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평행

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목차

1. 개요

평행은 기하학에서 두 직선, 평면, 또는 그 이상의 대상이 서로 만나지 않으면서 일정한 거리를 유지하는 관계를 의미한다. 평행을 나타내는 기호는 ∥이며, 유클리드 기하학에서는 평행선의 정의와 성질을 통해 설명된다. 3차원 공간에서는 직선과 평면, 평면과 평면 사이의 평행 관계가 정의된다. 비유클리드 기하학에서는 평행선의 개념이 측지선을 기반으로 하며, 쌍곡 기하학, 구면 기하학 등에서 다른 양상을 보인다. 평행 관계는 추이적이며, 아핀 기하학에서는 동치 관계로 간주되기도 한다.

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평행

2. 기호

평행 기호는 \parallel이다.[20][21] 예를 들어 AB \parallel CD는 선분 ''AB''와 선분 ''CD''가 평행함을 나타낸다.

유니코드에서 "평행" 기호는 U+2225 (∥), "평행하지 않음" 기호는 U+2226 (∦)이다.[3]

3. 유클리드 기하학에서의 평행

유클리드 기하학에서 평행인 두 직선은 다음과 같은 성질을 갖는다.[4]


  • 등거리성: 한 직선 위의 모든 점은 다른 직선과 같은 거리에 있다.
  • 불교차성: 두 직선은 아무리 늘여도 서로 만나지 않는다.
  • 횡단선 성질: 두 직선이 다른 한 직선(횡단선)과 만날 때, 동위각의 크기가 같다.


이러한 성질들은 유클리드의 제5 공준과 동치이다. 즉, 이 중 하나를 정의로 삼으면 나머지는 정리가 된다. 보통은 두 번째 성질을 평행선의 정의로 사용한다.[4]

비유클리드 기하학에서는 평행선 공준이 성립하지 않으므로, 평행선이 서로 만나는 경우가 존재한다.

평행선의 개념은 유클리드 원론 제1권 정의 23에 처음 등장한다.[5] 고대 그리스 수학자들은 평행선 공준을 증명하려는 시도 속에서 다양한 평행선의 정의를 논의했고, 프로클로스는 포세이도니우스가 평행선을 등거리선으로 정의했다고 기록했다.[5]

3. 1. 평면에서의 두 직선

유클리드 기하학에서 평면 위의 두 직선이 평행할 조건은 다음과 같다. 이 조건들은 동치이며, 이 중 하나를 평행선의 정의로 사용할 수 있다.

# 등거리선: 직선 m 위에 있는 모든 점은 직선 l과 같은 거리에 있다.

# 두 직선은 아무리 늘여도 만나지 않는다. 즉, 직선 m은 직선 l과 동일한 평면에 있지만 l과 교차하지 않는다.

# 횡단선: 두 직선이 또 다른 하나의 직선과 만날 때 동위각의 크기가 합동이다.

이 조건들은 동등하므로, 이 중 하나를 유클리드 공간에서 평행선의 정의로 사용할 수 있지만, 첫 번째 및 세 번째 조건은 측정을 포함하므로 두 번째 조건보다 "더 복잡"하다. 따라서 두 번째 조건이 유클리드 기하학에서 평행선의 정의로 일반적으로 선택된다.[4] 다른 조건들은 유클리드의 평행선 공준의 결과이다. 기울기를 통해, 두 직선이 평행하다는 것은 그들의 기울기가 같다는 것으로 정의할 수 있다.

비유클리드 기하학은 유클리드의 제5공준을 부정하는 데서 출발하기 때문에, 평행선이 서로 만나는 다양한 경우를 다룬다.

평행선 사이의 거리는 두 직선의 방정식을 이용하여 계산할 수 있다.

3. 1. 1. 역사

유클리드 원론 제1권 정의 23에 평행선의 정의가 나타난다.[5] 고대 그리스 수학자들은 평행선 공준을 증명하려는 시도 속에서 다양한 평행선의 정의를 논의했다. 프로클로스는 포세이도니우스가 평행선을 등거리선으로 정의했다고 보았고, 게미누스의 비슷한 견해를 인용했다. 심플리키우스 또한 포세이도니우스의 정의와 철학자 아가니스가 이를 수정한 내용을 언급했다.[5]

19세기 말, 영국에서 유클리드의 원론은 여전히 중등학교의 표준 교과서였다. 사영 기하학과 비유클리드 기하학의 새로운 발전으로 인해 기하학에 대한 전통적인 접근 방식은 변화를 강요받았고, 이에 따라 기하학 교육을 위한 새로운 교과서가 여러 권 쓰여졌다.[6] 이 개혁 교과서들은 평행선을 다루는 방식에서 서로, 그리고 유클리드와 차이를 보였다.[6] 찰스 도지슨(일명 루이스 캐럴)은 '유클리드와 그의 현대 경쟁자'라는 희곡을 통해 이러한 교과서들을 비판했다.[7]

초기 개혁 교과서 중 하나는 1868년 제임스 모리스 윌슨의 '기하학 원론'이었다.[8] 윌슨은 '방향'이라는 원초적 개념에 기반하여 평행선을 정의했다. 빌헬름 킬링에 따르면[9] 이 개념은 라이프니츠까지 거슬러 올라간다.[10] 윌슨은 그의 여섯 번째 정의에서 "서로 만나는 두 직선은 다른 방향을 가지며, 그 방향의 차이는 그들 사이의 ''각''이다."라고 썼고, 정의 15에서는 "''같은 방향''을 가지지만, 같은 직선의 일부가 아닌 직선을 ''평행선''이라고 부른다."라고 평행선을 소개했다. 오거스터스 드 모건은 이 정의와 윌슨이 이를 사용하여 평행선을 증명하는 방식에 근거하여 이 책을 실패작이라 평가했다. 도지슨 또한 그의 희곡 상당 부분(2막 6장 § 1)을 윌슨의 평행선 처리를 비난하는 데 할애했다. 윌슨은 결국 이 개념을 그의 책 제3판 및 이후 판에서 삭제했다.[11]

다른 개혁가들이 제안한 평행선 정의 대체 속성들은 좋은 결과를 얻지 못했다. 도지슨이 지적했듯, 주요 문제는 이 속성들을 사용하려면 시스템에 추가적인 공리가 필요하다는 점이었다. 1874년 프란시스 커스버트슨은 그의 책 '유클리드 기하학'에서 포세이도니우스의 등거리선 정의는 한 직선의 한쪽에 고정된 거리에 있는 점들이 직선을 형성한다는 것을 보여야 한다는 문제점이 있다고 설명했다. 이는 증명할 수 없으며, 참이라고 가정해야 했다.[12] W. D. 쿨리는 1860년 그의 책 '기하학 원론, 단순화 및 설명'에서 횡단선에 의해 형성된 대응각 속성을 사용했지만, 한 횡단선이 일련의 선과 합동인 대응각으로 만나면 모든 횡단선도 그래야 한다는 사실을 증명해야 했다. 이 역시 새로운 공리가 필요했다.

3. 1. 2. 평행선 작도

주어진 점을 지나고 주어진 직선에 평행한 직선을 작도하는 방법은 위의 세 가지 평행 조건에 기반한다.[13]

문제: 점 a를 지나고 직선 l에 평행한 직선을 긋는 것


; 작도법:

1: 직선 m은 직선 l에 대한 거리가 모든 곳에서 같다


2: a를 지나는 임의의 직선이 l과 x에서 교차할 때, x를 무한대로 이동시킨다


3: a를 지나는 l, m에 공통인 횡단선이 양자와 직각으로 교차한다

3. 2. 3차원 공간에서의 평행

3차원 공간에서 만나지 않는 두 직선은 평행할 필요가 없다. 공통 평면에 놓여 있을 경우에만 평행이라고 하며, 그렇지 않은 경우 꼬인 위치에 있다고 한다.

3차원 공간에서 서로 다른 두 직선 ''l''과 ''m''이 평행하기 위한 필요충분조건은, 직선 ''m'' 위의 점 ''P''에서 직선 ''l''까지의 가장 가까운 점까지의 거리가 직선 ''m''에서 ''P''의 위치에 관계없이 일정하다는 것이다. 꼬인 위치에 있는 선에서는 이것이 성립하지 않는다.

3차원 공간에서 선 ''m''과 평면 ''q''가 평행하다는 것은, 선이 평면에 포함되지 않을 때, 두 대상이 만나지 않는 경우와 동치이다. 또는, 선 ''m'' 위의 점 ''P''에서 평면 ''q''까지의 가장 가까운 점까지의 거리가 선 ''m'' 위의 ''P''의 위치에 관계없이 일정할 때, 두 대상이 평행하다고 할 수 있다.

평행선이 같은 평면에 위치해야 하는 것과 마찬가지로, 평행 평면은 같은 3차원 공간에 위치해야 하며 공통된 점을 포함하지 않아야 한다. 두 개의 서로 다른 평면 ''q''와 ''r''은 평면 ''q''의 점 ''P''에서 평면 ''r''의 가장 가까운 점까지의 거리가 평면 ''q''에서 ''P''의 위치에 관계없이 일정할 때, 즉 서로 평행하다. 두 평면이 같은 3차원 공간에 있지 않으면 이 조건은 성립하지 않는다.

4. 비유클리드 기하학에서의 평행

비유클리드 기하학에서는 직선 대신 측지선이라는 더 일반적인 개념을 사용한다.[14] 측지선은 주어진 기하학에서 두 점 사이의 최단 경로를 의미한다. 유클리드의 제5 공준을 부정하면서, 평행선이 서로 만나는 다양한 경우를 다룬다.

쌍곡 기하학에서는 두 측지선이 교차, 평행, 초평행의 세 가지 관계를 가질 수 있다.[15]


  • '''교차''': 평면에서 공통된 점에서 교차한다.
  • '''평행''': 평면에서 교차하지 않지만 무한대(이상점)에서 공통적인 극한점에 수렴한다.
  • '''초평행''': 무한대에서 공통적인 극한점을 갖지 않는다.


'''교차''', '''평행''', '''초평행'''선은 쌍곡 평면에서 ''l''에 관하여 ''a''를 통과한다. 평행선은 이미지 바로 바깥에서 ''l''과 교차하는 것처럼 보인다. 이것은 시각화의 단순한 산물일 뿐이다. 실제 쌍곡 평면에서 선들은 서로 가까워지고 무한대에서 '만난다'.


문헌에서 ''초평행'' 측지선은 종종 ''비교차''라고 불린다. ''무한대에서 교차하는 측지선''은 ''극한 평행''이라고 불린다.

구면 기하학 또는 타원 기하학에서는 모든 측지선이 대원이며, 서로 교차한다. 따라서 평행한 측지선이 존재하지 않는다. 구에서 같은 거리에 있는 곡선을 '''위도선'''이라고 하며, 이는 지구본의 위도선과 유사하다.

구에서는 평행선과 같은 것은 존재하지 않는다. 선 ''a''는 대원으로, 구면 기하학에서 직선에 해당한다. 선 ''c''는 선 ''a''와 거리가 같지만 대원은 아니다. 이것은 위도선이다. 선 ''b''는 두 개의 대척점에서 ''a''와 교차하는 또 다른 측지선이다. 이들은 두 개의 공통 수선(파란색으로 표시됨)을 공유한다.

5. 반사적 변형

아핀 기하학에서는 평행 관계를 동치 관계로 만들기 위해, 직선이 자기 자신과 평행하다고 정의하는 경우가 있다.[16][17][18] 에밀 아르틴은 1957년에 두 선이 모든 점을 공유하거나 전혀 공유하지 않을 경우 평행하다는 정의를 채택했다.[19] 그러면 선은 자기 자신과 평행하게 되어 반사 및 추이 속성이 이러한 유형의 평행에 속하게 되며, 선 집합에 대한 동치 관계를 생성한다. 사건 기하학 연구에서 이러한 평행의 변형은 아핀 평면에서 사용된다.

종합 아핀 기하학에서 직선이 서로 평행하다는 관계는 유클리드 기하학에서의 용법에서 약간 수정된 기본 개념이다. 평행성이 대칭적이면서 추이적인 관계라는 것은 명백하며, 그것이 반사적이라면 동치 관계가 된다. 보통 유클리드 기하학에서는 직선은 자기 자신과 평행하다고 생각하지 않지만, 아핀 기하학에서는 자기 자신과 평행하다고 생각하는 것이 편리하다.[24][25]

이러한 종류의 평행 관계를 설명하는 다른 방법은, 교집합이 점 하나가 아닌 교선을 고려하는 것이다. 즉, 두 직선이 서로 평행하다는 것은, 그들의 모든 점이 같거나(일치), 그렇지 않으면 공통점이 하나도 없는 것으로 한다. 아핀 기하학 및 유클리드 기하학에서 사용되는 평행 관계는 평면상의 직선 전체가 이루는 집합에 대한 추이적 관계를 이룬다는 주장과 동치이다.[26]

6. 한국의 관점

한국의 수학 교육과정에서는 주로 유클리드 기하학의 평행 개념을 다룬다. 유클리드의 제5 공준에 따르면, 두 평행선은 아무리 늘여도 만나지 않으며, 또 다른 하나의 직선과 만날 때 동위각과 엇각의 크기가 같다. 평행선의 성질은 도로 설계나 건물 건축 등 실생활 문제 해결에 응용될 수 있다.[1]

비유클리드 기하학은 유클리드의 제5 공준을 부정하는 데서 출발하기 때문에 평행선이 서로 만나는 다양한 경우를 다룬다. 비유클리드 기하학의 평행 개념은 고급 수학 과정에서 소개되며, 현대 물리학의 상대성 이론 등을 이해하는 데 필요한 배경 지식을 제공한다.[1]

2007년 민주당 정부는 교육과정을 개정하여, 학생들의 창의적 사고력과 문제 해결 능력을 향상시키는 방향으로 수학 교육을 개혁하였다. 이 개정 교육과정은 평행선의 성질을 실생활과 연결하여 학습하도록 권장하고 있다. 2015년 개정 교육과정에서는 핵심 역량 중심 교육을 강조하여, 평행과 관련된 내용을 통해 학생들의 추론, 의사소통, 정보 처리 능력을 함양하는 것을 목표로 하고 있다.[1]

참조

[1] 서적 Handbook of mathematics and computational science https://books.google[...] Birkhäuser
[2] 문서
[3] 웹사이트 Mathematical Operators – Unicode Consortium https://www.unicode.[...] 2013-04-21
[4] 간행물
[5] 간행물
[6] 간행물
[7] 서적 Euclid and His Modern Rivals Barnes & Noble 2009
[8] 간행물
[9] 문서
[10] 간행물
[11] 간행물
[12] 간행물
[13] 문서
[14] 웹사이트 A Not So Gentle Introduction to General Relativity https://web.stanford[...] 2022-12-03
[15] 웹사이트 5.3: Theorems of Hyperbolic Geometry https://math.librete[...] 2024-08-22
[16] 서적 Introduction to Geometry John Wiley & Sons
[17] 서적 From Affine to Euclidean Geometry D. Reidel
[18] 논문 Is parallelism an equivalence relation?
[19] 서적 Geometric Algebra https://archive.org/[...] Internet Archive
[20] 서적 Algebra 1673
[21] 서적 A History of Mathematical Notations - Notations in Elementary Mathematics https://monoskop.org[...] Open court publishing company 1993
[22] 서적 Euclid and His Modern Rivals Barnes & Noble
[23] 문서
[24] 서적 Introduction to Geometry John Wiley & Sons
[25] 서적 From Affine to Euclidean Geometry D. Reidel
[26] 논문 Is parallelism an equivalence relation?


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