프라운호퍼 회절

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1. 개요
2. 프라운호퍼 회절의 조건 및 계산
- 2.1. 프라운호퍼 회절 조건
- 2.2. 프라운호퍼 회절 방정식
3. 프라운호퍼 회절의 응용 및 예시
참조

1. 개요

프라운호퍼 회절은 광선이 장애물에 의해 부분적으로 차단될 때 빛이 물체 주위로 산란되어 그림자 가장자리에 밝고 어두운 띠가 나타나는 현상으로, 광원과 관측면이 회절 구멍으로부터 충분히 멀리 떨어져 있을 때 발생하는 회절 현상이다. 프라운호퍼 회절은 키르히호프의 회절 공식을 단순화한 버전으로, 회절 구멍의 크기, 파장, 거리 등의 조건을 만족해야 한다. 프라운호퍼 회절은 슬릿, 이중 슬릿, 원형 구멍, 회절 격자 등 다양한 개구부를 통해 나타나며, 단일 슬릿 회절, 이중 슬릿 회절, 에어리 원판, 회절 격자 등의 형태로 응용된다.

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프라운호퍼 회절
개요
단일 슬릿에서의 프라운호퍼 회절
다른 이름	원거리 회절
설명
정의	회절 패턴이 관찰 지점에서 멀리 떨어진 경우 (광원이 또한 멀리 있는 경우)의 회절
조건	광원과 회절 물체가 서로 멀리 떨어져 있고, 회절된 파동이 평면파로 근사될 수 있음
관련 인물	요제프 폰 프라운호퍼
특징
관찰 위치	회절 물체로부터 무한히 먼 거리 (실제로는 초점 거리가 충분히 긴 렌즈를 사용하여 초점면에 투영)
파면	평면파
수학적 표현	푸리에 변환을 사용하여 회절 패턴 계산 가능
응용
광학	렌즈의 성능 평가, 분광학
천문학	망원경의 분해능 결정
재료 과학	결정 구조 분석
참고
관련 개념	근거리 회절 (프레넬 회절)
관련 법칙	호이겐스-프레넬 원리

2. 프라운호퍼 회절의 조건 및 계산

프라운호퍼 회절은 광원, 회절 물체(개구), 스크린이 서로 충분히 멀리 떨어져 있을 때 성립한다. 이때 회절 현상은 다음 방정식으로 기술된다.^[4]^[5]^[6]^[7]

파수 ''k''의 단색광 평면파가 개구함수 ''f'' (''x'', ''y'')로 표현되는 개구를 통과할 때, 거리 ''R'' 만큼 떨어진 스크린 상의 진폭 분포 ''u'' (''x''′, ''y''′)는 다음과 같다. 여기서 입사광을 평면파로 간주하는 것은 점광원이 무한히 멀리 떨어져 있다고 생각하는 것과 같다.

: $u(x',y')= \frac{A}{i \lambda R}e^{ikr} \iint f(x,y)\, e^{-ik(xx'+yy')/r} dxdy$

이것이 프라운호퍼 회절식이며, 개구 함수 ''f'' (''x'', ''y'')의 푸리에 변환 형태로 나타낼 수 있다. 즉, 함수 ''f'' (''x'', ''y'')로 표현되는 물체에 의해 프라운호퍼 회절을 일으킨 파의 진폭 ''u'' (''x''′, ''y''′)은 함수 ''f'' (''x'', ''y'')의 푸리에 변환에 대응한다.

프라운호퍼 회절은 개구 중심에서 스크린 상의 점 (''x''′, ''y''′)까지의 거리 ''r''이 개구 크기보다 충분히 클 때의 근사이다. 이는 개구 안의 임의의 점 (''x'', ''y'')에 대하여 다음이 성립함을 의미한다.

: $x^2+y^2 \ll r^2$

이때 개구 안의 점 (''x'', ''y'')에서 스크린 상의 점 (''x''′, ''y''′)까지의 거리는 1/''r''의 2차 이상 항을 무시하면 다음과 같다.

: $\sqrt{R^2+(x-x')^2+(y-y')^2}\simeq r - \frac{xx'+yy'}{r}$

광선이 장애물에 의해 부분적으로 차단될 때, 일부 빛은 물체 주위로 산란되며, 그림자 가장자리에 밝고 어두운 띠가 나타나는 현상을 회절이라고 한다.^[4] 이 현상은 휘헌스-프레넬 원리로 모델링할 수 있다.

2. 1. 프라운호퍼 회절 조건

프라운호퍼 회절은 개구의 크기에 비해 관측 거리가 매우 클 때 성립한다. 즉, 개구 안의 임의의 점 (''x'', ''y'')에 대하여 다음 조건이 만족될 때 성립한다.

:

\frac{x^2+y^2}{r \lambda}  \ll  1

여기서 λ는 빛의 파장이다.

이 조건은 빛이 평면파로 근사될 수 있음을 의미하며, 프라운호퍼 회절을 단순화된 방정식으로 기술할 수 있게 한다.

좀 더 자세히 설명하자면, 프라운호퍼 회절은 회절 구멍이나 슬릿의 최대 크기를 ''W'', 파장을 λ, 회절 구멍과 관측면 사이의 거리를 ''L''이라고 할 때, 다음 조건을 만족해야 한다.^[7]

:

\frac{W^2}{L\lambda} \ll 1

예를 들어, 직경 0.5mm의 원형 구멍이 0.6μm 파장의 레이저 광으로 조명되는 경우, 시야 거리가 1000mm보다 클 때 프라운호퍼 회절이 발생한다.

이 조건은 기하학적으로 다음과 같이 유도할 수 있다.^[8] 두 회절파 경로 ''r''₂와 ''r''₁을 생각해보자. ''r''₂는 코사인 법칙에 의해 다음과 같이 표현된다.

:

{r_2} = {\left( r_1^2 + b^2 - 2b{r_1}\cos \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right) \right)}^{\frac{1}{2}} = {r_1}{\left( 1+\frac{b^2}{r_1^2} - 2\frac{b}{r_1} \sin \theta \right)}^{\frac{1}{2}}.

여기서 ''b''는 두 회절점 사이의 거리, θ는 회절각이다. 위 식을

\frac{b}{r_1}

에 대한 2차까지의 테일러 급수로 전개하면 다음과 같다.

:

{r_2}={r_1}\left( 1-\frac{b}{r_1}\sin \theta +\frac{b^2}{2 r_1^2} \cos^2 \theta + \cdots \right) = {r_1} - b\sin \theta +\frac{b^2}{2 r_1} \cos^2 \theta + \cdots ~.

두 경로의 위상차는 파수(k)를 이용하여 다음과 같이 표현된다.

:

k{r_2}-k{r_1} = -kb\sin \theta +k\frac{b^2}{2r_1} \cos^2 \theta + \cdots .

만약

k\frac{b^2}{2{r_1}} \cos^2 \theta = \pi \frac{b^2}{\lambda r_1} \cos^2 \theta \ll \pi

이므로

\frac{b^2}{\lambda r_1} \cos^2 \theta \ll 1

이면, 위상차는

k r_2 - k r_1 \approx -kb\sin \theta

가 된다. 이는 경로 ''r''₂와 ''r''₁이 거의 평행하다는 것을 의미한다.

회절-관측 평면이 존재할 수 있으므로, 광축에 평행한 직선에 대한 각도가 0에 가까운 회절파 경로는 이 근사 조건을

\frac{b^2}{\lambda }\ll L

로 더 단순화할 수 있다. 여기서 ''L''은 광축을 따라 두 평면 사이의 거리이다. 회절면에 입사하는 파가

\frac{b^2}{\lambda }\ll L

(여기서 ''L''은 회절면과 점파원 사이의 거리)를 만족하면 효과적으로 평면파이기 때문에, 최종적으로 프라운호퍼 조건은

\frac{b^2}{\lambda }\ll L

이 된다. 여기서 ''L''은 두 거리(회절면-관측면, 회절면-점파원) 중 더 작은 값이다.

원거리장에서는 구멍의 모든 점에서 관측점까지의 파면 전파 경로가 거의 평행하게 된다. 렌즈를 이용하면 평행광선을 초점면에 모을 수 있으므로, 렌즈를 통해 프라운호퍼 회절 패턴을 쉽게 관찰할 수 있다.^[9]

2. 2. 프라운호퍼 회절 방정식

파수 ''k''의 단색광 평면파가 개구함수 ''f'' (''x'', ''y'')로 표현되는 개구(opening)를 통과했을 때, 거리 ''R'' 만큼 떨어진 스크린 상의 진폭 분포 ''u'' (''x''′, ''y''′)는 다음과 같이 주어진다.^[4]^[5]^[6]^[7]

:

u(x',y')=  \frac{A}{i \lambda R}e^{ikr} \iint f(x,y)\, e^{-ik(xx'+yy')/r} dxdy

이것이 프라운호퍼 회절식이다. 이 식은 개구 함수 ''f'' (''x'', ''y'')의 푸리에 변환 형태로 표현될 수 있다. 프라운호퍼 회절 방정식은 키르히호프의 회절 공식의 단순화된 버전이다.

3. 프라운호퍼 회절의 응용 및 예시

프라운호퍼 회절은 여러 형태의 개구(구멍)에 대해 연구되며, 광학 시스템 분석 및 설계에 널리 응용된다.

단일 슬릿 회절: 폭이 좁은 직사각형 슬릿에 의한 프라운호퍼 회절은 회절각에 따라 빛의 세기가 변하는 패턴을 보인다. 가운데가 가장 밝고, 양쪽으로 갈수록 어두워지는 피크들이 나타난다. 슬릿 폭이 좁을수록 회절 띠의 각도가 커진다.^[10]^[11]
이중 슬릿 회절: 이중 슬릿 실험에서 두 슬릿을 통과한 빛은 서로 간섭하여 밝고 어두운 무늬를 만든다. 이 간섭 무늬의 간격은 슬릿 사이 거리와 빛의 파장에 따라 달라진다.^[17]
원형 구멍 회절: 원형 구멍을 통과한 빛은 에어리 원판이라고 불리는 동심원 모양의 회절 패턴을 만든다. 이 원판 크기는 구멍 지름과 빛의 파장에 따라 결정되며, 영상 시스템의 분해능에 영향을 미친다.^[14]
회절 격자: 회절 격자는 주기적으로 배열된 슬릿이나 홈으로 구성되어 빛을 여러 방향으로 회절시킨다. 회절된 빛의 각도는 격자 간격과 빛의 파장에 따라 달라지며, 이를 격자 방정식으로 나타낼 수 있다.^[19]
기타: 직사각형 구멍에 의한 회절은 가로 및 세로 줄무늬를 생성하며, 가우스 함수 분포를 갖는 구멍을 통과한 빛은 이차 고리가 없는 가우스 함수 형태의 회절 패턴을 보인다.^[13]^[15]
직사각형 구멍에 의한 프라운호퍼 회절의 컴퓨터 시뮬레이션
--

이러한 프라운호퍼 회절 현상은 아포디제이션과 같이 광학 시스템 성능을 개선하는 데 응용될 수 있다. 예를 들어, 구멍을 가우스 필터로 덮으면 이차 고리가 없는 회절 패턴을 얻을 수 있다.^[15] 또한, 단일 모드 레이저 빔의 출력 프로필은 가우스 빔 강도 프로필을 가지며, 회절 방정식을 이용하면 광원으로부터 아무리 멀리 전파되더라도 이 프로필이 유지됨을 보일 수 있다.^[16]

3. 1. 단일 슬릿 회절

폭이 인 좁은 직사각형 슬릿에 의한 프라운호퍼 회절은 회절각 에 대한 빛의 세기 분포로 나타난다.^[10] 이 패턴은 에서 최대 세기를 가지며, 감소하는 세기의 피크 계열을 가진다. 회절된 빛의 대부분은 첫 번째 최소값 사이에 존재한다.

이 두 최소값이 이루는 각도 는 다음과 같이 주어진다.^[11]

:

\alpha \approx {\frac{2 \lambda}{W}}

따라서, 구멍이 작을수록 회절 띠가 이루는 각도 가 커진다. 거리에서 중앙 띠의 크기는 다음과 같다.

:

d_f = \frac {2 \lambda z}{W}

예를 들어, 0.5 mm 너비의 슬릿이 0.6 μm 파장의 빛으로 조명되고 1000 mm 거리에서 관찰될 때, 회절 패턴에서 중앙 띠의 너비는 2.4 mm이다.

슬릿과 조명이 무한대로 뻗어 있기 때문에, 간섭무늬는 방향으로 무한히 뻗어 있다.

이면 회절광의 세기가 0으로 떨어지지 않으며, 이면 회절파는 원통형이다.

회절된 빛에서 첫 번째 극소값이 얻어지는 각도는 다음과 같이 추론할 수 있다. 슬릿 너비가 인 경우, 각도로 회절된 빛을 고려해 보자. 이때 거리 는 조명 빛의 파장과 같다. 점 A에서 방출되는 파동의 성분 중 방향으로 이동하는 것은 슬릿 중앙의 점 에서 나오는 파동과 반대 위상이므로, 이 두 파동의 각도에서의 합은 0이다. 와 바로 아래의 점들에도 마찬가지로 적용된다. 따라서 방향으로 이동하는 전체 파동의 진폭은 0이다. 우리는 다음을 얻는다.

:

\theta_\text{min} \approx \frac {CD} {AC} = \frac{\lambda}{W}.

중앙 양쪽에 있는 첫 번째 극소값이 이루는 각도는 위와 같다.

:

\alpha = 2 \theta_\text{min} = \frac{2\lambda}{W}.

회절 무늬의 극대값을 구할 수 있는 간단한 방법은 없다.

3. 2. 이중 슬릿 회절

이중 슬릿 실험에서 두 개의 슬릿은 단일 광선으로 조명된다. 슬릿의 폭이 충분히 작다면(빛의 파장보다 작다면) 슬릿은 빛을 원통형 파동으로 회절시킨다. 이 두 개의 원통형 파면이 중첩되고, 결합된 파면의 임의의 지점에서 진폭, 따라서 강도는 두 파면의 크기와 위상 모두에 따라 달라진다.^[17] 이러한 간섭 무늬는 종종 영의 간섭 무늬로 알려져 있다.

간섭 무늬의 각 간격 및 슬릿으로부터 거리에서 간섭 무늬의 간격은 다음과 같다.

:

\theta_\text{f} = \lambda/d.

:

w_\text{f} = z \theta_f = z \lambda/d,

여기서 는 슬릿의 간격이다.

그림의 간섭 무늬는 나트륨 램프( 파장 = 589 nm)의 황색광을 사용하여 슬릿 간격 0.25 mm로 얻었으며, 디지털 카메라의 상면에 직접 투영했다. 이중 슬릿 간섭 무늬는 카드에 두 개의 슬릿을 잘라 레이저 포인터로 조명하고 1m 거리에서 회절된 빛을 관찰하여 관찰할 수 있다. 슬릿 간격이 0.5 mm이고 레이저의 파장이 600 nm라면 1m 거리에서 보이는 간섭 무늬의 간격은 1.2 mm가 된다.

두 파동 사이의 위상차는 두 파동이 이동한 거리의 차이에 의해 결정된다. 관측 거리가 슬릿 간격보다 훨씬 클 경우(원거리장) 위상차는 그림에 표시된 기하학을 사용하여 구할 수 있다. 각도로 진행하는 두 파동의 경로 차이는 다음과 같다.

:

d \sin \theta \approx d \theta.

두 파동이 위상이 같을 때, 즉 경로 차이가 파장의 정수배일 때 합산된 진폭, 따라서 합산된 강도는 최대가 되고, 두 파동이 반대 위상일 때, 즉 경로 차이가 파장의 절반, 1.5배 등일 때 두 파동은 상쇄되어 합산된 강도는 0이 된다. 이러한 효과를 간섭이라고 한다.

간섭 무늬의 최대값은 다음 각도에서 발생한다.

:

d \theta_n = n \lambda,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots

여기서 는 빛의 파장이다. 무늬의 각 간격 및 슬릿과 관측면 사이의 거리가 일 때, 무늬의 간격은 다음과 같다.

:

\theta_\text{f} \approx \lambda/d.

:

w = z\lambda / d.

3. 3. 원형 구멍 회절

원형 구멍에 의한 회절 패턴은 오른쪽 그림에 나와 있다.^[14] 이것은 에어리 회절 패턴으로 알려져 있다. 그림에서 볼 수 있듯이 대부분의 빛은 중앙 원판에 집중되어 있다. 이 원판, 즉 에어리 원판이 차지하는 각도는 다음과 같다.

:α^영어 ≈ 1.22λ/W^영어

여기서 W^영어는 구멍의 지름이다.

에어리 원판은 영상 시스템의 분해능을 제한하는 중요한 매개변수가 될 수 있다.

3. 4. 회절 격자

보른과 울프는 격자를 "입사파에 진폭 또는 위상, 또는 둘 다의 주기적인 변화를 부여하는 모든 배열"로 정의한다.^[19]

요소 간 간격이 S만큼 분리된 격자는 수직으로 입사하는 광선을 θ_n 각도의 여러 광선으로 회절시키는데, 이는 다음과 같이 주어진다.

:sin θ_n = nλ/S, n = 0, ±1, ±2, ...

이것은 격자 방정식으로 알려져 있다. 격자 간격이 더 촘촘할수록 회절된 빔의 각도 분리가 커진다.

빛이 θ₀ 각도로 입사하는 경우 격자 방정식은 다음과 같다.

:sin θ_n = nλ/S + sin θ₀, n=0, ±1, ±2, ...

반복 패턴의 세부 구조는 개별 회절 빔의 형태와 상대 강도를 결정하는 반면, 격자 간격은 항상 회절 빔의 각도를 결정한다.

오른쪽 그림은 레이저 빔이 격자에 의해 n = 0 및 ±1 빔으로 회절되는 것을 보여준다. 1차 빔의 각도는 약 20°이다. 레이저 빔의 파장이 600 nm라고 가정하면 격자 간격은 약 1.8um임을 알 수 있다.

간단한 회절격자는 스크린에 일련의 슬릿으로 구성된다. 각 슬릿에서 θ 각도로 이동하는 빛의 경로 차이가 인접한 슬릿에 대해 파장 하나일 경우, 이러한 모든 파동은 합쳐져서 회절광의 최대 강도가 다음과 같이 얻어진다.

:W sin θ = nλ, n=0, ±1, ±2, ...

이는 위에서 제시된 관계와 동일하다.

3. 5. 기타 예시

직사각형 구멍에 의해 생성되는 회절 무늬는 오른쪽 그림과 같다.^[13] 중앙에는 반 직사각형 모양의 주 피크가 있고, 여러 개의 수평 및 수직 줄무늬가 나타난다. 중앙 띠의 크기는 단일 슬릿의 경우와 마찬가지로 슬릿의 크기와 관련이 있다. 즉, 회절된 영상에서 더 큰 차원은 슬릿에서 더 작은 차원에 해당한다. 줄무늬 간격은 슬릿 크기에 반비례한다.

조명 빔이 슬릿의 전체 수직 길이를 비추지 않을 때는 수직 줄무늬의 간격이 조명 빔의 크기에 의해 결정된다. 이중 슬릿 회절 무늬를 자세히 살펴보면, 더 명확한 수평 줄무늬뿐만 아니라 주점 위아래에 매우 가는 수평 회절 줄무늬도 관찰할 수 있다.

가우스 함수(Gaussian function) 분포를 갖는 구멍, 예를 들어 투과율(Transmittance)이 가우스 형태로 변하는 사진 슬라이드를 통과한 빛의 회절 패턴은 역시 가우스 함수이다. 오른쪽 그림에서 볼 수 있듯이, 이 함수는 직사각형 또는 원형 구멍에 의해 생성된 회절 패턴과 달리 이차 고리(secondary rings)가 없다.^[15] 이러한 특성은 아포디제이션(apodization)이라는 과정에 활용될 수 있다. 즉, 구멍을 가우스 필터로 덮으면 이차 고리가 없는 회절 패턴을 얻을 수 있다.

단일 모드 레이저 빔의 출력 프로필은 가우스 빔(Gaussian beam) 강도 프로필을 가질 수 있으며, 회절 방정식을 이용하면 광원으로부터 아무리 멀리 전파되더라도 이 프로필이 유지됨을 보일 수 있다.^[16]

참조

_[1] 논문
_[2] 논문
_[3] 웹사이트 Fraunhofer, Joseph von (1787-1826) -- from Eric Weisstein's World of Scientific Biography http://scienceworld.[...]
_[4] 서적 Insight into Optics https://www.worldcat[...] Longman and Sons 1991
_[5] 논문
_[6] 논문
_[7] 서적 Optical physics https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 2011
_[8] 서적 Optics Pearson
_[9] 논문
_[10] 논문
_[11] 논문
_[12] 서적 Antennas for all applications https://books.google[...] McGraw-Hill 2002
_[13] 논문
_[14] 논문
_[15] 논문
_[16] 논문
_[17] 논문
_[18] 논문
_[19] 서적 Geometrical and Physical Optics Longmans

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