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윌슨 고리

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목차

1. 개요

윌슨 고리는 게이지 이론에서 사용되는 연산자로, 게이지 퍼텐셜과 폐곡선을 사용하여 정의된다. 윌슨 고리는 게이지 불변성을 가지며, 쿼크 가둠, 쿼크 글루온 플라즈마와 같은 물리적 현상을 연구하는 데 활용된다. 격자 게이지 이론에서 윌슨 고리는 격자 위의 게이지장을 구성하는 데 사용되며, 가두어진 상과 가두어지지 않은 상 사이의 상전이에 대한 질서 변수로 작용한다. 윌슨 고리는 산란 진폭, 끈 이론 축소화, 위상 양자장론 등 다양한 분야에서 응용되며, 한국에서도 양자색역학 상전이, 중이온 충돌, 강상호작용 연구 등 다양한 연구에 활용된다.

2. 정의

게이지 퍼텐셜 A를 가진 게이지 이론을 생각하자. R가 게이지 군의 표현이고, C가 폐곡선이라고 할 때, C를 따른 '''윌슨 고리''' W_C는 다음과 같이 정의된다.

:W_C=\operatorname{tr}_R\operatorname{\mathcal{P}}\exp i\oint_C A\cdot dx.

여기서 \mathcal P는 경로순서(path-ordering영어) 연산자이다. 경로순서 연산자는 게이지 장의 비가환성 때문에 경로에 따라 값이 달라지는 것을 고려하기 위해 도입된 연산자이다. 윌슨 고리는 대각합 연산자에 의해 게이지 불변 연산자이다.

2. 1. 수학적 정의

게이지 퍼텐셜 A를 가진 게이지 이론을 생각하자. R가 게이지 군의 표현이고, C가 폐곡선이라고 할 때, C를 따른 윌슨 고리 W_C는 다음과 같이 정의된다.

:W_C=\operatorname{tr}_R\operatorname{\mathcal{P}}\exp i\oint_C A\cdot dx.

여기서 \mathcal P는 경로순서(path-ordering영어) 연산자이다. 윌슨 고리는 대각합 연산자에 의해 게이지 불변 연산자이다.

윌슨 고리는 게이지 군의 원소이며, 이 원소의 지표는 무한히 많은 기약 표현의 지표로 나타낼 수 있다. A_\mu\,dx^\mu는 일반적으로 에르미트적(자기 수반)이다.

A를 주 G-다발상의 접속 형식으로 간주하면, 위 방정식은 리 군 G의 원소를 주는 루프를 도는 단위원의 평행 이동으로 이해할 수 있다. 경로 순서 지수는 물리학에서 사용되는 표기법이지만, 수학에서는 접속의 홀로노미로 나타낸다.

T=0 에서는 윌슨 루프 변수를 통해 쿼크 가둠을 풀 수 있다. 유한 온도 QCD에서 윌슨 루프의 열적 기대값은 쿼크 글루온 플라즈마와 가두어진 하드론 상을 식별한다.

2. 2. 윌슨 선 (Wilson line)

윌슨 선(Wilson line) 변수 W_C는 닫힌 곡선(루프)을 따라 움직이는 게이지장 A_\mu의 경로 순서 지수(path-ordered exponential)의 트레이스(trace)로 정의된다.[9] 이는 닫힌 경로에 대한 윌슨 고리의 일반화된 개념이며, 윌슨 고리는 닫힌 경로를 전제로 하지만 윌슨 선은 열린 경로에도 적용될 수 있다.[5]

윌슨 선은 다음과 같이 표현된다.

:W_C := \mathrm{Tr}\,(\, \mathcal{P}\exp i \oint_C A_\mu dx^\mu \,)\,.

여기서 C는 공간 내의 곡선이고, \mathcal{P}는 경로 순서(path-ordering) 작용소이다. 순환 치환(cyclic permutation) 아래의 트레이스(trace)의 불변성은 W_C가 게이지 변환 아래에서 불변임을 보장한다.[9] 즉, 윌슨 선은 서로 다른 시공간 점에 있는 물질 장을 게이지 불변인 방식으로 비교하는 데 사용될 수 있다.

게이지 변환은 다음과 같다.

:\mathcal{P}e^{i \oint_C A_\mu dx^\mu} \to g(x) \mathcal{P}e^{i \oint_C A_\mu dx^\mu} g^{-1}(x)\,

여기서 x\,는 루프의 기점과 종점에 대응하며, SU(2) 게이지의 경우 g^{\pm 1}(x)\equiv\exp\{\pm i\alpha^j(x)\frac{\sigma^j}{2}\}이다. \alpha^j(x)는 x\,의 임의의 실수 함수이며, \sigma^j는 3개의 파울리 행렬(Pauli matrices)이다.

A를 주 다발(주 G-다발)상의 접속 형식으로 간주하면, 위 방정식은 리 군 G의 원소를 주는 루프를 도는 단위원의 평행 이동으로 이해할 수 있다.[9]

유한 온도 QCD에서 윌슨 루프의 열적 기대값은 가두어진 하드론 상과 장의 가둠이 풀린 상태, 즉 쿼크 글루온 플라즈마를 식별한다.[9]

3. 성질

윌슨 고리는 게이지 변환에 대해 불변이다. 즉, 물리적 관측량은 게이지 선택에 의존하지 않는다.[26][27] 윌슨 고리는 경로에 의존한다. 일반적으로 서로 다른 경로에 대한 윌슨 고리의 값은 다르다. 순환 치환 아래의 트레이스의 불변성은, W_C 가 게이지 변환 아래에서 불변임을 보장한다. 트레이스를 취하는 양은, 게이지 리 군의 원소로, 실제, 무한히 많은 기약 표현의 지표에 관하여, 이 원소의 지표이다.

A 를 주 G-다발상의 접속 형식으로 간주하면, 위의 방정식은 실제, 리 군 G 의 원소를 주는 루프를 도는 단위원의 평행 이동으로 이해해야 한다.

T=0 에서는, 쿼크 가둠, 혹은 게이지 불변인 양자장 이론의 가둠을 푼다. 윌슨 루프 변수가 특징지어진다("영역 안의 법칙"인가 "반경의 법칙"으로도 알려진 "주위의 법칙"이 되는가).

유한 온도의 QCD 에 있어서, 윌슨 루프의 열적 기대값은, 가두어진 하드론 상과 장의 가둠이 풀린 상태, 즉 쿼크 글루온 플라즈마와를 식별한다.

3. 1. 마켄코-미그달 루프 방정식 (Makeenko-Migdal loop equation)

큰 N 극한에서 윌슨 고리의 진공 기대값은 마켄코-미그달 방정식(Makeenko-Migdal loop equation)이라는 닫힌 형태의 함수 방정식을 만족한다.[26] 이는 Schwinger–Dyson 방정식과 유사하게, 서로 다른 윌슨 고리 기대값에 대한 무한한 일련의 결합 방정식을 발생시킨다.[27]

함수 미분과 마찬가지로, 루프의 함수는 면적 미분과 둘레 미분이라는 두 가지 유형의 미분을 허용한다. 면적 미분은 윤곽선 \gamma와 동일하지만 x에서 \mu-\nu 평면의 추가 작은 루프가 있는 윤곽선 \gamma_{\delta \sigma_{\mu\nu}}를 고려하여 정의된다. 면적은 \delta \sigma_{\mu\nu}=dx_\mu \wedge dx_\nu이다. 루프 함수 F[\gamma]의 면적 미분은 두 루프의 함수 사이의 정규화된 차이로 표현된다.[25]

:

\frac{\delta F[\gamma]}{\delta \sigma_{\mu\nu}(x)} = \frac{1}{\delta \sigma_{\mu\nu}(x)}[F[\gamma_{\delta \sigma_{\mu\nu}}]-F[\gamma]].



둘레 미분은 \gamma_{\delta x_\mu}는 위치 x에서 \mu 방향으로 길이 \delta x_\mu이고 면적이 0인 작은 돌출 루프가 있는 윤곽선 \gamma의 약간의 변형으로 정의된다. 루프 함수 \partial_\mu^x의 둘레 미분은 다음과 같이 정의된다.[25]

:

\partial_\mu^x F[\gamma] = \frac{1}{\delta x_\mu}[F[\gamma_{\delta x_\mu}]-F[\gamma]].



마켄코-미그달 방정식은 다음과 같다.[26]

:

\partial^x_\mu \frac{\delta}{\delta \sigma_{\mu\nu}(x)}\langle W[\gamma]\rangle = g^2 N \oint_\gamma dy_\nu \delta^{(D)}(x-y) \langle W[\gamma_{yx}]\rangle \langle W[\gamma_{xy}]\rangle.



여기서 \gamma = \gamma_{xy}\cup \gamma_{yx}이며 \gamma_{xy}는 x에서 y까지 닫히지 않는 선이지만, 두 점은 서로 가깝다. 이 방정식은 유한 N에 대해서도 쓸 수 있지만, 이 경우 인수분해되지 않으며 대신 윌슨 루프 곱의 기대값이 아니라 윌슨 루프 곱의 기대값으로 이어진다.[27] 마켄코-미그달 방정식은 2차원 \text{U}(\infty) 이론에서 정확하게 풀렸다.[28]

3. 2. 만델스탐 항등식 (Mandelstam identities)

윌슨 루프는 만델스탐 항등식(Mandelstam identities)이라는 일련의 항등식을 만족하며, 이는 기본 게이지 군의 특정 속성을 반영한다.[29]

게이지 군이 N\times N 행렬의 관점에서 기본 표현을 허용하는 경우, 제1종 만델스탐 항등식은 W[\gamma_1\circ \gamma_2] = W[\gamma_2 \circ \gamma_1]을 나타내며, 이는 임의의 차원에서 모든 게이지 군에 대해 성립한다. 제2종 만델스탐 항등식은 N 차원에서 N+1개의 완전 반대칭 지수를 가진 모든 객체가 소멸한다는 점을 이용하여 얻을수 있다. 이는 \delta^{a_1}_{[b_1}\delta^{a_2}_{b_2}\cdots \delta^{a_{N+1}}_{b_{N+1}]} = 0임을 의미한다.

N+1개의 홀로노미를 델타 함수와 수축하면 윌슨 루프 간의 일련의 항등식이 생성된다. 이들은 반복적으로 정의된 객체 M_K로 표현할 수 있으며, M_1[\gamma] = W[\gamma]이고, 다음과 같이 정의 된다.

:

(K+1)M_{K+1}[\gamma_1, \dots, \gamma_{K+1}] = W[\gamma_{K+1}]M_K[\gamma_1,\dots, \gamma_K] - M_K[\gamma_1 \circ \gamma_{K+1},\gamma_2, \dots, \gamma_K] -\cdots - M_K[\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_K\circ \gamma_{K+1}].



이 표기법에서 제2종 Mandelstam 항등식은 다음과 같다.[30]

:

M_{N+1}[\gamma_1, \dots, \gamma_{N+1}] = 0.



예를 들어, \text{U}(1) 게이지 군의 경우 이는 W[\gamma_1]W[\gamma_2] = W[\gamma_1\circ \gamma_2]를 제공한다.

기본 표현이 단위 행렬식의 행렬인 경우 M_N(\gamma, \dots, \gamma)=1도 성립한다. 예를 들어, 이 항등식을 \text{SU}(2)에 적용하면

:

W[\gamma_1]W[\gamma_2] = W[\gamma_1\circ \gamma_2^{-1}]+W[\gamma_1\circ \gamma_2].



유니타리 행렬로 구성된 기본 표현은 W[\gamma] = W^*[\gamma^{-1}]를 만족한다. 또한, 등식 W[I] = N는 기본 표현의 모든 게이지 군에 대해 성립하지만, 유니타리 군의 경우 |W[\gamma]|\leq N이 또한 성립한다.

3. 3. 재규격화 (Renormalization)

윌슨 고리는 게이지장 연산자이므로, 기반이 되는 양-밀스 이론의 장과 결합에 대한 정규화와 재정규화는 윌슨 고리가 추가적인 재규격화 보정을 필요로 하는 것을 막지 못한다.[31][32][33][34] 재규격화된 양-밀스 이론에서 윌슨 고리가 재규격화되는 특정한 방식은 고려 중인 경로의 기하학에 따라 달라진다.[31][32][33][34]

  • 매끄럽고 교차하지 않는 곡선: 이는 윤곽선에 비례하는 선형 발산만 가질 수 있으며, 곱셈 재규격화를 통해 제거할 수 있다.
  • 첨점이 있는 교차하지 않는 곡선: 각 첨점은 첨점 각도 ${\displaystyle \phi }$에 따라 달라지는 추가적인 국소 곱셈 재규격화 인자 ${\displaystyle Z[\phi ]}$를 초래한다.
  • 자기 교차: 이는 전체 경로와 부분경로와 관련된 윌슨 고리 간의 연산자 혼합으로 이어진다.
  • 광선 세그먼트: 이는 추가적인 로그 발산을 발생시킨다.

4. 가둠 상전이와 질서 변수

윌슨 고리는 가두어진 상(confined)과 가두어지지 않은 상(deconfinement phase) 사이의 상전이에 대한 질서 변수(order parameter) 역할을 한다.[14] 시간 방향으로 길쭉한 모양의 윌슨 고리(temporal Wilson loop)를 생각하자. 이 경우, 윌슨 고리는 가둠의 존재에 따라 다음과 같은 양상을 보인다. 곡선 C=\partial D가 곡면 D를 감싼다고 하면, 윌슨 고리의 로그 \ln W_C는


  • 가두어진 상에서는 D의 넓이에 비례한다.
  • 가두어지지 않은 상에서는 C의 길이 (D의 둘레)에 비례한다.

이를 '''넓이 법칙'''(area law영어) 또는 '''둘레 법칙'''(perimeter law영어)이라고 부른다. 즉, 윌슨 고리를 계산하여 가둠이 일어나는지 확인할 수 있다.

시간적 윌슨 선은 무한히 무거운 정지 상태의 쿼크에 의해 생성된 구성을 나타내므로, 두 개의 시간적 성분 T와 두 개의 공간적 성분 r을 가진 직사각형 루프 \gamma와 관련된 윌슨 루프는 고정된 간격의 쿼크-반쿼크 쌍으로 해석될 수 있다. 오랜 시간 동안 윌슨 루프의 진공 기대값은 최소 에너지를 가진 상태, 즉 쿼크 사이의 포텐셜 V(r)을 투영한다.[10]

엘리추어 정리는 국소적 비-게이지 불변 연산자는 0이 아닌 기대값을 가질 수 없음을 보장한다. 대신, 구속의 질서 매개변수로서 비-국소적 게이지 불변 연산자를 사용해야 한다. 윌슨 루프는 구속 상에서 기대값이 면적 법칙을 따르는 순수 양-밀스 이론에서 정확히 그러한 질서 매개변수이다.[14]

:

\langle W[\gamma]\rangle \sim e^{-aA[\gamma]}



여기서 루프는 면적 A[\gamma]를 둘러싼다. 이는 구속 상에서 선형적으로 증가할 것으로 예상되는 무한히 무거운 시험 쿼크 사이의 포텐셜 V(r) \sim \sigma r에서 동기가 부여되며, 여기서 \sigma는 스트링 장력으로 알려져 있다. 한편, 힉스 상에서는 기대값이 둘레 법칙을 따른다.

:

\langle W[\gamma]\rangle \sim e^{-bL[\gamma]},



여기서 L[\gamma]는 루프의 둘레 길이이고 b는 어떤 상수이다. 윌슨 루프의 면적 법칙은 인스턴톤에 의해 구속이 주도되는 슈윙거 모델과 같이 특정 저차원 이론에서 구속을 직접적으로 증명하는 데 사용될 수 있다.[15]

4. 1. 격자 게이지 이론 (Lattice gauge theory)

격자장론에서 윌슨 선과 윌슨 고리는 격자 위에 게이지장을 구성하는 데 기본적인 역할을 한다. 격자에서 가장 작은 윌슨 선은 두 개의 인접한 격자점 사이의 윌슨 선으로, 링크(link)라고 불린다. 격자점 n에서 시작하여 \mu 방향으로 가는 단일 링크는 U_\mu(n)으로 표시된다. 단일 사각형 주변의 네 개의 링크는 플라켓(plaquette)을 형성하며, 그 자취는 가장 작은 윌슨 고리를 형성한다.[16] 이러한 플라켓은 윌슨 작용이라고 알려진 격자 게이지 작용을 구성하는 데 사용된다.[17]

윌슨 고리는 가두어진 상(confined)과 가두어지지 않은 상(deconfinement phase) 사이의 상전이에 대한 질서 변수(order parameter) 역할을 한다. 시간 방향으로 길쭉한 모양의 윌슨 고리(temporal Wilson loop)를 생각할 때, 윌슨 고리는 가둠의 존재에 따라 다음과 같은 양상을 보인다. 곡선 C=\partial D가 곡면 D를 감싼다고 하면, 윌슨 고리의 로그 \ln W_C는 가두어진 상에서는 D의 넓이에, 가두어지지 않은 상에서는 C의 길이 (D의 둘레)에 비례한다. 이를 '''넓이 법칙'''(area law영어) 또는 '''둘레 법칙'''(perimeter law영어)이라고 부르며, 윌슨 고리를 계산하여 가둠이 일어나는지 확인할 수 있다.

더 큰 윌슨 고리는 어떤 루프 \gamma를 따라 링크 변수의 곱으로 표현되며, 다음과 같이 표시된다.[17]

:

L[U] = \text{tr} \bigg[\prod_{n \in \gamma} U_\mu(n)\bigg].



이러한 윌슨 고리는 전산 물리학을 통해 가두기 및 쿼크 포텐셜을 수치적으로 연구하는 데 사용된다. 윌슨 고리의 선형 결합은 글루볼 상태를 생성하는 보간 연산자로 사용되며, 글루볼 질량은 이러한 보간자의 상관 함수에서 추출할 수 있다.[18][19]

윌슨 고리의 격자 공식은 강하게 결합된 위상에서 가두기의 분석적 증명을 가능하게 한다. 이는 쿼크 루프가 무시되는 quenching 근사를 가정하고, 윌슨 작용을 플라켓의 자취의 멱급수로 전개함으로써 수행된다. \text{SU}(3) 게이지 이론에서 윌슨 고리의 기대값에서 첫 번째 비-영 항은 다음과 같은 형태의 현의 장력을 가진 면적 법칙을 생성한다.[20][21][22]

:

\sigma = - \frac{1}{a^2}\ln \bigg(\frac{\beta}{18}\bigg)(1+\mathcal O(\beta)),



여기서 \beta =6/g^2는 역 결합 상수이고 a는 격자 간격이다. 이 주장은 아벨 및 비아벨 경우 모두에 적용되지만, 콤팩트 전자기학은 강한 결합에서만 가두기를 나타내며, \beta \sim 1.01에서 쿨롱 위상으로의 상전이가 있어 약한 결합에서 이론이 가두이지 않게 된다.[23][24] 이러한 상전이는 영도에서 \text{SU}(N) 게이지 이론에는 존재하지 않는 것으로 여겨지며, 대신 결합 상수의 모든 값에서 가두기를 나타낸다.

5. 역사

윌슨 고리는 케네스 윌슨이 가둠을 설명하기 위하여 1974년 도입하였다.[47] 1981년에 로스코 자일스/Roscoe Giles영어는 윌슨 고리의 데이터만으로 게이지 퍼텐셜 전체를 (고전적으로) 재구성할 수 있다는 사실을 증명하였다.[48]

6. 응용

6. 1. 산란 진폭 (Scattering amplitudes)

윌슨 고리는 산란 진폭 이론에서 중요한 역할을 하며, 윌슨 고리와 특수한 형태의 산란 진폭 간의 이중성이 발견되었다.[35] 이러한 이중성은 처음에는 AdS/CFT 대응성을 사용하여 강결합에서 제안되었다.[36] 예를 들어, \mathcal N=4 초대칭 양-밀스 이론에서 최대 헬리시티 위반 진폭은 트리 레벨 성분과 루프 레벨 보정으로 인수분해된다.[37] 이 루프 레벨 보정은 입자의 헬리시티에 의존하지 않지만, 유한한 항을 제외하고, 큰 N 극한에서 특정 다각형 윌슨 고리와 이중성을 갖는 것으로 밝혀졌다. 이 이중성은 처음에 최대 헬리시티 위반 경우에만 제안되었지만, 윌슨 고리의 적절한 초대칭 일반화를 정의함으로써 모든 헬리시티 구성으로 확장될 수 있다는 주장이 있다.[38]

6. 2. 끈 이론 축소화 (String theory compactifications)

축소화된 이론에서, 국소적으로 순수 게이지 구성이지만 진공과 전역적으로 동등하지 않은 제로 모드 게이지장 상태는 축소 방향의 닫힌 윌슨 선으로 매개변수화된다.[39] 이러한 윌슨 선이 T-이중성 하에서 축소된 열린 끈 이론에 존재한다는 것은 D-브레인이 일치하지 않는 이론과 동등하며, D-브레인의 분리는 윌슨 선에 의해 결정된다.[39] 윌슨 선은 또한 오비폴드 축소화에서 역할을 하는데, 윌슨 선의 존재는 게이지 대칭성 파괴를 더 잘 제어하여 최종 깨지지 않은 게이지 그룹을 더 잘 제어하고, 축소화 후 남은 물질 멀티플릿의 수를 제어하는 메커니즘을 제공한다.[40] 이러한 특성으로 인해 윌슨 선은 초끈 이론의 축소화에서 중요하다.[41][42]

6. 3. 위상 양자장론 (Topological field theory)

위상적 양자장론에서 윌슨 고리의 기대값은 고리의 부드러운 변형에 따라 변하지 않는다. 왜냐하면 장론이 계량에 의존하지 않기 때문이다.[43] 이러한 이유로, 윌슨 고리는 이러한 이론에서 핵심적인 관측 가능량이며, 다양체의 전역적 특성을 계산하는 데 사용된다. 2+1차원에서, 윌슨 고리는 매듭 이론과 밀접한 관련이 있으며, 고리들의 곱의 기대값은 다양체 구조와 고리들이 어떻게 묶여 있는지에 따라서만 달라진다. 에드워드 위튼은 체른-사이먼스 이론의 윌슨 고리를 사용하여 그들의 분배 함수를 매듭 이론의 존스 다항식과 관련시켰다.[44]

7. 한국의 연구 동향

7. 1. 양자색역학 (QCD) 상전이 연구

7. 2. 중이온 충돌 연구

7. 3. 강상호작용 연구

7. 4. 기타 연구

참조

[1] 논문 Confinement of quarks https://link.aps.org[...] 1974
[2] 서적 Geometry, Topology and Physics CRC Press 2003
[3] 서적 Topology and Geometry for Physics Springer 2011
[4] 서적 Quantum Field Theory and the Standard Model Cambridge University Press 2014
[5] 간행물 Lecture Notes on Gauge Theory 2018
[6] 논문 Symmetries and Strings in Field Theory and Gravity 2011
[7] 논문 Reconstruction of gauge potentials from Wilson loops https://link.aps.org[...] 1981
[8] 논문 Reading between the lines of four-dimensional gauge theories 2013
[9] 서적 An Introduction to Quantum Field Theory Westview Press 1995
[10] 서적 Lattice Gauge Theories: An Introduction https://library.oape[...] World Scientific Publishing 2005
[11] 논문 Upper bound on the color-confining potential https://link.aps.org[...] 1978
[12] 논문 Concavity of the quarkonium potential https://link.aps.org[...] 1986
[13] 서적 An Introduction to the Confinement Problem Springer 2020
[14] 서적 Methods of Contemporary Gauge Theory Cambridge University Press 2002
[15] 서적 The Theory and Applications of Instanton Calculations Cambridge University Press 2017
[16] 서적 From Classical to Quantum Fields Oxford University Press 2017
[17] 서적 Quantum Fields on a Lattice Cambridge University Press 1994
[18] 서적 Lattice Methods for Quantum Chromodynamics World Scientific Publishing 2006
[19] 논문 Glueball spectrum and matrix elements on anisotropic lattices 2006
[20] 서적 The Theory of Quark and Gluon Interactions Springer 2006
[21] 서적 Quantum Chromodynamics on the Lattice: An Introductory Presentation Springer 2009
[22] 논문 Strong coupling and mean field methods in lattice gauge theories https://dx.doi.org/1[...] 1983
[23] 논문 Phase Transition in Four-Dimensional Compact QED https://cds.cern.ch/[...] 1980
[24] 논문 Existence proof of a nonconfining phase in four-dimensional U(1) lattice gauge theory https://link.aps.org[...] 1980
[25] 논문 Loop Equations and 1/N Expansion 1983
[26] 논문 Exact Equation for the Loop Average in Multicolor QCD 1979
[27] 서적 Introduction to Quantum Field Theory Cambridge University Press 2019
[28] 논문 Non-linear strings in two-dimensional U(∞) gauge theory https://dx.doi.org/1[...] 1980
[29] 논문 Feynman Rules for Electromagnetic and Yang–Mills Fields from the Gauge-Independent Field-Theoretic Formalism https://link.aps.org[...] 1968
[30] 서적 Loops, Knots, Gauge Theories 2008
[31] 논문 On light-like Wilson loops https://dx.doi.org/1[...] 1992
[32] 논문 Gauge fields as rings of glue https://dx.doi.org/1[...] 1980
[33] 논문 Renormalization of loop functions for all loops https://link.aps.org[...] 1981
[34] 논문 Renormalization of the Wilson loops beyond the leading order https://dx.doi.org/1[...] 1987
[35] 논문 Scattering Amplitudes, Wilson Loops and the String/Gauge Theory Correspondence 2008
[36] 학술지 Gluon scattering amplitudes at strong coupling 2007
[37] 서적 Scattering Amplitudes in Gauge Theories Springer 2014
[38] 학술지 Notes on the scattering amplitudes/Wilson loop duality 2011
[39] 서적 String Theory Volume I: An Introduction to the Bosonic String Cambridge University Press 1998
[40] 학술지 Orbifolds and Wilson Lines https://cds.cern.ch/[...] 1986
[41] 서적 String Theory Volume II: Superstring Theory and Beyond Cambridge University Press 1998
[42] 서적 Quarks and Leptons From Orbifolded Superstring 2020
[43] 서적 Quantum Field Theory: An Integrated Approach Princeton University Press 2021
[44] 학술지 Quantum Field Theory and the Jones Polynomial http://projecteuclid[...] 1989
[45] 학술지 Reconstruction of Gauge Potentials from Wilson loops 1981
[46] 학술지 Confinement of quarks 1974
[47] 저널 인용 Confinement of quarks 1974-10-15
[48] 저널 인용 Reconstruction of gauge potentials from Wilson loops 1981-10-15


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