호지 추측

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1. 개요
2. 정의
3. 주요 내용
- 3.1. 호지 추측의 다양한 표현
- 3.2. 증명된 경우
4. 일반화
5. 역사
참조

1. 개요

호지 추측은 복소 대수기하학의 주요 미해결 문제로, 복소 사영 다양체의 호지류가 대수적 순환의 코호몰로지류로 표현될 수 있는지에 대한 질문이다. 1930년대 윌리엄 밸런스 더글러스 호지가 제시했으며, 특이 코호몰로지, 호지 이론, 대수적 순환 간의 관계를 다룬다. 호지 추측은 k=1인 경우, 그리고 다양체의 차원이 3 이하인 경우 증명되었으며, 아벨 다양체의 특정 경우에도 성립한다. 그러나 정수 계수나 켈러 다양체로의 일반화는 거짓으로 증명되었으며, 일반화된 호지 추측은 여전히 미해결 문제로 남아있다. 클레이 수학연구소는 호지 추측을 밀레니엄 문제 중 하나로 선정하고 상금을 걸었다.

2. 정의

복소 ''n''차원 콤팩트 연결 복소 대수다양체 ''X''가 주어졌다고 하자. 이 위에는 특이 코호몰로지, 돌보 코호몰로지, 저우 환을 사용하여 세 가지 방법으로 코호몰로지를 정의할 수 있다. 호지 추측은 이 코호몰로지들과 대수기하학적 코호몰로지 사이의 관계에 대한 추측이다.

: $\operatorname{Hdg}^k(X) = H^{2k}(X, \Q) \cap H^{k,k}(X).$

이를 ''X''에 대한 차수 2''k''의 '''호지 류'''라고 부른다.

호지 추측의 현대적 진술은 다음과 같다.

'''호지 추측.''' ''X''를 비특이 복소 사영 다양체라고 하자. 그러면 ''X''에 대한 모든 호지 류는 ''X''의 복소 부분 다양체의 코호몰로지류의 유리수 계수를 갖는 선형 결합이다.^[8]^[9]^[10]

복소 사영 다양체는 복소 투영 공간에 매립될 수 있는 복소 다양체이다. 푸비니-스터디 계량인 켈러 계량을 가지므로 항상 켈러 다양체이다. 주의 정리에 따르면, 복소 사영 다양체는 매끄러운 사영 대수 다양체, 즉 동차 다항식의 영점 집합이다.

2. 1. 호지 이론

콤팩트 켈러 다양체

X

의 특이 코호몰로지는 돌보 코호몰로지의 직합으로 분해된다. 이를 호지 분해라고 한다.

:

H^k(X;\mathbb C) = \bigoplus_{p+q=k} H^{p,q}(X)

여기서

H^{p,q}(X)

는

(p,q)

차 조화 형식으로 표현되는 코호몰로지류들로 구성되는 부분군이다.

(p,q)

차 코호몰로지류는 특정 복소좌표계

(z_1, \ldots, z_n)

에서 다음과 같은 꼴의 복소 미분 형식들의 합으로 표현된다.

:

dz_{i_1} \wedge \cdots \wedge dz_{i_p} \wedge d\bar z_{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z_{j_q}

코호몰로지 상의 합곱은 조화형식의 쐐기곱을 통해 다음과 같이 호지 분해와 호환된다.

:

\smile\colon H^{p,q}(X) \times H^{p',q'}(X) \rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).

2. 2. 대수적 순환

''X''의 대수적 순환은 ''X''의 부분 다양체들의 형식적 선형 결합이며, 다음과 같은 꼴이다.

:

\sum_i c_iZ_i.

여기서 계수

c_i

는 정수이거나 유리수일 수 있다. 대수적 순환의 코호몰로지류는 이것을 구성하는 코호몰로지류들의 합으로 정의할 수 있으며, 이렇게 나타낼 수 있는 코호몰로지류를 '''대수적 코호몰로지류'''라고 한다. 이는 드람 코호몰로지의 사이클 클래스 사상의 예시이며, 바일 코호몰로지를 참조하면 알 수 있다. 예를 들어, 위 사이클의 코호몰로지 클래스는 다음과 같다.

:

\sum_i c_i[Z_i].

2. 3. 호지 이론과 대수적 코호몰로지의 비교

가가 정리에 따라 복소수체 위의 임의의

n

차원 비특이 사영 대수다양체

X

에 대응되는, 사영 공간에 매장될 수 있는 복소다양체

X^{\operatorname{an}}

을 정의할 수 있다.

X

의 임의의

n-k

차원 부분 대수다양체

i\colon Y\hookrightarrow X

에 대하여 이에 대응하는 복소다양체의 부분 복소다양체

:

i^{\operatorname{an}}\colon Y^{\operatorname{an}}\hookrightarrow X^{\operatorname{an}}

가 존재한다.

X^{\operatorname{an}}

위의 임의의

(p,q)

차 복소 미분 형식

\alpha\in\Omega^{p,q}(X^{\operatorname{an}})

에 대하여, 다음과 같은 적분을 정의할 수 있다.

:

\int_{Y^{\operatorname{an}}}{i^{\operatorname{an}}}^*\alpha

Y

의 기본류는

i^{\operatorname{an}}_*[Y^{\operatorname{an}}]\in H^{k,k}(X^{\operatorname{an}})

이므로, 만약

(p,q)\ne(n-k,n-k)

라면 이 적분은 0이다. 보다 추상적으로, 이 적분은 부분 복소다양체

Y^{\operatorname{an}}

로 나타내어지는 호몰로지류

[Y^{\operatorname{an}}]

와

\alpha

로 표현되는 코호몰로지류

[\alpha]

에 대한 교곱

:

\int_{Y^{\operatorname{an}}}{i^{\operatorname{an}}}^*\alpha=[Y^{\operatorname{an}}]\frown[\alpha]

으로 생각할 수 있다.

푸앵카레 쌍대성에 의해,

Y^{\operatorname{an}}

의 호몰로지류의 짝이 되는 코호몰로지류

\operatorname{PD}([Y^{\operatorname{an}}])\in H^{2k}(X^{\operatorname{an}})

를 정의할 수 있다. 이 교곱은

\operatorname{PD}([Y^{\operatorname{an}}])

와

\alpha

의 합곱에

X^{\operatorname{an}}

의 기본류

[X^{\operatorname{an}}]

를 교곱하여 계산할 수 있다. 코호몰로지

\operatorname{PD}([Y^{\operatorname{an}}])

는 호지 분해되기 때문이다. 이상과 같이 이 코호몰로지류에 차수가

(k,k)

가 아닌 임의의 호몰로지류를 합곱할 경우 0이 된다.

H^{2n}(X^{\operatorname{an}};\mathbb C) = H^{n,n}(X^{\operatorname{an}})

이기 때문에

:

\operatorname{PD}([Y^{\operatorname{an}}])\in H^{k,k}(X^{\operatorname{an}};\mathbb C)

이다.

이에 따라, 유리수 계수 대수적 순환군

Z(X;\mathbb Q)

에서 특이 코호몰로지로 가는 자연스러운 사상

:

\phi_k\colon Z^k(X;\mathbb Q)\to H^{k,k}(X^{\operatorname{an}};\mathbb C)\cap H^{2k}(X^{\operatorname{an}};\mathbb Q)\qquad(k=0,1,\dots,n)

이 존재한다. 여기서

:

\operatorname{Hdg}^k(X^{\operatorname{an}})=H^{k,k}(X^{\operatorname{an}};\mathbb C)\cap H^{2k}(X^{\operatorname{an}};\mathbb Q)

를 '''호지 류'''(Hodge class^영어)의 군이라고 한다.

호지 추측은 다음과 같은 질문과 같다.^[26]^[11]

:

X^{\operatorname{an}}

의 모든 호지 류는

X

의 (유리수 계수) 대수적 코모호몰로지류인가? 즉, 모든

0\le k\le n

에 대하여,

\phi_k

가 전사 함수인가?

3. 주요 내용

$\operatorname{Hdg}^k(X) = H^{2k}(X, \Q) \cap H^{k,k}(X)$ 로 정의하고, 이를 ''X'' 위의 차수 2''k''의 '''호지류''' 군이라고 부른다.

호지 추측을 현대적인 명제로 표현하면 다음과 같다.

'''호지 추측'''. ''X''를 비특이 복소 사영 다양체라고 할 때, ''X'' 위의 모든 호지류는 ''X''의 복소 부분 다양체의 코호몰로지류의 유리수 계수 선형 결합이 된다.^[26]^[11]

복소 투영 공간에 매립될 수 있는 복소 다양체인 투영 복소 다양체는 푸비니-슈타디 계량인 켈러 계량을 가지므로 항상 켈러 다양체이다. 주의 정리에 따르면 투영 복소 다양체는 매끄러운 투영 대수적 다양체, 즉, 동차 다항식의 영점 집합이다.

솔로몬 렙셰츠는 1924년에 임의의

H^2(X;\mathbb Z)\cap H^{1,1}(X)

의 원소는 인자로 나타내어진다는 것을 증명하였다.^[12] (여차원이 1인 경우). 이는 지수열로 쉽게 증명할 수 있다.

또한, 어려운 렙셰츠 정리를 사용하여 다음을 보일 수 있다.

만약 호지 추측이 $k 차 호지 류에 대하여 성립한다면, 호지 추측은 n-k 차 호지 류에 대해서도 성립한다.$

따라서 호지 추측은

k=n-1

차 호지 류에 대해서도 성립한다. 즉,

n\le3

이라면 호지 추측은 참이다.

3. 1. 호지 추측의 다양한 표현

호지 이론을 사용하여, 돌보 코호몰로지 군으로 특이 코호몰로지의 꼬임 부분군에 대한 몫군을 추가로 분해할 수 있다.

:

H^k(X;\mathbb C) = \bigoplus_{p+q=k} H^{p,q}(X)

여기서

H^{p,q}(X)

는

(p,q)

차 조화 형식으로 표현되는 코호몰로지류들로 구성되는 부분군이다. 호지 이론에 따라, 특정 복소좌표계

(z_1, \ldots, z_n)

에서, (p,q)차 코호몰로지류들은 다음과 같은 꼴의 복소 미분 형식들의 합으로 표현된다.

:

dz_{i_1} \wedge \cdots \wedge dz_{i_p} \wedge d\bar z_{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z_{j_q}

코호몰로지 상의 합곱에 상응하는 조화형식의 쐐기곱을 취하면 합곱은 다음과 같이 호지 분해로 변환된다.

:

\smile\colon H^{p,q}(X) \times H^{p',q'}(X) \rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).

X

가 복소수체 위의 임의의

n

차원 비특이 사영 대수다양체라면, 가가 정리에 따라 사영 공간에 매장될 수 있는 복소다양체

X^{\operatorname{an}}

을 정의할 수 있으며,

X

의 임의의

n-k

차원 부분 대수다양체

i\colon Y\hookrightarrow X

에 대하여 이에 대응되는 복소다양체의 부분 복소다양체

:

i^{\operatorname{an}}\colon Y^{\operatorname{an}}\hookrightarrow X^{\operatorname{an}}

가 존재한다.

(p,q)

차 복소 미분 형식

\alpha\in\Omega^{p,q}(X^{\operatorname{an}})

에 대하여, 다음과 같은 적분을 정의할 수 있다.

:

\int_{Y^{\operatorname{an}}}{i^{\operatorname{an}}}^*\alpha

Y

의 기본류는

i^{\operatorname{an}}_*[Y^{\operatorname{an}}]\in H^{k,k}(X^{\operatorname{an}})

이므로, 만약

(p,q)\ne(n-k,n-k)

라면 이 적분은 0이다. 보다 추상적으로, 이 적분은 부분 복소다양체

Y^{\operatorname{an}}

로 나타내어지는 호몰로지류

[Y^{\operatorname{an}}]

와

\alpha

로 표현되는 코호몰로지류

[\alpha]

에 대한 교곱

:

\int_{Y^{\operatorname{an}}}{i^{\operatorname{an}}}^*\alpha=[Y^{\operatorname{an}}]\frown[\alpha]

으로 생각할 수 있다. 푸앵카레 쌍대성에 의해,

Y^{\operatorname{an}}

의 호몰로지류의 짝이 되는 코호몰로지류

\operatorname{PD}([Y^{\operatorname{an}}])\in H^{2k}(X^{\operatorname{an}})

를 정의할 수 있다. 이 교곱은

\operatorname{PD}([Y^{\operatorname{an}}])

와

\alpha

의 합곱에

X^{\operatorname{an}}

의 기본류

[X^{\operatorname{an}}]

를 교곱하여 계산할 수 있다.

H^{2n}(X^{\operatorname{an}};\mathbb C) = H^{n,n}(X^{\operatorname{an}})

이기 때문에

:

\operatorname{PD}([Y^{\operatorname{an}}])\in H^{k,k}(X^{\operatorname{an}};\mathbb C)

이다.

이에 따라, 유리수 계수 대수적 순환군

Z(X;\mathbb Q)

에서 특이 코호몰로지로 가는 자연스러운 사상

:

\phi_k\colon Z^k(X;\mathbb Q)\to H^{k,k}(X^{\operatorname{an}};\mathbb C)\cap H^{2k}(X^{\operatorname{an}};\mathbb Q)\qquad(k=0,1,\dots,n)

이 존재한다. 여기서

:

\operatorname{Hdg}^k(X^{\operatorname{an}})=H^{k,k}(X^{\operatorname{an}};\mathbb C)\cap H^{2k}(X^{\operatorname{an}};\mathbb Q)

를 '''호지 류'''의 군이라고 한다.

호지 추측은 다음과 같은 문제이다.^[26]^[11]

:

X^{\operatorname{an}}

의 모든 호지 류는

X

의 (유리수 계수) 대수적 코모호몰로지류인가? 즉, 모든

0\le k\le n

에 대하여,

\phi_k

가 전사 함수인가?

다음과 같이 정의한다.

:

\operatorname{Hdg}^k(X) = H^{2k}(X, \Q) \cap H^{k,k}(X).

이것을 ''X''에 대한 차수 2''k''의 '''호지 클래스'''라고 부른다.

호지 추측을 현대적으로 표현하면 다음과 같다.

::'''호지 추측.''' ''X''를 비특이 복소 투영 다양체라고 하자. 그러면 ''X''에 대한 모든 호지 클래스는 ''X''의 복소 부분 다양체의 코호몰로지 클래스의 유리수 계수를 갖는 선형 결합이다.

복소 투영 공간에 매립될 수 있는 복소 다양체인 투영 복소 다양체는 푸비니-스터디 계량인 켈러 계량을 가지므로 항상 켈러 다양체이다. Chow의 정리에 따르면 투영 복소 다양체는 매끄러운 투영 대수적 다양체, 즉, 동차 다항식의 영점 집합이다.

호지 추측을 대수적 사이클의 개념을 이용하여 표현하면 다음과 같다. ''X'' 위의 대수적 사이클은 ''X''의 부분 다양체의 형식적 조합이다. 즉, 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

\sum_i c_iZ_i.

계수는 보통 정수 또는 유리수로 한다. 대수적 사이클의 코호몰로지 클래스는 그 구성 요소들의 코호몰로지 클래스의 합으로 정의한다. 이것은 드람 코호몰로지의 사이클 클래스 사상의 예시이며, 바일 코호몰로지를 참조하라. 예를 들어, 위의 사이클의 코호몰로지 클래스는 다음과 같다.

:

\sum_i c_i[Z_i].

이러한 코호몰로지 클래스를 '대수적'이라고 부른다. 이 표기법으로, 호지 추측은 다음과 같이 된다.

::''X''를 사영 복소 다양체라고 하자. 그러면 ''X'' 위의 모든 호지 클래스는 대수적이다.

호지 추측에서 ''X''가 대수적(사영 복소 다양체)이라는 가정은 약화될 수 없다. 1977년, 스티븐 주커는 사영 대수적이지 않은,

(p,p)

타입의 해석적 유리 코호몰로지를 갖는 복소 토러스로 호지 추측의 반례를 구성할 수 있음을 보였다.

3. 2. 증명된 경우

솔로몬 렙셰츠는 1924년에 임의의

H^2(X;\mathbb Z)\cap H^{1,1}(X)

의 원소는 인자로 나타내어진다는 것을 증명하였다.^[12] 즉, 여차원이 1인 경우에 호지 추측이 성립한다. 이는 지수열로 쉽게 증명할 수 있다.

또한, 어려운 렙셰츠 정리를 사용하여 다음을 보일 수 있다.

만약 호지 추측이 $k 차 호지 류에 대하여 성립한다면, 호지 추측은 n-k 차 호지 류에 대해서도 성립한다.$

따라서 호지 추측은

k=n-1

차 호지 류에 대해서도 성립한다. 즉,

n\le3

이라면 호지 추측은 참이다.

대부분의 아벨 다양체의 경우, 호지 류의 대수는 1차 호지 류로부터 생성되며, 1차 호지 류의 경우 호지 추측이 성립하므로, 모든 차수에 대하여 호지 추측이 성립한다.

그러나 특수한 경우, 호지 류가 1차 호지 류로부터 생성되지 않는 아벨 다양체가 존재한다.^[13] 이러한 현상은 아벨 다양체가 허수 이차 수체에 대한 복소 곱셈을 가질 때 발생하며,^[14] 반대로 5차원 이하에서는 아벨 다양체가 허수 이차 수체에 대한 복소 곱셈을 갖지 않는다면 모든 호지 류가 1차류로부터 생성됨이 증명되었다.^[15] 즉, 호지 추측은 허수 이차 수체에 대한 복소 곱셈을 갖지 않는 5차원 이하의 아벨 다양체에 대하여 성립한다.

호지 추측이 옳다면, 복소 구조의 모듈라이 공간 속에서, 어떤 주어진 올이 호지 류를 이루는 점들의 집합은 모듈러스 공간의 대수 집합을 이루어야 한다. 이러한 집합을 '''호지 자취'''(Hodge locus^영어)라고 한다. 호지 자취가 대수적이라는 사실은 1995년에 증명되었으며,^[16] 이는 호지 추측이 참이라는 중요한 증거로 꼽힌다.^[17]

4. 일반화

호지 추측은 여러 방향으로 일반화될 수 있지만, 이러한 일반화는 대부분 거짓으로 증명되었다.

원래 호지 추측은 정수 계수에 대한 것이었으나, 아티야와 히처브루흐^[18], 토타로^[19] 등에 의해 거짓임이 밝혀졌다. 비틀림 모듈로 적분 호지 추측 또한 콜라르에 의해 거짓으로 증명되었다.^[20] 로젠숀과 스리니바스는 모티빅 코호몰로지 군을 이용해 적분 호지 추측을 수정해야 함을 보였다.^[24]

켈러 다양체에 대한 일반화 역시 대부분 거짓이다. 스티븐 저커는 사영 대수다양체가 아닌 복소 원환면에서 반례를 발견했고^[21], 클레르 브와쟁은 연접층의 천 류로도 모든 호지 류를 생성할 수 없음을 보였다.^[22]

알렉산더 그로텐디크는 호지가 제시한 원래 형태의 일반화 호지 추측이 거짓임을 지적했고^[23], 그로텐디크가 수정한 형태는 아직 미해결 문제로 남아있다.

4. 1. 정수 계수 호지 추측

호지 추측은 정수 계수에서는 성립하지 않는다. 즉, 다음의 자연스러운 사상은 전사 함수가 아닐 수 있다.

:

Z^k(X;\mathbb Z)\to H^{2k}(X;\mathbb Z)\cap H^{k,k}(X)

이러한 정수 계수 호지 류는 꼬임 부분군에 속할 수 있으며, 꼬임 호지 류는 대수적 순환으로 나타내어질 수 없다.^[18]^[19]

꼬임을 무시하여도, 정수 계수 호지 추측은 거짓이다. 즉, 다음의 자연스러운 사상 역시 전사 함수가 아닐 수 있다.^[20]

:

Z^k(X;\mathbb Z)\to(H^{2k}(X;\mathbb Z)\cap H^{k,k}(X))/(H^{2k}(X;\mathbb Z)\cap H^{k,k}(X))_{\operatorname{tors}}

원래 호지의 추측은 다음과 같았다.

'''정수 호지 추측''' ''X''를 복소 사영 다양체라고 하면, ''H''^2''k''(''X'', '''Z''') ∩ ''H''^{''k'', ''k''}(''X'') 안에 있는 모든 코호몰로지류는, ''X'' 위의 정수 계수를 갖는 대수적 사이클의 코호몰로지류이다.

그러나 현재는 이것이 오류임이 알려져 있다. 최초의 반례는 K-이론을 사용한 아티야-히처브루흐(Atiyah-Hirzebruch)가 제시했는데, 토션(torsion)을 갖는 호지류가 그 예시이다. 토션을 갖는 호지류는 어떤 양의 정수 ''n''에 대해 ''n''α = 0이 되는 호지류 α를 말한다. 그러한 코호몰로지류는 사이클의 류가 될 수 없다. 이후 토타로(Totaro)는 이러한 결과를 코볼디즘의 틀 안에서 재해석하여, 토션을 갖는 류의 많은 예를 발견했다.

정수 호지 추측의 가장 단순한 수정은 다음과 같다.

'''토션의 잉여를 취한 정수 호지 추측''' (Integral Hodge conjecture modulo torsion) ''X''를 복소 사영 다양체라고 하자. 그러면, ''H''^2''k''(''X'', '''Z''') ∩ ''H''^{''k'', ''k''}(''X'')의 모든 코호몰로지류는, ''X''의 정수 계수를 갖는 대수적 사이클의 토션류와 코호몰로지류의 합이 된다.

이는 ''H''^2''k''(''X'', '''Z''') ∩ ''H''^{''k'', ''k''}(''X'')를 토션류로 나눈 후, 모든 류가 정수 계수 대수적 사이클의 코호몰로지 군의 상(image)이 된다는 것과 같다. 그러나 이것 역시 오류이다. 콜라르(Kollár)는 비대수적이지만 대수적인 사이클의 정수 배가 되는 호지류 α의 예를 발견했다.

4. 2. 켈러 다양체

1977년, 스티븐 저커(Steven Zucker^영어)는 (p,p)차 해석적 유리수 계수 코호몰로지가 대수적이지 않은, 사영 대수다양체가 아닌 복소 원환면이 존재함을 보였다.^[21]

더 약화된 호지 추측은 다음과 같다.

임의의 콤팩트 켈러 다양체 $X$ 에 대하여, $X$ 의 모든 (유리수) 호지 류는 $X$ 위의 연접층의 천 특성류의 유리수 계수 선형 결합으로 나타내어진다.

그러나 이 또한 2002년에 거짓임이 증명되었다.^[22]

호지 추측을 일반화하면 다음과 같이 단순하게 표현할 수 있다.

>'''호지 추측의 켈러 다양체의 단순한 버전''' ''X'' 를 복소 켈러 다양체라고 하면, 모든 ''X'' 위의 호지류는 ''X''의 복소 부분 다양체의 코호몰로지류의 유리수 계수 선형 결합일 것이다.

하지만 이 추측은 부분 다양체가 충분하지 않다는 점에서 지나치게 낙관적이다. 따라서 다음과 같은 두 가지 질문을 할 수 있다.

>'''켈러 다양체의 호지 추측의 벡터 번들 버전''' ''X'' 를 복소 켈러 다양체라고 하자. 모든 ''X''의 호지류는 ''X'' 위의 벡터 번들의 천(Chern) 류의 유리 계수 선형 결합이다.

>'''켈러 다양체의 호지 추측의 연접층 버전''' ''X'' 를 복소 켈러 다양체라고 하자. 모든 ''X''의 호지류는 ''X'' 위의 연접층의 천 류의 유리 계수 선형 결합이다.

클레르 브와쟁(Claire Voisin^영어)은 연접층의 천 류가 벡터 번들의 천 류보다 더 많은 호지 류를 제공하지만, 연접층의 천 류만으로는 모든 호지 류를 생성하기에 불충분하다는 것을 증명했다.^[22] 결론적으로, 켈러 다양체에 대한 호지 추측의 현재 알려진 공식은 모두 거짓이다.

4. 3. 일반화된 호지 추측

호지 구조를 사용하여 호지 추측을 더 추상적으로 일반화할 수 있다. 이를 '''일반화 호지 추측'''(generalized Hodge conjecture^영어)이라고 한다. 원래 호지가 제시한 형태의 일반화 호지 추측은^[23] 알렉산더 그로텐디크가 거짓이라고 지적하였다. 하지만 그로텐디크가 수정한 형태의 일반화 호지 추측은 아직 미해결 문제이다.

호지는 정수 호지 추측보다 더 강력한 추가 추측을 했다. ''X''에 대한 코호몰로지 클래스를 ''co-level c'' (co-niveau c)라고 하면, 이 클래스는 ''X''의 ''c''-차원 부분 다양체에 대한 코호몰로지 클래스의 푸쉬포워드이다. co-level이 최소한 ''c''인 코호몰로지 클래스는 ''X''의 코호몰로지를 필터링하며, 필터링의 ''c''번째 단계 ''N''^''c''''H''^''k''(''X'', '''Z''')가 다음을 만족한다는 것을 쉽게 알 수 있다.

:

N^cH^k(X, \mathbf{Z}) \subseteq H^k(X, \mathbf{Z}) \cap (H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X)).

호지의 원래 진술은 다음과 같았다.

:'''일반화된 호지 추측, 호지의 버전.'''

N^cH^k(X, \mathbf{Z}) = H^k(X, \mathbf{Z}) \cap (H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X)).

그로텐디크는 이 진술이 심지어 유리수 계수를 갖는 경우에도 참이 될 수 없다는 것을 관찰했다. 왜냐하면 우변이 항상 호지 구조가 아니기 때문이다. 호지 추측의 수정된 형태는 다음과 같다.

:'''일반화된 호지 추측.''' ''N''^''c''''H''^''k''(''X'', '''Q''')는

H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X).

에 포함된 ''H''^''k''(''X'', '''Z''')의 가장 큰 부분 호지 구조이다.

이 버전은 아직 해결되지 않았다.

5. 역사

1930년대에 스코틀랜드의 기하학자 윌리엄 밸런스 더글러스 호지는 호지 이론을 개발하였고, 1941년 이 이론을 집대성한 저서 《조화 적분의 이론과 응용》에서 이 추측을 처음으로 발표하였다.^[24] 1950년 세계 수학자 대회에서 호지가 이 문제를 언급하면서 호지 추측은 수학계의 주요 미해결 문제로 부상하였다.^[25]

2000년 클레이 수학연구소는 호지 추측을 밀레니엄 문제 가운데 하나로 선정하였고, 이 문제의 증명이나 반증에 대하여 100만달러의 상금을 걸었다.^[26]

참조

_[1] 웹사이트 Degeneration of families of projective hypersurfaces and Hodge conjecture https://arxiv.org/pd[...] 2024-10-07
_[2] conference What is known about the Hodge Conjecture? https://projecteucli[...] Mathematical Society of Japan 1981-07-13
_[3] 문서 "A Survey of the Hodge Conjecture"
_[4] 저널 Cycles on abelian varieties
_[5] 웹사이트 Algebraic cycles and poles of zeta functions https://www.research[...] 2015-10-23
_[6] 저널 Cycles on simple abelian varieties of prime dimension over number fields 1988-01-01
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