맨위로가기

합동 (기하학)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

합동은 유클리드 공간에서 두 도형이 서로 겹쳐질 수 있는 관계를 의미하며, 등거리 변환을 통해 정의된다. 이는 도형의 크기와 모양이 같음을 나타내며, 동치 관계를 형성한다. 다각형의 경우 변의 수와 변-각-변-각 순서가 일치해야 합동이며, 삼각형은 SSS, SAS, ASA, AAS, RHS 조건 등을 만족하면 합동이다. 구면 기하학에서는 AAA 조건도 합동을 보장하며, 해석 기하학에서는 유클리드 거리를 이용하여 정의할 수 있다. 원뿔 곡선은 이심률과 다른 매개변수가 같으면 합동이며, 다면체는 동일한 조합 유형을 가질 때 합동 여부를 결정하는 특정 수의 측정값이 필요하다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 유클리드 기하학 - 결정계
    결정계는 결정 구조의 대칭성에 따라 7가지(삼사, 단사, 사방, 정방, 삼방, 육방, 입방)로 분류되며, 각 결정계는 고유한 대칭 요소와 점군의 대칭성을 갖는다.
  • 유클리드 기하학 - 퐁슬레-슈타이너 정리
    퐁슬레-슈타이너 정리는 자와 주어진 원(중심 포함)만 사용하여 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 것을 작도할 수 있다는 기하학적 정리이다.
합동 (기하학)
개요
두 개의 합동인 삼각형
두 개의 합동인 삼각형
정의두 도형이 크기와 모양이 같아서, 하나의 도형을 평행 이동, 회전, 반사 등의 조작을 통해 다른 도형과 완전히 겹쳐지게 할 수 있을 때, 이 두 도형은 서로 합동이라고 함.
기호$\cong$ (유니코드 U+2245) 또는 $\equiv$
합동 조건 (평면 도형)
삼각형의 합동 조건세 변의 길이가 각각 같음 (SSS 합동)
두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같음 (SAS 합동)
한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같음 (ASA 합동)
직각삼각형의 합동 조건빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같음 (RHA 합동)
빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같음 (RHS 합동)
합동 변환
설명합동 변환은 평면 위의 점들의 집합(평면 도형)에 적용될 때 도형의 크기나 모양을 변경하지 않는 변환임.
종류평행 이동
회전
반사 (대칭)
미끄럼 반사
참고 사항
닮음두 도형의 모양은 같지만 크기가 다를 경우, 이 두 도형은 서로 닮았다고 함.
넓이합동인 두 도형은 항상 넓이가 같음. 그러나 넓이가 같다고 해서 항상 합동인 것은 아님.

2. 정의

유클리드 공간의 두 도형이 합동이라는 것은, 한 도형을 평행이동, 회전이동, 대칭이동과 같은 등거리 변환(두 점 사이의 거리를 보존하는 변환)을 통해 다른 도형과 완전히 겹칠 수 있다는 것을 의미한다.

현대 수학에서는 유클리드 공간의 두 부분집합 A와 B에 대해, 등장사상(isometry) f가 존재하여 f(A) = B가 될 때 A와 B가 합동이라고 정의한다.

두 도형 A, B가 서로 합동일 때, "A ≡ B"로 표기한다. 합동 관계는 동치 관계의 하나이다.

2. 1. 다각형의 합동

333px


두 다각형이 합동이려면 변의 수(따라서 꼭짓점의 수도) 같아야 한다. n개의 변을 가진 두 다각형은 각 다각형이 수치적으로 동일한 순서(한 다각형은 시계 방향, 다른 다각형은 반시계 방향이라도)로 n개의 변과 n개의 각에 대해 변-각-변-각-...의 순서를 가질 때에만 합동이다.

다각형의 합동은 다음과 같이 시각적으로 설명할 수 있다.

  • 먼저, 두 도형의 대응하는 꼭짓점을 일치시키고 레이블을 붙인다.
  • 둘째, 한 도형의 꼭짓점에서 다른 도형의 대응하는 꼭짓점으로 벡터를 그린다. 이 두 꼭짓점이 일치하도록 이 벡터만큼 첫 번째 도형을 '평행이동'한다.
  • 셋째, 한 쌍의 대응변이 일치할 때까지 일치하는 꼭짓점을 중심으로 평행이동된 도형을 '회전'시킨다.
  • 넷째, 도형이 일치할 때까지 이 일치하는 변에 대해 회전된 도형을 '반사'한다.


어느 시점에서든 단계를 완료할 수 없으면 다각형은 합동이 아니다.

3. 삼각형의 합동

평면 삼각형은 합동 조건 SAS, ASA, AAS를 갖지만, 합동 조건 SSA를 갖지 않는다.


두 삼각형은 대응하는 변의 길이와 각의 크기가 같을 때 합동이다. 삼각형의 합동 조건은 다음과 같다.[18]

  • '''SSS''' (변변변): 세 쌍의 대응변의 길이가 각각 같다.
  • '''SAS''' (변각변): 두 쌍의 대응변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같다.
  • '''ASA''' (각변각): 두 쌍의 대응각의 크기와 그 끼인변의 길이가 각각 같다.
  • '''AAS''' (각각변): 두 쌍의 대응각의 크기와 대응하는 한 변의 길이가 각각 같다.
  • '''RHS''' (직각-빗변-변): 두 직각 삼각형의 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같다.
  • '''RHA''' (직각-빗변-각): 두 직각 삼각형의 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같다.


하지만 SSA(변변각) 조건은 두 삼각형의 합동을 보장하지 않는다. 두 쌍의 대응변의 길이와 끼인각이 아닌 한 쌍의 대응각의 크기가 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 또한, AAA(각각각) 조건은 두 삼각형의 닮음만을 보장할 뿐, 합동을 보장하지 않는다.

일본의 중학교 수학에서는 삼각형의 합동 조건을 작도를 통해 도입하며, 마치 공리인 것처럼 다루는 경향이 있다.[13]

3. 1. 삼각형의 합동 조건 (심화)



SSA 조건(변-변-각)은 두 변과 끼지 않은 각을 지정하며 (ASS 또는 각-변-변으로도 알려져 있음) 그 자체로는 합동을 증명하지 못한다.[18] 합동을 증명하기 위해서는 대응하는 각의 크기와 경우에 따라 대응하는 두 쌍의 변의 길이에 대한 추가 정보가 필요하다. 몇 가지 가능한 경우가 있다.

  • 두 삼각형이 SSA 조건을 만족하고 각의 맞은편 변의 길이가 인접한 변의 길이보다 크거나 같으면 (SSA, 또는 긴 변-짧은 변-각), 두 삼각형은 합동이다. 맞은편 변은 대응하는 각이 예각일 때 때때로 더 길지만, 대응하는 각이 직각이거나 둔각일 때는 ''항상'' 더 길다. 각이 직각인 경우, 빗변-다리 (HL) 공리 또는 직각-빗변-변 (RHS) 조건이라고도 하며, 세 번째 변은 피타고라스 정리를 사용하여 계산할 수 있으므로 SSS 공리를 적용할 수 있다.
  • 두 삼각형이 SSA 조건을 만족하고 대응하는 각이 예각이며 각의 맞은편 변의 길이가 각의 사인을 곱한 인접한 변의 길이와 같으면, 두 삼각형은 합동이다.
  • 두 삼각형이 SSA 조건을 만족하고 대응하는 각이 예각이며 각의 맞은편 변의 길이가 각의 사인을 곱한 인접한 변의 길이보다 크지만 (인접한 변의 길이보다 작음) 두 삼각형은 합동임을 증명할 수 없다. 이것이 모호한 경우이며 주어진 정보에서 두 개의 다른 삼각형을 형성할 수 있지만, 이를 구별하는 추가 정보는 합동의 증명으로 이어질 수 있다.


유클리드 기하학에서 AAA(각-각-각)(또는 AA, 유클리드 기하학에서 삼각형의 각의 합이 180°이기 때문에)는 두 삼각형의 크기에 대한 정보를 제공하지 않으므로 유클리드 공간에서 닮음만을 증명하고 합동은 증명하지 못한다.

그러나 구면 기하학 및 쌍곡 기하학에서는 (삼각형의 각의 합이 크기에 따라 달라짐) AAA가 주어진 곡률의 표면에서 합동에 충분하다.[4]

3. 2. CPCTC

CPCTC는 "Congruent Parts of Congruent Triangles are Congruent"(합동인 삼각형의 대응 부분은 합동이다)의 약자이다.[5][6] 이는 합동인 삼각형의 정의를 줄여서 표현한 것이다.

예를 들어, 두 삼각형이 SSS 조건에 의해 합동임이 증명되었고, 대응하는 각이 합동이라는 명제가 증명에 필요할 경우, CPCTC를 근거로 사용할 수 있다.

자세한 내용은 다음과 같다. 삼각형 와 가 합동일 경우, 즉

:\triangle ABC \cong \triangle DEF,

다음 명제들이 참이다.

:\overline{AB} \cong \overline{DE}

:\overline{BC} \cong \overline{EF}

:\overline{AC} \cong \overline{DF}

:\angle BAC \cong \angle EDF

:\angle ABC \cong \angle DEF

:\angle BCA \cong \angle EFD.

관련된 정리로 '''CPCF'''가 있는데, "삼각형"을 "도형"으로 대체하여 합동인 모든 쌍의 다각형 또는 다면체에 적용한다.

4. 구면 기하학에서의 합동

평면 삼각형과 달리, 구면 삼각형은 AAA (각각각) 합동 조건이 성립한다.[9] 즉, 세 각이 모두 같은 두 구면 삼각형은 합동이다. 그러나 평면 삼각형과 달리 AAS (각각변) 합동 조건은 구면 삼각형에서 성립하지 않는다.[10]

ASA (각변각) 합동 조건은 구면 삼각형에서도 성립한다.[9] 두 구면 삼각형에서 두 각과 그 사이의 변이 각각 같으면 두 삼각형은 합동이다. 이는 한 각의 꼭짓점을 남극에, 그 각을 이루는 변 하나를 본초 자오선에 맞추면 나머지 변과 각이 유일하게 결정되기 때문이다.

SAS (변각변), SSS (변변변) 합동 조건 또한 구면 삼각형에서 성립한다.[9]

5. 해석 기하학에서의 합동

해석 기하학에서 합동은 다음과 같이 정의할 수 있다. 한 데카르트 좌표계에서 도형을 나타내는 두 가지 방법이 있을 때, 첫 번째 방법에서 임의의 두 점 사이의 유클리드 거리가 두 번째 방법에서 대응하는 두 점 사이의 유클리드 거리와 같다면 두 도형은 합동이다.

더 형식적으로 정의하면, 유클리드 공간 '''R'''''n''의 두 부분 집합 ''A''와 ''B''에 대해, ''f''(''A'') = ''B''를 만족하는 등거리 변환(유클리드 군 ''E''(''n'')의 원소) ''f'': '''R'''''n'' → '''R'''''n''가 존재하면 ''A''와 ''B''는 합동이다. 합동은 동치 관계이다.

먼저 2차원 평면에서 두 도형 ''A''와 ''B''를 생각해보자. ''A''를 ''B''에 겹치기 위해 다음과 같은 '''유클리드 운동'''을 반복할 수 있다.

# '''평행이동''': 도형의 모든 점을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 이동한다.

# '''회전이동''': 평면 위의 한 점을 중심으로 도형의 모든 점을 같은 각도만큼 회전한다.

# '''대칭이동''': 평면 위의 한 직선을 기준으로 도형의 모든 점을 선대칭 위치로 이동한다.

이러한 유클리드 운동을 통해 ''A''의 모든 점이 ''B''의 대응하는 점과 일치하도록 할 수 있다면, ''A''와 ''B''는 합동이다.

현대 수학에서는 유클리드 공간 ''E''의 부분 집합 ''A''와 ''B''에 대해, ''f''(''A'') = ''B''가 되는 등장사상 (isometry) ''f'': ''E'' → ''E'' 가 존재하면 ''A''와 ''B''는 합동이라고 정의한다. 유클리드 공간에서의 등장사상은 위에서 설명한 유클리드 운동과 같다는 정리가 있으므로, 두 정의는 일치한다.

두 도형 ''A''와 ''B''가 서로 합동일 때, "''A'' ≡ ''B''"로 표기한다.

6. 원뿔 곡선의 합동

두 개의 원뿔 곡선은 이심률과 이들을 특징짓는 다른 하나의 서로 다른 매개변수가 같을 경우 합동이다. 이심률은 모양을 결정하며, 이들의 동일성은 유사성을 확립하기에 충분하며, 두 번째 매개변수는 크기를 설정한다. 두 개의 원, 포물선, 또는 직교 쌍곡선은 항상 동일한 이심률(구체적으로 원의 경우 0, 포물선의 경우 1, 직교 쌍곡선의 경우 \sqrt{2})을 가지므로, 두 원, 포물선 또는 직교 쌍곡선이 합동이 되려면 크기를 설정하는 다른 하나의 공통 매개변수 값만 있으면 된다.

7. 다면체의 합동

두 개의 다면체가 동일한 조합 유형(즉, 동일한 수 ''E''개의 모서리, 동일한 수의 면, 그리고 대응하는 면에 동일한 수의 변을 가짐)을 가진 경우, 해당 다면체가 합동인지 여부를 결정할 수 있는 ''E''개의 측정값 집합이 존재한다.[7][8]

이 수는 정확한 값이다. 즉, 다면체가 조합 유형에서 일반적인 경우 ''E''개 미만의 측정값으로는 충분하지 않다는 의미이다. 그러나 특수한 경우에는 더 적은 측정값으로도 작동할 수 있다. 예를 들어, 정육면체는 12개의 모서리를 갖지만, 해당 조합 유형의 다면체가 주어진 정육면체와 합동인지 여부를 결정하는 데는 9개의 측정값으로 충분하다.

두 개의 다면체에서 변의 개수 ''E''가 같다고 가정하고, 또한 면의 개수 및 대응하는 면에서의 변의 개수도 각각 일치한다고 가정한다. 이때, 이 두 다면체가 합동인지 여부를 결정할 수 있는, 기껏해야 ''E''개의 측도로 구성된 집합이 존재한다.[16][17] 예를 들어 정육면체의 경우, 12개의 변이 있지만, 결정에 필요한 측도는 9개로 충분하다.

참조

[1] 웹사이트 Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures http://web.cortland.[...] Addison-Wesley 2017-06-02
[2] 웹사이트 Congruence http://mathopenref.c[...] Math Open Reference 2017-06-02
[3] 서적 Revision Course in School mathematics G Bell and Sons Ltd.
[4] 서적 Geometry for Secondary Schools Bookmark Inc.
[5] 서적 Geometry https://archive.org/[...] W.H. Freeman
[6] 웹사이트 Congruent Triangles https://www.cliffsno[...] Cliff's Notes 2014-02-04
[7] 간행물 A Congruence Problem for Polyhedra 2010-03
[8] 웹사이트 A Congruence Problem http://146.163.152.1[...]
[9] 웹사이트 Exploration of Spherical Geometry http://math.iit.edu/[...] 2003-09-09
[10] 웹사이트 Slide 89 of 112 http://www.uh.edu/~h[...]
[11] 웹사이트 Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures http://web.cortland.[...] Addison-Wesley 2013-09-01
[12] 웹사이트 Congruence http://mathopenref.c[...] Math Open Reference 2013-09-01
[13] MathWorld Congruence Axioms
[14] 웹사이트 鈍角三角形の合同条件 http://blog.livedoor[...] 東大・京大・一直線 2019-11-03
[15] 웹사이트 ２つの鈍角三角形は本当に合同？ 二等辺三角形を作り出せ！ http://gakusyu.shizu[...] あすなろ学習室 2019-11-03
[16] 간행물 A congruence problem for polyhedra 2010-03
[17] 웹사이트 アーカイブされたコピー http://146.163.152.1[...] 2013-11-11
[18] 서적


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com