군의 확대

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
4. 중심 확대
- 4.1. 리 군의 중심 확대
5. 확장 문제
6. 동치인 확대
7. 자명한 확대
8. 분할 확대
참조

1. 개요

군의 확대는 주어진 군을 다른 두 군의 관계를 통해 정의하는 개념이다. 군 G가 군 N에 의한 군 Q의 확대라는 것은, 완전열 1 → N → G → Q → 1이 존재하여 G/N이 Q와 동형임을 의미한다. 확대는 군의 구조를 이해하고 분류하는 데 중요한 도구이며, 중심 확대, 동형인 확대, 자명한 확대, 분할 확대 등의 다양한 유형이 존재한다. 중심 확대는 N이 G의 중심에 포함되는 경우를 의미하며, 리 군 이론과 대수적 위상수학에서 중요한 역할을 한다. 확대 문제는 주어진 군 H에 대해, 어떤 군 G가 H의 확대로서 얻어질 수 있는지를 묻는 문제로, 유한군의 분류와 관련하여 중요한 연구 주제이다. 확대의 동치 관계는 두 확대 사이의 구조적 유사성을 정의하며, 분할 확대는 반직접곱과 밀접한 관련이 있다.

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군의 확대
개요
분야	군론
하위 분야	추상대수학
정의
관련 개념	정규 부분군, 몫군, 군의 준동형
설명	군 G가 정규 부분군 N을 가지며, 몫군 G/N이 Q와 동형일 때, G를 N에 대한 Q의 확대라고 한다.
추가 정보
관련 항목	중심 확대, 슈어 승법군

2. 정의

군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다고 하자.

: $1\rightarrow N\xrightarrow\iota G\xrightarrow\pi Q\rightarrow 1$

즉,

: $G/\iota(N)\cong Q$

이다. 그렇다면 $G$ 를 $N$ 에 의한 $Q$ 의 '''확대'''(extension of ''Q'' by ''N''^영어)라고 한다.

만약 $N$ 이 $G$ 의 중심의 부분군이라면, 즉

: $\iota(N)\subset Z(G)$

이라면 이를 '''중심 확대'''(中心擴大, central extension^영어)라고 한다.

3. 분류

군의 확대의 동형류는 2차 군 코호몰로지에 의하여 분류된다.^[8] 직접곱은 가장 명백한 확장 중 하나이다. 만약 $G$ 와 $Q$ 가 아벨 군이라면, 주어진 (아벨) 군 $N$ 에 의한 $Q$ 의 확장의 동형류 집합은 Ext 함자를 통해 다음과 같이 표현되는 군과 동형이다.

: $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N);$

몇 가지 다른 일반적인 확장 종류가 알려져 있지만, 모든 가능한 확장을 한 번에 처리하는 이론은 존재하지 않는다. 군 확장은 일반적으로 어려운 문제로 묘사되며, 이를 '''확장 문제'''라고 한다.

예를 들어, $G = H \times K$ 이면, $G$ 는 $H$ 와 $K$ 모두의 확장이다. 더 일반적으로, $G$ 가 $K$ 와 $H$ 의 반직접곱으로 $G=K\rtimes H$ 로 표기된다면, $G$ 는 $K$ 에 의한 $H$ 의 확장이며, 환적과 같은 곱은 확장의 추가적인 예를 제공한다.

3. 1. 아벨 정칙 부분군의 경우

N

과

Q

가 아벨 군이며, 확대된 군

G

역시 아벨 군이라고 하자. 이러한 군의 확대는 Ext 함자에 의하여 분류된다. 구체적으로, 이러한 아벨 군의 범주 속에서의 확대들의 동형류들은

:

\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N)

과 표준적으로 일대일 대응한다.

N

이 아벨 군이라고 하자. 그렇다면,

N

의

Q

에 대한 분류들은 다음과 같은 집합과 표준적으로 일대일 대응한다.

:

\bigsqcup_{\phi\in\hom(Q,\operatorname{Aut}N)}\operatorname H^2_\phi(Q,N)

여기서

\operatorname H^2_\phi(Q,N)

은

N

을 작용

\phi

를 갖춘

Q

-가군으로 보았을 때의 2차 군 코호몰로지이다. 즉, 군의 확대

N\to G\to Q

가 주어졌을 때, 자연스러운 준동형

:

\phi\colon Q\to\operatorname{Aut}N

:

\phi\colon q\mapsto(n\mapsto qnq^{-1})

이 유도되는데, 주어진 준동형

\phi

에 대응하는 확대들은 2차 군 코호몰로지

\operatorname H^2_\phi(Q,N)

과 표준적으로 대응한다. 이는 반직접곱

N\rtimes_\phi Q

가 표준적인 밑점(basepoint|베이스포인트^영어)을 제공하기 때문이다.

특히,

Q

의 아벨 군

N

에 대한 중심 확대는 자명한 작용

q\cdot n=n\;\forall q\in Q,n\in N

에 대응하며, 중심 확대는 자명한

Q

-가군 계수의 2차 군 코호몰로지

\operatorname H^2(Q,N)

와 표준적으로 일대일 대응한다.

3. 2. 무중심 정칙 부분군의 경우

중심이 자명군인 군

N

의 확대 동형류는 다음과 같은 군 준동형과 일대일 대응한다.^[8]

:

Q\to\operatorname{Out}N=\operatorname{Aut}N/\operatorname{Inn}N

이는 다음과 같은 가환 그림에서

\phi^*\colon G\to\operatorname{Aut}N

이

\phi\colon Q\to\operatorname{Out}N

에 의해 완전히 결정되기 때문이다.

:

\begin{matrix}1&\to&N&\hookrightarrow&G&\twoheadrightarrow& Q&\to&1\\&&\| &&\downarrow\scriptstyle\phi^*&&\downarrow\scriptstyle\phi\\1&\to&\operatorname{Inn}N&\hookrightarrow&\operatorname{Aut}N&\twoheadrightarrow&\operatorname{Out}N&\to&1\end{matrix}

특히,

N

이 자명한 중심을 갖고, 외부자기동형군 역시 자명하다면,

N

의 모든 확대는 직접곱이다. 이러한 조건을 만족시키는 군을 '''완비군'''(complete group^영어)이라고 한다.

3. 3. 외부 자기 동형을 갖지 않는 정칙 부분군의 경우

외부자기동형군이 자명군인 경우, 준동형

Q\to\operatorname{Out}N

은 자명한 준동형밖에 없다. 이 경우, 모든 확대는 2차 군 코호몰로지

\operatorname H^2(Q,\operatorname Z(N))

와 표준적으로 일대일 대응하며,

0\in\operatorname H^2(Q,\operatorname Z(N))

은 직접곱

N\times Q

에 대응한다.

구체적으로, 다음과 같은 그림이 존재한다.

:

\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\operatorname Z(N)&\hookrightarrow&\operatorname C_G(N)&\twoheadrightarrow&\operatorname C_G(N)/\operatorname Z(N)&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\!\wr\\1&\to&N&\hookrightarrow&G&\twoheadrightarrow& Q&\to&1\\&&\downarrow &&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\operatorname{Inn}N&\cong&\operatorname{Aut}N&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow\\&&1&&1\end{matrix}

따라서, 짧은 완전열

:

1\to\operatorname Z(N)\to\operatorname C_G(N)\to Q\to1

이 존재한다.

\operatorname Z(N)

이 아벨 군이며,

\operatorname Z(N)

의

\operatorname C_G(N)

에 대한 작용은 자명하므로 가능한

\operatorname C_G(N)

들은

\operatorname H^2(Q,\operatorname Z(N))

과 표준적으로 일대일 대응하며, 주어진

\operatorname C_G(N)

에 대하여

G

는 짧은 완전열

:

1\to\operatorname C_G(N)\to G\to\operatorname{Aut}N\to1

에서 유일하게 결정된다.

3. 4. 일반적 정칙 부분군의 경우

일반적인 경우, 군의 확대의 동형류는 2차 군 코호몰로지와 일대일 대응하지만, 밑점(basepoint^영어)이 유일하지 않으므로 이 대응은 표준적이지 않다.^[8]

확대

:

1\to N\to G\to Q\to1

가 주어졌을 때, 표준적인 군 준동형

:

Q\to\operatorname{Out}N=\operatorname{Aut}N/\operatorname{Inn}N

이 존재한다. 임의의 준동형

\phi\colon Q\to\operatorname{Out}N

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[8]

$\phi$ 를 유도하는 군의 확대 $G$ 가 존재한다.
어떤 특정한 $\theta(Q,\operatorname Z(N),\phi)\in \operatorname H^3_\phi(Q,\operatorname Z(N))$ 에 대하여, $\theta(Q,\operatorname Z(N),\phi)=0$ 이다.

즉,

\phi

를 통한 확대의 존재에 대한 걸림돌은 3차 군 코호몰로지의 특정 원소이다.

만약 위 조건이 성립한다면,

\phi

를 통한 임의의 두 확대

G,G'

에 대하여, 둘의 "차이"를 표준적으로

\operatorname H^2_\phi(G,\operatorname Z(N))

과 일대일 대응시킬 수 있다.^[8] 즉,

\phi

를 통한 확대들은

\operatorname H^2_\phi(G,\operatorname Z(N))

과 일대일 대응하지만, 이 대응은 표준적이지 않다. 다만,

\phi

가 자명한 작용일 경우, 자명한 확대

G=N\times Q

를 밑점으로 삼으면 표준적인 일대일 대응을 얻는다.

이 걸림돌

\theta(Q,\operatorname Z(N),\phi)

는 다음과 같다.^[8] 완전열

:

1\to\operatorname Z(N)\to N\to\operatorname{Aut} N\to\operatorname{Out}N\to1

에 의하여, 원소

:

u\in\operatorname H^3(\operatorname{Out}N,\operatorname Z(N))

가 주어진다. 또한, 군 준동형

\phi\colon Q\to\operatorname{Out}N

에 의하여, 코호몰로지 군 사이의 준동형

:

\phi^*\colon\operatorname H^\bullet(\operatorname{Out},\operatorname Z(N))\to\operatorname H^\bullet(Q,\operatorname Z(N))

이 주어진다. 그렇다면

:

\theta=\phi^*u

이다.

4. 중심 확대

군의 범주에서, 짧은 완전열

: $1\rightarrow N\xrightarrow\iota G\xrightarrow\pi Q\rightarrow 1$

이 주어졌을 때, $G$ 를 $N$ 에 의한 $Q$ 의 '''확대'''라고 한다. 만약 $N$ 이 $G$ 의 중심의 부분군이라면, 즉

: $\iota(N)\subset Z(G)$

라면, 이를 '''중심 확대'''라고 한다.

$N$ 의 $Q$ 로의 두 확대

: $1\to N\xrightarrow\iota G\xrightarrow\pi Q\to 1$

: $1\to N\xrightarrow{\iota'}G'\xrightarrow{\pi'}Q\to 1$

에 대하여, 다음 그림

: $\begin{matrix}1&\to& N&\xrightarrow\iota &G&\xrightarrow\pi &Q&\to&1\\&&\|&&{\scriptstyle\phi}\downarrow\!{\wr}&&\|\\1&\to& N&\xrightarrow[\iota']{}&G'&\xrightarrow[\pi']{}&Q&\to&1\end{matrix}$

을 가환하게 하는 군 동형사상 $\phi\colon G\to G'$ 이 존재한다면, $G$ 와 $G'$ 을 서로 '''동형인 확대'''라고 한다.

군의 중심 확대는 군 ''G''의 짧은 완전 열

: $1\to A\to E\to G\to 1$

로 표현될 수 있으며, 여기서 ''A''는 군 ''E''의 중심 $Z(E)$ 에 포함된다. ''A''에 의한 ''G''의 중심 확대의 동형류 집합은 코호몰로지 군 $H^2(G,A)$ 과 일대일 대응을 이룬다.

중심 확대의 한 예로, 임의의 군 ''G''와 아벨 군 ''A''에 대해 ''E''를 $A\times G$ 로 설정할 수 있다. 이러한 분할 예는 $H^2(G,A)$ 의 원소 0에 해당한다. 사영 표현 이론에서는 사영 표현을 일반적인 선형 표현으로 올릴 수 없는 경우에 중심 확대의 더 중요한 예를 찾을 수 있다.

유한한 완전 군의 경우, 보편 완전 중심 확대가 존재한다.

리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 중심 확대는 완전 열

: $0\rightarrow \mathfrak{a}\rightarrow\mathfrak{e}\rightarrow\mathfrak{g}\rightarrow 0$

으로 주어지며, 여기서 $\mathfrak{a}$ 는 $\mathfrak{e}$ 의 중심에 있다.

4. 1. 리 군의 중심 확대

리 군 이론에서 중심 확대는 대수적 위상수학과 관련이 있다. 대략적으로 말하면, 이산군에 의한 리 군의 중심 확대는 피복군과 동일하다. 더 정확하게는, 연결 리 군

G

의 연결 피복 공간

G^*

는 자연스럽게

G

의 중심 확대가 되며, 이때 사영

:

\pi\colon G^* \to G

는 전사 군 준동형이다(

G^*

상의 군 구조는

G

의 단위원에 대응하는 단위원 선택에 의존한다). 예를 들어,

G^*

가

G

의 보편 피복일 때, 동형을 차이를 제외하고

\pi

의 핵은

G

의 기본군이 된다(이것이 아벨 군이 되는 것은 잘 알려져 있다. H 공간 참조). 이 구성이 중심 확대를 제공하는 것이다. 반대로, 주어진 리 군

G

와 이산 중심 부분군

Z

에 대해, 잉여군

G/Z

는 리 군이며,

G

는 그 피복 공간이 된다.

더 일반적으로, 중심 확대에 나타나는 군

A, E, G

가 리 군이고, 이들 사이의 사상이 리 군 준동형일 때, 이들 리 군에 부속된 리 대수를 각각

\mathbf{a}, \mathbf{e}, \mathbf{g}

라고 하면,

\mathbf{e}

는

\mathbf{g}

의

\mathbf{a}

에 의한 (리 대수) 중심 확대이다. 이론 물리학의 용어로는,

\mathbf{a}

의 생성원은 중앙 전하라고 불린다. 이들 생성원은

\mathbf{e}

의 중심에 들어간다. 뇌터 정리에 의해, 대칭성의 군의 생성원은 보존량에 대응하며, 전하라고 불린다.

피복군으로서의 중심 확대의 기본적인 예는 다음과 같다.

스핀 군은 특수 직교 군의 이중 피복이며, 짝수 차원의 경우 사영 직교 군의 이중 피복이다.
메타플렉틱 군은 사교 군의 이중 피복이다.

SL_2(\mathbb{R})

의 경우에는 기본군으로서 무한 순환군

\mathbb{Z}

를 갖는다. 여기서의 중심 확대는 모듈러 형식론에서 잘 알려져 있으며, 가중치가

1/2

인 것이 이에 해당한다. 대응하는 사영 표현은 베유 표현이며, (이 경우에는 실수선상의) 푸리에 변환으로부터 구성된다. 메타플렉틱 군은 양자 역학에도 나타난다.

5. 확장 문제

어떤 군 $G$ 가 $N$ 에 의한 $H$ 의 확대가 되는지에 대한 질문을 '''확대 문제'''라고 하며, 19세기 후반부터 집중적으로 연구되어 왔다. 연구 동기는 다음과 같다. 유한군의 합성열은 $\{A_i\}$ 라는 유한한 부분군의 열(sequence)로, 여기서 각 $\{A_{i+1}\}$ 은 어떤 단순군에 의한 $\{A_i\}$ 의 확대이다. 유한 단순군의 분류를 통해 유한 단순군의 완전한 목록을 얻을 수 있다. 따라서 확대 문제의 해결은 일반적인 모든 유한군을 구성하고 분류하기에 충분한 정보를 제공할 것이다.

6. 동치인 확대

$N$ 의 $Q$ 로의 두 확대

: $1\to N\xrightarrow\iota G\xrightarrow\pi Q\to 1$

: $1\to N\xrightarrow{\iota'}G'\xrightarrow{\pi'}Q\to 1$

에 대하여, 다음 그림을 가환하게 하는 군 동형사상 $\phi\colon G\to G'$ 이 존재한다면, $G$ 와 $G'$ 를 서로 '''동형인 확대'''라고 한다.

: $\begin{matrix}1&\to& N&\xrightarrow\iota &G&\xrightarrow\pi &Q&\to&1\\&&\|&&{\scriptstyle\phi}\downarrow\!{\wr}&&\|\\1&\to& N&\xrightarrow[\iota']{}&G'&\xrightarrow[\pi']{}&Q&\to&1\end{matrix}$

두 확대가 언제 동치 또는 합동인지 아는 것은 중요하다. 다음과 같은 확장이 있다고 하자.

: $1 \to K\stackrel{i} G\stackrel{\pi} H\to 1$

: $1\to K\stackrel{i'} G'\stackrel{\pi'} H\to 1$

아래 그림이 가환이 되도록 하는 군 동형사상 $T: G\to G'$ 가 존재하면 이 두 확장은 '''동치'''(또는 합동)라고 한다.

사실, 군 준동형사상만 있어도 충분하다. 그림의 가환성으로 인해, 단사 5-준동형 정리에 의해 맵

T

는 동형사상이 될 수밖에 없다.^[2]

확장

1\to K\to G\to H\to 1

과

1\to K\to G^\prime\to H\to 1

가 동등하지 않더라도, ''G''와 ''G'''는 그룹으로서 동형일 수 있다. 예를 들어,

클라인 네 그룹

에 의해

\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

의

8

개의 비동등한 확장이 있지만,^[2] 몫 그룹이 클라인 네 그룹과 동형인, 차수

8

의 정규 부분군을 포함하는 차수

8

의 그룹은 그룹 동형까지 4개뿐이다.

7. 자명한 확대

군의 범주에서, '''자명한 확대'''는 다음과 같은 확대

: $1\to K\to G\to H\to 1$

가 다음과 같은 확대와 동치인 경우를 말한다.

: $1\to K\to K\times H\to H\to 1$

여기서 왼쪽 및 오른쪽 화살표는 각각 $K\times H$ 의 각 인자의 포함과 투영이다. 직접곱(direct product)은 가장 명백한 확장 중 하나이다.

8. 분할 확대

분할 확대는 준동형 사상 가 존재하여, 와 몫 사상 의 합성 함수가 에서 항등 사상이 되는 확대()이다. 즉, 다음 조건을 만족하는 확대이다.

: $1\to K\to G\to H\to 1$

이때, 는 위의 완전열을 분할한다고 한다.

분할 확대는 분류하기가 매우 쉬운데, 그 이유는 확대가 분할되는 것과 필요충분조건으로 가 와 의 반직접곱이 되기 때문이다. 반직접곱 자체는 에서 로의 준동형 사상과 일대일 대응이 되기 때문에 분류하기 쉽다. 여기서 는 의 자기동형군이다. 자세한 내용은 반직접곱 문서를 참고하라.^[1]

참조

_[1] 문서 # 적절한 타입이 없어 '문서'로 지정 Remark 2.2. https://ncatlab.org/[...]
_[2] 서적 # 적절한 타입이 없어 '서적'으로 지정 Abstract algebra John Wiley & Sons, Inc.
_[3] 논문 On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations
_[4] 논문 Central extensions in Malt'sev varieties http://www.tac.mta.c[...]
_[5] 웹사이트 # 웹사이트로 지정 Group Extensions and H3 http://sierra.nmsu.e[...] 2018-05-17
_[6] 문서 # 적절한 타입이 없어 '문서'로 지정 Remark 2.2. https://ncatlab.org/[...]
_[7] 서적 # 적절한 타입이 없어 '서적'으로 지정 Homology
_[8] 서적 Cohomology of groups https://archive.org/[...]

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