호모토피 범주

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 단순 호모토피 범주 (Naive Homotopy Category)
- 2.2. 퀼런의 호모토피 범주 (The Homotopy Category, following Quillen)
3. 성질
- 3.1. 퀼런 수반 (Quillen Adjunction)
4. 예
- 4.1. Eilenberg–MacLane 공간
- 4.2. 밑점 공간 (Pointed Version)
5. 구체적 범주 (Concrete Categories)
6. 모형 범주 (Model Categories)
참조

1. 개요

호모토피 범주는 모형 범주에서 약한 동치에 대해 국소화하여 얻는 범주이다. 위상 공간의 범주에서 연속 함수의 호모토피류를 사상으로 갖는 단순 호모토피 범주와 약한 호모토피 동치를 역전시켜 얻는 퀼런의 호모토피 범주가 있다. 호모토피 범주는 위상 불변량을 정의하는 데 사용되며, 퀼런 수반, 유도 범주, 안정 호모토피 범주 등 다양한 수학적 구조와 관련된다.

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호모토피 범주

2. 정의

모형 범주 $(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)$ 가 주어졌다고 하자. 이에 대응하는 '''호모토피 범주'''(homotopy category^영어) $\operatorname{Ho}(\mathcal C)$ 는 다음과 같은 범주이다.

$\operatorname{Ho}(\mathcal C)$ 의 대상들은 $\mathcal C$ 의 대상 가운데 올대상이자 쌍대올대상인 것들이다.
$\operatorname{Ho}(\mathcal C)$ 의 사상들은 $\mathcal C$ 의 사상들의 호모토피류이다. (정의역과 공역이 모두 올대상이자 쌍대올대상일 경우), 오른쪽 호모토픽 및 왼쪽 호모토픽 조건이 서로 동치이다.

2. 1. 단순 호모토피 범주 (Naive Homotopy Category)

위상 공간의 범주 '''Top'''은 대상으로 위상 공간을 가지고, 사상으로는 이들 사이의 연속 함수를 가진다. 호모토피 범주 '''hTop'''의 (더 오래된) 정의는 '''Top'''과 동일한 대상을 가지지만, 사상은 연속 함수의 호모토피류이다. 이 정의에 따른 '''hTop'''은 명확성을 위해 '''단순 호모토피 범주'''^[1]라고도 불린다. 즉, 두 연속 함수 ''f'' : ''X'' → ''Y''가 서로 연속적으로 변형될 수 있다면, 단순 호모토피 범주에서는 동일한 사상으로 간주된다.

위상 공간을 자신에게 대응시키고 사상을 해당 사상의 호모토피류로 보내는 함자가 '''Top'''에서 '''hTop'''으로 존재한다.

단순 호모토피 범주 '''hTop'''에서 어떤 사상 ''f'' : ''X'' → ''Y''가 동형 사상일 때, 이 사상 ''f''를 호모토피 동치라고 부른다.^[2]

예를 들어, 원 ''S''¹, 원점을 제외한 평면 '''R'''², 그리고 뫼비우스의 띠는 서로 위상 동형은 아니지만, 모두 호모토피 동치 관계에 있다.

표기 [''X'',''Y'' ]는 단순 호모토피 범주에서 공간 ''X''에서 공간 ''Y''로 가는 사상들의 집합, 즉 hom-set을 나타내는 데 종종 사용된다. (이 표기는 아래에서 다룰 관련된 다른 범주에도 사용된다.)

2. 2. 퀼런의 호모토피 범주 (The Homotopy Category, following Quillen)

퀼런(Quillen)은 1967년 연구에서 위상 공간의 범주를 더 단순화한 또 다른 형태의 호모토피 범주를 강조했다. 호모토피 이론 연구자들은 때때로 두 가지 종류의 호모토피 범주를 모두 다루지만, 퀼런이 제시한 버전이 더 중요하게 여겨지며, 종종 단순히 '호모토피 범주'라고 불린다.^[3]

퀼런의 접근 방식에서는 먼저 약한 호모토피 동치(weak homotopy equivalence)라는 개념을 정의한다. 어떤 연속 함수가 공간의 경로 성분 집합 사이에 전단사를 유도하고, 임의의 기점을 갖는 호모토피 군들 사이에서도 전단사를 유도할 때, 이 함수를 약한 호모토피 동치라고 부른다.

이렇게 정의된 약한 호모토피 동치를 이용하여 (퀼런의) '''호모토피 범주'''(homotopy category^영어)는 위상 공간의 범주를 약한 호모토피 동치라는 사상들에 대해 국소화(localization)하여 정의된다. 구체적으로 말하면, 호모토피 범주의 대상은 여전히 위상 공간들이지만, 모든 약한 호모토피 동치에 대해 그 역원을 형식적으로 추가하는 과정을 거친다. 이 과정의 결과로, 어떤 연속 함수가 호모토피 범주에서 동형 사상이 되는 것은 그 함수가 약한 호모토피 동치일 때와 필요충분 조건이 된다.

위상 공간의 범주에서 앞서 언급된 (단순) 호모토피 범주로 가는 자연스러운 함자가 존재하며, 다시 이 단순 호모토피 범주에서 퀼런의 호모토피 범주로 가는 함자가 있다.

특히, J. H. C. 화이트헤드가 증명한 화이트헤드의 정리와 CW 근사(CW approximation)의 존재와 같은 결과들은^[4] 호모토피 범주를 더 명확하게 이해할 수 있는 방법을 제공한다. 이 결과들에 따르면, 호모토피 범주는 모든 대상이 CW 복합체인 단순 호모토피 범주의 전체 부분 범주와 동치이다. 이는 호모토피 범주가 위상 공간 범주가 가진 복잡성의 상당 부분을 제거하고 더 다루기 쉬운 구조를 제공함을 의미한다.

'''예시:'''

자연수 집합

X = \{0, 1, 2, ...\}

와 집합

Y = \{0\} \cup \{1, 1/2, 1/3, ...\}

를 생각해보자. 두 집합 모두 실수선 위의 부분 공간 위상을 갖는다고 가정한다. 함수

f: X \to Y

를

f(0) = 0

이고, 양의 정수

n

에 대해

f(n) = 1/n

으로 정의하자. 이 함수

f

는 연속 함수이며, 실제로 약한 호모토피 동치이다. 하지만

f

는 호모토피 동치는 아니다. 따라서 단순 호모토피 범주에서는

X

와

Y

가 서로 다른 대상으로 취급되지만, (퀼런의) 호모토피 범주에서는

X

와

Y

가 동형이 된다.

위상 공간

X

와

Y

에 대해, 표기법

[X, Y]

는 문맥에 따라 단순 호모토피 범주 또는 (퀼런의) 호모토피 범주에서

X

에서

Y

로 가는 사상들의 집합을 나타내는 데 사용될 수 있다.

3. 성질

모형 범주 $(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)$ 에서, 그 호모토피 범주(homotopy category^영어)로 가는 함자 $H\colon \mathcal C\to\operatorname{Ho}(\mathcal C)$ 는 항상 존재하며, 다음 성질들을 만족시킨다.

$\mathcal C$ 안의 약한 동치 $w\in\mathfrak W$ 의 상 $Hw$ 는 $\operatorname{Ho}(\mathcal C)$ 의 동형 사상이다.
올대상이자 쌍대올대상인 대상 $X\in\mathcal C$ 의 상 $H(X)$ 는 $X$ 자신이다.
올대상이자 쌍대올대상인 두 대상 $X,Y\in\mathcal C$ 및 사상 $f\in\hom_{\mathcal C}(X,Y)$ 에 대하여, $Hf\in\hom_{\operatorname{Ho}(\mathcal C)}(X,Y)$ 는 $f$ 의 호모토피류이다.

이러한 조건을 만족하는 함자

H

는 일반적으로 유일하지 않다. 하지만, 이러한 두 함자 사이에는 항상 유일한 자연 동형이 존재한다.

3. 1. 퀼런 수반 (Quillen Adjunction)

두 모형 범주

\mathcal C

,

\mathcal D

사이에 퀼런 수반 함자

:

F\colon\mathcal C\to\mathcal D

:

G\colon\mathcal D\to\mathcal C

:

F\dashv G

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각각 왼쪽 유도 함자

:

\operatorname LF\colon\operatorname{Ho}(\mathcal C)\to\operatorname{Ho}(\mathcal D)

와 오른쪽 유도 함자

:

\operatorname RG\colon\operatorname{Ho}(\mathcal D)\to\operatorname{Ho}(\mathcal C)

를 정의할 수 있다. 여기서

\operatorname{Ho}(\mathcal C)

와

\operatorname{Ho}(\mathcal D)

는 각각

\mathcal C

와

\mathcal D

의 호모토피 범주이다. 이 유도 함자들 역시 서로 수반 함자 관계

:

\operatorname LF\dashv \operatorname RG

를 이룬다.

4. 예

위상 공간의 호모토피 범주와 단순 호모토피 범주의 차이를 보여주는 예시는 다음과 같다.

''X''를 자연수 집합 {0, 1, 2, ...}으로 하고, ''Y''를 집합 {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}으로 정의하자. 두 공간 모두 실수선 위의 부분 공간 위상을 갖는다. 함수 ''f'' : ''X'' → ''Y''를 다음과 같이 정의한다:

''f''(0) = 0
양의 정수 ''n''에 대해 ''f''(''n'') = 1/''n''

이 함수 ''f''는 연속 함수이며, 약한 호모토피 동치이기도 하다. 하지만 ''f''는 호모토피 동치는 아니다.

이 예시는 단순 호모토피 범주와 (실제) 호모토피 범주^[3]의 중요한 차이를 보여준다. 단순 호모토피 범주에서는 공간 ''X''와 ''Y''를 서로 다른 대상으로 취급하지만, 호모토피 범주에서는 이 둘이 동형이 된다. 이는 호모토피 범주가 약한 호모토피 동치를 동형 사상으로 간주하기 때문이다. 약한 호모토피 동치는 연속 함수가 경로 성분의 집합에 대한 전단사와 임의의 기점을 갖는 호모토피 군에 대한 전단사를 유도하는 경우를 말한다. 호모토피 범주는 이러한 약한 호모토피 동치에 대해 위상 공간 범주를 국소화하여 정의된다.

위상 공간 ''X''와 ''Y''에 대해 표기법 [''X'',''Y'']는 문맥에 따라 단순 호모토피 범주 또는 실제 호모토피 범주에서 ''X''에서 ''Y''로의 사상 집합을 나타내는 데 사용될 수 있다.

4. 1. Eilenberg–MacLane 공간

특이 코호몰로지는 호모토피 범주에서 중요한 성질을 가지는데, 바로 표현 가능 함자라는 점이다. 이는 각 아벨 군 ''A''와 자연수 ''i''에 대해, 특별한 CW 복합체인 Eilenberg–MacLane 공간 ''K''(''A'',''i'')와 특정 코호몰로지 클래스 ''u'' ∈ ''H''^''i''(''K''(''A'',''i''),''A'')가 존재한다는 것을 의미한다.^[6]

이 공간과 클래스를 이용하면, 임의의 위상 공간 ''X''에 대해 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.

:

[X,K(A,i)] \to H^i(X,A)

이 함수는 코호몰로지 클래스 ''u''를 공간 ''X''로 당겨오는 방식으로 정의되며, 모든 위상 공간 ''X''에 대해 전단사(일대일 대응)가 된다.^[6] 여기서 [''X'',''Y'' ]는 ''X''에서 ''Y''로 가는 사상들의 호모토피 클래스 집합을 나타낸다. 이 명제가 모든 위상 공간 ''X''에 대해 성립하려면, 진정한 호모토피 범주에서의 사상 집합으로 이해해야 한다. 만약 ''X''가 CW 복합체라면, 순진한 호모토피 범주에서도 이 성질이 성립한다.

4. 2. 밑점 공간 (Pointed Version)

밑점 공간은 위상 공간 ''X''와 그 안의 한 점 ''x''(이를 기저점이라 부른다)를 함께 묶은 쌍 (''X'', ''x'')을 말한다. 밑점 공간들의 범주 '''Top'''_*는 밑점 공간을 대상으로 삼고, 한 밑점 공간 (''X'', ''x''₀)에서 다른 밑점 공간 (''Y'', ''y''₀)으로 가는 사상 ''f'' : ''X'' → ''Y''는 기저점 ''x''₀를 ''y''₀로 보내는(''f''(''x''₀) = ''y''₀) 연속 함수이다.

밑점 공간의 순진한 호모토피 범주는 같은 대상(밑점 공간)을 가지지만, 사상은 밑점 사상들의 호모토피 동치류이다. 여기서 호모토피는 변형되는 동안 내내 기저점을 고정시킨다. 밑점 공간의 "진정한" 호모토피 범주는 범주 '''Top'''_*에서 약한 호모토피 동치인 밑점 사상들을 동형 사상으로 만들어 얻는 범주이다.

밑점 공간 ''X''와 ''Y'' 사이의 사상 집합을 나타내는 기호 [''X'', ''Y'']는 문맥에 따라 위에서 언급한 두 종류의 밑점 공간 호모토피 범주 중 하나의 사상 집합을 의미할 수 있다.

호모토피 이론의 중요한 개념 중 일부는 일반적인 위상 공간의 범주보다는 밑점 공간의 범주에서 더 자연스럽게 정의된다. 예를 들어, 현수 Σ''X''와 루프 공간 Ω''X''은 밑점 공간 ''X''에 대해 정의되며 또 다른 밑점 공간을 생성한다. 또한, 스매시 곱 ''X''∧''Y''는 두 밑점 공간 ''X''와 ''Y''로부터 새로운 밑점 공간을 만드는 중요한 연산이다. 예를 들어, 현수는 원 ''S''¹과의 스매시 곱으로 정의할 수 있다:

\Sigma X = S^1\wedge X.

현수 함자 Σ와 루프 공간 함자 Ω는 수반 함자 쌍을 형성하며, 이는 모든 밑점 공간 ''X''와 ''Y''에 대해 다음 자연 동형사상이 성립함을 의미한다:

[\Sigma X, Y] \cong [X,\Omega Y]

5. 구체적 범주 (Concrete Categories)

호모토피 범주의 대상은 추가적인 구조를 가진 집합이지만, 사상은 그들 사이의 실제 함수가 아니라, 순진한 호모토피 범주에서는 함수들의 클래스이고, 호모토피 범주에서는 함수들의 "지그재그"이다. 실제로, 프레이드는 가리켜진 공간의 순진한 호모토피 범주나 가리켜진 공간의 호모토피 범주가 구체적 범주가 아님을 보였다. 이는 이 범주에서 집합의 범주로 가는 충실한 함자가 존재하지 않음을 의미한다.^[7]

6. 모형 범주 (Model Categories)

모형 범주 $(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)$ 는 세 가지 특수한 유형의 사상, 즉 올(fibration), 코올(cofibration), 약한 동치(weak equivalence)를 포함하는 범주 ''C''이며, 여러 공리를 만족한다. 주어진 모형 범주 ''C''에 대응하는 호모토피 범주(homotopy category^영어) $\operatorname{Ho}(\mathcal C)$ 는 ''C''를 약한 동치에 대해 국소화하여 정의된다.

구체적으로, 호모토피 범주 $\operatorname{Ho}(\mathcal C)$ 는 다음과 같이 구성된다.

$\operatorname{Ho}(\mathcal C)$ 의 대상은 $\mathcal C$ 의 대상 중 올대상이자 쌍대올대상인 것들이다.
$\operatorname{Ho}(\mathcal C)$ 의 사상은 $\mathcal C$ 의 사상들의 호모토피류이다. (정의역과 공역이 모두 올대상이고 쌍대올대상일 경우, 오른쪽 호모토피와 왼쪽 호모토피 조건은 서로 동치이다.)

모형 범주

\mathcal C

에서 그 호모토피 범주

\operatorname{Ho}(\mathcal C)

로 가는 함자

H\colon \mathcal C\to\operatorname{Ho}(\mathcal C)

가 항상 존재하며 다음 조건을 만족한다.

$\mathcal C$ 속의 약한 동치 $w\in\mathfrak W$ 의 상 $Hw$ 는 $\operatorname{Ho}(\mathcal C)$ 의 동형 사상이다.
올대상이고 쌍대올대상인 대상 $X\in\mathcal C$ 의 상 $H(X)$ 는 $X$ 자신이다.
올대상이고 쌍대올대상인 두 대상 $X,Y\in\mathcal C$ 및 사상 $f\in\hom_{\mathcal C}(X,Y)$ 에 대하여, $Hf\in\hom_{\operatorname{Ho}(\mathcal C)}(X,Y)$ 는 $f$ 의 호모토피류이다.

이러한 함자는 일반적으로 유일하지 않지만, 두 함자 사이에는 항상 유일한 자연 동형이 존재한다.

이 구성을 위상 공간의 범주에 적용할 수 있다. 위상 공간의 범주에는 표준 모형 구조(standard model structure, 때로는 퀼런 모형 구조(Quillen model structure)라고도 함)가 주어지는데, 이 모형 구조를 갖는 모형 범주에 위 구성을 적용하면 위에서 정의된 호모토피 범주가 제공된다. 범주를 얼마나 단순화하고 싶은지에 따라 위상 공간의 범주에는 다른 많은 모형 구조가 고려되었다. 예를 들어, 위상 공간에 대한 휴레비치 모형 구조(Hurewicz model structure)에서 관련된 호모토피 범주는 위에서 정의된 기본적인 호모토피 범주(naive homotopy category)이다.^[8]

동일한 호모토피 범주는 여러 다른 모형 범주에서 발생할 수 있다. 중요한 예는 단순 집합에 대한 표준 모형 구조이다. 관련된 호모토피 범주는 단순 집합이 위상 공간이 없는 조합적으로 정의된 객체임에도 불구하고 위상 공간의 호모토피 범주와 동치이다. 일부 위상수학자들은 대신 콤팩트 생성 공간인 약한 하우스도르프 공간을 사용하는 것을 선호한다. 다시 말해, 표준 모형 구조를 사용하면 관련된 호모토피 범주는 모든 위상 공간의 호모토피 범주와 동치이다.^[9]

모형 범주의 보다 대수적인 예로, ''A''를 그로텐디크 아벨 범주(Grothendieck abelian category)로, 예를 들어 환 위의 가군 범주 또는 위상 공간의 아벨 군의 층 범주를 고려해 보자. 그러면 ''A''의 객체의 사슬 복합체의 범주에 약한 동치가 준동형사상인 모형 구조가 있다.^[10] 결과적인 호모토피 범주는 유도 범주 D ''A''라고 한다.

마지막으로, 안정 호모토피 범주(stable homotopy category)는 스펙트럼의 범주에 대한 모형 구조와 관련된 호모토피 범주로 정의된다. 다양한 스펙트럼 범주가 고려되었지만, 모든 허용된 정의는 동일한 호모토피 범주를 생성한다.

참조

_[1] harvnb
_[2] harvnb
_[3] harvnb
_[4] harvnb
_[5] harvnb
_[6] harvnb
_[7] harvnb
_[8] harvnb
_[9] harvnb
_[10] harvnb

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