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피에르루이 리옹

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목차

1. 개요

피에르루이 리옹은 프랑스의 수학자로, 1956년 8월 11일에 태어났다. 그는 편미분 방정식 이론, 변분법, 볼츠만 방정식, 점성해 등 다양한 분야에서 중요한 연구를 수행했으며, 특히 점성해 개념을 도입하여 해밀턴-야코비 방정식 이론에 기여했다. 리옹은 1994년 필즈상을 수상했으며, IBM상, 필립 모리스상, 프랑스 과학 아카데미의 여러 상을 받았다. 그는 프랑스 공과대학교 교수이자, 시카고 대학교 방문 교수를 역임했다.

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피에르루이 리옹 - [인물]에 관한 문서
기본 정보
2005년의 리옹
2005년의 리옹
출생일1956년 8월 11일
출생지그라스, 알프마리팀 주, 프랑스
분야수학
소속 기관콜레주 드 프랑스
에콜 폴리테크니크
파리 도핀 대학교
교육리세 루이르그랑
모교고등사범학교 (파리)
피에르 에 마리 퀴리 대학교
박사 지도교수아앵 브레지
박사 제자마리아 J. 에스테반
올리비에 게앙
질 모테
브누아 페르탐
나데르 마스무디
세드릭 빌라니
알려진 업적비선형 편미분 방정식
평균장 게임 이론
점성 해
수상ICM 연사 (1983, 1990, 1994)
페코 강연 (1983)
폴 두스토-에밀 블뤼테 상 (1986)
앙페르 상 (1992)
필즈상 (1994)
학위 논문 제목몇몇 비선형 편미분 방정식 부류 및 그 수치 해법에 대하여
학위 논문 년도1979년
개인 정보
국적프랑스
기타
유럽 아카데미 회원리옹 피에르루이

2. 생애

피에르루이 리옹은 그라스 출신으로, 1979년 파리 제6대학교(Université Paris VI)에서 수학 박사(Ph.D.) 학위를 받았다. 비선형 편미분 방정식 이론을 연구했으며, 볼츠만 방정식에 최초로 완전한 해를 제시한 업적으로 1994년 파리 제9대학교(Université Paris IX) 재직 중 필즈상을 수상했다. 1987년에는 IBM상, 1991년에는 필립 모리스상을 수상했다. 1980년대 초, "Hamilton-Jacobi 방정식의 점성해(Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations)" 논문에서 점성해(viscosity solution) 개념을 도입하여 편미분 방정식 이론에 큰 영향을 미쳤다.[3]

2. 1. 어린 시절과 교육

피에르루이 리옹은 1975년 파리 고등사범학교(École normale supérieure)에 입학하여 1979년 피에르와 마리 퀴리 대학교(University of Pierre and Marie Curie)에서 박사 학위를 받았다.[3] 그의 아버지 자크루이 리옹(Jacques-Louis Lions)은 낭시 대학교(University of Nancy) 교수였던 저명한 수학자였다. 리옹의 어머니는 앙드레 올리비에이다. 1979년 리옹은 릴라 로렌티와 결혼하여 슬하에 아들 하나를 두었다.

2. 2. 결혼

리옹은 1979년 릴라 로렌티와 결혼하여 슬하에 아들 하나를 두었다.

2. 3. 교수 경력

그는 프랑스 공과대학교(Collège de France)에서 ''편미분 방정식 및 그 응용'' 교수직을 맡고 있으며, École Polytechnique에서도 활동하고 있다.[4][5] 2014년부터는 시카고 대학교(University of Chicago)의 방문 교수도 역임하고 있다.[6] 텍사스 오스틴 대학교(University of Texas at Austin)의 겸임 교수이기도 하다.

3. 주요 연구 업적 및 수상

피에르루이 리옹은 1994년 파리도핀대학교에서 근무하던 중 국제수학연맹의 권위 있는 필즈상을 수상했다.[7] 그는 점성해, 볼츠만 방정식, 변분법에 대한 공헌으로 인정받았다.

또한, 리옹은 프랑스 과학 아카데미의 폴 드와스토-에밀 블뤼테 상(1986년), 앙페르 상(1992년), IBM상(1987년), 필립 모리스상(1991년)을 수상했다.

상 이름수여 기관수상 연도
폴 드와스토-에밀 블뤼테 상프랑스 과학 아카데미1986년
IBM상IBM1987년
앙페르 상프랑스 과학 아카데미1992년
필립 모리스상필립 모리스1991년



그는 국립 기술 예술원 초빙 교수였으며,[7] 허리엇와트 대학교(에든버러), EPFL(2010년),[9] 나르비크 대학교(2014년), 홍콩 도시대학교에서 명예 박사 학위를 받았다.[10] ISI 고피인용 연구자로 등재되어 있다.[10]

3. 1. 주요 연구 분야

리옹은 주로 비선형 편미분 방정식 이론을 연구했다. 그는 변분법, 볼츠만 방정식, 점성해 등 다양한 분야에서 중요한 업적을 남겼다. 특히, 1980년대 초에 발표한 "Hamilton-Jacobi 방정식의 점성해(Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations)" 논문에서 점성해 개념을 도입하여 편미분 방정식 이론에 큰 영향을 미쳤다.[11] 평균장 게임 이론 발전에도 기여했다.[12]

리옹은 엘리엇 리브의 논문[15]에서 시작된 정상 상태 슈뢰딩거-뉴턴 방정식(또는 쇼카르 방정식)에 대한 연구를 통해, 중력 퍼텐셜의 구대칭 일반화를 사용하는 일반화된 정상 상태 슈뢰딩거-뉴턴 방정식이 반드시 구대칭 함수로 풀릴 수 있음을 보였다.[11]

1988년, 프랑수아 골스, 리옹, 베누아 퍼탐, 레미 센티스는 수송 방정식을 연구하였다.[12] 이들은 1계 계수가 어떤 확률 분포에 따라 무작위로 선택된다면, 해당 함수 값은 원래 확률 분포보다 향상된 규칙성을 가진 분포를 따른다는 것을 보였다. 이 결과는 나중에 디페르나, 리옹, 마이어에 의해 확장되었다.[13]

로날드 디페르나와 리옹은 소볼레프 벡터장의 적분곡선에 대한 광범위한 연구를 시작하였고,[14] 수송 방정식에 대한 디페르나와 리옹의 결과는 나중에 루이지 암브로시오에 의해 유계 변분 설정으로, 알레시오 피갈리에 의해 확률 과정 맥락으로 확장되었다.[15]

디페르나와 리옹은 볼츠만 방정식에 대한 해의 전역적 존재성을 증명할 수 있었다.[16]

마이클 크랜달과 라이온스는 일종의 일반화된 해인 점성해(viscosity solution) 개념을 도입했는데, 이는 해밀턴-야코비 방정식에 적용된다.[17]

장미셸 라스리와 함께, 리옹은 평균장 게임 이론 발전에 기여했다.[12]

3. 2. 연산자 이론 (Operator Theory)

리옹은 초기 연구에서 힐베르트 공간의 함수 해석에 초점을 맞추었다. 1977년에 발표한 그의 첫 논문은 힐베르트 공간의 닫힌 볼록 부분집합에 대한 비확장 자기 사상(nonexpansive self-map)의 고정점(fixed point)에 대한 특정 반복 알고리즘의 수렴에 관한 방대한 문헌에 대한 기여였다.[11] 지도교수인 하임 브레지스(Haïm Brézis)와의 공동 연구를 통해 리옹은 힐베르트 공간에서 최대 단조 작용소(maximal monotone operators)에 대한 새로운 결과를 제시하고, 베르나르 마르티네(Bernard Martinet)와 R. 타이렐 로카펠라(R. Tyrrell Rockafellar)의 근접점 알고리즘(proximal point algorithm)에 대한 최초의 수렴 결과 중 하나를 증명했다.[12] 그 이후로 이러한 결과에 대한 많은 수정과 개선이 있었다.[13]

베르트랑 메르시에(Bertrand Mercier)와 함께 리옹은 두 개의 최대 단조 작용소의 합의 영점을 찾는 "전진-후진 분할 알고리즘(forward-backward splitting algorithm)"을 제안했다.[12] 그들의 알고리즘은 포물선 편미분 방정식(parabolic partial differential equation)의 해를 계산하기 위한 잘 알려진 더글러스-래치퍼드(Douglas−Rachford) 및 피스맨-래치퍼드(Peaceman−Rachford) 수치 알고리즘의 추상적인 버전으로 볼 수 있다. 리옹-메르시에 알고리즘과 그 수렴 증명은 작용소 이론(operator theory)과 수치 해석(numerical analysis)에 대한 응용 분야에서 특히 영향력이 있었다. 비슷한 방법은 같은 시기에 그레고리 파스티(Gregory Passty)에 의해서도 연구되었다.[14]

3. 3. 변분법 (Calculus of Variations)

엘리엇 리브는 정상 상태 슈뢰딩거-뉴턴 방정식(쇼카르 방정식)에 대한 중요한 수학적 연구를 시작했다.[15] 이는 플라스마 물리학과 양자화학의 표준 근사 기법에서 영감을 받았다. 리옹은 월터 스트라우스의 일부 기술적 연구와 함께 산악 고개 정리와 같은 표준 방법을 적용하여, 중력 퍼텐셜의 구대칭 일반화를 사용하는 일반화된 정상 상태 슈뢰딩거-뉴턴 방정식이 반드시 구대칭 함수로 풀릴 수 있음을 보였다.

리옹은 다음 편미분 방정식에 대한 광범위한 연구를 통해, 다양한 유형의 경계값 문제에 대한 회전 대칭 해의 존재, 추정 및 존재를 밝혀냈다.

:\frac{\partial^2u}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2u}{\partial x_n^2}=f(u)

유클리드 공간 전체의 해를 연구하기 위해, 리옹은 대칭성을 가진 함수에 대한 여러 컴팩트 결과를 확립했다. 앙리 베레스키와 람베르투스 펠레티어와 함께 표준 ODE 사격법을 사용하여 회전 대칭 해의 존재를 직접 연구했다. 베레스키와 리옹은 변분법을 통해 수정된 디리클레 에너지를 기반으로 하는 제약 최적화 문제의 최솟값의 재조정으로서 방정식의 해를 고려했다. 슈바르츠 대칭화를 이용하면 최소화 문제에 대한 최소화 수열이 존재하며, 이는 양수이고 회전 대칭인 함수로 구성된다. 따라서 그들은 회전 대칭적이고 비음인 최솟값이 존재함을 보일 수 있었다. 펠릭스 브라우더, 폴 라비노위츠 등의 임계점 방법을 적용하여 편미분 방정식에 대해 무한히 많은 (항상 양수는 아닌) 구대칭 해의 존재를 증명했다. 마리아 에스테반과 리옹은 디리클레 경계 데이터를 사용하는 여러 무한 영역에서 해의 비존재성을 조사했다. 그들의 기본 도구는 베레스키와 리옹이 이전에 재작업한 포호자에프형 항등식이다. 그들은 이러한 항등식을 나흐만 아론자인의 고유 연속 정리와 효과적으로 사용하여 일부 일반적인 조건 하에서 해의 자명성을 얻을 수 있음을 보였다.[16] 해에 대한 중요한 "사전" 추정은 리옹이 자이루 구데스 드 피게이레두와 로저 누스바움과 공동으로 발견했다.

보다 일반적인 설정에서, 리옹은 함수의 최소화 수열이 부분적으로 수렴하지 못할 때의 특징을 나타내는 "농축-압축 원리"를 도입했다. 그의 첫 번째 연구는 쇼카르 방정식을 포함한 여러 응용수학 문제에 적용되는 병진 불변성의 경우를 다루었다. 그는 또한 베레스키와의 연구의 일부를 회전 대칭이 없는 설정으로 확장할 수 있었다. 아바스 바흐리의 위상적 방법과 최소-최대 이론을 이용하여 바흐리와 리옹은 이러한 문제에 대한 다중성 결과를 확립할 수 있었다. 리옹은 또한 소볼레프 부등식과 같은 팽창 불변 함수형 부등식에 대한 함수를 최적화하는 데 자연스러운 응용 프로그램을 가진 팽창 불변성 문제를 고려했다. 그는 그의 방법을 적용하여 야마베 문제와 조화 사상과 같은 기하학적 문제에 대한 이전 연구에 대한 새로운 관점을 제시했다. 티에리 카제나브와 함께 리옹은 그의 농축-압축 결과를 적용하여 변분 해석과 에너지 보존 해를 허용하는 비선형 슈뢰딩거 방정식의 특정 대칭 해의 궤도 안정성을 확립했다.

3. 4. 수송 방정식과 볼츠만 방정식 (Transport and Boltzmann equations)

1988년, 프랑수아 골스, 리옹, 베누아 퍼탐, 레미 센티스는 1계 선형 편미분 방정식인 수송 방정식을 연구하였다. 이들은 1계 계수가 어떤 확률 분포에 따라 무작위로 선택된다면, 해당 함수 값은 원래 확률 분포보다 향상된 규칙성을 가진 분포를 따른다는 것을 보였다. 이 결과는 나중에 디페르나, 리옹, 마이어에 의해 확장되었다. 물리적 의미에서, '속도 평균화 보조정리'(velocity-averaging lemmas)로 알려진 이러한 결과는 거시적 관측량이 미시적 규칙이 직접적으로 나타내는 것보다 더 큰 부드러움을 가진다는 사실에 해당한다. 세드릭 빌라니(Cédric Villani)에 따르면, 이러한 성질을 유도하기 위해 수송 방정식의 해에 대한 명시적 표현을 대신 사용할 수 있는지 여부는 알려져 있지 않다.[17]

고전적인 피카르-린델뢰프 정리는 립시츠 연속 벡터장의 적분곡선을 다룬다. 적분곡선을 다차원 수송 방정식에 대한 특성곡선으로 보면서, 리옹과 로날드 디페르나(Ronald DiPerna)는 소볼레프 벡터장의 적분곡선에 대한 광범위한 연구를 시작하였다. 수송 방정식에 대한 디페르나와 리옹의 결과는 나중에 루이지 암브로시오(Luigi Ambrosio)에 의해 유계 변분 설정으로, 그리고 알레시오 피갈리(Alessio Figalli)에 의해 확률 과정 맥락으로 확장되었다.[18]

디페르나와 리옹은 볼츠만 방정식에 대한 해의 전역적 존재성을 증명할 수 있었다. 나중에, 푸리에 적분 작용소의 방법을 적용하여, 리옹은 볼츠만 충돌 작용소에 대한 추정을 확립하여, 볼츠만 방정식의 해에 대한 컴팩트성 결과를 찾았다. 그의 컴팩트성 이론의 특별한 응용으로, 그는 해가 무한 시간에 맥스웰 분포로 부분적으로 수렴한다는 것을 보일 수 있었다.[17] 디페르나와 리옹은 맥스웰-블라소프 방정식에 대해서도 유사한 결과를 확립했다.[19]

3. 5. 점성해 (Viscosity solutions)

마이클 크랜달(Michael G. Crandall)과 함께 일종의 일반화된 해인 점성해(viscosity solution) 개념을 도입했는데, 이는 해밀턴-야코비 방정식에 적용된다. 이들의 정의는 이러한 일반화된 맥락에서 잘 정의됨(well-posedness) 이론을 확립할 수 있었기 때문에 중요하다.[20] 로렌스 에반스(Lawrence Evans)와의 공동 연구를 통해 점성해의 기본 이론을 더욱 발전시켰다. 장-미셸 라슬리(Jean-Michel Lasry)와 함께 최소-최대량을 사용하여 해석적 현상을 보존하는 힐베르트 공간(Hilbert space)의 함수의 평활화를 고려했다. 이들의 근사는 부분해 또는 초해를 정규화함으로써 해밀턴-야코비 방정식에 자연스럽게 적용될 수 있다. 이러한 기법을 사용하여 크랜달과 함께 해밀턴-야코비 방정식에 대한 분석을 무한차원 사례로 확장하여 비교 원리와 그에 상응하는 유일성 정리를 증명했다.

크랜달과 함께 점성해에 대한 수치 해석을 연구하여 유한 차분(finite difference) 기법과 인공 점성(artificial viscosity) 모두에 대한 수렴 결과를 증명했다.

크랜달과 라이온스의 점성해 개념의 기반이 되는 비교 원리는 최대 원리(maximum principle)를 고려할 때, 2계 타원형 편미분 방정식에 자연스럽게 적용될 수 있다. 크랜달, 이시이, 그리고 라이온스가 함께 작성한 이러한 방정식에 대한 점성해에 관한 논문은 표준 참고 문헌이 되었다.

3. 6. 수상 경력

Pierre-Louis Lions|피에르루이 리옹영어은 1994년 파리도핀대학교 재직 중 국제수학연맹의 필즈상을 수상했다.[7] 1986년 프랑스 과학 아카데미의 폴 드와스토-에밀 블뤼테 상, 1992년 앙페르 상, 1987년 IBM상, 1991년 필립 모리스상을 수상했다.

3. 7. 명예 학위 및 기타 경력

국립 기술 예술원 초빙 교수였다.[7] 허리엇와트 대학교(에든버러), EPFL(2010년),[9] 나르비크 대학교(2014년), 홍콩 도시대학교에서 명예 박사 학위를 받았다.[10] ISI 고피인용 연구자로 등재되어 있다.[10]

4. 저서


  • Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations|해밀턴-야코비 방정식의 일반화된 해영어 (1982)[1]
  • Mathematical topics in fluid mechanics. Vol. 1. Incompressible models|유체 역학의 수학적 주제. Vol. 1. 비압축성 모델영어 (1996)[2]
  • Mathematical topics in fluid mechanics. Vol. 2. Compressible models|유체 역학의 수학적 주제. Vol. 2. 압축성 모델영어 (1998)[3]
  • On Euler equations and statistical physics|오일러 방정식과 통계 물리학에 관하여영어 (1998)[4]
  • The mathematical theory of thermodynamic limits: Thomas-Fermi type models|열역학적 한계의 수학적 이론: 토마스-페르미 유형 모델영어 (1998)[5]
  • The master equation and the convergence problem in mean field games|마스터 방정식과 평균장 게임에서의 수렴 문제영어 (2019)[6]

참조

[1] Youtube CORE Fields Medal Talk: Pierre-Louis Lions on Mean Field Games https://www.youtube.[...]
[2] 웹사이트 Academy of Europe: Lions Pierre-Louis https://www.ae-info.[...]
[3] 웹사이트 La Médaille Fields : 11 lauréats sur 44 sont issus de laboratoires français., Alain Connes http://www2.cnrs.fr/[...] 2010-05-11
[4] 웹사이트 Pierre-Louis Lions - Biographie https://www.college-[...] Collège de France 2020-11-16
[5] 웹사이트 Pierre-Louis Lions https://stevanovichc[...] University of Chicago 2020-11-16
[6] 웹사이트 Fields Medal https://www.uchicago[...] University of Chicago 2020-11-16
[7] 서적 Analyse, modèles et simulations Éditions Odile Jacob
[8] 웹사이트 Academy of Europe: Lions Pierre-Louis http://www.ae-info.o[...] 2016-04-06
[9] 뉴스 The "Magistrale" crowns the founder of Yahoo https://actu.epfl.ch[...] 2010-11-10
[10] 웹사이트 Lions, Pierre-Louis, ISI Highly Cited Researchers https://web.archive.[...] Thomson ISI 2009-06-20
[11] 논문 Iterative algorithms for nonlinear operators
[12] 논문 On the Douglas–Rachford splitting method and the proximal point algorithm for maximal monotone operators
[13] 논문 Forcing strong convergence of proximal point iterations in a Hilbert space
[14] 논문 Ergodic convergence to a zero of the sum of monotone operators in Hilbert space
[15] 논문 Existence and uniqueness of the minimizing solution of Choquard's nonlinear equation
[16] 논문 A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential equations or inequalities of second order
[17] 백과사전 A review of mathematical topics in collisional kinetic theory North-Holland
[18] 서적 Fokker–Planck–Kolmogorov equations American Mathematical Society
[19] 서적 The Cauchy problem in kinetic theory Society for Industrial and Applied Mathematics
[20] 논문 On uniqueness and existence of viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic PDEs


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