 때까지 반복된다.

이 알고리즘은 매우 큰 숫자에 대한 연산 수를 줄이고 대부분의 연산에 하드웨어 산술을 사용할 수 있기 때문에 속도를 향상시킨다. 사실, 대부분의 몫은 매우 작으므로 유클리드 호제법의 상당한 수의 단계를 단일 워드 정수의 2x2 행렬로 수집할 수 있다. 레머의 알고리즘이 너무 큰 몫을 만나면 큰 숫자의 유클리드 나눗셈으로 유클리드 호제법의 한 번의 반복으로 다시 돌아가야 한다.

5. 확률 및 기대값

James E. Nymann^영어은 1972년에 k개의 정수를 {1, ..., n}에서 독립적이고 균등하게 선택할 때, n이 무한대로 갈 때 서로소일 확률이 1/ζ(k)임을 보였다. 여기서 ζ는 리만 제타 함수를 나타낸다.^[23] (유도 과정은 서로소 참고). 1987년에 이 결과는 k개의 무작위 정수의 최대공약수가 d일 확률이 d^-k/ζ(k)임을 보여주는 것으로 확장되었다.^[24]

이 정보를 사용하면, k = 2일 때 최대공약수 함수의 기댓값은 (비공식적으로) 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다. 이 경우 최대공약수가 d일 확률은 d^-2/ζ(2)이며, ζ(2) = π²/6이므로 다음을 얻는다.

: $\mathrm{E}( \mathrm{2} ) = \sum_{d=1}^\infty d \frac{6}{\pi^2 d^2} = \frac{6}{\pi^2} \sum_{d=1}^\infty \frac{1}{d}.$

이 마지막 합은 조화 급수이며, 발산한다. 그러나 k ≥ 3일 때는 기댓값이 잘 정의되며, 위의 논증에 의해 다음과 같다.

: $\mathrm{E}(k) = \sum_{d=1}^\infty d^{1-k} \zeta(k)^{-1} = \frac{\zeta(k-1)}{\zeta(k)}.$

k = 3일 때, 이는 대략 1.3684와 같다. k = 4일 때, 이는 대략 1.1106이다.

6. 환으로의 확장

환론에서, 최대공약수의 개념은 가환환으로 확장될 수 있다. 가환환 R의 두 원소 a와 b의 최대공약수 d는 다음 두 조건을 만족하는 원소이다.

d는 a와 b의 공약수이다. 즉, R의 원소 x와 y가 존재하여 dx = a, dy = b를 만족한다.
a와 b의 임의의 공약수는 d의 약수이다.

그러나 이렇게 정의하면, 최대공약수는 유일하지 않거나, 두 원소가 모두 0이 아니더라도 존재하지 않을 수 있다. 정역에서는 최대공약수가 존재한다면 서로 동반(associated) 관계이다. 유일 인수 분해 정역에서는 영이 아닌 두 원소에 대해 항상 최대공약수가 존재한다.

GCD 정역은 모든 두 원소에 대해 최대공약수가 존재하는 정역이다. 특히, 유일 인수 분해 정역은 GCD 정역이다. 단항 이데알 정역에서는 원소

a_1,\dots,a_n

에 대해

(a_1,\dots,a_n)=(\gcd(a_1,\dots,a_n))=(a_1)+\cdots+(a_n)

이 성립한다. 더 나아가, 유클리드 정역에서는 유클리드 호제법을 이용하여 최대공약수를 계산할 수 있다.^[26]

베주 항등식에 따라, 임의의 가환환에서 p와 q의 형태로 표현되는 원소 집합은 a와 b에 의해 생성된 아이디얼이며, (a, b)로 표시된다. 모든 아이디얼이 주 아이디얼인 환(주 아이디얼 정역)에서, 이 아이디얼은 어떤 환 원소 d의 배수 집합과 동일하며, 이 d는 a와 b의 최대공약수가 된다.

참조

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