프란틀 수

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1. 개요
2. 정의
3. 물리적 의미
4. 여러 가지 물질의 프란틀 수
- 4.1. 일반적인 값
- 4.2. 공기 및 물의 프란틀 수 계산 공식
5. 응용
6. 추가 정보
참조

1. 개요

프란틀 수(Prandtl number)는 유체역학에서 사용되는 무차원 수로, 운동량 확산율과 열 확산율의 비를 나타낸다. 동점성 계수와 열확산율을 이용하여 정의되며, 기체의 경우 약 1에 가까운 값을 갖는다. 프란틀 수는 열전달 문제에서 운동량 및 열 경계층의 상대적인 두께를 제어하며, 여러 물질에 따라 다양한 값을 가진다.

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2. 정의

'''프란틀 수'''(Pr)는 동점성계수와 열확산계수의 비로 정의되는 무차원 수이다.

: $\mathrm{Pr} = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_p \mu}{k} = \frac{\rho c_p \nu}{k}$

$\nu$ : 동점성계수 (SI m²/s)
$\alpha$ : 열확산계수 (SI m²/s)
$\mu$ : 점도 (SI Pa s = N s/m²)
$k$ : 열전도율 (SI W/m-K)
$c_p$ : 비열용량 (SI J/kg-K)
$\rho$ : 밀도 (SI kg/m³)
$\rho c_p$ : 용적열용량 (J/m³·K)

3. 물리적 의미

: $\mathrm{Pr} = \frac{\nu}{\alpha} = \frac = \frac{k}$

$\nu$ : 동점성계수 (SI m²/s)
$\alpha$ : 열확산계수 (SI m²/s)
$\mu$ : 점도 (SI Pa s = N s/m²)
$k$ : 열전도율 (SI W/m-K)
$c_p$ : 비열용량 (SI J/kg-K)
$\rho$ : 밀도 (SI kg/m³)

여기서

:

\frac = \frac{k}

$\rho c_p\,$ 는 용적열용량(J/m³·K)
$\nu$ 동점성계수
$k$ 열전도율

프란틀 수(

\mathrm{Pr}

)가 작을수록(

\mathrm{Pr} \ll 1

) 열 확산율이 지배적이며, 반대로 클수록(

\mathrm{Pr} \gg 1

) 운동량 확산율이 지배적이다.

예를 들어, 액체 수은은 열전도가 대류보다 더 중요하므로 열 확산율이 지배적이다. 반면 점성이 높고 열전도율이 낮은 엔진 오일은 열 확산율보다 운동량 확산율이 더 높다.^[3]

기체의 프란틀 수는 약 1이며, 이는 운동량과 열이 유체를 통해 거의 같은 속도로 소산됨을 의미한다. 열은 액체 금속(

\mathrm{Pr} \ll 1

)에서는 매우 빠르게, 오일(

\mathrm{Pr} \gg 1

)에서는 운동량에 비해 매우 느리게 확산된다. 결과적으로 열 경계층은 액체 금속의 경우 훨씬 두껍고, 오일의 경우 속도 경계층에 비해 훨씬 얇다.

열전달 문제에서 프란틀 수는 운동량 및 열 경계층의 상대적인 두께를 제어한다.

\mathrm{Pr}

이 작으면 속도(운동량)에 비해 열이 빠르게 확산됨을 의미한다. 이는 액체 금속의 경우 열 경계층이 속도 경계층보다 훨씬 두껍다는 것을 의미한다.

층류 경계층에서 평판 위의 열과 운동량 경계층 두께의 비율은 다음과 같이 근사된다.^[4]

:

\frac{\delta_t}{\delta} = \mathrm{Pr}^{-\frac{1}{3}}, \quad 0.6 \leq \mathrm{Pr} \leq 50

(

\delta_t

: 열 경계층 두께,

\delta

: 운동량 경계층 두께)

평판 위의 비압축성 유동에 대해 두 개의 누셀트 수 상관 관계는 점근적으로 정확하다.^[4]

:

\mathrm{Nu}_x = 0.339 \mathrm{Re}_x^{\frac{1}{2}} \mathrm{Pr}^{\frac{1}{3}}, \quad \mathrm{Pr} \to \infty

:

\mathrm{Nu}_x = 0.565 \mathrm{Re}_x^{\frac{1}{2}} \mathrm{Pr}^{\frac{1}{2}}, \quad \mathrm{Pr} \to 0

(

\mathrm{Re}

: 레이놀즈 수)

이 두 개의 점근 해는 노름의 개념을 사용하여 함께 혼합될 수 있다.^[4]

:

\mathrm{Nu}_x = \frac{0.3387 \mathrm{Re}_x^{\frac{1}{2}} \mathrm{Pr}^{\frac{1}{3}}}{\left(1 + \left(\frac{0.0468}{\mathrm{Pr}}\right)^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{4}}}, \quad \mathrm{Re} \mathrm{Pr} > 100

열 대류에서의 대류 셀의 수평 패턴은 실제 유체의 공간 스케일과 관계없이, 플란틀 수와 레일리 수의 관계에 따라 결정된다고 알려져 있다. 플란틀 수가 클수록 정상적인 대류 셀을 얻기 쉬우므로, 실험에서는 플란틀 수가 큰 실리콘 오일 등을 사용하는 경우가 있다.

플란틀 수가 큰 유체는 다음과 같은 성질을 갖는다.

점성 > 온도 확산율
속도 경계층 두께 > 온도 경계층 두께
단열적 성질

4. 여러 가지 물질의 프란틀 수

wikitext

물질

프란틀 수

수은

0.015

공기 등의 기체

약 0.7

전분

0.845

냉매 R-12

4 - 5

물 (상온)

약 7

엔진 오일

100 - 40,000

맨틀^[5]

약

|}

4. 1. 일반적인 값

대부분의 기체는 넓은 온도와 압력 범위에서 프란틀 수(Prandtl number|프란틀 수^영어)가 거의 일정하다. 따라서 대류 현상 때문에 실험적으로 측정하기 어려운 고온에서 기체의 열전도율을 결정하는 데 사용할 수 있다.^[1]

프란틀 수의 일반적인 값은 다음과 같다.

}

|}

4. 2. 공기 및 물의 프란틀 수 계산 공식

'''프란틀 수'''(

\mathrm{Pr}

)는 동점성계수(

\nu

)와 열확산계수(

\alpha

)의 비로 정의되며, 다음과 같이 표현된다.^[2]

:

\mathrm{Pr} = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_p \mu}{k}

$\nu$ : 동점성계수 (SI m²/s)
$\alpha$ : 열확산계수 (SI m²/s)
$\mu$ : 점도 (SI Pa s = N s/m²)
$k$ : 열전도율 (SI W/m-K)
$c_p$ : 비열용량 (SI J/kg-K)
$\rho$ : 밀도 (SI kg/m³)

또한,

:

\mathrm{Pr} = \frac{\rho c_p \nu}{k}

$\rho c_p\,$ 는 용적열용량(J/m³·K)
$\nu$ 동점성계수
$k$ 열전도율

1bar 압력에서 -100°C ~ +500°C 범위의 공기 프란틀 수는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있다. (단,

\vartheta

는 섭씨 온도)^[2]

:

\mathrm{Pr}_\text{air} = \frac{10^9}{1.1 \cdot \vartheta^3-1200 \cdot \vartheta^2 + 322000 \cdot \vartheta + 1.393 \cdot 10^9}

0°C ~ 90°C 범위에서 물(1bar)의 프란틀 수는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있다. (단,

\vartheta

는 섭씨 온도)^[2]

:

\mathrm{Pr}_\text{water} = \frac{50000}{\vartheta^2+155\cdot \vartheta + 3700}

5. 응용

프란틀 수가 작을수록() 열 확산율이 지배적이며, 반대로 클수록() 운동량 확산율이 지배적임을 의미한다.^[3]

예를 들어, 액체 수은의 경우 열전도가 대류보다 더 중요하므로 열전도가 더 우세하여 열 확산율이 지배적이다. 그러나 점성이 높고 열전도율이 낮은 엔진 오일의 경우 열 확산율에 비해 운동량 확산율이 더 높다.

기체의 프란틀 수는 약 1이며, 이는 운동량과 열이 유체를 통해 거의 같은 속도로 소산됨을 나타낸다. 열은 액체 금속()에서는 매우 빠르게, 오일()에서는 운동량에 비해 매우 느리게 확산된다. 결과적으로 열 경계층은 액체 금속의 경우 훨씬 두껍고, 오일의 경우 속도 경계층에 비해 훨씬 얇다.

열전달 문제에서 프란틀 수는 운동량 및 열 경계층의 상대적인 두께를 제어한다. 이 작으면 속도(운동량)에 비해 열이 빠르게 확산됨을 의미한다. 이는 액체 금속의 경우 열 경계층이 속도 경계층보다 훨씬 두껍다는 것을 의미한다.

층류 경계층에서 평판 위의 열과 운동량 경계층 두께의 비율은 다음과 같이 근사된다.^[4]

: $\frac{\delta_t}{\delta} = \mathrm{Pr}^{-\frac13}, \quad 0.6 \leq \mathrm{Pr} \leq 50,$

여기서 $\delta_t$ 는 열 경계층 두께이고 $\delta$ 는 운동량 경계층 두께이다.

평판 위의 비압축성 유동에 대해 두 개의 누셀트 수 상관 관계는 점근적으로 정확하다.^[4]

: $\mathrm{Nu}_x = 0.339 \mathrm{Re}_x^{\frac12} \mathrm{Pr}^{\frac13}, \quad \mathrm{Pr} \to \infty,$

: $\mathrm{Nu}_x = 0.565 \mathrm{Re}_x^{\frac12} \mathrm{Pr}^{\frac12}, \quad \mathrm{Pr} \to 0,$

여기서 $\mathrm{Re}$ 는 레이놀즈 수이다. 이 두 개의 점근 해는 노름의 개념을 사용하여 함께 혼합될 수 있다.^[4]

: $\mathrm{Nu}_x = \frac{0.3387 \mathrm{Re}_x^{\frac12} \mathrm{Pr}^{\frac13}}{\left( 1 + \left( \frac{0.0468}\mathrm{Pr} \right)^{\frac23} \right)^{\frac14}}, \quad \mathrm{Re} \mathrm{Pr} > 100.$

열 대류에서의 대류 셀의 수평 패턴은 실제 유체의 공간 스케일과 관계없이, 플란틀 수와 레일리 수의 관계에 따라 결정된다는 것이 알려져 있다. 플란틀 수가 클수록 정상적인 대류 셀을 얻기 쉬우므로, 실험에서는 플란틀 수가 큰 실리콘 오일 등을 사용하는 경우가 있다.

플란틀 수가 큰 유체는 다음과 같은 성질을 갖는다.

점성 > 온도 확산율
속도 경계층 두께 > 온도 경계층 두께
단열적 성질을 갖는다.

6. 추가 정보

동점성계수( $\nu$ ): SI 단위는 m²/s이다.
열확산계수( $\alpha$ ): SI 단위는 m²/s이다.
점도( $\mu$ ): SI 단위는 Pa s (N s/m²)이다.
열전도율( $k$ ): SI 단위는 W/m-K이다.
비열용량( $c_p$ ): SI 단위는 J/kg-K이다.
밀도( $\rho$ ): SI 단위는 kg/m³이다.

한편,

:

\rho c_p \mu \over k\rho

=

\rho c_p \nu \over k

$\rho c_p\,$ 는 용적열용량(J/m³·K)이다.
$\nu$ 는 동점성계수이다.
$k$ 는 열전도율이다.

열 대류에서 대류 셀의 수평 패턴은 실제 유체의 공간 스케일과 관계없이, 플란틀 수와 레일리 수의 관계에 따라 결정된다고 알려져 있다. 플란틀 수가 클수록 정상적인 대류 셀을 얻기 쉬우므로, 실험에서는 플란틀 수가 큰 실리콘 오일 등을 사용하는 경우가 있다.

플란틀 수가 큰 유체는 다음과 같은 성질을 갖는다.

점성 > 온도 확산율
속도 경계층 두께 > 온도 경계층 두께
단열적 성질

참조

_[1] 서적 Chemical Engineering Volume 1 Elsevier 1999
_[2] 웹사이트 Prandtl number https://www.tec-scie[...] 2020-05-10
_[3] 서적 Heat transfer : a practical approach McGraw-Hill 2003
_[4] 서적 A Heat Transfer Textbook Phlogiston Press 2017
_[5] 서적 地球内部ダイナミクス岩波書店 1998
_[6] 서적 Chemical Engineering Volume 1 Elsevier 1999

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