켤레 복소수

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1. 개요
2. 정의
3. 표기법
4. 성질
5. 관련 개념
- 5.1. 행렬의 켤레 복소수
6. 일반화
참조

1. 개요

켤레 복소수는 복소수 z = x + iy (x, y는 실수, i는 허수 단위)에 대해 정의되며, z의 켤레 복소수는 z̄ = x - iy로 표현된다. 켤레 복소수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 대해 분배되며, 복소수가 실수일 경우 원래 복소수와 같고, 절댓값을 변경하지 않으며, 대합이다. 또한, 켤레 복소수는 정수 거듭제곱, 지수 함수, 자연 로그에 대해 교환 법칙이 성립한다. 켤레 복소수는 켤레근 정리, 행렬의 켤레 복소수, 이중수 및 분할 복소수, 사원수, 반선형 사상 등 다양한 수학적 개념과 관련되어 있다.

2. 정의

복소수 $z = x + iy$ ( $x$ , $y$ 는 실수, $i$ 는 허수 단위)의 켤레 복소수는 $\overline{z} = x - iy$ 로 정의된다. 극 형식으로 표현된 복소수 $z = re^{i\theta}$ ( $r$ , $\theta$ 는 실수, $r \ge 0$ )의 켤레 복소수는 $\overline{z} = re^{-i\theta}$ 이다. 켤레 복소수는 $\bar z$ 또는 $z^*$ 로 표기한다.^[7]^[8]

3. 표기법

복소수 ''z''의 켤레 복소수는 $\overline z$ 또는 $z^*$ 로 표기한다. 첫 번째 표기법인 빈쿨럼은 복소 켤레의 일반화로 생각할 수 있는 켤레 전치 행렬 표기법과의 혼동을 피할 수 있다. 두 번째 표기법은 물리학에서 선호되는데, 여기서는 대거(†)가 켤레 전치에 사용되며, 전기 공학 및 컴퓨터 공학에서도 막대 표기법이 논리 부정 ("NOT") 불 대수 기호와 혼동될 수 있기 때문이다. 반면, 막대 표기법은 순수 수학에서 더 일반적이다.

복소수가 $2 \times 2$ 행렬로 표현되는 경우, 표기법은 동일하며, 복소 켤레는 행렬 전치에 해당한다.

4. 성질

켤레 복소수는 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다.

분배 법칙: 켤레 복소수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 대해 분배 법칙이 성립한다. 즉, 두 복소수 $z$ 와 $w$ 에 대해 다음이 성립한다.^[2]
$\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}$
$\overline{z - w} = \overline{z} - \overline{w}$
$\overline{zw} = \overline{z} \cdot \overline{w}$
$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}$ ( $w \ne 0$ 일 때)

실수 조건: 복소수가 실수이면 그 켤레 복소수는 원래 복소수와 같다. 즉, $z$ 가 실수일 때 $\bar z=z$ 이다.

절댓값 보존: 켤레 복소수는 복소수의 절댓값을 변경하지 않는다. 즉, $|\bar z|=|z|$ 이다.

대합: 켤레 복소수는 대합이다. 즉, 복소수의 켤레 복소수는 원래 복소수이다. 이를 수식으로 나타내면 $\bar\bar z=z$ 이다.^[1]

절댓값과의 관계: 복소수와 켤레 복소수의 곱은 복소수의 절댓값의 제곱과 같다. 즉, $z\bar z = |z|^2$ 이다.

교환 법칙: 켤레 복소수는 정수 거듭제곱과 교환한다.^[3]
$\overline{z^n} = \left(\overline{z}\right)^n,\quad \text{ for all } n \in \Z$
$\exp\left(\overline{z}\right) = \overline{\exp(z)}$ , $\ln\left(\overline{z}\right) = \overline{\ln(z)} \text{ if } z \text{ is not zero or a negative real number }$ 와 같이 지수 함수 및 0이 아닌 인수에 대한 자연 로그를 사용될 때도 교환 법칙이 성립한다.

정칙 함수: 일반적으로, $\varphi$ 가 실수에 대한 제한이 실수 값을 갖는 정칙 함수이고 $\varphi(z)$ 와 $\varphi(\overline{z})$ 가 정의되면, $\varphi\left(\overline{z}\right) = \overline{\varphi(z)}$ 이다.

4. 1. 항등식

임의의 복소수

z

,

w

에 대하여, 켤레 복소수에 대해 다음 항등식들이 성립한다.^[2]

$\operatorname{Re}z=(z+\bar z)/2$
$\operatorname{Im}z=(z-\bar z)/(2i)$
$|z|=\sqrt{z\bar z}$
$\operatorname{arg}z=(1/(2i))\ln\frac z\bar z\qquad z\ne0$
(덧셈 군 자기 준동형) $\overline{z+w}=\bar z+\bar w$
(덧셈 군 자기 준동형) $\overline{z-w}=\bar z-\bar w$
(체 자기 동형) $\overline{zw}=\bar z\bar w$
(체 자기 동형) $\overline{(z/w)}=\bar z/\bar w$
( $\mathbb C/\mathbb R$ 자기 동형) $\bar z=z\iff z\in\mathbb R$
(대합) $\bar\bar z=z$ ^[1]
(노름 자기 동형) $|\bar z|=|z|$
$\operatorname{arg}\bar z=-\operatorname{arg}z$
$\operatorname{Re}\bar z=\operatorname{Re}z$
$\operatorname{Im}\bar z=-\operatorname{Im}z$

켤레 복소수를 이용하면 복소수의 실수부, 허수부, 절댓값, 편각을 나타낼 수 있다.

실수 부분: $\operatorname{Re}(z) = \dfrac{z + \overline{z}}{2}$
허수 부분: $\operatorname{Im}(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2i}$
절댓값: $r= \left| z \right| = \sqrt{z\overline{z}}$
편각: $\theta = \arg z = \dfrac{\ln z - \ln \overline{z}}{2i}$

4. 2. 켤레근 정리

정칙 함수

f

가

f(\mathbb R)\subseteq\mathbb R

를 만족시킨다면, 임의의 복소수

z

에 대하여

\overline{f(z)}=f(\bar z)

가 성립한다. 특히,

f(x)\in\mathbb R[x]

인 경우, 만약

f(z)=0

이라면

f(\bar z)=0

이다. 즉, 실수 계수 다항식의 허수 영점은 항상 켤레 복소수끼리 짝을 지어 나타난다. 이를 '''켤레근 정리'''(-根定理, complex conjugate root theorem^영어)라고 한다.^[2]

만약

p

가 실수 계수를 가진 다항식이고

p(z) = 0,

이면

p\left(\overline{z}\right) = 0

이다. 따라서, 실수 다항식의 비실수 근은 켤레 복소수 쌍으로 나타난다. (''참조'' 켤레 복소수 근 정리).^[3]

실수 계수 다항식

f(x)

가 허수 근

\alpha

를 가지면,

\alpha

의 켤레 복소수

\overline{\alpha}

도

f(x)

의 근이다. 즉, 실수 계수 다항식

f(x)

에 대해

:

f( \alpha ) = 0 \iff f(\overline{\alpha}) = 0

이 성립한다(1746년, 달랑베르). 이 사실은 복소 켤레가 환 준동형 사상이라는 것에서 알 수 있다.

4. 3. 체론적 성질

켤레 복소수 함수는 복소수

\mathbb{C}

에서 실수

\mathbb{R}

로의 자기 동형 사상 중 항등 사상이 아닌 유일한 사상이다. 켤레 복소수 변환은 환 동형 사상이며, 다음 성질들을 만족한다.

켤레 복소수 변환은 전단사 함수이다.
임의의 두 복소수 $z$ 와 $w$ 에 대해, 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈에 대해 분배된다.^[2]

:

\begin{align}\overline{z + w} &= \overline{z} + \overline{w}, \\\overline{z - w} &= \overline{z} - \overline{w}, \\\overline{zw} &= \overline{z} \; \overline{w}, \\\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} &= \frac{\overline{z}}{\overline{w}},\quad \text{if } w \neq 0.\end{align}

복소수의 허수부가 0이면, 즉 그 수가 실수이면 그 복소수는 켤레 복소수와 같다. 즉, 실수는 켤레의 유일한 고정점이다.
켤레는 대합이다. 즉, 복소수 $z$ 의 켤레의 켤레는 $z$ 이다. 기호로는 $\overline{\overline{z}} = z.$ ^[1]
켤레는 정수 거듭제곱과 교환한다.^[3]

:

\overline{z^n} = \left(\overline{z}\right)^n,\quad \text{ for all } n \in \Z

\Complex

에서

\Complex

로의 맵

\sigma(z) = \overline{z}

는 체 자기 동형 사상이다. 실수를 고정시키므로 체 확대

\Complex/\R

의 갈루아 군의 원소이다. 이 갈루아 군은 항등 맵과 복소수 켤레, 두 개의 원소만 가진다.

C 상의 환 준동형 사상으로, 실수를 변하지 않는 것은, 항등 사상 또는 켤레 복소수 변환으로 제한된다.^[7]^[8]

5. 관련 개념

켤레 전치는 행렬의 각 원소의 켤레 복소수를 취한 후 전치행렬을 한 것으로, 복소수 행렬의 켤레 전치는 켤레 복소수를 일반화한 개념이다. 이는 복소 힐베르트 공간의 연산자에 대한 수반 연산자 개념으로 확장될 수 있으며, C*-대수의 *-연산에 포함된다.^[4]

복소수 벡터 공간에서 켤레 복소수의 추상적인 개념은 특정 성질을 만족하는 반선형 맵으로 정의될 수 있다. 이러한 맵을 복소 켤레 또는 실구조라고 부른다.^[5]

5. 1. 행렬의 켤레 복소수

행렬

A

의 원소별 켤레 복소수는

\bar A

로 표시하며,

(\bar A)_{ij}=\overline{A_{ij}}

로 정의된다.^[4] 켤레 전치는

A^*=(\bar A)^\operatorname T=\overline{A^\operatorname T}

, 즉

(A^*)_{ij}=\overline{A_{ji}}

로 정의된다.

복소수 행렬의 경우,

\overline{\mathbf{AB}} = \left(\overline{\mathbf{A}}\right) \left(\overline{\mathbf{B}}\right)

가 성립한다. 여기서

\overline{\mathbf{A}}

는

\mathbf{A}

의 요소별 켤레 복소수를 의미한다.^[4] 이는

\left(\mathbf{AB}\right)^*=\mathbf{B}^* \mathbf{A}^*

인 켤레 전치의 성질과는 대조된다.

복소수 행렬의 켤레 전치(또는 수반)는 켤레 복소수를 일반화한 개념이다. 더 나아가, (무한 차원일 수도 있는) 복소 힐베르트 공간의 연산자에 대한 수반 연산자 개념으로 확장될 수 있다. 이 모든 것은 C*-대수의 *-연산에 포함된다.

복소수 벡터 공간

V

에 대한 켤레 복소수의 추상적인 개념은 다음 성질을 만족하는 반선형 맵

\varphi: V \to V

으로 정의할 수 있다.

#

\varphi^2 = \operatorname{id}_V\,

(

\varphi^2 = \varphi \circ \varphi

이고

\operatorname{id}_V

는

V

의 항등 맵)

# 모든

v \in V, z \in \Complex

에 대해

\varphi(zv) = \overline{z} \varphi(v)

# 모든

v_1, v_2 \in V

에 대해

\varphi\left(v_1 + v_2\right) = \varphi\left(v_1\right) + \varphi\left(v_2\right)\,

이러한

\varphi

를 복소 켤레 또는 실구조라고 부른다.^[5]

6. 일반화

이중수 및 분할 복소수도 복소 공액을 사용하여 분석할 수 있다.^[4] 복소수 행렬의 켤레 전치는 복소 공액을 일반화한다. 힐베르트 공간의 수반 연산자는 켤레 전치의 일반화이다. 이 모든 것은 C*-대수의 *-연산에 포함된다.

사원수 및 분할 사원수에 대한 공액을 정의할 수도 있다. $a + bi + cj + dk$ 의 공액은 $a - bi - cj - dk.$ 이다.

이러한 모든 일반화는 요소를 반전하는 경우에만 곱셈적이다.

${\left(zw\right)}^* = w^* z^*.$

평면 실수 대수의 곱셈은 교환적이므로 여기서는 이러한 반전이 필요하지 않다.

복소수에 대한 벡터 공간 $V$ 에 대한 공액의 추상적인 개념도 있다. 이 맥락에서 다음을 만족하는 모든 반선형 맵 $\varphi: V \to V$ 는 복소 공액 또는 실구조라고 한다.

# $\varphi^2 = \operatorname{id}_V\,,$ 여기서 $\varphi^2 = \varphi \circ \varphi$ 이고 $\operatorname{id}_V$ 는 $V$ 의 항등 맵이다.

# 모든 $v \in V, z \in \Complex$ 에 대해 $\varphi(zv) = \overline{z} \varphi(v)$ 이고

# 모든 $v_1, v_2 \in V$ 에 대해 $\varphi\left(v_1 + v_2\right) = \varphi\left(v_1\right) + \varphi\left(v_2\right)\,$

대합 $\varphi$ 는 반선형이므로 $V$ 에 대한 항등 맵이 될 수 없다.

$\varphi$ 는 $V$ 의 $\R$ -선형 변환이다. 모든 복소수 공간 $V$ 는 원래 공간과 동일한 벡터를 취하고 스칼라를 실수로 제한하여 얻은 실수 형식을 갖는다는 점에 유의해야 한다. 위의 속성은 실제로 복소수 벡터 공간 $V$ 에 대한 실구조를 정의한다.^[5]

이 개념의 한 가지 예는 복소수 행렬의 켤레 전치 연산이다. 그러나 일반적인 복소수 벡터 공간에서는 복소 공액의 정규 개념이 없다.

참조

_[1] 웹사이트 Lesson Explainer: Matrix Representation of Complex Numbers {{!}} Nagwa https://www.nagwa.co[...] 2023-01-04
_[2] 서적 Linear Algebra
_[3] 문서 Exponentiation#Non-integer powers of complex numbers
_[4] 서적 Mathematical Methods for Physicists
_[5] 서적 The Spinorial Chessboard Springer-Verlag
_[6] 문서 複素共役を表すのには上線がよく使われる。上付きの[[アスタリスク]] ({{math|''z''{{sup|*}}}}) なども使われるが、行列の[[随伴行列]]などとの混乱を避けるためにあまり使われない 2023-09
_[7] 서적 複素解析 http://www2.accsnet.[...] 東京大学出版会 1990-01-01
_[8] 간행물 Ring homomorphisms on commutative Banach algebras(1)〔和文〕 https://hdl.handle.n[...] 京都大学数理解析研究所 2000-04

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