확률 진폭
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1. 개요
확률 진폭은 양자 측정에서 관측 가능한 값의 불확실한 양자 상태를 설명하는 데 사용되는 개념이다. 양자 상태는 관측 가능한 값의 고유 상태 중첩으로 간주되며, 측정을 통해 하나의 고유 상태로 붕괴된다. 확률 진폭은 시스템이 특정 고유 상태로 점프할 확률을 나타내는 수치적 가중치이며, 보른 규칙에 따라 확률을 계산하는 데 사용된다. 확률 진폭의 절대 제곱의 합은 1과 같아야 하며, 이는 정규화 요구 사항이다. 확률 진폭은 두 상태 양자 시스템, 이중 슬릿 실험, 복합 시스템 등 다양한 양자 시스템을 설명하는 데 활용된다.
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확률 진폭 |
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2. 양자 측정의 기본 원리
양자 측정에서 측정하려는 관측 가능량의 값이 불확실한 양자 상태는 그 관측 가능량의 고유 상태들의 양자 중첩으로 나타낼 수 있다. 각 고유 상태는 서로 다른 "가중치"를 가지며, 선형 결합으로 설명된다.
코펜하겐 해석에 따르면, 관측 가능량 를 측정하면 시스템은 특정 고유 상태로 ''점프''하고, 해당 고유값을 결과로 반환한다. 어떤 고유 상태로 점프할지는 확률적 법칙에 따르며, 각 고유 상태로 점프할 확률은 해당 고유 상태의 "가중치"(확률 진폭)의 절대 제곱에 비례한다. 이 관계를 보른 규칙이라고 한다. 확률의 총합은 항상 1이어야 하며, 이를 정규화라고 한다.
만약 시스템이 의 특정 고유 상태에 있다면, 이후 를 다시 측정했을 때 같은 고유값을 얻을 확률은 1이다. 즉, 다른 고유 상태에 대한 확률 진폭은 0이 된다.
만약 와 이라는 두 관측 가능량의 고유 상태 집합이 같다면, 측정 순서에 관계없이 항상 같은 값을 얻을 확률이 1이며, 이때 두 관측 가능량은 교환한다고 한다. 하지만 와 의 고유 상태가 다르면, 측정은 의 고유 상태가 아닌 상태로 시스템을 전이시킬 수 있다. 따라서 측정 후 를 측정하면 확률 진폭이 변하고, 이후 다시 를 측정했을 때 처음과 같은 고유값을 얻는다는 보장이 없다. 즉, 두 관측 가능량이 교환하지 않는다.
2. 1. 확률 진폭과 보른 규칙
몇 가지 기술적인 복잡성을 무시하면, 양자 측정 문제는 측정하려는 관측 가능량 ''Q''의 값이 불확실한 양자 상태의 동작이다. 이러한 상태는 관측 가능량의 서로 다른 가능한 값에 대해 관측 가능량의 값이 고유하게 정의되는 상태인 관측 가능량의 고유 상태의 양자 중첩으로 간주된다.''Q''를 측정하면, 시스템은 (코펜하겐 해석에 따라) 해당 고유값에 속하는 고유값을 반환하며, 하나의 고유 상태로 점프한다. 시스템은 항상 서로 다른 "가중치"를 가진 이러한 고유 상태의 선형 결합 또는 양자 중첩으로 설명될 수 있다. 직관적으로 더 무거운 "가중치"를 가진 고유 상태가 생성될 "가능성"이 더 높다는 것이 명확하다. 실제로, 시스템이 위의 고유 상태 중 어느 것으로 점프하는지는 확률적 법칙에 의해 주어진다. 시스템이 해당 상태로 점프할 확률은 해당 수치적 가중치의 절대값의 제곱에 비례한다. 이러한 수치적 가중치를 확률 진폭이라고 하며, 주어진 순수 양자 상태(예: 파동 함수)에서 확률을 계산하는 데 사용되는 이 관계를 보른 규칙이라고 한다.
명백히, 확률의 합은 확률 진폭의 절대 제곱의 합과 같으며, 1과 같아야 한다. 이것이 정규화 요구 사항이다.
시스템이 ''Q''의 어떤 고유 상태에 있다는 것이 알려져 있다면 (예: ''Q''의 해당 고유값을 관찰한 후), 해당 고유값을 관찰할 확률은 ''Q''의 모든 후속 측정에 대해 1(확실)이 된다(측정 사이에 다른 중요한 힘이 작용하지 않는 한). 즉, 확률 진폭은 다른 모든 고유 상태에 대해 0이고, 미래의 측정에서도 0으로 유지된다. 시스템이 ''Q''를 측정할 때 점프할 수 있는 고유 상태 집합이 ''R''을 측정하기 위한 고유 상태 집합과 동일하다면, ''Q'' 또는 ''R''의 후속 측정은 적용 순서에 관계없이 항상 동일한 값을 확률 1로 생성한다. 확률 진폭은 두 측정 모두에 영향을 받지 않으며, 관측 가능량은 교환한다고 한다.
반대로, ''Q''와 ''R''의 고유 상태가 다르면, ''R''을 측정하면 ''Q''의 고유 상태가 아닌 상태로 점프한다. 따라서 시스템이 ''Q''의 어떤 고유 상태에 있다는 것이 알려져 있다면 (하나의 고유 상태를 제외한 모든 확률 진폭이 0), ''R''을 관찰하면 확률 진폭이 변경된다. ''Q''에 대한 두 번째, 후속 관찰은 더 이상 시작 상태에 해당하는 고유값을 확실하게 생성하지 않는다. 즉, ''Q''의 두 번째 측정에 대한 확률 진폭은 ''R''의 측정 전에 오는지 후에 오는지에 따라 달라지며, 두 관측 가능량은 교환하지 않는다.
2. 2. 교환 가능성과 불확정성 원리
몇 가지 기술적인 복잡성을 무시하면, 양자 측정 문제는 측정하려는 관측 가능량 ''Q''의 값이 불확실한 양자 상태의 동작이다. 이러한 상태는 관측 가능량의 서로 다른 가능한 값에 대해 관측 가능량의 값이 고유하게 정의되는 상태인 관측 가능량의 ''고유 상태''의 양자 중첩으로 간주된다.''Q''를 측정하면, 시스템은 (코펜하겐 해석에 따라) 해당 고유값에 속하는 고유값을 반환하며, ''하나의 고유 상태로 점프''한다. 시스템은 항상 서로 다른 "가중치"를 가진 이러한 고유 상태의 선형 결합 또는 양자 중첩으로 설명될 수 있다. 직관적으로 더 무거운 "가중치"를 가진 고유 상태가 생성될 "가능성"이 더 높다는 것이 명확하다. 실제로, 시스템이 위의 고유 상태 중 어느 것으로 점프하는지는 확률적 법칙에 의해 주어진다. 시스템이 해당 상태로 점프할 확률은 해당 수치적 가중치의 절대값의 제곱에 비례한다. 이러한 수치적 가중치를 확률 진폭이라고 하며, 주어진 순수 양자 상태(예: 파동 함수)에서 확률을 계산하는 데 사용되는 이 관계를 Born 규칙이라고 한다.
확률의 합은 확률 진폭의 절대 제곱의 합과 같으며, 1과 같아야 한다. 이것이 정규화 요구 사항이다.
시스템이 ''Q''의 어떤 고유 상태에 있다는 것이 알려져 있다면 (예: ''Q''의 해당 고유값을 관찰한 후), 해당 고유값을 관찰할 확률은 ''Q''의 모든 후속 측정에 대해 1(확실)이 된다(측정 사이에 다른 중요한 힘이 작용하지 않는 한). 즉, 확률 진폭은 다른 모든 고유 상태에 대해 0이고, 미래의 측정에서도 0으로 유지된다. 시스템이 ''Q''를 측정할 때 점프할 수 있는 고유 상태 집합이 ''R''을 측정하기 위한 고유 상태 집합과 동일하다면, ''Q'' 또는 ''R''의 후속 측정은 적용 순서에 관계없이 항상 동일한 값을 확률 1로 생성한다. 확률 진폭은 두 측정 모두에 영향을 받지 않으며, 관측 가능량은 교환한다고 한다.
반대로, ''Q''와 ''R''의 고유 상태가 다르면, ''R''을 측정하면 ''Q''의 고유 상태가 아닌 상태로 점프한다. 따라서 시스템이 ''Q''의 어떤 고유 상태에 있다는 것이 알려져 있다면 (하나의 고유 상태를 제외한 모든 확률 진폭이 0), ''R''을 관찰하면 확률 진폭이 변경된다. ''Q''에 대한 두 번째, 후속 관찰은 더 이상 시작 상태에 해당하는 고유값을 확실하게 생성하지 않는다. 즉, ''Q''의 두 번째 측정에 대한 확률 진폭은 ''R''의 측정 전에 오는지 후에 오는지에 따라 달라지며, 두 관측 가능량은 교환하지 않는다.
3. 양자 측정의 수학적 공식화
양자 역학에서 고립된 물리적 시스템의 상태는 특정 시점에서 상태 벡터로 표현되며, 이는 분리 가능한 복소수 힐베르트 공간에 속한다. 브라-켓 표기법을 사용하면 상태 벡터와 힐베르트 공간의 "위치 기저"
4. 정규화
확률의 합은 확률 진폭의 절대 제곱의 합과 같으며, 1과 같아야 한다. 이것이 정규화 요구 사항이다.
일반적으로, '''가능한 모든 상태의 확률 진폭 제곱의 합은 1과 같다'''. "가능한 모든 상태"를 정규 직교 기저로 이해하면 이산적인 경우에 타당하며, 이 조건은 노름-1 조건과 동일하다.
힐베르트 공간의 0이 아닌 모든 원소를 그 노름으로 나누면 항상 ''정규화된'' 상태 벡터를 얻을 수 있다. 그러나 모든 파동 함수가 힐베르트 공간에 속하는 것은 아니다. 이 제약 조건을 충족하는 파동 함수를 정규화 가능한 파동 함수라고 한다.
양자 입자의 상태를 설명하는 슈뢰딩거 방정식은 시스템을 설명하고 상태가 어떻게 시간 진화 연산자에 따라 변화하는지 정확하게 결정하는 해를 가지고 있다. 파동 함수 가 입자(주어진 시간 에서의 위치 )에 대한 설명을 제공한다고 가정한다. 파동 함수는 다음과 같으면 제곱 적분 가능하다.
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정규화 후에도 파동 함수는 동일한 상태를 나타내므로 정의에 따라 다음과 같다.[2]
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표준 코펜하겐 해석에 따르면 정규화된 파동 함수는 입자의 위치에 대한 확률 진폭을 제공한다. 따라서, 는 확률 밀도 함수이며, 고정된 시간 에서 입자가 부피 내에 있을 확률은 다음과 같다.
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확률 밀도 함수는 파동 함수의 진화가 슈뢰딩거 방정식에 의해 결정되므로 시간에 따라 변하지 않으며, 따라서 완전히 결정론적이다. 이것은 이 해석의 중요성을 이해하는 데 핵심이다. 주어진 입자 상수 질량, 초기 및 포텐셜 에너지에 대해 슈뢰딩거 방정식은 후속 파동 함수를 완전히 결정한다. 위의 식은 이후 모든 시간에 입자의 위치에 대한 확률을 제공한다.
5. 이중 슬릿 실험과 양자 측정
확률 진폭은 양자 역학에서 기존 확률과 동등하게 작용하기 때문에 특별한 의미를 갖는다. 고전적인 이중 슬릿 실험에서, 전자가 어느 슬릿을 통과하는지 측정 장치가 설치되지 않으면 스크린에서 관찰된 확률 분포는 빛의 파동에서 흔히 볼 수 있는 간섭 무늬를 반영한다. 그러나 각 사건에 확률 진폭을 연관시키면, 전자가 각 슬릿을 통과하는 것을 나타내는 복소 진폭은 양자 중첩의 원리에 따라 간섭 무늬를 설명할 수 있다.
순수한 실수 공식은 중첩을 고려할 때 시스템의 상태를 설명하기에 차원이 너무 적다. 즉, 진폭의 인수가 없으면 위상에 의존하는 간섭을 설명할 수 없다. "간섭 항"이라고 불리는 항은 확률을 더했을 경우에는 누락된다.
5. 1. 양자 지우개
고전적인 이중 슬릿 실험에서 전자는 두 개의 슬릿을 향해 무작위로 발사되며, 슬릿 뒤에 배치된 큰 스크린의 모든 부분에서 전자를 감지할 확률 분포가 문제가 된다. 직관적인 답은 '''P'''(어느 슬릿을 통과) = '''P'''(첫 번째 슬릿을 통과) + '''P'''(두 번째 슬릿을 통과)이다. 여기서 P(사건)은 해당 사건의 확률이다. 전자가 어느 슬릿을 통과하는지 측정 장치가 설치되지 않으면, 스크린에서 관찰된 확률 분포는 빛의 파동에서 흔히 볼 수 있는 간섭 무늬를 반영한다. 그러나 올바른 설명은 각 사건에 확률 진폭을 연관시키는 것이다. 전자가 각 슬릿을 통과하는 것을 나타내는 복소 진폭(ψ첫 번째 및 ψ두 번째)은 정확히 예상되는 형태의 법칙을 따른다. ψ전체 = ψ첫 번째 + ψ두 번째. 이것이 양자 중첩의 원리이다. 확률 진폭의 제곱의 크기인 확률은 진폭이 복소수라는 요구 사항 하에서 간섭 무늬를 따른다.:
여기서, 및 는 각각 ψ첫 번째 및 ψ두 번째의 인수이다.
그러나 실험자가 각 전자가 어떤 슬릿을 통과하는지 관찰하는 실험을 고안할 수 있다. 그러면, 파동 함수 붕괴로 인해, 스크린에서 간섭 무늬가 관찰되지 않는다.
"양자 지우개"를 통해 이 "어떤 경로 정보"를 제거하는 실험을 고안할 수도 있다. 그러면 코펜하겐 해석에 따르면, 간섭 무늬가 복원된다.[3]
6. 확률 보존과 연속 방정식
정규화된 파동 함수는 파동 방정식에 따라 진화하면서 정규화된 상태를 유지한다. 따라서 입자 위치의 확률 밀도 변화와 해당 위치에서의 진폭 변화 사이에는 관계가 있다.
확률 흐름(또는 플럭스) '''j'''는 다음과 같이 정의된다.
:
단위는 (확률)/(면적 × 시간)이다.
그러면 흐름은 다음 방정식을 만족한다.
:
확률 밀도는 이고, 이 방정식은 물리에서 양의 국소 보존을 설명해야 하는 많은 상황에서 나타나는 연속 방정식과 정확히 일치한다. 가장 좋은 예는 고전 전자기학으로, 여기서 '''j'''는 전하에 해당하는 전류 밀도에 해당하고 밀도는 전하 밀도이다. 해당 연속 방정식은 전하의 국소 전하 보존을 설명한다.
7. 복합 시스템
두 개의 양자 계가 각각 L|2|제곱영어(X1)와 L|2|제곱영어(X2)의 공간을 가지고 상태가 Ψ|켓|1영어와 Ψ|켓|2영어로 주어졌을 때, 이들의 결합된 상태 Ψ|켓|1영어⊗Ψ|켓|2영어는 X1×X2의 함수인 ψ|1|(x1) ψ|2|(x2)영어로 표현될 수 있으며, 이는 각 확률 측도의 곱을 제공한다. 즉, 얽힘이 없는 합성 상태의 진폭은 원래 진폭의 곱이며, 시스템 1과 2의 각 관측 가능량은 이러한 상태에서 독립적인 확률 변수처럼 작동한다. 이는 앞서 설명한 확률적 해석을 강화한다.
8. 연산자에서의 진폭
산란 이론에서 S-행렬 형태로 진폭 개념이 사용된다. 주어진 벡터 성분 제곱의 크기가 고정된 확률 분포를 제공하는 반면, 행렬 요소 제곱의 크기는 무작위 과정에서와 마찬가지로 전이 확률로 해석된다. 유한 차원 단위 벡터가 유한 확률 분포를 지정하는 것처럼, 유한 차원 유니타리 행렬은 유한 수의 상태 간의 전이 확률을 지정한다.
이 "전이" 해석은 비 이산 공간의 ''L''2|엘 제곱영어에도 적용될 수 있다.
참조
[1]
문서
The spanning set of a Hilbert space does not suffice for defining coordinates as wave functions form rays in a projective Hilbert space (rather than an ordinary Hilbert space). See: Projective frame
[2]
문서
See also Wigner's theorem
[3]
간행물
Momentum Transfer to a Free Floating Double Slit: Realization of a Thought Experiment from the Einstein-Bohr Debates
http://pdfs.semantic[...]
2013
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