특수 유니터리 군

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1. 개요

특수 유니터리 군은 체 위의 벡터 공간과 반쌍선형 형식을 사용하여 정의되는 특수선형군의 부분군이다. 특히 복소수체에서 정의된 특수 유니터리 군 SU(n)은 유니터리 군 U(n)의 원소 중 행렬식이 1인 행렬들의 집합으로 정의되며, 단순 리 군이자 콤팩트하고 단일 연결 공간이다. SU(n)은 다양한 군과의 관계를 가지며, 물리학, 특히 입자물리학의 표준 모형에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, SU(3)은 강한 상호작용의 색깔 대칭성을 나타내며, SU(2)는 약한 상호작용의 아이소스핀 대칭성을 나타낸다.

특수 유니터리 군

개요

종류	리 군
차원	n² - 1
기본군	n = 2일 때: Z/2Z n > 2일 때: 자명군

정의

정의	행렬식이 1인 n × n 유니타리 행렬의 군
기호	SU(n)
관련 군	U(n)

예시

SU(1)	자명군
SU(2)	사원수로 표현 가능, SO(3)와 위상 공간적으로 동일
SU(3)	양자 색역학에 사용

성질

성질	콤팩트 연결 단순 리 군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 리 대수 (Lie Algebra)
3. 성질
4. 표현론 (Representation Theory)
5. 응용

2. 정의

체 $K$ 가 자기 동형 $\bar{\quad}\colon K\to K$ 를 갖는다고 가정하자. $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 와, $V$ 위에 정의된 비퇴화 반쌍선형 형식
: $Q\colon V\times V\to K$
: $Q(au+bv,w)=\bar aQ(u,w)+\bar bQ(v,w)$
: $Q(w,au+bv)=aQ(w,a)+bQ(w,b)$
가 주어졌을 때, 특수 유니터리 군 $\operatorname{SU}(V,Q)$ 는 다음 조건을 만족하는 특수선형군 원소들의 집합으로 구성되는 군이다.
: $\operatorname{SU}(V,Q)=\{M\in\operatorname{SL}(V)\colon Q(Mu,Mv)=Q(u,v)\forall u,v\in V\}$

만약 $V$ 가 $n$ 차원 벡터 공간이고, $Q$ 가 항등 이차 형식
: $Q(u,v)=\sum_{i=1}^n\bar uv$
일 경우, 이를 $\operatorname{SU}(n;K)$ 로 표기한다. $K$ 를 생략하는 경우, $K=\mathbb C$ (복소수체)를 의미한다.

$K=\mathbb C$ 이고, 자기 동형이 복소수 켤레이며, $V$ 가 $(p+q)$ 차원 복소수 벡터 공간이고, $Q$ 의 계량 부호수가 $(p,q)$ 인 경우, 이를 $\operatorname{SU}(p,q)$ 로 표기한다.

2.1. 리 대수 (Lie Algebra)

$\operatorname{SU}(n;K)$ 의 리 대수 $\mathfrak{su}(n;K)$ 는 $n\times n$ 반에르미트 행렬들로 구성된다. 여기서 반에르미트 행렬이란, 어떤 행렬에 각 성분별로 켤레를 취한 뒤 전치 행렬을 취했을 때, 원래 행렬에 음의 부호(-)를 취한 것과 같은 행렬을 의미한다.

특히, $\mathfrak{su}(2)$ 는 파울리 행렬로 생성되며, $\mathfrak{su}(3)$ 는 겔만 행렬로 생성된다.

$\mathfrak{su}(2n;\mathbb C)$ 의 경우, $\mathfrak{su}^*(2n)$ 또는 $\mathfrak{sl}(n;\mathbb H)$ 로 표기되는 특별한 실수 형태가 존재한다. 이는 사원수를 이용하여 표현할 수 있다.

물리학에서, 리 대수는 대각합이 0인 에르미트 행렬 복소 행렬의 집합으로 표현할 수 있다. 이 때 리 괄호는 교환자에 $i$ 를 곱한 값으로 주어진다.

$SU(2)$ 군의 경우 생성자는 $\frac{1}{2} \sigma_1, \frac{1}{2} \sigma_2, \frac{1}{2} \sigma_3$ 로 선택되며 여기서 $\sigma_a$ 는 파울리 행렬이다.

$SU(3)$ 의 경우, 리 대수 $\mathfrak{su}(3)$ 의 생성자 $T_a$ 는 다음과 같이 겔만 행렬의 1/2배로 주어진다.

: $T_a = \frac{\lambda_a}{2}$

여기서 $\lambda_a$ 는 겔만 행렬이다.

: $\begin{align}\lambda_1 ={} &\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, &\lambda_2 ={} &\begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, &\lambda_3 ={} &\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \\[6pt]\lambda_4 ={} &\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, &\lambda_5 ={} &\begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}, \\[6pt]\lambda_6 ={} &\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, &\lambda_7 ={} &\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}, &\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}}&\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.\end{align}$

이들은 다음 관계를 따른다.

: $\begin{align}\left[T_a, T_b\right] &= i \sum_{c=1}^8 f_{abc} T_c, \\\left\{T_a, T_b\right\} &= \frac{1}{3} \delta_{ab} I_3 + \sum_{c=1}^8 d_{abc} T_c,\end{align}$

여기서 구조 상수 $f_{abc}$ 와 대칭 계수 $d_{abc}$ 는 다음과 같다.

: $\begin{align}f_{123} &= 1, \\f_{147} = -f_{156} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = -f_{367} &= \frac{1}{2}, \\f_{458} = f_{678} &= \frac{\sqrt{3}}{2},\end{align}$

: $\begin{align}d_{118} = d_{228} = d_{338} = -d_{888} &= \frac{1}{\sqrt{3}} \\d_{448} = d_{558} = d_{668} = d_{778} &= -\frac{1}{2\sqrt{3}} \\d_{344} = d_{355} = -d_{366} = -d_{377} = -d_{247} = d_{146} = d_{157} = d_{256} &= \frac{1}{2} ~.\end{align}$

$\mathfrak{su}(n)$ 의 복소화는 대각합이 0인 모든 $n \times n$ 복소 행렬의 공간인 $\mathfrak{sl}(n; \mathbb{C})$ 이다. 카르탕 부분 대수는 대각합이 0인 대각 행렬로 구성된다. 근계는 $(1, -1, 0, \dots, 0)$ 의 모든 순열로 구성된다.

단순근은 다음과 같다.

: $\begin{align}(&1, -1, 0, \dots, 0, 0), \\(&0, 1, -1, \dots, 0, 0), \\&\vdots \\(&0, 0, 0, \dots, 1, -1).\end{align}$

따라서, $SU(n)$ 의 계수는 $n-1$ 이고, 드킨 다이어그램은 $A_{n-1}$ 로 주어지며, 이는 $n-1$ 개의 노드로 구성된 체인이다. 이의 카르탕 행렬은 다음과 같다.

: $\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 & \dots & 0 \\-1 & 2 & -1 & \dots & 0 \\0 & -1 & 2 & \dots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \dots & 2\end{pmatrix}.$

이의 바일 군은 $n$ 개의 원소에 대한 대칭군 $S_n$ 이다.

3. 성질

특수 유니터리 군 $\operatorname{SU}(n)$ 은 다음과 같은 성질을 갖는다.

* $n^2 - 1$ 차원의 단순 리 군이다.
* 콤팩트하고 단일 연결이다.
* 랭크는 $n-1$ 이다.
* 중심은 순환군 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 와 동형이다.
* 외부 자기 동형 군은 $n \ge 3$ 에 대해서는 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 이며, $\operatorname{SU}(2)$ 의 외부 자기 동형 군은 자명한 군이다.
* 리 대수 $\mathfrak{su}(n)$ 는 대각합이 0인 반 에르미트 $n \times n$ 복소 행렬의 집합으로 표현할 수 있다.

3.1. 군론적 성질

특수 유니터리 군의 중심은 다음과 같은 순환군이다.
: $\operatorname Z(\operatorname{SU}(n))=\{\exp(2\pi ik/n)1_{n\times n}\colon k=0,1,\dots,n-1\}\cong\mathbb Z/n$
중심에 대한 몫군을 사영 특수 유니터리 군(projective special unitary group^영어)이라고 한다.
: $1\to\mathbb Z/n\cong\operatorname Z(\operatorname{SU}(n))\to\operatorname{SU}(n)\to\operatorname{PSU}(n)\to1$
의 중심은 순환군 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 와 동형이며, 가 차 단위근이고 가 항등 행렬인 대각 행렬 로 구성된다.

3.2. 리 이론적 성질

SU(n)은 n²-1차원 단순 리 군이며, 계수는 n-1이다. 단순 리 군의 분류에 따른 표기는 A_n-1이며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

: $\bullet-\bullet-\cdots-\bullet$

SU(n)의 바일 군은 대칭군 Sym(n)이다.

SU(n)은 엄밀히 실수 리 군(보다 일반적인 복소 리 군과 비교)이며, 다양체로서의 차원은 n² − 1이다. 위상적으로, 콤팩트하며 단일 연결이다. 대수적으로, 이는 단순 리 군이다(즉, 리 대수가 단순하다).

랭크 n − 1의 극대 토러스는 행렬식이 1인 대각 행렬 집합으로 주어진다. SU(n)의 바일 군은 대칭군 S_n이며, 이는 부호 있는 치환 행렬로 표현된다(부호는 행렬식이 1이 되도록 하는 데 필요하다).

SU(n)의 리 대수는 $\mathfrak{su}(n)$ 로 표시되며, 정규 교환자를 리 괄호로 사용하여 대각합이 0인 반 에르미트 n × n 복소 행렬의 집합으로 식별할 수 있다.

3.3. 위상수학적 성질

$\operatorname{SU}(n)$ 은 콤팩트 공간이며 연결 공간이자 단일 연결 공간이다.

$\operatorname{SU}(2)$ 는 3차원 초구 $\mathbb S^3$ 와 위상동형이다.

$\operatorname{SU}(3)$ 는 단일 연결 공간인 콤팩트 리 군이다.

3.4. 다른 군과의 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

* $\operatorname{SO}(2n)\supset\operatorname{SU}(n)$ : 복소수를 2×2 실수 행렬로 간주한다.
* $\operatorname{SU}(n)\supset\operatorname{SO}(n)$ : 실수 $n\times n$ 행렬을 복소수 $n\times n$ 행렬의 특수한 경우로 간주한다.
* $\operatorname{SU}(n+1)\supset\operatorname{U}(n)$
* $\operatorname{SU}(2n)\supset\operatorname{USp}(2n)$
* $E_7\supset\operatorname{SU}(8)/(\mathbb Z/2)$
* $E_8\supset\operatorname{SU}(9)/(\mathbb Z/3)$
* $G_2\supset\operatorname{SU}(3)$

낮은 차수의 특수 유니터리 군에 대하여, 다음과 같은 예외적 동형(exceptional isomorphism^영어)이 성립한다.

* $\operatorname{SU}(1)\cong1$
* $\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{Spin}(3)$
* $\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)$
* $\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{Spin}(4)$
* $\left(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\right)/(\mathbb Z/2)\cong\operatorname{SO}(4)$
* $\operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{Spin}(6)$
* $\operatorname{SU}(4)/(\mathbb Z/2)\cong\operatorname{SO}(6)$
* $\operatorname{PSU}(4)\cong\operatorname{PSO}(6)$

물리학에서 대칭 깨짐 이론에서 특수 유니터리 군의 부분군을 찾는 것이 중요하다. GUT 물리학에서 중요한 $\operatorname{SU}(n)$ 의 부분군은 $p>1$ , $n-p>1$ 에 대해 다음과 같다.

: $\operatorname{SU}(n) \supset \operatorname{SU}(p) \times \operatorname{SU}(n - p) \times \operatorname{U}(1)$

여기서 ×는 직접곱을 나타내고, $\operatorname{U}(1)$ 은 원군으로 알려져 있으며, 절댓값이 1인 모든 복소수의 곱셈군이다.

완전성을 위해, 다음과 같은 직교 및 심플렉틱 부분군도 있다.

: $\begin{align}\operatorname{SU}(n) &\supset \operatorname{SO}(n) \\\operatorname{SU}(2n) &\supset \operatorname{Sp}(n)\end{align}$

$\operatorname{SU}(n)$ 의 랭크는 $n-1$ 이고 $\operatorname{U}(1)$ 의 랭크는 1이므로, 부분군의 랭크 합이 원래 군의 랭크보다 작거나 같다는 것을 확인하는 것이 유용하다. $\operatorname{SU}(n)$ 은 다양한 다른 리 군의 부분군이다.

: $\begin{align}\operatorname{SO}(2n) &\supset \operatorname{SU}(n) \\\operatorname{Sp}(n) &\supset \operatorname{SU}(n) \\\operatorname{Spin}(4) &= \operatorname{SU}(2) \times \operatorname{SU}(2) \\\operatorname{E}_6 &\supset \operatorname{SU}(6) \\\operatorname{E}_7 &\supset \operatorname{SU}(8) \\\operatorname{G}_2 &\supset \operatorname{SU}(3)\end{align}$

또한 다음의 우연적 동형이 있다.

* $\operatorname{Spin}(6) = \operatorname{SU}(4)$
* $\operatorname{Spin}(4) = \operatorname{SU}(2)\times \operatorname{SU}(2)$
* $\operatorname{Spin}(3) = \operatorname{SU}(2)=\operatorname{USp}(2)$

마지막으로 $\operatorname{SU}(2)$ 는 $\operatorname{SO}(3)$ 의 이중 덮개 군이며, 이는 비상대론적 양자역학에서 2-스피너의 회전 이론에서 중요한 역할을 한다.

4. 표현론 (Representation Theory)

$\operatorname{SU}(n)$ 의 유한 차원 연속 표현들은 영 타블로에 의하여 분류된다. 이 경우, 정의 표현(defining representation^영어) $\square$ 은 $n$ 차원 표현이며, 그 켤레 $\bar\square$ 역시 $n$ 차원 표현이다. 또한, $n^2-1$ 차원 딸림 표현이 항상 존재한다.

$\operatorname{SU}(2)$ 의 표현들은 매우 간단하며, 반정수 $j\in\tfrac12\mathbb Z$ 에 의하여 분류된다. 이를 표현의 스핀이라고 한다. 표현들의 텐서곱의 분해는 클렙슈-고르단 계수에 의하여 정해진다. 딸림 표현에서, 생성자는 $(n^2-1) \times (n^2-1)$ 행렬로 표현되며, 그 원소는 구조 상수 자체에 의해 정의된다.

: $\left(T_a\right)_{jk} = -if_{ajk}.$

SU(3)의 클레브쉬-고르단 계수도 참조.

$\operatorname{SU}(3)$ 의 표현론은 잘 알려져 있다. 이러한 표현에 대한 설명은 복소화된 리 대수 $\mathfrak{sl}(3; \mathbb{C})$ 의 관점에서 리 대수 표현 또는 SU(3)에 대한 클레브쉬-고르단 계수 기사에서 찾을 수 있다.

5. 응용

SU(n)은 입자물리학의 표준 모형에서 중요한 역할을 한다. 특히, SU(2)는 약전자기력을 기술하는 데 사용되고, SU(3)은 양자 색역학을 설명하는 데 사용된다.

SU(3)는 강한 상호작용의 색깔 대칭성을 나타내며, 쿼크와 글루온의 상호작용을 설명한다. SU(2)는 약한 상호작용의 아이소스핀 대칭성을 나타내며, W와 Z 보손의 상호작용을 설명한다.

대통일 이론(GUT)에서는 SU(5), SO(10) 등 더 큰 군을 통해 강한 상호작용, 약한 상호작용, 전자기력을 통합하려는 시도가 이루어지고 있다.