표현론 (수학)

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1. 개요

표현론은 대수적 대상의 표현을 연구하는 수학 분야이다. 군, 결합 대수, 리 대수 등 다양한 대수적 대상과 유한 차원 및 무한 차원 벡터 공간, 복소수, 실수, 유한체, p-진수체 등 다양한 체 위에서 정의된 벡터 공간의 표현을 다룬다.

표현론은 유한군, 모듈러, 유니타리, 조화 해석학, 리 군, 리 대수, 리 초대수, 선형 대수적 군, 불변식 이론, 자동형식, 수론, 결합 대수, 호프 대수, 양자군 등 다양한 분야에서 연구되며, 각 분야는 고유한 특성과 접근 방식을 갖는다. 또한 집합론적 표현, 범주론적 표현 등 다양한 일반화가 존재하며, 한국의 여러 수학자들이 이 분야에서 연구를 진행하고 있다.

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표현론 (수학)
개요
분야	수학, 대수학
하위 분야	군론 환론 대수 리 군 리 대수 대수군
역사
기원	19세기
주요 개념
표현	대수적 구조를 선형 변환 또는 행렬로 나타내는 방법
기약 표현	더 작은 표현으로 분해할 수 없는 표현
유한 차원 표현	유한한 차원을 갖는 벡터 공간에 작용하는 표현
군 표현	군의 원소를 선형 변환으로 나타내는 표현
환 표현	환의 원소를 선형 변환으로 나타내는 표현
리 대수 표현	리 대수의 원소를 선형 변환으로 나타내는 표현
텐서곱 표현	여러 표현의 텐서곱으로 얻어지는 표현
유도 표현	부분군 표현으로부터 전체 군의 표현을 구성하는 방법
캐릭터	표현을 특징짓는 함수
범주화	표현론적 구조를 범주론적 대상으로 승격시키는 방법
기하학적 표현론	기하학적 방법을 사용하여 표현을 연구하는 분야
주요 결과
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응용 분야
물리학	양자역학, 입자물리학, 응집물질물리학
화학	분자 대칭, 분광학
컴퓨터 과학	코딩 이론, 암호학
관련 주제
관련 분야	대수기하학 수론 조합론 위상수학
참고 문헌
참고 문헌	https://ncatlab.org/nlab/show/representation+theory http://www-math.mit.edu/~etingof/replect.pdf https://math.berkeley.edu/~teleman/math/RepThry.pdf

2. 정의 및 개념

$V$ 를 체 $\mathbb{F}$ 위의 벡터 공간이라고 하자.^[6] 예를 들어, $V$ 가 각각 실수 또는 복소수 위의 표준 ''n''차원 열 벡터 공간인 $\R^n$ 또는 $\C^n$ 이라고 가정한다. 이 경우, 표현론의 아이디어는 실수 또는 복소수의 $n\times n$ 행렬을 사용하여 추상 대수학을 구체적으로 수행하는 것이다.

이것을 수행할 수 있는 세 가지 주요 유형의 대수학적 대상이 있다: 군, 결합 대수 및 리 대수.^[16]^[4]

모든 ''가역'' $n\times n$ 행렬의 집합은 행렬 곱셈 하에서 군이며, 군의 표현론은 가역 행렬의 관점에서 그 원소를 설명("표현")하여 군을 분석한다.
행렬 덧셈과 곱셈은 ''모든'' $n\times n$ 행렬의 집합을 결합 대수로 만들고, 따라서 해당 결합 대수의 표현론이 있다.
행렬 곱셈 $MN$ 을 행렬 교환자 $MN-NM$ 로 대체하면, $n\times n$ 행렬은 대신 리 대수가 되어, 리 대수의 표현론으로 이어진다.

이것은 모든 체

\mathbb{F}

와

\mathbb{F}

위의 모든 벡터 공간

V

로 일반화되며, 선형 맵은 행렬을 대체하고 합성은 행렬 곱셈을 대체한다:

V

의 자기 동형 사상의 군

\text{GL}(V,\mathbb{F})

와 모든 자기 준동형 사상의 결합 대수

\text{End}_{\mathbb{F}}(V)

, 그리고 해당 리 대수

\mathfrak{gl}(V,\mathbb{F})

가 있다.

=== 군, 결합 대수, 리 대수 표현 ===

군 표현론, 대수 표현론, 리 대수 표현에서, 벡터 공간 ''V''는 ''φ''의 '''표현 공간'''이라고 불리며, 그 차원 (유한한 경우)은 표현의 '''차원'''이라고 불린다.^[18] 또한, 준동형 사상 ''φ''가 문맥상 명확할 때는 ''V'' 자체를 표현이라고 지칭하는 것이 일반적이다.^[59] 그렇지 않은 경우, (''V'',''φ'') 표기법을 사용하여 표현을 나타낼 수 있다.

''V''가 유한 차원 ''n''일 때, ''V''에 대한 기저를 선택하여 ''V''를 '''F'''^''n''과 동일시할 수 있으며, 따라서 체 '''F'''의 원소를 갖는 행렬 표현을 얻을 수 있다.

유효 표현 또는 충실한 표현은 준동형 사상 ''φ''가 단사인 표현 (''V'',''φ'')이다.

표현의 정의에는 두 가지 방법이 있다.^[58]

첫 번째 방법은, 군의 작용의 개념을 사용하여, 벡터 공간 ''V'' 상의 군 ''G''나 결합 대수 또는 리 대수 ''A''의 표현을 정의하는 것이다. 이는 다음의 두 가지 성질((i), (ii))을 만족하는 사상

:

\Phi\colon G\times V \to V \quad\text{or}\quad \Phi\colon A\times V \to V

로 정의한다.

:(i) ''G''의 임의의 원소 ''g'' (또는 ''A''의 임의의 원소 ''a'')에 대해, 사상

::

\begin{align}\varphi(g)\colon V& \to V\\v & \mapsto \Phi(g, v)\end{align}

::는 '''F''' 상에서 선형이다.

:(ii) Φ (''g'', ''v'')에 대해, 기호 ''g'' ・ ''v''를 도입하면, ''G''의 임의의 ''g''₁과 ''g''₂와 ''V''의 임의의 ''v''에 대해,

::

(1)\quad e \cdot v = v

::

(2)\quad g_1\cdot (g_2 \cdot v) = (g_1g_2) \cdot v

::가 성립한다.

:여기서 ''e''는 ''G''의 단위 원소이고, ''g''₁''g''₂는 ''G''의 곱이다. 결합 대수의 경우 항등원이 없을 때에는 식 (1)은 무시한다. 리 대수에서는, ''A''의 임의의 원소 ''x''₁, ''x''₂와 ''V''의 원소 ''v''에 대해,

::

(2')\quad x_1\cdot (x_2 \cdot v) - x_2\cdot (x_1 \cdot v) = [x_1,x_2] \cdot v

:가 되는 것만이 요구된다. 여기서 [''x''₁, ''x''₂]는 리 괄호이다.

두 번째 방법은, ''G''의 원소 ''g''를 선형 사상 φ(''g''): ''V'' → ''V''로 사상시키는 것을 정의하는 방법으로,

:

\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1)\circ \varphi(g_2) \quad \text{for all }g_1,g_2 \in G \,\!

을 만족한다.

이 관점에서 표현은 다음과 같이 통일된다.

벡터 공간 ''V'' 상의 군 ''G''의 표현은, 군 준동형 φ: ''G'' → GL(''V'', '''F''')이다.
벡터 공간 ''V'' 상의 결합 대수 ''A''의 표현은, (algebra homomorphism) φ: ''A'' → End_'''F'''(''V'')이다.
벡터 공간 $V$ 상의 리 대수의 표현은, (Lie algebra homomorphism) φ: '''a''' → '''gl'''(''V'', '''F''')이다.

=== 작용 및 사상 ===

표현을 정의하는 방법에는 두 가지가 있다.^[17] 첫 번째는 행렬의 행렬 곱셈을 통해 열 벡터에 작용하는 방식을 일반화하는 작용의 개념을 사용한다.

군

G

또는 (결합적 또는 리) 대수

A

의 벡터 공간

V

에 대한 ''표현''은 다음과 같은 사상이다.

\Phi\colon G\times V \to V \quad\text{또는}\quad \Phi\colon A\times V \to V

이 사상은 두 가지 속성을 갖는다.

$G$ 의 모든 $g$ (또는 $A$ 의 $a$ )에 대해, 사상 $\begin{align}\Phi(g)\colon V& \to V\\v & \mapsto \Phi(g, v)\end{align}$

는 $\mathbb{F}$ 위에서 선형이다.

만약 $\Phi$ (''g'', ''v'')에 대해 ''g'' · ''v'' 표기법을 도입하면, ''G''의 모든 ''g''₁, ''g''₂ 및 ''V''의 ''v''에 대해 다음이 성립한다.

$(2.1)\quad e \cdot v = v$

$(2.2)\quad g_1\cdot (g_2 \cdot v) = (g_1g_2) \cdot v$

여기서 ''e''는 ''G''의 항등원이고, ''g''₁''g''₂는 ''G''에서의 군 곱이다.

결합 대수에 대한 정의는 유사하지만, 결합 대수는 항상 항등원을 갖는 것은 아니므로, 이 경우 방정식 (2.1)은 생략된다. 방정식 (2.2)는 행렬 곱셈의 결합성을 추상적으로 표현한 것이다. 이것은 행렬 교환자에는 적용되지 않으며 교환자에 대한 항등원도 없다. 따라서 리 대수의 경우, 모든 ''x''₁, ''x''₂ in ''A'' 및 ''v'' in ''V''에 대한 유일한 요구 사항은 다음과 같다.

(2.2')\quad x_1\cdot (x_2 \cdot v) - x_2\cdot (x_1 \cdot v) = [x_1,x_2] \cdot v

여기서 [''x''₁, ''x''₂]는 리 괄호이며, 행렬 교환자 ''MN'' − ''NM''을 일반화한다.

표현을 정의하는 두 번째 방법은 ''G''의 ''g''를 선형 사상 ''φ''(''g''): ''V'' → ''V''로 보내는 사상 ''φ''에 초점을 맞춘다.^[58] 이 사상은 다음과 같은 조건을 만족한다.

:

\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1)\circ \varphi(g_2) \quad \text{모든 }g_1,g_2 \in G에 대해

이 접근 방식은 더 간결하고 추상적이다.

이 관점에서 볼 때,

벡터 공간 ''V'' 상의 군 ''G''의 표현은 군 준동형 사상 ''φ'': ''G'' → GL(''V'','''F''')이다.^[8]
벡터 공간 ''V'' 상의 결합 대수 ''A''의 표현은 대수 준동형 사상 ''φ'': ''A'' → End_'''F'''(''V'')이다.^[8]
벡터 공간 $V$ 상의 리 대수 $\mathfrak{a}$ 의 표현은 리 대수 준동형 사상 $\phi:\mathfrak{a}\to\mathfrak{gl}(V,\mathbb{F})$ 이다.

=== 동변 사상 및 동형 ===

V와 W가 F 위의 벡터 공간이고, 군 G의 표현 φ와 ψ가 주어져 있다면, V에서 W로의 '''동변 사상'''은 다음과 같은 선형 사상 α: V → W이다.^:14

:

\alpha( g\cdot v ) = g \cdot \alpha(v)

이는 G의 모든 g와 V의 모든 v에 대해 성립한다. φ: G → GL(V)와 ψ: G → GL(W)의 관점에서 보면, 이는^:14

:

\alpha\circ \varphi(g) = \psi(g)\circ \alpha

G의 모든 g에 대해 성립하며, 이는 다음의 가환도표가 가환함을 의미한다.^:14

결합 대수 또는 리 대수의 표현에 대한 동변 사상도 유사하게 정의된다. 만약 α가 가역적이라면, 이것은 동형 사상이라고 하며, 이 경우 V와 W (또는 더 정확히는 φ와 ψ)는 '''동형 표현'''이라고 하며, 이는 '''동치 표현'''이라고도 표현된다.^:14

동형 표현은 실질적으로 "같다"; 이들은 표현되는 군 또는 대수에 대한 동일한 정보를 제공한다. 따라서 표현론은 동형사상까지 표현을 분류하려고 한다.^:14

=== 부분 표현, 몫 표현, 기약 표현 ===

(V, \psi)

가 군

G

의 표현이고,

W

가

V

의 선형 부분 공간이며, 모든

w \in W

와

g \in G

에 대해

g \cdot w \in W

라는 의미에서

G

의 작용에 의해 보존될 때 (세르는 이것을

W

가

G

에 ''안정적''이라고 부른다^[18]),

W

를 ''부분 표현''이라고 부른다.

\phi: G \to \text{Aut}(W)

를

\phi(g)

가

\psi(g)

의

W

로의 제한으로 정의하면,

(W, \phi)

는

G

의 표현이며,

W \hookrightarrow V

의 포함은 등변 사상이다.^[18] 몫공간

V/W

또한

G

의 표현으로 만들 수 있다.

만약

V

가 정확히 두 개의 부분 표현, 즉 자명한 부분 공간 {0}과

V

자신을 갖는다면, 이 표현을 '''''기약'''''(irreducible)이라고 한다. 만약

V

가 고유한 비자명 부분 표현을 갖는다면, 그 표현을 '''''가약'''''(reducible)이라고 한다.^[19]

기약 표현의 정의는 슈어의 보조정리를 함축한다. 기약 표현 간의 등변 사상

\alpha: (V, \psi) \to (V', \psi')

은 그 커널과 상이 부분 표현이기 때문에, 그 영 사상이거나 동형 사상이다. 특히,

V = V'

일 때, 이는

V

의 등변 자기 준동형 사상이 기본 체 '''F''' 위에서 결합적인 나눗셈 대수를 형성한다는 것을 보여준다. 만약 '''F'''가 대수적으로 닫힌 체라면, 기약 표현의 유일한 등변 자기 준동형은 항등 사상의 스칼라 배수이다.^[19]

기약 표현은 많은 군에 대한 표현론의 구성 요소이다. 만약 표현

V

가 기약이 아니라면 부분 표현과 몫으로 구성되며, 둘 다 어떤 의미에서 "더 간단"하다. 예를 들어, 만약

V

가 유한 차원이라면, 부분 표현과 몫 모두 더 작은 차원을 갖는다. 표현이 부분 표현을 가지지만 하나의 비자명 기약 성분만을 갖는 반례가 있다. 예를 들어, 덧셈군

(\mathbb{R}, +)

는 다음의 2차원 표현을 갖는다.

\phi(a) = \begin{bmatrix}1 & a \\0 & 1\end{bmatrix}

이 군은 이 준동형 사상에 의해 고정된 벡터

\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}^\mathsf{T}

을 갖지만, 여집합 부분 공간은

\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a \\ 1 \end{bmatrix}

로 매핑되어 하나의 기약 부분 표현만 제공한다. 이는 모든 단위군에 적용된다.^[20]

=== 직합 및 직기약 표현 ===

만약 (''V'',''φ'')와 (''W'',''ψ'')가 군 ''G''의 표현이라면, ''V''와 ''W''의 직합은 다음 식을 통해 표준적인 방법으로 표현된다.

:

g\cdot (v,w) = (g\cdot v, g\cdot w).

두 표현의 직합은 두 표현 개별적으로 보다 군 ''G''에 대해 더 많은 정보를 담고 있지 않다. 만약 어떤 표현이 두 개의 진 부분 표현의 직합이라면, 그 표현은 가분적이라고 한다. 그렇지 않으면 기약 표현이라고 한다.

V와 W를 군 G의 표현이라고 하면, V와 W의 직합은 표준적인 표현으로 다음 식을 통해 표현이 된다.

:

g\cdot (v + w) = g\cdot v + g\cdot w \qquad (v \in V,~w \in W).

표현이 두 개의 비자명한 부분 표현의 직합이면, 이 표현을 '''직가약'''이라고 한다. 그렇지 않은 경우를 '''직기약'''이라고 한다.

유리한 상황에서는 모든 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합이다. 이러한 표현을 반단순 표현이라고 한다. 이 경우 기약 표현만 이해하면 충분하다. 이러한 "완전 기약 표현" 현상이 발생하는 예시(적어도 표수가 0인 체 위에서)에는 유한군( 마슈케 정리 참조), 콤팩트 군, 반단순 리 대수가 있다.

완전 기약 표현이 성립하지 않는 경우에는, 가약 표현이 부분 표현에 대한 몫의 군 확대를 사용하여 기약 표현으로부터 어떻게 구성될 수 있는지 이해해야 한다. 적당한 조건 하에서는, 모든 표현은 기약 표현의 직합이며, 그러한 표현을 '''반단순'''이라고 한다. 이 경우에는, 기약 표현을 이해하는 것만으로 충분하다. 그렇지 않은 경우에는, 어떻게 직기약 표현을 부분 표현에 의한 몫으로 확장하여 기약 표현으로부터 구성할 수 있는지를 이해해야 한다.

=== 텐서곱 표현 ===

\phi_1:G\rightarrow \mathrm{GL}(V_1)

과

\phi_2:G\rightarrow \mathrm{GL}(V_2)

가 그룹

G

의 표현이라고 가정하자. 그러면 다음과 같이 텐서곱 벡터 공간

V_1\otimes V_2

에 작용하는

G

의 표현

\phi_1\otimes\phi_2

를 구성할 수 있다.^[21]

:

(\phi_1\otimes\phi_2)(g)=\phi_1(g)\otimes\phi_2(g)

.

만약

\phi_1

과

\phi_2

가 리 대수의 표현이라면, 사용해야 할 올바른 공식은 다음과 같다.^[22]

:

(\phi_1\otimes\phi_2)(X)=\phi_1(X)\otimes I+I\otimes\phi_2(X)

.

이 곱은 코곱으로 인식될 수 있다. 일반적으로, 기약 표현의 텐서곱은 ''기약''이 아니다. 텐서곱을 기약 표현의 직합으로 분해하는 과정은 클레브쉬-고르단 이론으로 알려져 있다.

SU(2) 그룹의 표현론 (또는 동등하게, 복소화된 리 대수

\mathrm{sl}(2;\mathbb{C})

의 표현론)의 경우, 분해는 쉽게 수행할 수 있다.^[23] 기약 표현은 음이 아닌 정수 또는 반정수인 매개변수

l

로 표시되며, 표현의 차원은

2l+1

이다. 두 표현의 텐서곱을 취한다고 가정하고,

l_1\geq l_2

라고 가정하여 레이블이

l_1

과

l_2

인 두 표현을 고려해 보자. 그러면 텐서곱은 레이블이

l

인 각 표현의 복사본의 직합으로 분해되며, 여기서

l

은

l_1-l_2

에서

l_1+l_2

까지 1씩 증가한다. 예를 들어,

l_1=l_2=1

인 경우, 발생하는

l

의 값은 0, 1 및 2이다. 따라서 차원이

(2l_1+1) \times (2l_2+1) = 3\times 3=9

인 텐서곱 표현은 1차원 표현

(l=0),

3차원 표현

(l=1),

및 5차원 표현

(l=2)

의 직합으로 분해된다.

2. 1. 군, 결합 대수, 리 대수 표현

군 표현론, 대수 표현론, 리 대수 표현에서, 벡터 공간 ''V''는 ''φ''의 '''표현 공간'''이라고 불리며, 그 차원 (유한한 경우)은 표현의 '''차원'''이라고 불린다.^[18] 또한, 준동형 사상 ''φ''가 문맥상 명확할 때는 ''V'' 자체를 표현이라고 지칭하는 것이 일반적이다.^[59] 그렇지 않은 경우, (''V'',''φ'') 표기법을 사용하여 표현을 나타낼 수 있다.

''V''가 유한 차원 ''n''일 때, ''V''에 대한 기저를 선택하여 ''V''를 '''F'''^''n''과 동일시할 수 있으며, 따라서 체 '''F'''의 원소를 갖는 행렬 표현을 얻을 수 있다.

유효 표현 또는 충실한 표현은 준동형 사상 ''φ''가 단사인 표현 (''V'',''φ'')이다.

표현의 정의에는 두 가지 방법이 있다.^[58] 첫 번째 방법은, 군의 작용의 개념을 사용하여, 벡터 공간 ''V'' 상의 군 ''G''나 결합 대수 또는 리 대수 ''A''의 표현을 정의하는 것이다. 이는 다음의 두 가지 성질((i), (ii))을 만족하는 사상

:

\Phi\colon G\times V \to V \quad\text{or}\quad \Phi\colon A\times V \to V

로 정의한다.

:(i) ''G''의 임의의 원소 ''g'' (또는 ''A''의 임의의 원소 ''a'')에 대해, 사상

::

\begin{align}\varphi(g)\colon V& \to V\\v & \mapsto \Phi(g, v)\end{align}

::는 '''F''' 상에서 선형이다.

:(ii) Φ (''g'', ''v'')에 대해, 기호 ''g'' ・ ''v''를 도입하면, ''G''의 임의의 ''g''₁과 ''g''₂와 ''V''의 임의의 ''v''에 대해,

::

(1)\quad e \cdot v = v

::

(2)\quad g_1\cdot (g_2 \cdot v) = (g_1g_2) \cdot v

::가 성립한다.

:여기서 ''e''는 ''G''의 단위 원소이고, ''g''₁''g''₂는 ''G''의 곱이다. 결합 대수의 경우 항등원이 없을 때에는 식 (1)은 무시한다. 리 대수에서는, ''A''의 임의의 원소 ''x''₁, ''x''₂와 ''V''의 원소 ''v''에 대해,

::

(2')\quad x_1\cdot (x_2 \cdot v) - x_2\cdot (x_1 \cdot v) = [x_1,x_2] \cdot v

:가 되는 것만이 요구된다. 여기서 [''x''₁, ''x''₂]는 리 괄호이다.

두 번째 방법은, ''G''의 원소 ''g''를 선형 사상 φ(''g''): ''V'' → ''V''로 사상시키는 것을 정의하는 방법으로,

:

\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1)\circ \varphi(g_2) \quad \text{for all }g_1,g_2 \in G \,\!

을 만족한다. 이 관점에서 표현은 다음과 같이 통일된다.

벡터 공간 ''V'' 상의 군 ''G''의 표현은, 군 준동형 φ: ''G'' → GL(''V'', '''F''')이다.
벡터 공간 ''V'' 상의 결합 대수 ''A''의 표현은, (algebra homomorphism) φ: ''A'' → End_'''F'''(''V'')이다.
벡터 공간 ''V'' 상의 리 대수의 표현은, (Lie algebra homomorphism) φ: '''a''' → '''gl'''(''V'', '''F''')이다.

2. 2. 작용 및 사상

표현을 정의하는 방법에는 두 가지가 있다.^[17] 첫 번째는 행렬의 행렬 곱셈을 통해 열 벡터에 작용하는 방식을 일반화하는 작용의 개념을 사용한다.

군

G

또는 (결합적 또는 리) 대수

A

의 벡터 공간

V

에 대한 ''표현''은 다음과 같은 사상이다.

\Phi\colon G\times V \to V \quad\text{또는}\quad \Phi\colon A\times V \to V

이 사상은 두 가지 속성을 갖는다.

$G$ 의 모든 $g$ (또는 $A$ 의 $a$ )에 대해, 사상 $\begin{align}\Phi(g)\colon V& \to V\\v & \mapsto \Phi(g, v)\end{align}$

는 $\mathbb{F}$ 위에서 선형이다.

만약 $\Phi$ (''g'', ''v'')에 대해 ''g'' · ''v'' 표기법을 도입하면, ''G''의 모든 ''g''₁, ''g''₂ 및 ''V''의 ''v''에 대해 다음이 성립한다.

$(2.1)\quad e \cdot v = v$

$(2.2)\quad g_1\cdot (g_2 \cdot v) = (g_1g_2) \cdot v$

여기서 ''e''는 ''G''의 항등원이고, ''g''₁''g''₂는 ''G''에서의 군 곱이다.

결합 대수에 대한 정의는 유사하지만, 결합 대수는 항상 항등원을 갖는 것은 아니므로, 이 경우 방정식 (2.1)은 생략된다. 방정식 (2.2)는 행렬 곱셈의 결합성을 추상적으로 표현한 것이다. 이것은 행렬 교환자에는 적용되지 않으며 교환자에 대한 항등원도 없다. 따라서 리 대수의 경우, 모든 ''x''₁, ''x''₂ in ''A'' 및 ''v'' in ''V''에 대한 유일한 요구 사항은 다음과 같다.

(2.2')\quad x_1\cdot (x_2 \cdot v) - x_2\cdot (x_1 \cdot v) = [x_1,x_2] \cdot v

여기서 [''x''₁, ''x''₂]는 리 괄호이며, 행렬 교환자 ''MN'' − ''NM''을 일반화한다.

표현을 정의하는 두 번째 방법은 ''G''의 ''g''를 선형 사상 ''φ''(''g''): ''V'' → ''V''로 보내는 사상 ''φ''에 초점을 맞춘다.^[58] 이 사상은 다음과 같은 조건을 만족한다.

:

\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1)\circ \varphi(g_2) \quad \text{모든 }g_1,g_2 \in G에 대해

이 접근 방식은 더 간결하고 추상적이다.

이 관점에서 볼 때,

벡터 공간 ''V'' 상의 군 ''G''의 표현은 군 준동형 사상 ''φ'': ''G'' → GL(''V'','''F''')이다.^[8]
벡터 공간 ''V'' 상의 결합 대수 ''A''의 표현은 대수 준동형 사상 ''φ'': ''A'' → End_'''F'''(''V'')이다.^[8]
벡터 공간 $V$ 상의 리 대수 $\mathfrak{a}$ 의 표현은 리 대수 준동형 사상 $\phi:\mathfrak{a}\to\mathfrak{gl}(V,\mathbb{F})$ 이다.

2. 3. 동변 사상 및 동형

V와 W가 F 위의 벡터 공간이고, 군 G의 표현 φ와 ψ가 주어져 있다면, V에서 W로의 '''동변 사상'''은 다음과 같은 선형 사상 α: V → W이다.^:14

:

\alpha( g\cdot v ) = g \cdot \alpha(v)

이는 G의 모든 g와 V의 모든 v에 대해 성립한다. φ: G → GL(V)와 ψ: G → GL(W)의 관점에서 보면, 이는^:14

:

\alpha\circ \varphi(g) = \psi(g)\circ \alpha

G의 모든 g에 대해 성립하며, 이는 다음의 가환도표가 가환함을 의미한다.^:14

결합 대수 또는 리 대수의 표현에 대한 동변 사상도 유사하게 정의된다. 만약 α가 가역적이라면, 이것은 동형 사상이라고 하며, 이 경우 V와 W (또는 더 정확히는 φ와 ψ)는 '''동형 표현'''이라고 하며, 이는 '''동치 표현'''이라고도 표현된다.^:14

동형 표현은 실질적으로 "같다"; 이들은 표현되는 군 또는 대수에 대한 동일한 정보를 제공한다. 따라서 표현론은 동형사상까지 표현을 분류하려고 한다.^:14

2. 4. 부분 표현, 몫 표현, 기약 표현

(V, \psi)

가 군

G

의 표현이고,

W

가

V

의 선형 부분 공간이며, 모든

w \in W

와

g \in G

에 대해

g \cdot w \in W

라는 의미에서

G

의 작용에 의해 보존될 때 (세르는 이것을

W

가

G

에 ''안정적''이라고 부른다^[18]),

W

를 ''부분 표현''이라고 부른다.

\phi: G \to \text{Aut}(W)

를

\phi(g)

가

\psi(g)

의

W

로의 제한으로 정의하면,

(W, \phi)

는

G

의 표현이며,

W \hookrightarrow V

의 포함은 등변 사상이다.^[18] 몫공간

V/W

또한

G

의 표현으로 만들 수 있다.

만약

V

가 정확히 두 개의 부분 표현, 즉 자명한 부분 공간 {0}과

V

자신을 갖는다면, 이 표현을 '''''기약'''''(irreducible)이라고 한다. 만약

V

가 고유한 비자명 부분 표현을 갖는다면, 그 표현을 '''''가약'''''(reducible)이라고 한다.^[19]

기약 표현의 정의는 슈어의 보조정리를 함축한다. 기약 표현 간의 등변 사상

\alpha: (V, \psi) \to (V', \psi')

은 그 커널과 상이 부분 표현이기 때문에, 그 영 사상이거나 동형 사상이다. 특히,

V = V'

일 때, 이는

V

의 등변 자기 준동형 사상이 기본 체 '''F''' 위에서 결합적인 나눗셈 대수를 형성한다는 것을 보여준다. 만약 '''F'''가 대수적으로 닫힌 체라면, 기약 표현의 유일한 등변 자기 준동형은 항등 사상의 스칼라 배수이다.^[19]

기약 표현은 많은 군에 대한 표현론의 구성 요소이다. 만약 표현

V

가 기약이 아니라면 부분 표현과 몫으로 구성되며, 둘 다 어떤 의미에서 "더 간단"하다. 예를 들어, 만약

V

가 유한 차원이라면, 부분 표현과 몫 모두 더 작은 차원을 갖는다. 표현이 부분 표현을 가지지만 하나의 비자명 기약 성분만을 갖는 반례가 있다. 예를 들어, 덧셈군

(\mathbb{R}, +)

는 다음의 2차원 표현을 갖는다.

\phi(a) = \begin{bmatrix}1 & a \\0 & 1\end{bmatrix}

이 군은 이 준동형 사상에 의해 고정된 벡터

\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}^\mathsf{T}

을 갖지만, 여집합 부분 공간은

\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a \\ 1 \end{bmatrix}

로 매핑되어 하나의 기약 부분 표현만 제공한다. 이는 모든 단위군에 적용된다.^[20]

2. 5. 직합 및 직기약 표현

만약 (''V'',''φ'')와 (''W'',''ψ'')가 군 ''G''의 표현이라면, ''V''와 ''W''의 직합은 다음 식을 통해 표준적인 방법으로 표현된다.

:

g\cdot (v,w) = (g\cdot v, g\cdot w).

두 표현의 직합은 두 표현 개별적으로 보다 군 ''G''에 대해 더 많은 정보를 담고 있지 않다. 만약 어떤 표현이 두 개의 진 부분 표현의 직합이라면, 그 표현은 가분적이라고 한다. 그렇지 않으면 기약 표현이라고 한다.

V와 W를 군 G의 표현이라고 하면, V와 W의 직합은 표준적인 표현으로 다음 식을 통해 표현이 된다.

:

g\cdot (v + w) = g\cdot v + g\cdot w \qquad (v \in V,~w \in W).

표현이 두 개의 비자명한 부분 표현의 직합이면, 이 표현을 '''직가약'''이라고 한다. 그렇지 않은 경우를 '''직기약'''이라고 한다.

유리한 상황에서는 모든 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합이다. 이러한 표현을 반단순 표현이라고 한다. 이 경우 기약 표현만 이해하면 충분하다. 이러한 "완전 기약 표현" 현상이 발생하는 예시(적어도 표수가 0인 체 위에서)에는 유한군( 마슈케 정리 참조), 콤팩트 군, 반단순 리 대수가 있다.

완전 기약 표현이 성립하지 않는 경우에는, 가약 표현이 부분 표현에 대한 몫의 군 확대를 사용하여 기약 표현으로부터 어떻게 구성될 수 있는지 이해해야 한다. 적당한 조건 하에서는, 모든 표현은 기약 표현의 직합이며, 그러한 표현을 '''반단순'''이라고 한다. 이 경우에는, 기약 표현을 이해하는 것만으로 충분하다. 그렇지 않은 경우에는, 어떻게 직기약 표현을 부분 표현에 의한 몫으로 확장하여 기약 표현으로부터 구성할 수 있는지를 이해해야 한다.

2. 6. 텐서곱 표현

\phi_1:G\rightarrow \mathrm{GL}(V_1)

과

\phi_2:G\rightarrow \mathrm{GL}(V_2)

가 그룹

G

의 표현이라고 가정하자. 그러면 다음과 같이 텐서곱 벡터 공간

V_1\otimes V_2

에 작용하는

G

의 표현

\phi_1\otimes\phi_2

를 구성할 수 있다.^[21]

:

(\phi_1\otimes\phi_2)(g)=\phi_1(g)\otimes\phi_2(g)

.

만약

\phi_1

과

\phi_2

가 리 대수의 표현이라면, 사용해야 할 올바른 공식은 다음과 같다.^[22]

:

(\phi_1\otimes\phi_2)(X)=\phi_1(X)\otimes I+I\otimes\phi_2(X)

.

이 곱은 코곱으로 인식될 수 있다. 일반적으로, 기약 표현의 텐서곱은 ''기약''이 아니다. 텐서곱을 기약 표현의 직합으로 분해하는 과정은 클레브쉬-고르단 이론으로 알려져 있다.

SU(2) 그룹의 표현론 (또는 동등하게, 복소화된 리 대수

\mathrm{sl}(2;\mathbb{C})

의 표현론)의 경우, 분해는 쉽게 수행할 수 있다.^[23] 기약 표현은 음이 아닌 정수 또는 반정수인 매개변수

l

로 표시되며, 표현의 차원은

2l+1

이다. 두 표현의 텐서곱을 취한다고 가정하고,

l_1\geq l_2

라고 가정하여 레이블이

l_1

과

l_2

인 두 표현을 고려해 보자. 그러면 텐서곱은 레이블이

l

인 각 표현의 복사본의 직합으로 분해되며, 여기서

l

은

l_1-l_2

에서

l_1+l_2

까지 1씩 증가한다. 예를 들어,

l_1=l_2=1

인 경우, 발생하는

l

의 값은 0, 1 및 2이다. 따라서 차원이

(2l_1+1) \times (2l_2+1) = 3\times 3=9

인 텐서곱 표현은 1차원 표현

(l=0),

3차원 표현

(l=1),

및 5차원 표현

(l=2)

의 직합으로 분해된다.

3. 표현론의 분야 및 주제

표현론은 다루는 분야와 접근 방식이 매우 다양하다는 특징을 지닌다. 표현론은 크게 세 가지 측면에서 차이를 보인다.

# 표현되는 대수적 대상의 종류에 따라 달라진다. 군, 결합 대수, 리 대수 등 다양한 대수적 대상이 존재하며, 각각의 표현론은 고유한 성질을 가진다.

# 표현되는 벡터 공간의 특성에 따라 달라진다. 유한 차원 표현과 무한 차원 표현으로 나뉘며, 무한 차원인 경우 힐베르트 공간, 바나흐 공간 등 추가적인 구조가 고려된다. 유한 차원 표현에서도 추가적인 대수적 구조가 부여될 수 있다.

# 벡터 공간이 정의된 체의 종류에 따라 달라진다. 복소수체, 실수체, 유한체, p-진수체 등이 중요하게 다루어지며, 양의 표수를 가지거나 대수적으로 닫힌 체가 아닌 경우 추가적인 어려움이 발생한다.

3. 1. 유한군 표현론

군 표현은 유한군 연구에 매우 중요한 도구이다.^[24] 또한 기하학과 결정학에 유한군 이론을 적용하는 데에도 나타난다.^[25] 유한군의 표현은 일반 이론의 많은 특징을 보여주며 표현론의 다른 분야와 주제로 이어진다.

표수가 0인 체 위에서 유한군 ''G''의 표현은 여러 편리한 성질을 가진다. 첫째, ''G''의 표현은 반단순(완전 가약)인데, 이는 ''G''-표현 ''W''의 모든 부분 표현 ''V''가 ''G''-불변 여공간을 갖는다는 마슈케 정리의 결과이다.^[61]^[62]

유한 차원 ''G''-표현은 표론을 사용하여 이해할 수 있다. 표현 ''φ'': ''G'' → GL(''V'')의 표는 다음과 같이 정의된 클래스 함수 ''χ''_''φ'': ''G'' → '''F'''이다.

:

\chi_{\varphi}(g) = \mathrm{Tr}(\varphi(g))

여기서

\mathrm{Tr}

은 대각합이다. ''G''의 기약 표현은 그 표에 의해 완전히 결정된다.

마슈케 정리는 유한체와 같이 양의 표수 ''p''를 갖는 체에 대해 일반적으로 성립하며, 소수 ''p''가 ''G''의 위수와 서로소인 경우에 한한다. ''p''와 |''G''|가 공통 인수를 가질 때, 반단순이 아닌 ''G''-표현이 있으며, 이는 모듈러 표현론이라는 하위 분야에서 연구된다.

평균화 기법은 또한 '''F'''가 실수 또는 복소수일 경우, 모든 ''G''-표현이 다음 의미에서 ''V''에 대한 내적

\langle\cdot,\cdot\rangle

을 보존한다는 것을 보여준다.

:

\langle g\cdot v,g\cdot w\rangle = \langle v,w\rangle

모든 ''G''의 ''g''와 ''W''의 ''v'', ''w''에 대해. 따라서 모든 ''G''-표현은 유니타리이다. 유니타리 표현은 자동적으로 반단순인데, 마슈케의 결과는 부분 표현의 직교 여공간을 취함으로써 증명할 수 있기 때문이다.

유한군 ''G''의 표현은 군 대수 '''F'''[''G'']를 통해 대수 표현과 직접 연결된다. 이는 '''F''' 위의 벡터 공간으로, ''G''의 원소를 기저로 가지며, 군 연산, 선형성 및 군 연산과 스칼라 곱이 교환한다는 요구 사항에 의해 정의된 곱셈 연산을 갖는다.

3. 2. 모듈러 표현론

유한군 ''G''의 모듈러 표현은 표수가 |''G''|와 서로소이지 않은 체 위의 표현이며, 이는 마슈케 정리가 더 이상 성립하지 않기 때문이다(왜냐하면 |''G''|는 '''F'''에서 역원를 가지지 않으므로 나눌 수 없기 때문이다).^[26] 리처드 브라우어(Richard Brauer)는 문자론의 많은 부분을 모듈러 표현으로 확장했고, 이 이론은 특히 유한 단순군 분류에 대한 초기의 진전에 중요한 역할을 했다. 특히, 그들의 실로우 부분군이 "너무 작아" 순수하게 군론적인 방법으로는 특징지을 수 없는 단순군에 적용되었다.^[27]

모듈러 표현은 군론에 응용될 뿐만 아니라 대수기하학, 부호 이론, 조합론 및 정수론과 같은 수학의 다른 분야에서도 자연스럽게 발생한다.

3. 3. 유니타리 표현론

군 ''G''의 유니타리 표현은 실수 또는 복소수 힐베르트 공간 ''V''에서 ''G''의 선형 표현 ''φ''이며, 모든 ''g'' ∈ ''G''에 대해 ''φ''(''g'')가 유니타리 연산자가 되는 표현을 말한다.^[28]^[65] 이러한 표현은 양자역학에서 널리 응용되며, 특히 유진 위그너의 푸앵카레 군의 표현 분석을 통해 이론의 발전을 이끌었다.^[29]^[66]

유니타리 표현론의 주요 목표는 ''G''의 기약 유니타리 표현의 공간인 "유니타리 쌍대"를 설명하는 것이다.^[31]^[68] 이 이론은 ''G''가 국소 콤팩트 (하우스도르프) 위상군이고 표현이 강하게 연속인 경우 가장 잘 발달되어 있다.^[11]^[52] ''G''가 아벨 군인 경우, 유니타리 쌍대는 문자의 공간이 된다. ''G''가 콤팩트인 경우, 페터-바일 정리는 기약 단위 표현이 유한 차원이며 유니타리 쌍대가 이산적임을 보여준다.^[32]^[69]

조지 매키는 유니타리 표현의 일반 이론을 구축하는 선구자 중 한 명이었으며, 1950년대와 1960년대에 하리시-찬드라 등에 의해 광범위한 이론이 개발되었다.^[30]^[67] 비콤팩트 ''G''의 경우, 어떤 표현이 유니타리 표현인지에 대한 질문은 미묘하다. 기약 단위 표현은 "허용 가능"해야 하지만( 하리시-찬드라 모듈로), 비퇴화 불변 세스퀴선형 형식을 갖는 허용 가능한 표현을 감지하는 것은 쉽지만, 이 형식이 양의 정부호일 때를 결정하는 것은 어렵다. 실제 환원 가능 리 군과 같은 비교적 잘 정돈된 군에 대해서도 유니타리 쌍대를 효과적으로 설명하는 것은 표현론에서 중요한 미해결 문제로 남아 있다. 이 문제는 SL(2, '''R''')의 표현론 및 로렌츠 군의 표현론과 같은 많은 특정 군에 대해 해결되었다.^[33]^[70]

3. 4. 조화 해석학

조화 해석학과 유니타리 표현론은 밀접하게 관련되어 있다. 원군 ''S''¹과 정수 '''Z''', 또는 더 일반적으로 토러스 ''T''^''n''과 '''Z'''^''n'' 사이의 쌍대성은 푸리에 급수 이론으로 분석학에서 잘 알려져 있으며, 푸리에 변환은 실수 벡터 공간의 문자 공간이 쌍대 벡터 공간이라는 사실을 표현한다.^[11] 추상 조화해석학은 국소 콤팩트 위상군 및 관련 공간에 대한 함수의 수학적 분석을 개발함으로써 이러한 관계를 활용한다.^[11]

주요 목표는 푸리에 변환과 플랑셰렐 정리의 일반적인 형태를 제공하는 것이다. 이는 유니타리 쌍대에 대한 측도를 구성하고, ''G''의 L²(''G'') 공간, 즉 ''G'' 상의 제곱 적분 가능 함수 공간에서의 ''G''의 정칙 표현과 유니타리 쌍대 상의 L² 함수 공간에서의 표현 사이의 동형성을 구성함으로써 수행된다. 폰트랴긴 쌍대성과 페터-바일 정리는 각각 가환군과 콤팩트군 ''G''에 대해 이를 달성한다.^[32]^[34]

다른 접근 방식은 기약 표현뿐만 아니라 모든 유니타리 표현을 고려하는 것이다. 이들은 범주를 형성하며, 탄나카-크레인 쌍대성은 콤팩트군을 유니타리 표현 범주에서 복구하는 방법을 제공한다.

그룹이 가환군도 콤팩트군도 아닌 경우, 알렉산더 그로텐디크가 탄나카-크레인 쌍대성을 선형 대수 군과 탄나카 범주 사이의 관계로 확장했지만, 플랑셰렐 정리나 푸리에 역변환과 유사한 일반 이론은 알려져 있지 않다.

조화 해석학은 또한 그룹 ''G'' 상의 함수 분석에서 ''G''에 대한 균질 공간 상의 함수로 확장되었다. 이 이론은 특히 대칭 공간에 대해 잘 개발되었으며 자동형 형식 이론을 제공한다.

3. 5. 리 군 표현론

리 군은 매끄러운 다양체이기도 한 군이다. 실수 또는 복소수에 대한 행렬의 많은 고전적인 군은 리 군이며,^[35] 물리학과 화학에서 중요한 많은 군이 리 군이다. 그 표현론은 해당 분야에서 군론을 적용하는 데 매우 중요하다.^[9]

리 군의 표현론은 먼저 콤팩트 표현론의 결과가 적용되는 콤팩트 군을 고려하여 개발할 수 있다.^[31] 이 이론은 반단순 리 군의 유한 차원 표현으로 확장될 수 있는데, 이는 바일의 유니타리 트릭을 사용한다. 각 반단순 실수 리 군 ''G''는 복소화, 즉 복소 리 군 ''G''^c를 가지며, 이 복소 리 군은 극대 콤팩트 부분군 ''K''를 갖는다. ''G''의 유한 차원 표현은 ''K''의 표현과 밀접하게 관련되어 있다.

일반적인 리 군은 가해 리 군과 반단순 리 군의 반직접곱이다(레비 분해).^[36] 가해 리 군의 표현 분류는 일반적으로 다루기 어렵지만, 실용적인 경우에는 종종 쉽다. 반직접곱의 표현은 ''매키 이론''이라고 하는 일반적인 결과를 통해 분석될 수 있는데, 이는 푸앵카레 군의 표현에 대한 위그너의 분류에 사용된 방법의 일반화이다.

한국의 수학자들은 리 군의 표현론 연구, 특히 유니타리 표현론 분야에서 국제적으로 인정받는 성과를 내고 있다.

3. 6. 리 대수 표현론

체 '''F''' 위의 리 대수는 '''F''' 위의 벡터 공간으로, 왜대칭 쌍선형 연산인 리 괄호가 갖춰져 있으며, 이는 야코비 항등식을 만족한다. 리 대수는 특히 리 군의 항등원에서의 접공간으로 나타나며, 이는 "무한소 대칭"으로 해석된다.^[36] 리 군의 표현론에 대한 중요한 접근 방식은 리 대수의 해당 표현론을 연구하는 것이지만, 리 대수의 표현 자체도 고유한 흥미를 지닌다.^[37]

리 대수는 리 군과 마찬가지로 반단순 부분과 가해 부분으로 분해되는 레비 분해를 가지며, 가해 리 대수의 표현론은 일반적으로 다루기 어렵다. 이와 대조적으로, 반단순 리 대수의 유한 차원 표현은 엘리 카르탕의 연구 이후 완전히 이해되었다. 반단순 리 대수 𝖌의 표현은 리 괄호가 0("아벨")인 𝖌의 일반적인 최대 부분 대수 𝖍인 카르탕 부분대수를 선택하여 분석된다. 𝖌의 표현은 𝖍의 작용에 대한 고유공간이자 문자의 무한소 유사물인 가중치 공간으로 분해될 수 있다. 그러면 반단순 리 대수의 구조는 표현 분석을 발생할 수 있는 가능한 가중치의 쉽게 이해되는 조합론으로 축소시킨다.^[36]

체 '''F''' 위의 리 대수는 리 괄호라고 불리며 야코비 항등식을 만족하는 왜대칭쌍선형 작용을 갖는 벡터 공간이다. 특히, 리 대수는 단위 행렬에서의 리 군의 접공간으로 발생하며, "무한소 대칭성"으로 상호 작용을 이끈다.^[73] 리 대수의 표현론의 중요한 접근법은 리 대수의 대응하는 표현론을 연구하기 위한 것이지만, 리 대수의 표현론은 본질적으로 흥미로운 점을 가지고 있다.^[74]

리 대수는 리 군처럼 반단순 부분과 가해 부분으로 분해되는 레비 분해를 갖지만, 일반적으로 다루기 어려운 가해 리 대수의 표현이 따라온다. 이와 대조적으로, 반단순 리 대수의 유한 차원 표현은 엘리 카르탕의 연구 이래로 완전히 이해되었다. 반단순 리 대수 '''g'''의 표현은 그 위에서 리 괄호가 0이 되는 (가환인) '''g'''의 본질적으로 최대 생성 부분 대수 '''h'''인 카르탕 부분 대수(Cartan subalgebra)를 선택함으로써 해석된다. '''g'''의 표현은 '''h'''의 작용의 고유 공간인 가중치 공간(weight spaces)과 지표의 무한소 유사성으로 분해될 수 있다. 따라서, 반단순 리 대수의 구조는 가중치의 발생 가능한 조합을 쉽게 이해한다는 표현의 해석으로 환원된다.^[73]

3. 6. 1. 무한 차원 리 대수 표현론

표현이 연구된 무한 차원 리 대수의 많은 부류가 있다. 이 중 중요한 부류는 카츠-무디 대수이다.^[38] 이들은 빅토르 카츠와 로버트 무디의 이름을 따서 명명되었으며, 이들은 독립적으로 이들을 발견했다. 이러한 대수는 유한 차원 반단순 리 대수의 일반화를 형성하며, 그들의 조합론적 속성의 많은 부분을 공유한다. 이는 반단순 리 대수의 표현과 동일한 방식으로 이해할 수 있는 표현의 부류가 있음을 의미한다.

아핀 리 대수는 카츠-무디 대수의 특별한 경우이며, 수학 및 이론 물리학, 특히 등각장론 및 완전 해결 모형 이론에서 특별한 중요성을 갖는다. 카츠는 아핀 Kac-Moody 대수의 표현 이론을 기반으로 하는 특정 조합 항등식인 맥도날드 항등식의 우아한 증명을 발견했다.^[75]

3. 6. 2. 리 초대수 표현론

리 초대수는 기저 벡터 공간에 '''Z'''₂-등급을 부여하고, 리 괄호의 반대칭성과 야코비 항등식 속성이 부호에 의해 수정된 리 대수의 일반화이다. 초 리 대수(Lie superalgebra) 표현 이론은 리 대수의 표현 이론과 유사하다.^[39]^[76]

3. 7. 선형 대수군 표현론

선형 대수적 군과 더불어, 선형 대수적 군(또는 좀 더 일반적으로는 아핀 군 스킴)은 대수 기하학에서 리 군의 유사체이지만, '''R''' 또는 '''C'''가 아닌 더 일반적인 체에 대해서 정의된다.^[40] 특히 유한체 위에서는 유한 리형 군을 생성한다. 선형 대수적 군은 리 군과 매우 유사한 분류 체계를 가지고 있지만, 표현론은 상당히 다르며 (그리고 훨씬 덜 알려져 있으며) 다른 기술이 필요하다.^[40] 왜냐하면 자리스키 위상은 상대적으로 약하고, 해석학적 기술을 더 이상 사용할 수 없기 때문이다.^[40]^[77]

선형대수군도 참조

3. 8. 불변식 이론

불변식 이론은 함수의 관점에서 작용이 대수적 다양체에 미치는 영향을 연구하며, 이는 군의 표현을 형성한다.^[41] 고전적으로, 이 이론은 주어진 선형군의 변환 하에서 변하지 않거나, 즉 ''불변''인 다항 함수의 명시적 설명을 다루었다. 현대적인 접근 방식은 이러한 표현을 기약 표현으로 분해하는 것을 분석한다.^[41]

무한군의 불변론은 선형대수학, 특히 이차 형식과 행렬식 이론의 발달과 불가분의 관계를 가진다.^[42] 상호 강력한 영향을 미치는 또 다른 주제는 사영 기하학으로, 불변론은 이 분야를 정리하는 데 사용될 수 있으며, 1960년대에 데이비드 멈포드에 의해 그의 기하학적 불변론 형태로 이 분야에 새로운 생명이 불어넣어졌다.^[42]

반단순 리 군의 표현론은 불변론에 뿌리를 두고 있으며^[35] 표현론과 대수 기하학 사이의 강력한 연관성은 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램과 엘리 카르탕의 카르탕 접속에서 시작하여 미분 기하학에도 많은 유사점을 가지고 있으며, 이는 기하학의 중심에 군과 대칭성을 위치시킨다.^[43] 현대적인 발전은 표현론과 불변론을 홀로노미, 미분 연산자 및 다변수 복소수 함수론과 같이 다양한 분야와 연결한다.^[43]

3. 9. 자동형식 및 수론

자동형식은 모듈러 형식을 일반화한 것으로, 해석 함수, 더 나아가 여러 복소 변수의 함수이며, 유사한 변환 속성을 갖는다.^[44] 모듈러 군 PSL₂ ('''R''')과 선택된 합동 부분군을 반단순 리 군 ''G''와 이산 부분군 ''Γ''로 대체하여 일반화한다. 모듈러 형식이 상반 평면 '''''H''''' = PSL₂ ('''R''')/SO(2)의 몫에 대한 미분 형식으로 볼 수 있는 것처럼, 자동형식은 ''Γ''\''G''/''K''에 대한 미분 형식(또는 유사한 객체)으로 볼 수 있다. 여기서 ''K''는 ''G''의 최대 컴팩트 부분군이다. 그러나 몫이 일반적으로 특이점을 가지므로 주의가 필요하다. 반단순 리 군을 컴팩트 부분군으로 나눈 몫은 대칭 공간이므로 자동형식의 이론은 대칭 공간에 대한 조화 해석과 밀접하게 관련되어 있다.

일반 이론이 개발되기 전에 힐베르트 모듈러 형식과 지겔 모듈러 형식을 포함하여 많은 중요한 특수 사례가 자세히 연구되었다. 이 이론의 중요한 결과에는 셀베르그 자취 공식과 로버트 랭글랜즈가 리만-로크 정리를 적용하여 자동형식 공간의 차원을 계산할 수 있다는 것을 깨달은 것이 있다. 그 후 "자동형식 표현"의 개념은 ''G''가 대수적 군이고 아델 대수적 군으로 취급되는 경우를 처리하는 데 큰 기술적 가치가 있음이 입증되었다. 그 결과, 표현과 자동형식의 수론적 속성 간의 관계를 중심으로 랭글랜즈 프로그램이라는 전체 철학이 발전했다.^[45]

3. 10. 결합 대수 표현론

어떤 의미에서 결합 대수의 표현은 그룹 표현과 리 대수 표현을 모두 일반화한다. 그룹의 표현은 해당 군환 또는 군 대수의 표현을 유도하는 반면, 리 대수의 표현은 해당 보편 포락 대수의 표현과 일대일 대응된다. 그러나 일반적인 결합 대수의 표현 이론은 그룹과 리 대수의 표현 이론이 가진 모든 좋은 속성을 가지고 있지는 않다.

대수 표현 (대수 표현/Algebra representation^영어)

어떤 의미에서, 결합 대수의 표현론은 군이나 리 군의 표현을 모두 일반화한다. 군의 표현은 대응하는 군환의 표현을 이끌어내며, 리 대수의 표현은 리 대수의 보편 포락 대수의 표현에 전단사적으로 대응한다. 그러나 일반적인 결합 대수의 표현론은 군과 리 군의 표현론의 모든 성질을 갖는 것은 아니다.

가군론은 환 위의 가군을 다루는 이론이다. 결합 대수의 표현을 고려할 때, 기저체를 잊고 단순히 결합 대수를 환으로 간주하고 그 표현을 가군으로 간주할 수 있다. 이러한 접근 방식은 매우 유용하며, 표현론의 많은 결과는 환 위의 가군에 대한 결과의 특수한 경우로 해석될 수 있다.

호프 대수는 결합 대수의 표현론을 개선하는 방법을 제공하며, 그룹과 리 대수의 표현론을 특수한 경우로 유지한다. 특히, 두 표현의 텐서 곱은 표현이며, 쌍대 벡터 공간도 표현이다.

그룹과 관련된 호프 대수는 가환 대수 구조를 가지며, 따라서 일반적인 호프 대수는 양자군으로 알려져 있지만, 이 용어는 종종 그룹 또는 그 보편 포락 대수의 변형으로 발생하는 특정 호프 대수로 제한된다. 양자군의 표현론은 예를 들어 카시와라의 결정 기저를 통해 리 군과 리 대수의 표현론에 놀라운 통찰력을 더했다.

호프 대수(Hopf algebra)는 한편으로는 군과 리 대수의 표현론을 특수한 경우로 가지는 결합 대수의 표현론을 개선하는 방법을 제시했다. 특히 두 표현의 텐서 곱은 쌍대 벡터 공간의 표현으로서의 표현이 된다.

군에 부수하는 호프 대수는 결합 대수의 구조를 가지며, 따라서 원래 군의 변형으로서 또는 보편 포락 대수로서 나타나기 때문에 호프 대수를 한정하는 데 사용됨에도 불구하고 일반적으로 호프 대수는 양자군(quantum group)으로 알려져 있다. 양자군의 표현론은 리 대수나 리 군의 표현론과 마찬가지로, 예를 들어, 카시와라의 결정 기저(crystal basis)와 같은 놀라운 내적인 성질을 가지고 있다.

3. 10. 1. 가군 이론

가군론은 환 위의 가군을 다루는 이론이다. 결합 대수의 표현을 고려할 때, 기저체를 잊고 단순히 결합 대수를 환으로 간주하고 그 표현을 가군으로 간주할 수 있다. 이러한 접근 방식은 매우 유용하며, 표현론의 많은 결과는 환 위의 가군에 대한 결과의 특수한 경우로 해석될 수 있다.

3. 10. 2. 호프 대수 및 양자군

호프 대수는 결합 대수의 표현론을 개선하는 방법을 제공하며, 그룹과 리 대수의 표현론을 특수한 경우로 유지한다. 특히, 두 표현의 텐서 곱은 표현이며, 쌍대 벡터 공간도 표현이다.

그룹과 관련된 호프 대수는 가환 대수 구조를 가지며, 따라서 일반적인 호프 대수는 양자군으로 알려져 있지만, 이 용어는 종종 그룹 또는 그 보편 포락 대수의 변형으로 발생하는 특정 호프 대수로 제한된다. 양자군의 표현론은 예를 들어 카시와라의 결정 기저를 통해 리 군과 리 대수의 표현론에 놀라운 통찰력을 더했다.

호프 대수(Hopf algebra)는 한편으로는 군과 리 대수의 표현론을 특수한 경우로 가지는 결합 대수의 표현론을 개선하는 방법을 제시했다. 특히 두 표현의 텐서 곱은 쌍대 벡터 공간의 표현으로서의 표현이 된다.

군에 부수하는 호프 대수는 결합 대수의 구조를 가지며, 따라서 원래 군의 변형으로서 또는 보편 포락 대수로서 나타나기 때문에 호프 대수를 한정하는 데 사용됨에도 불구하고 일반적으로 호프 대수는 양자군(quantum group)으로 알려져 있다. 양자군의 표현론은 리 대수나 리 군의 표현론과 마찬가지로, 예를 들어, 카시와라의 결정 기저(crystal basis)와 같은 놀라운 내적인 성질을 가지고 있다.

4. 일반화

4. 1. 집합론적 표현

집합론적 표현(또는 군 작용 또는 순열 표현)은 군 ''G''가 집합 ''X''에 작용하는 것이다. 이는 ''G''에서 ''X''^''X''(''X''에서 ''X''로 가는 함수의 집합)로 가는 함수 ''ρ''로 주어지며, ''G''의 모든 ''g''₁, ''g''₂와 ''X''의 모든 ''x''에 대해 다음이 성립한다.

:

\rho(1)[x] = x

:

\rho(g_1 g_2)[x]=\rho(g_1)[\rho(g_2)[x]].

이 조건과 군에 대한 공리는 모든 ''G''의 ''g''에 대해 ''ρ''(''g'')가 전단사 함수 (또는 순열)임을 의미한다. 따라서, 순열 표현을 G에서 ''X''의 대칭군 S_''X''로 가는 군 준동형사상으로 동등하게 정의할 수 있다.

4. 2. 다른 범주에서의 표현

범주론에서, 모든 군 ''G''는 단일 객체를 가진 범주로 볼 수 있으며, 이 범주 내의 사상은 ''G''의 원소이다. 임의의 범주 ''C''가 주어졌을 때, ''C''에서 ''G''의 "표현"은 ''G''에서 ''C''로의 함자이다. 이러한 함자는 ''C''에서 객체 ''X''와 ''G''에서 Aut(''X'')로의 군 준동형 사상을 선택하는데, 여기서 Aut(''X'')는 ''X''의 자기 동형 사상 군이다.

''C''가 체 '''F''' 위의 벡터 공간의 범주인 '''Vect'''_'''F'''인 경우, 이 정의는 선형 표현과 동등하다. 마찬가지로, 집합론적 표현은 집합의 범주에서 ''G''의 표현일 뿐이다.

또 다른 예로, 위상 공간의 범주인 '''Top'''을 고려해 볼 수 있다. '''Top'''에서의 표현은 ''G''에서 위상 공간 ''X''의 동형 사상 군으로의 준동형 사상이다.

선형 표현과 밀접하게 관련된 세 가지 유형의 표현은 다음과 같다.

사영 표현: 사영 공간의 범주에서. 이것들은 "스칼라 변환까지의" 선형 표현으로 설명될 수 있다.
아핀 표현: 아핀 공간의 범주에서. 예를 들어, 유클리드 군은 유클리드 공간에 아핀 방식으로 작용한다.
유니타리 및 반유니타리 군의 코표현: 사상이 선형 또는 반선형 변환인 복소 벡터 공간의 범주에서.

4. 3. 범주의 표현

군이 범주이므로, 다른 범주의 표현도 고려할 수 있다. 가장 간단한 일반화는 모노이드로, 이는 하나의 대상만 있는 범주이다. 군은 모든 사상이 가역적인 모노이드이다. 일반적인 모노이드는 임의의 범주에서 표현을 갖는다. 집합 범주에서 이것들은 모노이드 작용이지만, 벡터 공간 및 기타 대상에 대한 모노이드 표현도 연구할 수 있다.^[15]^[56]

더 일반적으로, 표현되는 범주가 하나의 대상만 있다는 가정을 완화할 수 있다. 완전히 일반적인 경우, 이것은 단순히 범주 간의 함자 이론이며, 특별히 언급할 만한 것은 없다.^[15]^[56]

한 가지 특별한 경우는 표현론에 상당한 영향을 미쳤는데, 즉 화살집의 표현론이다.^[15] 화살집은 단순히 유향 그래프 (루프와 여러 개의 화살표가 허용됨)이지만, 그래프의 경로를 고려하여 범주(및 대수)로 만들 수 있다. 이러한 범주/대수의 표현은 표현론의 여러 측면을 밝혀냈는데, 예를 들어 어떤 경우에는 그룹에 대한 비반단순 표현론 문제를 화살집에 대한 반단순 표현론 문제로 줄일 수 있도록 함으로써 그러하다.^[15]^[56]

5. 한국의 표현론 연구자

한국의 주요 표현론 연구자들은 다음과 같다.

나카야마 타다시
이와호리 나가요시
카시와바라 마사키
오시마 토시오
나카지마 히로시
고바야시 토시유키
아라카와 토모유키
이야마 오사무
카토 슈

참조

_[1] 문서 Classic texts on representation theory include Curtis, Reiner (1962) and Serre (1977). Other excellent sources are Fulton, Harris (1991) and Goodman, Wallach (1998).
_[2] 웹사이트 representation theory in nLab https://ncatlab.org/[...] 2019-12-09
_[3] 문서 For the history of the representation theory of finite groups, see Lam (1998). For algebraic and Lie groups, see Borel (2001).
_[4] 웹사이트 Introduction to representation theory http://www-math.mit.[...] 2019-12-09
_[5] 웹사이트 linear algebra https://www.britanni[...] 2024-07-08
_[6] 문서 There are many textbooks on vector spaces and linear algebra. For an advanced treatment, see Kostrikin, Manin (1997).
_[7] 문서 Sally, Vogan (1989).
_[8] 웹사이트 Representation Theory https://math.berkele[...] 2019-12-09
_[9] 문서 Sternberg (1994).
_[10] 문서 Lam (1998, p=372).
_[11] 문서 Folland (1995).
_[12] 문서 Goodman, Wallach (1998), Olver (1999), Sharpe (1997).
_[13] 문서 Borel, Casselman (1979), Gelbart (1984).
_[14] 문서 See the previous footnotes.
_[15] 문서 Simson, Skowronski, Assem (2007).
_[16] 문서 Fulton, Harris (1991), Simson, Skowronski, Assem (2007), Humphreys (1972a).
_[17] 문서 This material can be found in standard textbooks, such as Curtis, Reiner (1962), Fulton, Harris (1991), Goodman, Wallach (1998), James, Liebeck (1993), Humphreys (1972a), Jantzen (2003), Knapp (2001) and Serre (1977).
_[18] 문서 Serre (1977).
_[19] 문서 The representation {0} of dimension zero is considered to be neither reducible nor irreducible, just like the number 1 is considered to be neither composite nor prime.
_[20] 서적 Linear Algebraic Groups https://www.worldcat[...] Springer New York 1975
_[21] 문서 Hall (2015) Section 4.3.2
_[22] 문서 Hall (2015) Proposition 4.18 and Definition 4.19
_[23] 문서 Hall (2015) Appendix C
_[24] 문서 Alperin (1986), Lam (1998), Serre (1977).
_[25] 문서 Kim (1999).
_[26] 문서 Serre (1977, Part III).
_[27] 문서 Alperin (1986).
_[28] 문서 See Weyl (1928).
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_[30] 문서 Borel (2001).
_[31] 문서 Knapp (2001).
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_[33] 문서 Bargmann (1947).
_[34] 문서 Pontrjagin (1934).
_[35] 문서 Weyl (1946).
_[36] 서적
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_[60] 문서 次元 0 の表現 {0} は可約でも規約でもないと考えることができる。ちょうど、数 1 が合成数でも[[素数]]でもないと考えられることと同じである。
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