군의 작용
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2. 정의
모노이드 , 군 , 반군 의 작용은 다음과 같이 정의된다.모노이드 의 집합 위의 왼쪽 작용은 모노이드 준동형이나 함자 로 정의할 수 있다. 모노이드의 작용을 갖춘 집합을 '''M-집합'''이라고 하며, 두 M-집합 사이에서 작용과 호환되는 함수를 '''등변 함수'''라고 한다.군 은 모노이드 를 이루며, 군의 작용은 모노이드로서의 작용과 같다. 군의 작용은 추가적으로 군 준동형으로 정의할 수 있다.gh 가 x 에 작용하는 순서이다. 왼쪽 작용은 h 가 먼저 작용하고 g 가 나중에 작용하지만, 오른쪽 작용은 g 가 먼저 작용하고 h 가 나중에 작용한다. 오른쪽 작용을 군의 역 연산과 합성하여 왼쪽 작용을 구성할 수 있다.
2. 1. 함수를 통한 정의
모노이드 M 의, 집합 X 위의 '''왼쪽 작용'''은 다음 조건들을 만족시키는 함수 \cdot\colon M\times X\to X 이다.(모노이드 항등원은 항등 함수 ) 임의의 x\in X 에 대하여, 1_M\cdot x=x . 여기서 1_M\in M 은 M 의 항등원이다. (모노이드 연산은 함수의 합성 ) 임의의 m,n\in M 및 x\in X 에 대하여, (mn)\cdot x=m\cdot(n\cdot x) 모노이드 M 의, 집합 X 위의 '''오른쪽 작용'''은 다음 조건들을 만족시키는 함수 \cdot\colon X\times M\to X 이다.(모노이드 항등원은 항등 함수 ) 임의의 x\in X 에 대하여, x\cdot1_M=x . 여기서 1_M\in M 은 M 의 항등원이다. (모노이드 연산은 함수의 합성 ) 임의의 m,n\in M 및 x\in X 에 대하여, x\cdot(mn)=(x\cdot m)\cdot n 모노이드 M 의 작용을 갖춘 두 집합 X , Y 이 주어졌다고 하자. 그 사이의 '''등변 함수''' f\colon X\to Y 는 다음 조건을 만족시키는 함수 이다.\forall x\in X,m\in M\colon m\cdot f(x)=f(m\cdot x) Y 위의 작용이고, 우변은 X 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.\begin{matrix} G 가 군 이고 항등원 이 e 이며, X 가 집합이라면, G 의 X 에 대한 (''왼쪽'') ''군 작용'' \alpha 는 다음과 같은 함수이다.\alpha\colon G \times X \to X, 공리 를 만족한다.항등원 호환성 \alpha(e,x)=x \alpha(g,\alpha(h,x))=\alpha(gh,x)
G 의 g 와 h , 그리고 모든 X 의 x 에 대해.G 는 X 에 (왼쪽에서) 작용한다고 말한다. G 의 작용과 함께하는 집합 X 를 (''왼쪽'') G -''집합''이라고 한다.\alpha 를 커리화 하여, 대신 각 군 원소 g \in G 에 대해 하나의 변환 \alpha_g \colon X \to X 를 갖는 변환 모음 \alpha_g 를 사용할 수 있다. 그러면 항등원 및 호환성 관계는 다음과 같이 나타낸다.\alpha_e(x) = x \alpha_g(\alpha_h(x)) = (\alpha_g \circ \alpha_h)(x) = \alpha_{gh}(x) \circ 는 함수 합성을 의미한다. 두 번째 공리는 함수 합성이 군의 곱셈과 호환된다는 것을 나타낸다. 이들은 가환도표를 형성한다. 이 공리는 더 짧게 축약될 수 있으며 \alpha_g \circ \alpha_h = \alpha_{gh} 로 쓸 수 있다.\alpha 를 완전히 생략하고 점이나 아무것도 쓰지 않는 것이 매우 일반적이다. 따라서 \alpha(g, x) 는 g\cdot x 또는 gx 로 축약될 수 있으며, 특히 작용이 문맥상 명확할 때 그렇다. 공리는 다음과 같다.e{\cdot}x = x g{\cdot}(h{\cdot}x) = (gh){\cdot}x G 의 고정된 모든 g 에 대해, x 를 g\cdot x 로 매핑하는 X 에서 자신으로의 함수는 전단사 함수 이며, 역 전단사 함수는 g^{-1} 에 대한 해당 맵이다. 따라서 G 의 X 에 대한 군 작용을 G 에서 모든 X 에서 자신으로의 전단사 함수의 대칭군 Sym(X) 으로의 군 준동형사상으로 동등하게 정의할 수 있다.G 가 X 에 작용하는 ''오른쪽 군 작용''은 다음을 만족하는 함수이다.\alpha\colon X \times G \to X,
항등원 호환성 \alpha(x,e)=x \alpha(\alpha(x,g),h)=\alpha(x,gh)
\alpha(x, g) 를 xg 또는 x\cdot g 로 줄여서 표기하기도 한다.)
항등원 호환성 x{\cdot}e = x (x{\cdot}g){\cdot}h = x{\cdot}(gh)
G 의 g 와 h , 그리고 모든 X 의 x 에 대해 성립한다.gh 가 x 에 작용하는 순서에 있다. 왼쪽 작용의 경우, h 가 먼저 작용하고, 그 다음 g 가 두 번째로 작용한다. 오른쪽 작용의 경우, g 가 먼저 작용하고, 그 다음 h 가 두 번째로 작용한다. 공식 (gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1} 에 의해, 오른쪽 작용을 그룹의 역 연산과 합성하여 왼쪽 작용을 구성할 수 있다. 또한, G 가 X 에 작용하는 오른쪽 작용은 반대 군 G^{op} 이 X 에 작용하는 왼쪽 작용으로 간주할 수 있다.
2. 2. 준동형을 통한 정의
모노이드 \(M\)의 집합 \(X\) 위의 왼쪽 작용은 \(M\)에서 \(X\) 위의 자기 함수들의 모노이드 \(\operatorname{End}X\)로 가는 모노이드 준동형군 일 경우, 왼쪽 작용은 \(X\)의 대칭군 (\(자기 동형군) \(\operatorname{Sym}X\))으로 가는 군 준동형함수 \(f\colon X\to Y\)이다.\begin{matrix} 군 \(G\)의 항등원 에 대응하는 \(X\) 위의 치환은, \(X\) 위의 항등 변환이다. 군 \(G\)에서의 두 원소의 곱 \(gh\)에 대응하는 \(X\) 위의 치환은, \(g\) 및 \(h\)에 각각 대응하는 치환의 합성이다. 2. 3. 범주론적 정의
범주론적으로, 모노이드 M 의 작용은 M 을 하나의 대상을 갖는 작은 범주 로 보았을 때, 함자 F\colon M\to\operatorname{Set} M 이 작용하는 집합은 범주 M 의 유일한 대상 \bullet_M 의 F 에 대한 상 F(\bullet_M)\in\operatorname{Set} 이며, m\in M 의 작용은 F 에 대한 상 F(m)\colon F(\bullet_M)\to F(\bullet_M) 이다.M -집합F\colon M\to\operatorname{Set} G\colon M\to\operatorname{Set} F\Rightarrow G 는 두 함자 사이의 자연 변환 과 같다. 구체적으로, 자연 변환 \eta\colon F\Rightarrow G 에 대응하는 등변 함수는 \eta 의 성분\eta_{\bullet_M}\colon F(\bullet_M)\to G(\bullet_M) M -집합의 범주 \operatorname{Set}^M 은 (작은 범주 로 간주한) M 에서 \operatorname{Set} 로 가는 함자 범주와 동치 이다. ''G''-집합 전체의 모임은 범주 를 이룬다. 이 범주는 그로텐디크 토포스이다.
3. 성질
군 작용은 군의 각 원소가 어떤 집합 위에서 전단사 변환(대칭 변환)처럼 "작용"하지만, 그것이 그러한 변환과 동일시될 필요는 없다는 점에서, Symmetry group|label=대칭성의 군영어 의 유연한 일반화가 된다.\cdot\colon G\times X\to X 이 주어졌을 때,
g\in G 에 대하여 g\cdot\colon X\to X 는 전단사 함수 이다.(역원은 역함수 ) g\in G 에 대하여 g^{-1}\cdot=(g\cdot)^{-1} 이다. 여기서 (g\cdot)^{-1} 는 전단사 함수의 역함수 이다. G 를 집합 X 에 작용하는 군이라고 하자.이 작용은 모든 x \in X 에 대해 g\cdot x = x 이면 g = e_G 일 경우 '''충실''' 또는 '''유효'''라고 한다. 이는 G 에서 X 의 전단사 함수의 군으로 가는 군 준동형 사상은 단사 함수 라는 의미이다. 작용은 어떤 x \in X 에 대해 g\cdot x = x 라는 진술이 이미 g = e_G 를 의미할 경우 '''자유''' (또는 ''준정칙'' 또는 ''고정점 없는'')라고 한다. 즉, G 의 비자명 원소는 X 의 점을 고정하지 않는다. 이것은 충실성보다 훨씬 더 강력한 성질이다. 예를 들어, 군이 자신에 왼쪽 곱셈으로 작용하는 것은 자유 작용이다. 이 관찰은 모든 군이 대칭군에 임베딩될 수 있다는 케일리의 정리 를 의미한다(군이 무한할 경우 무한). G 의 X 에 대한 작용은 두 점 x, y \in X 에 대해 g \in G 가 존재하여 g \cdot x = y 가 성립하면 '''추이적'''이라고 한다.작용이 추이적이고 자유 작용이면 '''단순 추이적''' (또는 ''예리 추이적'' 또는 '''정칙적''')이라고 한다. 즉, x, y \in X 가 주어졌을 때 추이성의 정의에서 g 는 유일하다. X 가 군 G 에 의해 단순 추이적으로 작용하면, X 는 G 에 대한 주 균질 공간 또는 G -토서라고 한다. 정수 n \ge 1 에 대해, X 가 적어도 n 개의 원소를 가지고, 쌍별로 구별되는 항목을 가진 n -튜플 쌍 (x_1, \dots, x_n), (y_1, \dots, y_n) \in X^n (즉, x_i \ne x_j , y_i \ne y_j when i \ne j )가 있을 때, g\cdot x_i = y_i for i = 1, \dots, n 을 만족하는 g \in G 가 존재하면 작용은 n -'''추이적'''이다. 즉, 중복 항목이 없는 튜플의 X^n 부분 집합에 대한 작용은 추이적이다. n = 2, 3 의 경우 이것을 이중 추이적, 삼중 추이적이라고 한다. 2-추이군 (즉, 작용이 2-추이적인 유한 대칭군의 부분군)과 더 일반적으로 다중 추이군의 클래스는 유한군론에서 잘 연구되어 있다. 반복 항목이 없는 X^n 의 튜플에 대한 작용이 예리 추이적일 때, 작용은 '''예리 n -추이적'''이다. 3. 1. 왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계
임의의 모노이드 M 에 대하여, 왼쪽 M -작용은 오른쪽 M^{\operatorname{op}} -작용과 같다. 여기서 M^{\operatorname{op}} 은 M 의 반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.G 는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.{}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname{op}} G -작용을 왼쪽 G -작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 G -작용 r\colon X\times G\to X 에 대하여,\ell\colon G\times X\to X \ell(g,x)=r(x,g^{-1}) \ell 은 왼쪽 G -작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 G -작용 \ell\colon G\times X\to X 가 주어졌을 때r\colon X\times G\to X r(x,g)=\ell(g^{-1},x) G -작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치 이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)gh 가 x 에 작용하는 순서에 있다. 왼쪽 작용의 경우, h 가 먼저 작용하고, 그 다음 g 가 두 번째로 작용한다. 오른쪽 작용의 경우, g 가 먼저 작용하고, 그 다음 h 가 두 번째로 작용한다. 공식 (gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1} 에 의해, 오른쪽 작용을 군의 역 연산과 합성하여 왼쪽 작용을 구성할 수 있다. 또한, G 가 X 에 작용하는 오른쪽 작용은 반대군 G^{\operatorname{op}} 이 X 에 작용하는 왼쪽 작용으로 간주할 수 있다.영어 은 사상 ''R'': ''X'' × ''G'' → ''X''; (''x'', ''g'') ↦ ''R''(''x'', ''g'') =: ''x'' • ''g''와 다음 두 공리에 의해 정의할 수 있다.G \times X \to X;\quad (g, x) \mapsto R(x, g^{-1}) = R_g(x) \begin{align} R_{gh}(x) & := R(x, (gh)^{-1}) = x\bullet (h^{-1}g^{-1})\\ 3. 2. 궤도와 안정자군
군 G 가 집합 X 에 작용한다고 할 때, x\in X 의 '''궤도'''(軌道, orbit영어 ) G\cdot x 는 다음과 같이 정의된다.G\cdot x = \{ g\cdot x \colon g \in G \} G 위의 동치 관계 x\sim y\iff \exists g\in G\colon g\cdot x=y X 는 궤도들로 분할 된다.x\in X 의 '''안정자군'''(安定子群, stabilizer subgroup영어 ) G_x 는 다음과 같이 정의된다.G_x = \{g \in G \colon g\cdot x = x\} G_x 는 G 의 원소 중 x 를 고정점 으로 가지는 모든 원소들의 집합이다. 안정자군 G_x 는 G 의 부분군 이다.켤레 관계에 있다. 따라서 각 궤도에 대해 G 의 부분군의 켤레류 (즉, 부분군의 모든 켤레의 집합)를 연관시킬 수 있다. (H) 가 H 의 켤레류를 나타낸다고 하면, 궤도 O 는 O 의 어떤/모든 x 의 안정자 G_x 가 (H) 에 속하면 유형 (H) 를 갖는다. 최대 궤도 유형은 종종 주 궤도 유형이라고 불린다.3. 3. 궤도-안정자군 정리
안정자군 G_x 는 G의 부분군 이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. '''궤도-안정자군 정리'''(軌道-安定子群定理, orbit–stabilizer theorem영어 )에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.G\cdot x 의 원소 g\cdot x 를 왼쪽 잉여류 gG_x 로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 g,h\in G 에 대하여, g\cdot x=h\cdot x 라면 gG_x=hG_x 이다.이 함수는 전단사 함수 이다. 즉, 임의의 g,h\in G 에 대하여, gG_x=hG_x 라면 g\cdot x=h\cdot x 이다. G 가 유한군 이면, 라그랑주 정리 에 의해 다음이 성립한다.|G\cdot x| = [G:G_x] = |G| / |G_x| X 의 고정된 x 에 대해, g \mapsto g\cdot x 로 주어지는 사상 f: G \rightarrow X 를 고려해 보자. 이 사상의 상 f(G) 는 궤도 G\cdot x 이다. 두 원소가 같은 상을 가지기 위한 조건은 다음과 같다.f(g)=f(h) \iff g{\cdot}x = h{\cdot}x \iff g^{-1}h{\cdot}x = x \iff g^{-1}h \in G_x \iff h \in gG_x. f(g) = f(h) 는 g 와 h 가 안정자 부분군 G_x 에 대한 동일한 잉여류 에 속할 때 ''그리고 그 때만'' 성립한다. 따라서, G\cdot x 의 임의의 y 에 대한 f 의 올 f^{-1}({y}) 은 그러한 잉여류에 포함되며, 모든 그러한 잉여류 역시 올로 나타난다. 그러므로 f 는 안정자 부분군에 대한 잉여류의 집합 G / G_x 와 궤도 G\cdot x 사이의 전단사 gG_x \mapsto g\cdot x 를 유도한다. 이 결과는 ''궤도-안정자 정리''로 알려져 있다.G 가 유한하다면, 궤도-안정자 정리는 라그랑주 정리와 함께 다음을 제공한다.|G \cdot x| = [G\,:\,G_x] = |G| / |G_x|, x 의 궤도 길이와 그 안정자의 차수를 곱한 값은 군의 차수이다. 특히, 이것은 궤도 길이가 군 차수의 약수임을 의미한다.번사이드 보조정리 이다.|X/G|=\frac{1}\sum_{g\in G} |X^g|,X^g 는 g 에 의해 고정된 점들의 집합이다. 이 결과는 G 와 X 가 유한할 때 주로 유용하며, 다음과 같이 해석될 수 있다. 궤도의 수는 그룹 원소당 고정된 점들의 평균 수와 같다.G 가 집합 X 에 작용할 때, X 의 점 x 의 '''궤도'''(orbit영어 )는 G 의 각 원소를 x 에 작용시킨 요소의 집합이다. x 의 궤도를 Gx 로 나타내면, Gx = \left\{ gx \mid g \in G \right\} X 의 각 원소 x 에 대해, x 의 '''안정화 부분군''' 또는 '''고정 부분군''' (stabilizer subgroup영어 ), '''등방 부분군''' (isotropy group영어 ) 또는 '''소군''' (little group영어 ) 등이라고 불리는 G 의 부분군을, x 를 고정하는 G 의 원소 전체가 이루는 집합G_x = \{g \in G \mid gx = x\} G 의 부분군 이지만, 대개는 정규 부분군 이 아니다.X 의 원소 x 를 하나 고정하고, 사상G \to X;\quad g \mapsto gx 상 은 x 가 속하는 궤도이며, 여상 은 G_x 의 왼쪽 잉여류 전체가 이루는 집합이다. 집합론에서의 표준 몫 정리에 의해, G / G_x 와 Gx 사이에는 자연스러운 전단사가 존재한다. 구체적으로 이 전단사는 hG_x 와 hx 의 대응에 의해 주어진다. 이것은, '''궤도-안정자 정리''' (orbit-stabilizer theorem영어 )로 알려져 있다.G 와 X 가 모두 유한하다면, 궤도-안정자 정리와 라그랑주 정리 로부터|Gx| = [G:G_x] = |G| / |G_x| x 및 y 가 같은 궤도에 속한다면, 그들의 고정 부분군 G_x 및 G_y 는 서로 켤레이며, 특히 동형이다. 더 자세히, G_{gx} = gG_xg^{-1} 이 성립한다. 이처럼, 서로 켤레인 고정 부분군을 갖는 점은, 같은 '''궤도형''' (orbit-type영어 )을 갖는다고 한다.번사이드 보조정리 \left|X/G\right|=\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G}\left|X^g\right| X^g 는 g 에 의해 고정되는 X 의 원소 전체가 이루는 집합이다. 이 결과는 주로 G 와 X 가 유한할 때 사용되며, 궤도의 총수는 군의 원소별 부동점의 수의 평균과 같다는 것을 보여주는 것으로 해석된다.3. 4. 작용 준군
모든 군 은 모노이드 를 이루며, 군의 작용은 모노이드로서의 작용과 같다. 모노이드 M 이 집합 X 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 할 때, 다음과 같은 작은 범주 \mathcal C 를 정의할 수 있다.\mathcal C 의 대상은 X 의 원소이다.x,y\in X 에 대하여, \hom_{\mathcal C}(x,y)=\{m\in M\colon mx=y\} 이다.x\in X 위의 항등 사상은 1_M\in\hom_{\mathcal C}(x,x) 이다.영어 , translation category영어 )라고 한다.M 이 군이라면, X 위의 작용 범주는 준군 을 이룬다. 이를 '''작용 준군'''(作用準群, action groupoid영어 , translation groupoid영어 )이라고 한다.군 (groupoid)"에 의해 인코딩될 수 있다. 작용의 안정자는 군(groupoid)의 정점 군이고, 작용의 궤도는 그 성분이다.G' = G\ltimes X 영어 )이고, 작용의 궤도는 작용 아군의 성분이다.3. 5. 보편대수학적 성질
모노이드 M 에 대하여, M -집합은 M 의 각 원소 m\in M 에 대하여 1항 연산 m\cdot 을 가지며, 다음 대수적 관계를 만족시키는 대수 구조 이다.1\cdot x=x\qquad\forall x\in X m\cdot (n\cdot x)=(mn)\cdot x\qquad\forall x\in X M -집합들은 대수 구조 다양체 를 이룬다.X 위의 자유 M -집합은 곱집합 M\times X 이며, 그 위의 작용은 다음과 같다.m\cdot(n,x)=(mn,x) 3. 6. 범주론적 성질
모노이드 M 에 대하여, M -집합의 범주 \operatorname{Set}^M 은 그로텐디크 토포스를 이룬다.완비 범주 이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주 이다.\operatorname{Set}^M 의 시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합 이다.\operatorname{Set}^M 의 끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합 이다. \operatorname{Set}^M 의 부분 대상 분류자 R_M 은 M 위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합이다.R_M=\{I\subseteq M\colon IM\subseteq I\} M 의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.M\times R_M\to R_M (m,I)\mapsto mI U\colon\operatorname{Set}^M\to\operatorname{Set} F 와 오른쪽 수반 함자 G 를 갖는다.F\dashv U\dashv G F 는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합 X 를 M\times X 로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 G 는 집합 X 를 함수들의 집합 X^M 으로 대응시킨다. M 의 X^M 위의 작용은 다음과 같다.(m\cdot f)(n)=f(mn)
4. 종류
G영어 를 군 , X영어 를 집합이라고 할 때, G영어 의 X영어 에 대한 '''왼쪽 군 작용'''은 다음 두 공리를 만족하는 외부 이항 연산이다.L\colon G \times X \to X;\quad(g,x)\mapsto L(g,x)=:g\bullet x = L_g(x) 영어 의 임의의 원소 g영어 , h영어 및 X영어 의 임의의 원소 x영어 에 대하여 가 성립한다.영어 의 항등원 e영어 와 X영어 의 임의의 원소 x영어 에 대하여, 가 성립한다.영어 는 '''왼쪽 G영어 -집합'''이라고 불리며, 군 G영어 는 X영어 에 (왼쪽에서) '''작용'''한다고 말한다.영어 의 집합 X영어 에 대한 '''오른쪽 군 작용'''은 다음 두 공리를 만족하는 사상 으로 정의할 수 있다.
'''자명한 작용''': 군 G영어 전체가 X영어 상의 항등 변환을 유도하는 것이다. 즉, G영어 의 임의의 원소 g영어 와 X영어 의 임의의 원소에 대해 가 성립한다. '''대칭군 과 그 부분군''': 집합 에 원소의 치환으로 작용한다. '''다면체 의 대칭 변환군''': 다면체의 꼭짓점 집합이나 면 집합에 작용한다. '''기하학적 대상의 대칭성의 군''': 그 대상의 점 집합 위에 작용한다. '''자기 동형군''': 벡터 공간 , 그래프, 군 , 환 등에 작용한다. '''일반 선형군, 특수 선형군, 직교군 , 특수 직교군''': 에 작용하는 리 군 이다. '''체의 확대 의 갈루아 군 ''': 큰 체에 작용한다. '''실수 전체로 구성된 가법군''': 고전 역학에서의 "잘 동작하는" 계의 위상 공간 에 작용한다. '''절댓값 이 1인 사원수 전체''': 곱셈군으로서 에 작용한다. '''평면상의 등장 변환 전체''': 평면 이미지나 평면 패턴 전체로 구성된 집합에 작용한다. '''모노이드 작용''': 군 작용과 동일한 두 가지 공리로 정의될 수 있다. 그러나 이 경우 연산자가 전단사 함수가 아니므로 동치 관계를 정의할 수 없다. 범주 의 대상에 대한 작용을 생각할 수도 있다. 이는 범주의 대상 X영어 의 자기 준동형 전체로 구성된 모노이드로의 모노이드 준동형으로 정의된다. X영어 가 밑이 되는 집합을 가지는 경우, 여러 정의와 결과는 이 경우에도 유효하다. 예를 들어, 벡터 공간 의 범주를 생각함으로써 군의 표현 을 얻을 수 있다.영어 를 모든 사상이 가역인 단일 대상 범주로 간주하면, 군 작용은 G영어 에서 집합의 범주로의 함자 이며, 군의 표현은 벡터 공간의 범주로의 함자이다. G영어 -집합 사이의 사상은 군 작용 함자 사이의 자연 변환이다. 아군의 작용을 아군에서 집합의 범주 또는 다른 범주로의 함자로 정의할 수 있다.영어 에 대한 군의 작용을, X영어 의 멱집합 에 대한 작용을 조사함으로써 확장할 수도 있다.위상 공간 에 동형사상으로 이루어진 군 의 작용이 주어졌을 때, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.'''방황(wandering)''': 모든 에 대해, 인 가 유한 개만 존재하도록 하는 근방 가 존재한다. '''불연속점(discontinuity point)''': 점 가 불연속점이라는 것은, 인 가 유한 개만 존재하도록 하는 열린 부분 집합 가 존재한다는 것이다. '''불연속 영역(domain of discontinuity)''': 불연속점들의 집합이다. 이는 작용 가 에서 wandering하게 되는 가장 큰 -안정적인 열린 부분 집합 와 같다. '''적절하게 불연속적인(properly discontinuous)''': 모든 콤팩트 부분 집합 에 대해, 인 가 유한 개만 존재한다. 이것은 wandering보다 엄격하게 강하다. '''자유 불연속적인(freely discontinuous)''': 모든 는 모든 에 대해 인 근방 를 갖는다. '''자유 정칙 집합(free regular set)''': 작용이 자유 불연속적인 가장 큰 부분 집합이다. '''코콤팩트(cocompact)''': 국소 콤팩트 공간 에 대한 그룹 의 작용은 인 콤팩트 부분 집합 가 존재할 경우 코콤팩트라고 한다. 적절하게 불연속적인 작용의 경우, 코콤팩트는 몫 공간 의 콤팩트성과 동등하다. 기본군 의 deck 변환에 의한 작용은 wandering하고 자유롭다.영어 가 위상군 , X영어 가 위상 공간 일 때, 가 의 곱 위상에 대해 연속인 G영어 의 X영어 로의 '''연속 군 작용'''을 고려하는 경우가 많다. 이 경우, 위상 공간 X영어 를 '''''G영어 -공간'''''이라고도 부른다. 몫 에는 에서 유도되는 몫 위상을 부여하여 위상 공간으로 만들며, 이를 이 작용에 대한 '''몫 공간'''이라고 한다.영어 가 위상 공간 X영어 에 작용하는 이산군 일 때, 작용이 '''고유 불연속'''(또는 '''진성 불연속''')이라는 것은, X영어 의 각 점 x영어 에 대해 열린 근방 U영어 가 존재하여, 가 되는 G영어 의 원소 g영어 전체의 집합이 단 하나의 단위 원소로만 구성되도록 할 수 있는 경우이다. X영어 가 다른 위상 공간 Y영어 의 정칙 피복 공간일 때, 데크 변환군의 X영어 에 대한 작용은 고유 불연속적이며 자유롭다. 군 G영어 의 호상 연결 위상 공간 X영어 에 대한 임의의 자유롭고 고유 불연속적인 작용은 이러한 방식으로 얻어진다. 몫 사상 는 정칙 피복 사상이며, 데크 변환군은 G영어 의 X영어 에 대한 작용으로 주어진다. X영어 가 단일 연결이면 의 기본군 은 G영어 와 동형이다.영어 의 국소 콤팩트 공간 X영어 에 대한 작용이 '''여콤팩트'''라는 것은, X영어 의 콤팩트 부분 집합 A영어 가 존재하여 가 되는 경우이다. 고유 불연속 작용에 대해서는, 여콤팩트성은 몫 공간 의 콤팩트성과 동치이다.영어 의 X영어 에 대한 작용이 '''고유'''(''proper'')하다는 것은, 사상 가 고유 사상 (proper map)인 경우이다.위상군 가 위상 동형에 의해 작용하는 위상 공간 라고 가정하면, 작용은 맵이 곱 위상에 대해 연속적이면 "연속적"이라고 한다.한국어 "이라고 한다.이산군 일 때 proper 불연속성과 동등하다.가환환 위의 가군 에 선형 변환 으로 작용하는 경우, 이 작용은 적절한 영이 아닌 -불변 부분 가군이 없을 때 '''기약 표현'''이라고 한다. 기약 작용의 직합 으로 분해될 경우 '''반단순'''이라고 한다.4. 1. 추이적 작용
'''n영어 -추이적 작용'''(-推移的作用, ''n''-transitive action영어 )은 군의 작용에서 다음 조건을 만족시키는 경우를 말한다.임의의 서로 다른 원소들 x_1,\dots,x_n\in X 및 임의의 서로 다른 원소들 y_1,\dots,y_n\in X 에 대하여, g\cdot x_k=y_k (\forall k\in\{1,\dots,n\} )인 g\in G 가 존재한다. 영어 -정추이적 작용'''(-正推移的作用, sharply ''n''-transitive action영어 )은 위 조건에서 이러한 g 가 유일하게 존재하는 경우를 말한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면 n영어 -정추이적 작용이라고 한다.임의의 서로 다른 원소들 x_1,\dots,x_n\in X 및 임의의 서로 다른 원소들 y_1,\dots,y_n\in X 에 대하여, g\cdot x_k=y_k (\forall k\in\{1,\dots,n\} )인 유일한 g\in G 가 존재한다. 영어 )이라 한다.영어 ) 또는 '''정칙 작용'''(正則作用, regular action영어 )이라고 한다.동치 이며, 아벨 군 의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.G 의 X 에 대한 작용은 두 점 x, y \in X 에 대해 g \in G 가 존재하여 g \cdot x = y 가 성립하면 추이적이라고 한다.x, y \in X 가 주어졌을 때 추이성의 정의에서 g 는 유일하다.n \ge 1 에 대해, X 가 적어도 n 개의 원소를 가지고, 쌍별로 구별되는 항목을 가진 n -튜플 쌍 (x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n) \in X^n (즉, x_i \ne x_j , y_i \ne y_j when i \ne j )가 있을 때, g\cdot x_i = y_i for i = 1, ..., n 을 만족하는 g \in G 가 존재하면 작용은 n영어 -추이적이다. 즉, 중복 항목이 없는 튜플의 X^n 부분 집합에 대한 작용은 추이적이다. n = 2, 3 의 경우 이것을 이중 추이적, 삼중 추이적이라고 한다.X^n 의 튜플에 대한 작용이 예리 추이적일 때, 작용은 예리 n영어 -추이적이다.4. 2. 충실한 작용과 자유 작용
군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 '''충실한 작용'''(忠實-作用, faithful action영어 ) 또는 '''효과적 작용'''(效果的作用, effective action영어 )이라고 한다.임의의 g,h\in G 에 대하여, 만약 임의의 x\in X 에 대하여 g\cdot x=h\cdot x 라면, g=h 이다. 임의의 g\in G 에 대하여, 만약 임의의 x\in X 에 대하여 g\cdot x=x 라면, g=1_G 이다. 단사 군 준동형이다.동치 이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 '''자유 작용'''(自由作用, free action영어 ) 또는 '''반정칙 작용'''(半正則作用, semiregular action영어 )이라고 한다.임의의 g,h\in G 에 대하여, 만약 g\cdot x=h\cdot x 인 x\in X 가 존재한다면, g=h 이다. 임의의 g,h\in G 에 대하여, 만약 g\cdot x=x 인 x\in X 가 존재한다면, g=1_G 이다. G 를 집합 X 에 작용하는 군이라고 하자. 이 작용은 모든 x \in X 에 대해 g\cdot x = x 이면 g = e_G 일 경우 '''충실''' 또는 '''유효'''하다고 한다. 동치로, 이 작용에 해당하는 G 에서 X 의 전단사 함수의 군으로 가는 준동형 사상은 단사 함수 이다.x \in X 에 대해 g\cdot x = x 라는 진술이 이미 g = e_G 를 의미할 경우 '''자유''' (또는 '준정칙' 또는 '고정점 없는')라고 한다. 즉, G 의 비자명 원소는 X 의 점을 고정하지 않는다. 이것은 충실성보다 훨씬 더 강력한 성질이다.케일리의 정리 를 의미한다(군이 무한할 경우 무한). 유한군은 그 기수보다 훨씬 작은 크기의 집합에 충실하게 작용할 수 있다(그러나 그러한 작용은 자유 작용일 수 없다). 예를 들어, 아벨 2-군 (\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z})^n (기수 2^n )는 크기 2n 의 집합에 충실하게 작용한다. 이것은 항상 그런 것은 아니다. 예를 들어, 순환군 \mathbb{Z} / 2^n\mathbb{Z} 는 2^n 보다 작은 크기의 집합에 충실하게 작용할 수 없다.S_5 , 이십면체군 A_5 \times \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} 및 순환군 \mathbb{Z} / 120\mathbb{Z} 이다. 이 군에 대해 충실한 작용을 정의할 수 있는 가장 작은 집합은 각각 크기가 5, 7, 16이다.G 의 X 에 대한 작용이 충실하기 위한 필요충분조건은, 군 준동형 G \to \operatorname{Sym}(X) 의 핵이 자명한 것이다. 따라서, G 의 X 에 대한 충실한 작용이 있다면, G 는 X 위의 치환군의 어떤 부분군(G 의 \operatorname{Sym}(X) 에서의 상)에 동형이다.G 의 왼쪽으로부터의 곱셈에 의한 자기 자신에 대한 작용은 정칙이며, 따라서 충실하기도 하다. 따라서, 임의의 군 G 는 그 자신의 원소 위의 대칭군 \operatorname{Sym}(G) 에 포함될 수 있다(이는 케일리의 정리 로 알려져 있다).G 가 X 에 충실하게 작용하지 않는 경우에도, 군을 약간 변경하여 충실한 작용을 얻을 수 있다. N = \{g \in G \mid gx = x \; (\forall x \in X)\} 라고 두면, N 은 G 의 정규 부분군 이다(실제로, 이는 군 준동형 G \to \operatorname{Sym}(X) 의 핵이 된다). 몫군 G/N 은 (gN) \cdot x := gx 로 정의함으로써 X 에 충실하게 작용한다. X 에 대한 G 의 원래의 작용이 충실하다는 것과 N = \{e\} 라는 것은 동치이다.4. 3. 원시적 작용
의 에 대한 작용은 자명한 분할(단일 조각으로의 분할과 그 쌍대, 단일 집합으로의 분할)을 제외하고 의 모든 원소에 의해 보존되는 의 분할 이 없는 경우 ''원시적''이라고 한다.4. 4. 위상적 성질
위상 공간 에 동형사상으로 이루어진 군 의 작용이 주어졌을 때, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.'''방황(wandering):''' 모든 에 대해, 인 가 유한 개만 존재하도록 하는 근방 가 존재한다. '''불연속점(discontinuity point):''' 점 가 불연속점이라는 것은, 인 가 유한 개만 존재하도록 하는 열린 부분 집합 가 존재한다는 것이다. '''불연속 영역(domain of discontinuity):''' 불연속점들의 집합이다. 이는 작용 가 에서 wandering하게 되는 가장 큰 -안정적인 열린 부분 집합 와 같다. '''적절하게 불연속적인(properly discontinuous):''' 모든 콤팩트 부분 집합 에 대해, 인 가 유한 개만 존재한다. 이것은 wandering보다 엄격하게 강하다. 예를 들어, 가 }에 대해 로 주어지는 작용은 wandering하고 자유롭지만, 적절하게 불연속적이지 않다. '''자유 불연속적인(freely discontinuous):''' 모든 는 모든 }에 대해 인 근방 를 갖는다. '''자유 정칙 집합(free regular set):''' 작용이 자유 불연속적인 가장 큰 부분 집합이다. '''코콤팩트(cocompact):''' 국소 콤팩트 공간 에 대한 그룹 의 작용은 인 콤팩트 부분 집합 가 존재할 경우 코콤팩트라고 한다. 적절하게 불연속적인 작용의 경우, 코콤팩트는 몫 공간 의 콤팩트성과 동등하다. 기본군 의 deck 변환에 의한 작용은 wandering하고 자유롭다.영어 는 ''G''의 각 원소를 ''x''에 작용한 결과들의 집합이다. ''x''의 궤도를 ''Gx''로 나타내면 다음과 같다. Gx = \left\{ gx \mid g \in G \right\} 분류 ('''궤도 분해''')동치 관계 '~'는 "''x'' ~ ''y''일 필요충분조건은 ''gx'' = ''y''인 ''g'' ∈ ''G''가 존재하는 것이다"로 정의된다. 궤도는 이 동치 관계에 대한 동치류이며, 두 원소 ''x'', ''y''가 동치라는 것은 ''Gx'' = ''Gy''임을 의미한다.영어 이라고 불린다. 기하학적 설정에서는 '''궤도 공간''' (''orbit space'')영어 , 대수적 설정에서는 '''여불변식''' (''coinvariant'')영어 의 공간이라고 하며, 로 표시된다(불변식(부동점)의 전체는 로 표시된다. 여불변식은 "몫", 불변식은 "부분 집합"에 해당한다). 여불변식의 개념과 표기는 특히 군 코호몰로지 와 군 호몰로지에서 사용된다.영어 이라는 것은, ''GY'' = ''Y''(또는 ''GY'' ⊆ ''Y'')가 성립하는 것을 의미한다. 이 때, ''G''는 ''Y''에도 작용한다. 부분 집합 ''Y''가 ''G''의 작용으로 '''고정''' (''fixed'')영어 되거나 ''G''가 자명하게 작용한다는 것은, ''G''의 모든 원소 ''g''와 ''Y''의 모든 원소 ''y''에 대해 ''gy'' = ''y''가 성립하는 것을 의미한다. ''G''의 작용으로 고정되는 임의의 부분군은 ''G''-불변이지만, 그 역은 성립하지 않는다.영어 , '''등방 부분군''' (''isotropy group'')영어 , '''소군''' (''little group'')영어 )은 ''x''를 고정하는 ''G''의 모든 원소의 집합 }으로 정의되는 ''G''의 부분군 이다. 이는 ''G''의 부분군 이지만, 대개는 정규 부분군 이 아니다. ''G''의 ''X''에 대한 작용이 자유롭기 위한 필요충분 조건은, 임의의 고정 부분군이 자명군인 것이다. 군 준동형 의 핵 은, ''X''의 모든 원소 에 대한 고정 부분군 의 교차로 주어진다.상 은 ''x''의 궤도이고, 여상 은 의 왼쪽 잉여류 전체의 집합이다. 집합론의 표준 몫 정리에 의해, 와 사이에는 자연스러운 전단사가 존재하며, 이는 를 로 대응시키는 사상이다. 이를 '''궤도-안정자 정리''' (''orbit-stabilizer theorem'')영어 라고 한다.라그랑주 정리 로부터 를 얻는다.영어 을 갖는다고 한다.번사이드 보조정리 가 있다. 여기서 는 에 의해 고정되는 의 모든 원소의 집합이다. 이 결과는 주로 와 가 유한할 때 사용되며, 궤도의 개수는 군의 원소별 부동점 개수의 평균과 같다는 의미로 해석된다.영어 전체의 집합은, 비교집합을 덧셈, 직적을 곱셈으로 하는 번사이드 환을 이룬다.영어 은, ''G''의 모든 원소에 대해 가 성립하는 ''X''의 원소 ''x''이다. ''X''의 모든 ''G''-불변원의 집합은 로 표시되며, ''X''의 ''G''-불변 부분 집합이라고 부른다. ''X''가 ''G''-가군일 때, 는 ''G''의 ''X''에 계수를 갖는 0차 군 코호몰로지 군이며, 고차 코호몰로지 군은 ''G''-불변 부분 집합을 취하는 함자 의 도출 함자이다.위상군 , ''X''가 위상 공간 일 때, 사상 가 의 곱 위상에 대해 연속인 ''G''의 ''X''로의 '''연속 군 작용''' (''continuous group actions'')영어 을 고려하는 경우가 많다. 이 경우, 위상 공간 ''X''를 '''''G''-공간''' (''G-space'')영어 이라고도 부른다. 임의의 군은 이산 위상 을 갖는 위상군으로 간주할 수 있으므로, 이는 일반화된 경우이다. 위에서 언급한 개념들은 이 문맥에서도 유효하지만, ''G''-공간 사이의 사상으로는 ''G''의 작용과 양립하는 "연속 사상"을 고려한다. 몫 에는 에서 유도되는 몫 위상을 부여하여 위상 공간으로 만들며, 이를 이 작용에 대한 '''몫 공간''' (''quotient space'')영어 이라고 한다. 정칙, 자유, 추이적인 작용에 대한 동형 사상에 대해 위에서 언급한 주장은, 연속 군 작용에 대해서는 더 이상 성립하지 않는다.이산군 일 때, 작용이 '''고유 불연속'''(또는 '''진성 불연속''' (''properly discontinuous'')영어 )이라는 것은, ''X''의 각 점 ''x''에 대해 열린 근방 ''U''가 존재하여, 가 되는 ''G''의 원소 ''g'' 전체의 집합이 단 하나의 단위 원소로만 구성되도록 할 수 있는 경우이다. ''X''가 다른 위상 공간 ''Y''의 정칙 피복 공간일 때, 데크 변환군의 ''X''에 대한 작용은 고유 불연속적이며 자유롭다. 군 ''G''의 호상 연결 위상 공간 ''X''에 대한 임의의 자유롭고 고유 불연속적인 작용은 이러한 방식으로 얻어진다. 몫 사상 는 정칙 피복 사상이며, 데크 변환군은 ''G''의 ''X''에 대한 작용으로 주어진다. 더욱이, ''X''가 단일 연결이면 의 기본군 은 ''G''와 동형이다.영어 라는 것은, ''X''의 콤팩트 부분 집합 ''A''가 존재하여 가 되는 경우이다. 고유 불연속 작용에 대해서는, 여콤팩트성은 몫 공간 의 콤팩트성과 동치이다.고유 사상 (proper map)인 경우이다.4. 5. 연속적인 군의 작용
위상군 가 위상 동형에 의해 작용하는 위상 공간 라고 가정하면, 작용은 맵이 곱 위상에 대해 연속적이면 "연속적"이라고 한다.이산군 일 때 proper 불연속성과 동등하다.4. 6. 선형 작용
주 표현론가환환 위의 가군 에 선형 변환 으로 작용하는 경우, 이 작용은 적절한 영이 아닌 -불변 부분 가군이 없을 때 '''기약 표현'''이라고 한다. 기약 작용의 직합 으로 분해될 경우 '''반단순'''이라고 한다.4. 7. 불변 부분 집합
군 $G$가 집합 $X$에 작용할 때, $X$의 부분 집합 $Y$가 $G$에 대해 불변이라는 것은 $G\cdot Y = Y$ ($G\cdot Y \subseteq Y$와 같음)가 성립하는 것을 의미한다. 이 경우, $G$는 작용을 $Y$로 제한 하여 $Y$에 대해서도 작용한다. 부분 집합 $Y$는 모든 $g \in G$와 모든 $y \in Y$에 대해 $g\cdot y = y$이면 $G$에 대해 고정되었다고 한다. $G$에 대해 고정된 모든 부분 집합은 $G$에 대해 불변이지만 그 반대는 성립하지 않는다.코호몰로지 군이며, 더 높은 차수의 코호몰로지 군은 $G$-불변량의 함자 의 유도 함자이다.4. 8. 고정점과 안정자 부분군
군 G 가 집합 X 에 작용할 때, X 의 원소 x 에 대해 x 를 고정하는 G 의 모든 원소들의 집합을 x 의 안정자군 (安定子群, stabilizer subgroup) G_x 라고 한다. 즉,G_x = \{g \in G \colon g\cdot x = x\} G_x 는 G 의 부분군이지만, 일반적으로 정규 부분군은 아니다. g \in G 와 x \in X 에 대해 g\cdot x = x 이면, "x 는 g 의 고정점이다" 또는 "g 가 x 를 고정한다"라고 한다.X 의 두 원소 x 와 y 에 대해 y = g\cdot x 를 만족하는 군 원소 g 가 존재하면, 두 안정자군 G_x 와 G_y 는 G_y = gG_x g^{-1} 의 관계를 가지며 서로 켤레 관계에 있다.
5. 예시
임의의 집합 $X$에 대한 임의의 군 $G$의 자명한 작용은 모든 $G$의 $g$와 모든 $X$의 $x$에 대해 $g \cdot x = x$로 정의된다. 즉, 모든 군 원소는 $X$에 대한 항등 순열 을 유도한다. 모든 군 $G$에서 왼쪽 곱셈은 $G$가 $G$에 작용하는 것이다: 모든 $g, x \in G$에 대해 $g \cdot x = gx$이다. 부분군 $H$를 갖는 모든 군 $G$에서 왼쪽 곱셈은 잉여류 집합 $G/H$에 대한 $G$의 작용이다: 모든 $g, a \in G$에 대해 $g \cdot aH = gaH$이다. 부분군 $H$를 갖는 모든 군 $G$에서 켤레는 $G$가 $G$에 작용하는 것이다: $g \cdot x = gxg^{-1}$. 부분군 $H$를 갖는 모든 군 $G$에서 켤레는 $G$가 $H$의 켤레에 작용하는 것이다: $G$의 모든 $g$와 $H$의 켤레인 $K$에 대해 $g \cdot K = gKg^{-1}$이다. 대칭군 $S_n$ 및 그 부분군은 요소들을 순열하여 집합 $\{1, ..., n\}$에 작용한다.다면체의 대칭군 은 해당 다면체의 꼭짓점 집합에 작용한다. 또한 다면체의 면 또는 모서리 집합에도 작용한다. 임의의 기하학적 객체의 대칭군은 해당 객체의 점 집합에 작용한다. 일반 선형군 $GL(n, K)$ 및 그 부분군, 특히 그 리 부분군 (특수 선형군 $SL(n, K)$, 직교군 $O(n, K)$, 특수 직교군 $SO(n, K)$, 및 심플렉틱 군 $Sp(n, K)$ 포함)은 벡터 공간 $K^n$에 작용하는 리 군 이다. 군 연산은 군의 행렬을 $K^n$의 벡터로 곱하여 주어진다. 아핀군은 추이적으로 아핀 공간 의 점에 작용하며, 아핀군의 부분군 V (즉, 벡터 공간)는 이러한 점에 추이적이고 자유로운 (즉, ''정규'') 작용을 한다. 사영 선형군 $PGL(n + 1, K)$ 및 그 부분군, 특히 그 리 부분군은 사영 공간 $P^n(K)$에 작용하는 리 군이다.갈루아 군 $Gal(L/K)$는 체 $L$에 작용하지만 부분체 $K$의 요소에 대한 자명한 작용만 갖는다.
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