특이 호몰로지

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 관련 개념
- 5.1. 상대 호몰로지
- 5.2. 코호몰로지
참조

1. 개요

특이 호몰로지는 위상 공간 X와 환 R에 대해 정의되는 호몰로지 이론으로, X의 특이 n-단순체를 이용하여 구성된다. 특이 호몰로지는 호모토피 불변성을 가지며, 연결된 축약 가능 공간의 경우 0차 호몰로지 군을 제외하고 모든 호몰로지 군이 0이다. 특이 호몰로지는 호몰로지 군, 상대 호몰로지, 축소 호몰로지 등의 관련 개념을 가지며, 호몰로지 이론의 일종으로, 호몰로지 군은 위상 불변량으로 작용한다.

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특이 호몰로지

2. 정의

thumb

위상 공간 $X$ 와 환 $R$ 이 주어졌을 때, $X$ 의 $R$ 계수의 특이 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.

위상 공간 $X$ 에서의 특이 n-단순체는 표준 $n$ -단순체 $\Delta^n$ 에서 $X$ 로의 연속 함수 $\sigma$ 이며, $\sigma:\Delta^n\to X$ 로 표기한다. 이 사상은 단사 함수일 필요는 없으며, $X$ 에서 같은 상을 가지는 여러 특이 단순체들이 존재할 수 있다.

표준 $n$ -단순체 $\Delta^n$ 의 꼭짓점 $e_k$ 에 대응하는 꼭짓점을

: $[p_0,p_1,\ldots,p_n]=[\sigma(e_0),\sigma(e_1),\ldots,\sigma(e_n)]$

라고 하면, $\sigma$ 의 경계 $\partial_n\sigma$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\begin{aligned}\partial_n\sigma&=\partial_n[p_0,p_1,\ldots,p_n]=\sum_{k=0}^n(-1)^k [p_0,\ldots,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_n]\\ &= \sum_{k=0}^n (-1)^k \sigma\mid _{[e_0,\ldots,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_n]}\end{aligned}$

이는 $\sigma$ 를 표준 $n$ -단순체의 면에 제한하여 표현되는 특이 $(n-1)$ -단순체들의 형식적 합이며, 방향을 고려하여 부호를 번갈아 사용한다.^[1] 예를 들어, $\sigma=[p_0,p_1]$ ( $p_0$ 에서 $p_1$ 로 가는 곡선)의 경계는 $[p_1] - [p_0]$ 이다.

임의의 단위적 환 ''R''이 주어지면, 어떤 위상 공간 위의 특이 ''n''-단체의 전체 집합을 자유 ''R''-가군의 생성원으로 취급할 수 있다. 이 경우, $H_n(X, R)$ 는 ''R''-가군이 된다. 일반적인 호몰로지 군은 정수환을 사용하며, $H_n(X,\mathbb{Z})=H_n(X)$ 와 같이 나타낸다.

2. 1. 사슬 복합체

n차원 '''표준 단체'''(標準單體, standard simplex^영어)

\Delta^n\subset\mathbb R^{n+1}

은 n+1개의 점으로 이루어진 볼록 다면체이다. 선분, 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.

X

위의

n

차원 '''특이 단체'''(特異單體, singular complex^영어)는 표준 단체에서

X

로 가는 연속 함수

\sigma_n\colon\Delta^n\to X

를 뜻한다.

X

위의

R

계수의

n

차원 '''사슬'''(chain^영어)은 모든

n

차원 특이 단체로 생성되는

R

위의 왼쪽 자유 가군의 원소다. 이 자유 가군을

C_n(X;R)

라고 쓴다.

표준 단체

\Delta^n

의 꼭짓점들을

p_1,\dots,p_n

이라고 하자.

\Delta^n

의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데,

n+1

개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다.

n

차원 특이 단체

\sigma_n\colon\Delta^n\to X

의 '''경계'''(境界, boundary^영어)

\partial_n\sigma_n\in C_{n-1}(X;R)

는 다음과 같다.

:

\partial_n\sigma_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\sigma|_{[p_0,\dots,\hat p_k,\dots,p_n]}

.

경계 연산자

\partial_n

는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 확장할 수 있다. 즉,

\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}

이다. 이는

R

위의 가군의 가군 준동형을 이룬다. 또한,

\partial_{n-1}\circ\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-2}(X)

는 항상 0이다. 따라서

(C_\bullet(X),\partial_\bullet)

은 사슬 복합체를 이룬다.

특이 1-사슬의 예: 보라색과 주황색 1-사슬은 2-사슬의 경계로 실현될 수 없다.

\sigma:\Delta^n\to X

의 경계는

\partial_n\sigma

로 표기하며, 표준

n

-단순체의 면에

\sigma

를 제한하여 표현되는 특이

(n-1)

-단순체들의 형식적 합으로 정의되며, 방향을 고려하여 부호를 번갈아 사용한다.^[1]

표준

n

-단순체

\Delta^n

의 꼭짓점

e_k

에 대응하는 꼭짓점을

:

[p_0,p_1,\ldots,p_n]=[\sigma(e_0),\sigma(e_1),\ldots,\sigma(e_n)]

라고 하면,

:

\begin{aligned}\partial_n\sigma&=\partial_n[p_0,p_1,\ldots,p_n]=\sum_{k=0}^n(-1)^k [p_0,\ldots,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_n]\\ &= \sum_{k=0}^n (-1)^k \sigma\mid _{[e_0,\ldots,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_n]}\end{aligned}

는 특정 방식으로 지정된 단순체 상의 면들의 형식적 합이다.^[1]

특이 호몰로지의 일반적인 구성은 단순체의 형식적인 합을 정의하는 것으로 진행되며, 이는 자유 아벨 군의 원소로 이해될 수 있다.

위상 공간

X

에 대한 모든 특이

n

-단순체 집합

\sigma_n(X)

을 고려한다. 이 집합은 자유 아벨 군의 기저로 사용될 수 있으며, 각 특이

n

-단순체는 이 군의 생성원이다. 이 기저에 의해 생성된 자유 아벨 군은 일반적으로

C_n(X)

로 표기한다.

C_n(X)

의 원소를 '''특이 n-사슬'''이라고 부르며, 정수 계수를 가진 특이 단순체의 형식적인 합이다.

경계

\partial

는 특이

n

-사슬에 작용하도록 쉽게 확장된다.

:

\partial_n:C_n\to C_{n-1},

위와 같이 작성된 경계 연산자는 군의 준동형사상이다. 경계 연산자는

C_n

과 함께 사슬 복합체를 형성하며, 이를 '''특이 복합체'''라고 한다. 이는 종종

(C_\bullet(X),\partial_\bullet)

또는 더 간단하게

C_\bullet(X)

로 표기한다.

경계 연산자의 핵은

Z_n(X)=\ker (\partial_{n})

이며, '''특이 n-사이클 군'''이라고 한다. 경계 연산자의 이미지는

B_n(X)=\operatorname{im} (\partial_{n+1})

이며, '''특이 n-경계 군'''이라고 한다.

또한

\partial_n\circ \partial_{n+1}=0

임을 보일 수 있다.^[2]

2. 2. 특이 호몰로지 군

특이 호몰로지의 일반적인 구성은 단순체의 형식적인 합을 정의하는 것으로 시작되며, 이는 자유 아벨 군의 원소로 이해될 수 있다. 그 후 경계 연산자를 포함하는 위상 공간의 특정 군인 '''호몰로지 군'''을 정의한다.

먼저 위상 공간

X

에 대한 가능한 모든 특이

n

-단순체 집합

\sigma_n(X)

을 고려한다. 이 집합은 자유 아벨 군의 기저로 사용될 수 있으며, 각 특이

n

-단순체는 이 군의 생성원이다. 이 생성원 집합은 전형적인 위상 공간에 단순체를 매핑하는 많은 방법이 있으므로, 일반적으로 무한하고, 종종 비가산 집합이다. 이 기저에 의해 생성된 자유 아벨 군은 일반적으로

C_n(X)

로 표기한다.

C_n(X)

의 원소를 '''특이

n

-사슬'''이라고 부르며, 정수 계수를 가진 특이 단순체의 형식적인 합이다.

경계 연산자는 다음과 같이 정의되며,

:

\partial_n:C_n\to C_{n-1},

군의 준동형사상이다. 경계 연산자는

C_n

과 함께 사슬 복합체를 형성하며, 이를 '''특이 복합체'''라고 한다. 이는 종종

(C_\bullet(X),\partial_\bullet)

또는 더 간단하게

C_\bullet(X)

로 표기한다.

경계 연산자의 커널은

Z_n(X)=\ker (\partial_{n})

이며, '''특이

n

-사이클 군'''이라고 한다. 경계 연산자의 이미지는

B_n(X)=\operatorname{im} (\partial_{n+1})

이며, '''특이

n

-경계 군'''이라고 한다.

또한

\partial_n\circ \partial_{n+1}=0

임을 보여줄 수 있으며, 이는

B_n(X) \subseteq Z_n(X)

를 의미한다. 그런 다음

X

의

n

차 호몰로지 군은 몫군으로 정의된다.

:

H_{n}(X) = Z_n(X) / B_n(X).

H_n(X)

의 원소를 '''호몰로지류'''라고 한다.^[2]

2. 3. 특이 코호몰로지 군

X

위의 '''공사슬'''(共-, cochain^영어)은 가군 준동형

\phi^n\colon C_n(X;R)\to R

이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며,

C^n(X;R)=\operatorname{Hom}(C_n(X;R),R)

으로 쓴다. 공사슬의 '''공경계'''(共境界, coboundary^영어)

\delta_n\colon C^n(X;R)\to C^{n+1}(X;R)

은 다음과 같다.

:

\delta_n(\phi^n)(\sigma_{n+1})=\phi^n(\partial_{n+1}\sigma_{n+1})

.

(C^\bullet(X;R),\delta_\bullet)

은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지

:

\operatorname H^n(X)=\ker\delta_n/\operatorname{im}\delta_{n-1}

를 '''특이 코호몰로지'''(singular cohomology^영어)라고 한다.

''X''의 '''코호몰로지 군'''은 이 복합체의 호몰로지 군으로 정의된다.

3. 성질

특이 호몰로지는 호모토피 불변성을 가진다. 즉, 두 위상 공간 ''X''와 ''Y''가 호모토피 동치이면, 모든 ''n'' ≥ 0 에 대해 그들의 특이 호몰로지 군은 동형이다.

: $H_n(X) \cong H_n(Y)$

이는 호몰로지 군이 위상 불변량임을 의미한다.

특히, ''X''가 연결된 축약 가능 공간이면, $H_0(X) \cong \mathbb{Z}$ 를 제외하고 모든 호몰로지 군은 0이다.

연속 함수 ''f'': ''X'' → ''Y''는 다음과 같은 준동형 사상을 유도한다.

: $f_{\sharp} : C_n(X) \rightarrow C_n(Y)$

다음이 성립한다.

: $\partial f_{\sharp} = f_{\sharp} \partial$

즉, ''f''_#는 사슬 사상이며, 호몰로지 상의 준동형 사상으로 이어진다.

: $f_* : H_n(X) \rightarrow H_n(Y)$

''f''와 ''g''가 호모토피 동치이면 ''f''_* = ''g''_*이다. 따라서 ''f''가 호모토피 동치이면 ''f''_*는 동형 사상이다.

''F'' : ''X'' × [0, 1] → ''Y''를 ''f''를 ''g''로 보내는 호모토피라고 하면, 다음과 같은 준동형 사상을 정의할 수 있다.

: $P : C_n(X) \rightarrow C_{n+1}(Y)$

이는 기하학적으로 ''C_n''(''X'')의 기저 원소 σ: Δ^''n'' → ''X''를 "각기둥" ''P''(σ): Δ^''n'' × ''I'' → ''Y''로 보낸다. ''P''(σ)의 경계는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\partial P(\sigma) = f_{\sharp}(\sigma) - g_{\sharp}(\sigma) - P(\partial \sigma)$

따라서 ''C_n''(''X'')의 ''α''가 ''n''-사이클이면, ''f''_#(''α'')와 ''g''_#(''α'')는 경계에 의해 달라진다.

: $f_{\sharp} (\alpha) - g_{\sharp}(\alpha) = \partial P(\alpha)$

즉, 이들은 호몰로지하다.

특이 호몰로지는 위상 공간의 범주 '''Top'''에서 아벨 군의 범주 '''Ab'''로 가는 함자로 이해될 수 있다. $X\mapsto H_n (X)$ 는 위상 공간의 범주에서 아벨 군의 범주로의 함자

: $H_n:\mathbf{Top}\to\mathbf{Ab}$

이다. 호모토피 공리에 의해, $H_n$ 은 '''hTop''' (몫 호모토피 범주)에 작용하는 함자, 즉 호몰로지 함자이다.

: $H_n:\mathbf{hTop}\to\mathbf{Ab}$

보편 계수 정리에 따라, 체 계수 특이 코호몰로지는 특이 호몰로지의 쌍대 공간으로 표현될 수 있다.^[3]

임의의 환 ''R''에 대해, ''H''_''n''(''X''; ''R'')는 ''R''-가군이며, 다음이 성립한다.

: $H_n(X;\mathbb{Z})=H_n(X)$

보편 계수 정리는 단사 완전열을 사용하여 일반적인 정수 계수를 갖는 호몰로지를 통해 ''R'' 계수를 갖는 호몰로지를 계산하는 방법을 제공한다.^[8]

: $0\to H_n(X; \mathbb{Z}) \otimes R \to H_n(X; R) \to \mathrm{Tor}_1(H_{n-1}(X; \mathbb{Z}), R) \to 0$

여기서 ''Tor''는 Tor 함자이다. ''R''이 비틀림이 없으면, 임의의 ''G''에 대해 $\mathrm{Tor}_1(G, R) = 0$ 이므로, 위의 단사 완전열은 $H_n(X; \mathbb{Z}) \otimes R$ 과 $H_n(X; R)$ 사이의 동형 사상으로 축소된다.

4. 예시

n차원 실수 사영 공간 '''RP'''^''n'', 복소 사영 공간 '''CP'''^''n'', 점, 구 ''S''ⁿ ( $n\ge 1$ ), 그리고 3-토러스 ''T''³의 k차 호몰로지 군 $H_k(X)$ 를 정수 계수로 나타낸 표는 다음과 같다.

공간	호모토피 유형
RPⁿ^[4]	$\mathbf{Z}$	k = 0 및 k = n (n은 홀수)
	$\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$	k는 홀수, 0 < k < n
	0	그 외
CPⁿ^[5]	$\mathbf{Z}$	k = 0, 2, 4, ..., 2n
CPⁿ^[5]	0	그 외
점^[6]	$\mathbf{Z}$	k = 0
점^[6]	0	그 외
Sⁿ	$\mathbf{Z}$	k = 0, n
Sⁿ	0	그 외
T³^[7]	$\mathbf{Z}$	k = 0, 3
	$\mathbf{Z}$ ³	k = 1, 2
	0	그 외

상대 호몰로지와 축소 호몰로지를 통해 특이 호몰로지를 더 자세히 이해할 수 있다.

4. 1. 초구

n

차원 초구

S^n

의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

:

\operatorname H_k(S^n;R)=\begin{cases}R&k\in\{0,n\}\\0&k\not\in\{0,n\}\end{cases}\qquad(n>0)

:

\operatorname H_k(S^0;R)=\begin{cases}R^2&k=0\\0&k\ne0\end{cases}

이는

n>0

일 때, 0차원과

n

차원에서

R

과 동형이고, 나머지 차원에서는 0이다.

n=0

인 경우에는 0차원에서

R^2

와 동형이고, 그 외의 차원에서는 0이다.

n차원 실수 사영 공간 '''RP'''^''n'', 복소 사영 공간 '''CP'''^''n'', 점, 구 ''S''ⁿ( $n\ge 1$ ), 그리고 3-토러스 ''T''³의 k차 호몰로지 군 $H_k(X)$ 을 정수 계수로 나타낸 표
공간	호모토피 유형
Sⁿ	$\mathbf{Z}$	k = 0,n
Sⁿ	0	그 외

4. 2. 사영 공간

복소수 사영 공간

\mathbb{C}P^n

의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

:

\operatorname{H}_k(\mathbb{C}P^n;R) = \begin{cases}R & 2 \mid q \le 2n \\0 & q \nmid q \lor q > 2n\end{cases}

:

\operatorname{H}^k(\mathbb{C}P^n;R) = \begin{cases}R & 2 \mid q \le 2n \\0 & q \nmid q \lor q > 2n\end{cases}

실수 사영 공간의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

:

\operatorname{H}_k(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}) = \begin{cases}\mathbb{Z} & k = 0 \lor 2 \nmid i = n \\\mathbb{Z}/(2) & 0 < k < n, \; 2 \nmid k \\0 & \mbox{otherwise}\end{cases}

:

\operatorname{H}_k(\mathbb{R}P^n;\mathbb{F}_2) = \begin{cases}\mathbb{F}_2 & k \le n \\0 & k \ge n\end{cases}

:

\operatorname{H}_k(\mathbb{R}P^n;K) = \begin{cases}K & k = 0 \lor 2 \nmid i = n \\0 & \mbox{otherwise}\end{cases}

여기서

K

는 표수가 2가 아닌 임의의 체이다.

n차원 실수 사영 공간

\mathbb{R}P^n

과 복소수 사영 공간

\mathbb{C}P^n

의 k차 호몰로지 군

H_k(X)

를 정수 계수로 나타낸 표는 다음과 같다.

공간	호모토피 유형
$\mathbb{R}P^n$ ^[4]	$\mathbf{Z}$	k = 0 및 k = n 홀수
	$\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$	k 홀수, 0 < k < n
	0	그 외
$\mathbb{C}P^n$ ^[5]	$\mathbf{Z}$	k = 0, 2, 4, ..., 2n
$\mathbb{C}P^n$ ^[5]	0	그 외

4. 3. 원환면

n

차원 원환면

T^n

의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

:

\operatorname H_k(T^n;\mathbb Z)=\mathbb Z^{\binom nk}

.

여기서

\binom nk

는 이항계수로,

k>n

인 경우 0으로 정의한다.^[4]

5. 관련 개념

에일렌베르크-스틴로드 공리를 통해 호몰로지 이론을 공리적으로 정의한 후, 공리 중 하나(''차원 공리'')를 완화하면 특이 호몰로지라 불리는 일반화된 이론을 얻게 된다. K-이론, 코보디즘 이론 등이 이에 해당한다. 이러한 맥락에서 특이 호몰로지는 '''보통 호몰로지'''라고 불린다.^[9]

5. 1. 상대 호몰로지

부분 공간

A\subset X

에 대해, 상대 호몰로지 ''H''_''n''(''X'', ''A'')는 사슬 복합체의 몫의 호몰로지로 이해되며, 다음과 같이 정의된다.

:

H_n(X,A)=H_n(C_\bullet(X)/C_\bullet(A))

여기서 사슬 복합체의 몫은 다음 짧은 완전열에 의해 주어진다.

:

0\to C_\bullet(A) \to C_\bullet(X) \to C_\bullet(X)/C_\bullet(A) \to 0.

^[9]

5. 2. 코호몰로지

사슬 복합체를 쌍대화하여(즉, 환 ''R''을 사용하여 Hom(-, ''R'') 펀터를 적용하여, 여기서 ''R''은 임의의 환) 코경계 사상

\delta

을 갖는 코사슬 복합체를 얻는다. ''X''의 '''코호몰로지 군'''은 이 복합체의 호몰로지 군으로 정의된다. 즉, "코호몰로지는 코 [쌍대 복합체]의 호몰로지"이다.

코호몰로지 군은 호몰로지 군보다 더 풍부하거나 최소한 더 익숙한 대수적 구조를 갖는다. 먼저 다음과 같이 미분 등급 대수를 형성한다.

등급 군의 등급 집합은 등급 ''R''-가군을 형성한다.
이것은 컵 곱을 사용하여 등급 ''R''-대수 (환론)의 구조를 가질 수 있다.
복슈타인 준동형 ''β''는 미분을 제공한다.

추가적인 코호몰로지 연산이 있으며, 코호몰로지 대수는 ''p''를 modulo로 하는 추가적인 구조를 갖는다(이전과 마찬가지로, mod ''p'' 코호몰로지는 코호몰로지의 mod ''p'' 감소가 아니라 mod ''p'' 코사슬 복합체의 코호몰로지이다). 특히 슈틴로드 대수 구조가 있다.

참조

_[1] 서적 Algebraic Topology
_[2] 서적 Algebraic Topology
_[3] 서적 Algebraic Topology
_[4] 서적 Algebraic Topology
_[5] 서적 Algebraic Topology
_[6] 서적 Algebraic Topology
_[7] 서적 Algebraic Topology
_[8] 서적 Algebraic Topology
_[9] 서적 Algebraic Topology
_[10] 서적 Algebraic Topology
_[11] 서적 Algebraic topology

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