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겉보기힘

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목차

1. 개요

겉보기힘은 비관성 좌표계에서 뉴턴의 운동 법칙을 적용하기 위해 도입되는 가상의 힘이다. 관성 좌표계와 비관성 좌표계에서 물체의 운동은 다르게 기술되며, 비관성계에서는 겉보기힘을 고려해야 한다. 겉보기힘은 관성력이라고도 불리며, 병진 운동, 회전 운동하는 좌표계 등 다양한 종류가 있다. 이 힘은 실제 힘과 달리 반작용이 없고, 물체의 에너지 변화에 영향을 줄 수 있다. 일반 상대성 이론에서는 중력 또한 관성력의 일종으로 간주하며, 시공간의 곡률로 설명한다.

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겉보기힘

2. 관성 좌표계와 비관성 좌표계

물체의 속도는 관찰자가 보는 상대 속도이지, 절대적인 속도가 아니다. 같은 물체라도 관찰자에 따라 속도가 다르게 측정된다. 예를 들어 지상에서 시속 100km로 달리는 기차를, 시속 30km로 쫓아가는 오토바이에서 보면 시속 70km로 보이고, 반대 방향으로 시속 30km로 달리는 오토바이에서는 시속 130km로 보인다. 따라서 모든 속도는 상대 속도로 표현되며, 누가 관찰했는지를 명시해야 한다.

뉴턴 제1법칙에 따르면, 힘을 받지 않는 물체는 등속도 운동을 한다. 하지만 이 등속도는 관찰자에 따라 다르므로, 어떤 기준계에서 등속도 운동을 하는지 명확히 해야 한다. 알짜힘이 0인 물체가 등속도 운동을 하는 것으로 관찰되는 기준계를 관성 좌표계 또는 관성계라고 한다. 뉴턴의 운동 법칙은 관성계에서만 적용 가능하다.

비관성계에서는 뉴턴의 운동 법칙이 그대로 성립하지 않는다.[16][17][18] 예를 들어 책상 위에 놓인 책은 지구가 당기는 중력과 책상 면이 책을 들어올리는 수직항력이 평형을 이루어 알짜힘이 0이 되므로 정지해 있다. 이는 관성계에서 관찰한 결과이다. 그러나 이 책을 비관성계에서 관찰하면 책은 가속 운동을 하는 것처럼 보인다. 이 때, 비관성계에서 뉴턴의 운동 법칙을 적용하기 위해 겉보기힘(관성력)을 도입한다.[19] 겉보기힘은 물체의 질량에 비관성계의 가속도를 곱한 값에 비관성계의 가속도 방향과 반대 방향을 가진 힘으로 정의된다.

겉보기힘은 실제 힘이 아니며, 반작용이 존재하지 않는다.[16] 버스가 가속 운동을 할 때, 버스 안의 손잡이가 뒤로 기울어지는 현상을 예로 들 수 있다. 이는 비관성계인 버스 안에서 관찰할 때 겉보기힘이 작용하는 것처럼 보이는 것이다. 겉보기힘은 오로지 물체의 운동을 비관성계에서 기술할 때만 필요한 거짓 힘이다.

그림 2: 관성 좌표계 ''A''에서 '''x'''A에 위치한 물체는 가속 좌표계 ''B''에서 '''x'''B에 위치한다.


많은 문제들은 비관성 기준틀의 사용을 필요로 한다. 예를 들어, 위성[28][29]과 입자 가속기[30]와 관련된 문제들이 그렇다. 비관성 기준틀 B에서 어떤 물체의 운동을 기술하려면, 관성 기준틀 A에서의 운동 방정식을 이용하고, 여기에 겉보기힘을 추가하여 계산할 수 있다.[31][32]

관성력과 그 외의 힘을 구별하려면 운동량이 보존되는 계를 알고 있어야 한다. 작용 반작용의 법칙에 따르면 진정한 힘에는 반드시 반작용이 따르지만, 관성력에는 반작용이 가해지는 물체가 존재하지 않기 때문에 반작용의 존재에 의해 관성력과 그 외를 구별할 수 있다.

2. 1. 관성 좌표계에서의 운동 기술

물체의 속도는 관찰자가 보는 상대 속도이지, 절대적인 속도가 아니다. 같은 물체라도 관찰자에 따라 속도가 다르게 측정된다. 예를 들어 지상에서 시속 100km로 달리는 기차를, 시속 30km로 쫓아가는 오토바이에서 보면 시속 70km로 보이고, 반대 방향으로 시속 30km로 달리는 오토바이에서는 시속 130km로 보인다. 따라서 모든 속도는 상대 속도로 표현되며, 누가 관찰했는지를 명시해야 한다.

뉴턴 제1법칙에 따르면, 힘을 받지 않는 물체는 등속도 운동을 한다. 하지만 이 등속도는 관찰자에 따라 다르므로, 어떤 기준계에서 등속도 운동을 하는지 명확히 해야 한다. 알짜힘이 0인 물체가 등속도 운동을 하는 것으로 관찰되는 기준계를 관성 좌표계 또는 관성계라고 한다. 뉴턴의 운동 법칙은 관성계에서만 적용 가능하다.

정지해 있는 관찰자는 회전목마 위를 걷는 보행자의 경로를 나선으로 묘사한다. 이 궤적은 '''r'''(''t'')로 표현할 수 있다.

:\mathbf{r}(t) =R(t)\mathbf{u}_R = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R(t)\cos (\omega t + \pi/4) \\ R(t)\sin (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix},

여기서 ''R''(''t'') = ''st'' (''s''는 걷는 속도)이며, '''u'''''R''는 회전목마 중심에서 보행자를 가리키는 반경 방향 단위 벡터이다. 속도 '''v'''(''t'')는 다음과 같다.

:\begin{align}

\mathbf{v}(t) &= \frac{dR}{dt} \begin{bmatrix} \cos (\omega t + \pi/4) \\ \sin (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} + \omega R(t) \begin{bmatrix} -\sin(\omega t + \pi/4) \\ \cos (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} \\

&= \frac{dR}{dt} \mathbf{u}_R + \omega R(t) \mathbf{u}_{\theta},

\end{align}

'''u'''θ는 '''u'''R에 수직인 단위 벡터이다. 가속도 '''a'''(''t'')는 다음과 같다.

:\begin{align}

\mathbf{a}(t) &= \frac{d^2 R}{dt^2} \begin{bmatrix} \cos (\omega t + \pi/4) \\ \sin (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} + 2 \frac {dR}{dt} \omega \begin{bmatrix} -\sin(\omega t + \pi/4) \\ \cos (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} - \omega^2 R(t) \begin{bmatrix} \cos (\omega t + \pi/4) \\ \sin (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} \\

&=2s\omega \begin{bmatrix} -\sin(\omega t + \pi/4) \\ \cos (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} -\omega^2 R(t) \begin{bmatrix} \cos (\omega t + \pi/4) \\ \sin (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} \\

&=2s\ \omega \ \mathbf{u}_{\theta}-\omega^2 R(t)\ \mathbf{u}_R \, .

\end{align}

가속도의 마지막 항은 구심 가속도를 나타내고,[46] 첫 번째 항은 보행자가 회전목마 가장자리에 가까워질수록 증가하는 가속도를 나타낸다. 뉴턴의 법칙에 따르면, 관성 관찰자는 보행자가 안쪽으로 향하는 구심력과 보행자 속도에 비례하는 힘을 받는다고 결론짓는다.

2. 2. 비관성 좌표계에서의 운동 기술

비관성계에서는 뉴턴의 운동 법칙이 그대로 성립하지 않는다.[16][17][18] 예를 들어 책상 위에 놓인 책은 지구가 당기는 중력과 책상 면이 책을 들어올리는 수직항력이 평형을 이루어 알짜힘이 0이 되므로 정지해 있다. 이는 관성계에서 관찰한 결과이다. 그러나 이 책을 비관성계에서 관찰하면 책은 가속 운동을 하는 것처럼 보인다. 이 때, 비관성계에서 뉴턴의 운동 법칙을 적용하기 위해 겉보기힘(관성력)을 도입한다.[19] 겉보기힘은 물체의 질량에 비관성계의 가속도를 곱한 값에 비관성계의 가속도 방향과 반대 방향을 가진 힘으로 정의된다.

겉보기힘은 실제 힘이 아니며, 반작용이 존재하지 않는다.[16] 버스가 가속 운동을 할 때, 버스 안의 손잡이가 뒤로 기울어지는 현상을 예로 들 수 있다. 이는 비관성계인 버스 안에서 관찰할 때 겉보기힘이 작용하는 것처럼 보이는 것이다. 겉보기힘은 오로지 물체의 운동을 비관성계에서 기술할 때만 필요한 거짓 힘이다.

많은 문제들은 비관성 기준틀의 사용을 필요로 한다. 예를 들어, 위성[28][29]과 입자 가속기[30]와 관련된 문제들이 그렇다. 비관성 기준틀 B에서 어떤 물체의 운동을 기술하려면, 관성 기준틀 A에서의 운동 방정식을 이용하고, 여기에 겉보기힘을 추가하여 계산할 수 있다.[31][32]

관성력과 그 외의 힘을 구별하려면 운동량이 보존되는 계를 알고 있어야 한다. 작용 반작용의 법칙에 따르면 진정한 힘에는 반드시 반작용이 따르지만, 관성력에는 반작용이 가해지는 물체가 존재하지 않기 때문에 반작용의 존재에 의해 관성력과 그 외를 구별할 수 있다.

3. 관성력의 종류

관성력은 좌표계의 운동 방식에 따라 여러 종류로 나뉜다.


  • 병진 운동하는 좌표계에서의 관성력: 좌표계의 가속도와 반대 방향으로 작용하며, 크기는 물체의 질량과 좌표계 가속도의 곱과 같다.[15] 예를 들어, 가속하는 자동차 안에서 승객이 뒤로 밀리는 힘이 이에 해당한다.

''그림 1'': '''위''': 가속되고 있는 질량 ''M''인 차에는 질랑 ''m''인 승객이 타고 있다. 차의 추진력은 (''M''+''m'')'''a'''이다.(바퀴에 나타낸 화살표가 추진력을 나타낸다.) 관성 좌표계에서 이 힘은 오직 차와 승객에게만 작용한다.

'''가운데''': 관성 좌표계 안에서의 상호관계를 나타내는 그림. 승객은 ''m'''''a'''의 알짜힘을 받는다. 좌석의 질량을 무시할 때, 승객은 ''m'''''a'''의 반작용인 (-''m'''''a''')의 힘을 좌석에 가하고, 좌석은 또한 차의 추진력으로부터 외력 ''m'''''a'''를 받아 알짜힘이 0이 된다. 차는 알짜힘 ''M'''''a'''를 받는데 이 알짜힘은 차의 추진력 (''m''+''M'')'''a'''에서 좌석이 받는 힘 (-''m'''''a''')를 뺀 값이다.

'''아래''': 비관성 좌표계 내에서의 상호관계를 나타내는 그림. 차가 가속되지 않고 있는 비관성 좌표계에서 차는 반대방향의 겉보기힘 -(''m''+''M'')'''a'''을 받는다. 여기서 -''M'''''a'''은 차에 작용하고, -''m'''''a'''은 승객에게 작용한다. 차는 겉보기힘 -''M'''''a'''와 추진력 (''m''+''M'')'''a'''의 힘을 받고 이 힘들의 차이인 ''m'''''a'''가 좌석에 주어진다. 이것의 반작용으로 좌석이 차에 -''m'''''a'''의 힘을 가하고 결국 차는 아무런 힘도 받지 않는다. 좌석에 질량이 없다고 가정하면, 좌석은 ''m'''''a'''의 힘을 겉보기힘 -''m'''''a'''를 받고 있는 승객에게로 전달한다. 따라서 승객에게 미치는 알짜 힘은 0이다. 또 이 과정에서 승객은 좌석에서 받는 힘의 반작용인 -''m'''''a'''의 힘을 좌석에 가하게 된다. 따라서 관성, 비관성 좌표계를 막론하고 좌석이 받는 힘과 차의 추진력은 같다.

  • 회전 운동하는 좌표계에서의 관성력: 원심력, 코리올리 힘, 오일러 힘 등이 있다.
  • 원심력: 회전하는 좌표계에서 바깥쪽으로 작용하는 것처럼 느껴지는 힘이다. 자동차가 커브를 돌 때 승객이 바깥쪽으로 밀리는 현상이 그 예이다.[20] 지구 표면은 회전 좌표계이므로, 원심력은 위도에 따라 중력의 겉보기 힘을 약 1,000분의 1만큼 줄인다. 이 감소는 극에서는 0이고 적도에서는 최대이다.[20]
  • 코리올리 힘: 회전 좌표계에서 운동하는 물체에 작용하는 힘으로, 운동 방향에 수직으로 작용한다. 북반구에서는 오른쪽, 남반구에서는 왼쪽으로 작용한다. 푸코 진자의 진동면 회전, 태풍의 회전 방향, 장거리 포탄의 궤적 변화 등이 코리올리 힘의 영향을 보여주는 대표적인 예시이다.[22]

관성 기준틀(그림의 윗부분)에서 검은 공은 직선으로 움직입니다. 그러나 회전/비관성 기준틀(그림의 아랫부분)에 서 있는 관찰자(갈색 점)는 이 틀에 존재하는 코리올리 힘 또는 원심력으로 인해 물체가 곡선 경로를 따르는 것을 봅니다.

  • 오일러 힘: 회전하는 기준틀의 각속도가 변할 때 나타나는 힘이다.[39][40] 회전목마의 회전 속도가 변할 때 탑승자가 느끼는 힘이 그 예시이다.

그림 5: 회전하는 회전목마를 가로질러 회전목마 중심에서 가장자리까지 일정한 속도로 걸어가면 관성 좌표계에서는 나선이 그려지고, 회전목마의 좌표계에서는 단순한 직선 방사형 경로가 보인다.


이러한 관성력들은 뉴턴의 제2운동 법칙을 '''F''' = ''m'''''a''' 형태로 가정하면, 항상 질량 ''m''에 비례한다. '''관성력'''은 '''달랑베르 힘'''이라고도 불리며,[10][11] 때로는 가상력이라고도 불린다.[12]

3. 1. 병진 운동하는 좌표계에서의 관성력

병진 운동하는 좌표계에서의 관성력은 좌표계의 가속도와 반대 방향으로 작용하며, 크기는 물체의 질량과 좌표계 가속도의 곱과 같다.[15] 예를 들어, 가속하는 자동차 안에서 승객이 뒤로 밀리는 힘이 이에 해당한다.

'''관성 기준계'''에서 볼 때, 자동차가 앞으로 가속될 때 승객은 좌석에 의해 앞으로 밀리는 힘을 받는다. 이 힘은 승객이 차와 함께 움직이기 위해 필요한 힘이다.

'''비관성 기준계'''(자동차가 가속되는 기준계)에서는 승객에게 겉보기힘이 작용하여 뒤로 밀리는 것처럼 느껴진다. 이 겉보기힘은 좌석이 승객에게 가하는 힘과 크기가 같고 방향이 반대이므로, 승객은 이 기준계에서 정지해 있게 된다.

가속되는 기준계가 비관성계라는 것은, 관성 기준계에서는 오직 차의 추진력만으로 설명 가능한 현상이, 가속되는 기준계에서는 추가적인 겉보기힘을 도입해야만 설명 가능하기 때문이다.

가상력은 체력이라고도 불릴 수 있다.[3] 이는 기준 틀이 더 이상 관성적으로 움직이지 않고 자유 물체에 대해 가속하기 시작할 때 물체의 관성 때문에 발생한다. 가상력은 전자기력 또는 접촉력과 같이 두 물체 간의 어떤 물리적 상호 작용으로부터 발생하지 않는다.[13][14] 이는 단지 비관성 기준 틀이 연결된 물리적 물체의 가속도 '''a'''의 결과일 뿐이다. 가속 기준 틀의 관점에서 보면, 관성 물체의 가속도가 나타나는 것처럼 보이며, 이런 일이 일어나기 위해서는 "힘"이 필요한 것으로 보인다.

뉴턴의 제2운동 법칙을 '''F''' = ''m'''''a''' 형태로 가정하면, 가상력은 항상 질량 ''m''에 비례한다.

'''관성력'''이라고 불리는 가상력[7][8][9]은 '''달랑베르 힘'''이라고도 불리며,[10][11] 때로는 가상력이라고도 불린다.[12] 달랑베르 원리는 뉴턴의 제2운동 법칙을 다른 방식으로 공식화한 것이다. 더 쉬운 계산을 위해 관성력을 질량과 가속도의 곱의 음수로 정의한다.

3. 2. 회전 운동하는 좌표계에서의 관성력

비슷한 효과가 길에 붙어있는 관성계를 기준점으로 한 원운동에서도 나타난다. 차에 붙어 서 함께 가는 비관성 기준계에서 볼 때는 겉보기힘이 원심력으로 나타난다. 만약 차가 일정한 속도로 도로의 커브를 지나고 있다면 비관성계에서의 관찰자는 원심력에 의해 바깥쪽으로 밀린다고 느낄 것이다.[20]

# 차와 함께 움직이고 있는 회전 기준계의 관점에서 볼 때, 차에는 가상적인 원심력이 존재하고 그것은 차를 자꾸 바깥쪽으로 밀게 된다.(뿐만 아니라 차 안에 타고 있는 승객도 차가 회전하는 바깥 쪽으로 밀린다.) 원심력은 차가 비관성계 내에서 멈춰있다고 느끼도록 만들며 바퀴와 길 사이에서 마찰의 균형을 맞춘다.[20]

지구 표면은 회전 좌표계이다. 지구 기준 좌표계에서 고전역학 문제를 정확하게 풀기 위해서는 세 가지 허구의 힘, 즉 코리올리 힘, 원심력 (아래 설명) 및 오일러 힘을 도입해야 한다. 오일러 힘은 일반적으로 지구 회전 표면의 각속도 변화가 대개 미미하기 때문에 무시된다. 다른 두 허구의 힘은 일상생활에서 대부분의 전형적인 힘에 비해 약하지만, 주의 깊은 조건하에서는 감지할 수 있다.[20]

예를 들어, 레옹 푸코는 그의 푸코 진자를 사용하여 코리올리 힘이 지구 자전의 결과임을 보여주었다. 만약 지구가 20배 더 빠르게 회전한다면 (각 날이 약 72분만 지속된다면), 사람들은 회전 목마에서처럼 그러한 허구의 힘이 자신들을 잡아당기고 있다는 인상을 쉽게 받을 수 있을 것이다. 사실 온대 및 열대 위도에 있는 사람들은 원심력에 의해 궤도로 발사되는 것을 피하기 위해 붙잡고 있어야 할 것이다.[20]

허구력의 효과는 자동차가 원운동을 할 때도 발생합니다. 자동차에 부착된 비관성 기준틀에서 관찰하면, 원심력이라고 불리는 허구력이 나타납니다. 자동차가 좌회전을 하면, 먼저 뒷좌석 왼쪽에 있던 여행 가방이 뒷좌석 오른쪽으로 미끄러져 간 다음 오른쪽의 닫힌 문에 닿을 때까지 계속 움직입니다. 이 운동은 허구 원심력의 단계를 나타내는데, 이 운동에 영향을 미치는 것은 가방의 관성입니다. 이 운동을 일으키는 힘이 있는 것처럼 보일 수 있지만, 실제로는 이 운동이 이미 가속되고 있는 기준틀 내에서 (여전히) '자유 물체'인 가방의 관성 때문에 발생합니다.[20]

가방이 자동차의 닫힌 문에 닿은 후에는 접촉력이 발생하는 상황이 현재화됩니다. 자동차에 작용하는 구심력도 이제 가방으로 전달되고 뉴턴의 제3법칙 상황이 작용하여 구심력이 작용 부분으로, 소위 반작용 원심력이 반작용 부분으로 작용합니다. 반작용 원심력 역시 가방의 관성에 기인합니다. 그러나 이제 관성은 운동 상태의 변화에 대한 저항으로 나타납니다.[20]

몇 마일 더 가면 자동차가 회전 교차로를 계속 돌면서 일정한 속도로 움직인다고 가정하면, 탑승자는 (반작용) 원심력에 의해 차량 바깥쪽으로 밀려나는 듯한 느낌을 받을 것입니다.[20]

이 상황은 관성 기준틀과 비관성 기준틀 모두에서 볼 수 있다.[20]

  • 자동차와 함께 움직이는 회전 기준틀의 관점에서 볼 때, 허구 원심력이 나타나 자동차를 도로 바깥쪽으로 밀어내는 것처럼 보입니다(그리고 탑승자를 자동차 바깥쪽으로 밀어냅니다). 원심력은 바퀴와 도로 사이의 마찰을 상쇄하여 이 비관성 기준틀에서 자동차를 정지시킵니다.[20]


지구 표면에서 인식되는 회전 기준틀에서, 원심력은 위도에 따라 중력의 겉보기 힘을 약 1,000분의 1만큼 줄입니다. 이 감소는 극에서는 0이고 적도에서는 최대입니다.[20]

회전 틀에서 관찰되는 허구적인 코리올리 힘은 일반적으로 장거리 총의 탄도 운동이나 지구 대기의 순환과 같은 매우 큰 규모의 운동에서만 보입니다(로스비 수 참조). 공기 저항을 무시하면, 적도에서 50미터 높이의 타워에서 떨어진 물체는 코리올리 힘 때문에 낙하 지점의 동쪽으로 7.7밀리미터 떨어진 곳에 떨어질 것입니다.[22]

회전 좌표계에서 운동하는 물체에 작용하는 가상힘 중 하나는 코리올리 힘이다. 코리올리 힘은 물체의 운동 방향에 수직으로 작용하며, 북반구에서는 오른쪽으로, 남반구에서는 왼쪽으로 작용한다.

코리올리 힘은 지구 자전에 의해 발생하는 현상으로, 지구 표면에서 움직이는 물체에 영향을 미친다. 대표적인 예시는 다음과 같다.

  • 푸코 진자: 진자의 진동면이 시간이 지남에 따라 회전한다. 이는 지구가 자전하면서 진자가 관성을 유지하려 하기 때문에 발생한다.
  • 태풍, 허리케인: 북반구에서는 시계 반대 방향, 남반구에서는 시계 방향으로 회전한다. 이는 저기압 중심을 향해 이동하는 공기가 코리올리 힘의 영향을 받기 때문이다.
  • 장거리 포탄의 궤적: 포탄의 궤적이 코리올리 힘의 영향을 받아 목표 지점에서 벗어난다.


회전하는 회전목마에 있는 관찰자의 관측의 예에서 회전 관찰자는 그림 5에 표시된 것처럼 보행자가 회전목마 중앙에서 가장자리로 직선으로 이동하는 것을 본다. 또한, 회전 관찰자는 보행자가 같은 방향으로 일정한 속도로 움직이는 것을 보므로 뉴턴의 관성 법칙을 적용하면 보행자에게 작용하는 힘은 ''0''이다. 이러한 결론은 관성 관찰자와 일치하지 않는다. 일치를 얻기 위해 회전 관찰자는 회전하는 세상에 존재하는 것처럼 보이는 가상의 힘을 도입해야 한다. 비록 이러한 가상의 힘을 설명할 뚜렷한 이유, 즉 중력 질량, 전하 등이 없더라도 말이다.[45]

회전하는 세상에서 직선 운동을 얻으려면 가상력과 부호가 정확히 반대되는 힘을 가하여 보행자에게 가해지는 순수한 힘을 0으로 줄여야 하므로, 뉴턴의 관성 법칙은 회전 관찰자가 보는 것과 일치하는 직선 운동을 예측할 것이다. 극복해야 하는 가상력은 코리올리 힘 (첫 번째 항)과 원심력 (두 번째 항)이다. (이 항들은 근사값이다.)[47] 이러한 두 가상력에 대항하는 힘을 가함으로써 회전 관찰자는 결국 관성 관찰자가 필요하다고 예측한 것과 정확히 동일한 힘을 보행자에게 가하게 된다.[45]

보행자와 회전 관찰자는 보행 속도가 일정하다는 것만 다를 뿐이므로 동일한 가속도를 본다. 보행자의 관점에서 가상력은 실제처럼 느껴지며, 이 힘에 대항하는 것은 일정한 속도를 유지하면서 직선 반경 경로에 머물기 위해 필요하다. 이는 회전목마의 가장자리로 던져지는 동안 측풍과 싸우는 것과 같다.[48]

회전하는 기준틀에서 각속도가 변할 때 나타나는 겉보기힘을 오일러 힘이라고 한다.[39][40] 오일러 힘은 회전 중심에서 본 물체의 위치 벡터와 수직 방향으로 작용한다.

예를 들어 회전목마의 회전 속도가 변하는 경우, 회전목마 위에 있는 관찰자는 오일러 힘을 경험하게 된다.

3. 2. 1. 원심력

비슷한 효과가 길에 붙어있는 관성계를 기준점으로 한 원운동에서도 나타난다. 차에 붙어 서 함께 가는 비관성 기준계에서 볼 때는 겉보기힘이 원심력으로 나타난다. 만약 차가 일정한 속도로 도로의 커브를 지나고 있다면 비관성계에서의 관찰자는 원심력에 의해 바깥쪽으로 밀린다고 느낄 것이다.[20]

# 차와 함께 움직이고 있는 회전 기준계의 관점에서 볼 때, 차에는 가상적인 원심력이 존재하고 그것은 차를 자꾸 바깥쪽으로 밀게 된다.(뿐만 아니라 차 안에 타고 있는 승객도 차가 회전하는 바깥 쪽으로 밀린다.) 원심력은 차가 비관성계 내에서 멈춰있다고 느끼도록 만들며 바퀴와 길 사이에서 마찰의 균형을 맞춘다.[20]

지구 표면은 회전 좌표계이다. 지구 기준 좌표계에서 고전역학 문제를 정확하게 풀기 위해서는 세 가지 허구의 힘, 즉 코리올리 힘, 원심력 (아래 설명) 및 오일러 힘을 도입해야 한다. 오일러 힘은 일반적으로 지구 회전 표면의 각속도 변화가 대개 미미하기 때문에 무시된다. 다른 두 허구의 힘은 일상생활에서 대부분의 전형적인 힘에 비해 약하지만, 주의 깊은 조건하에서는 감지할 수 있다.[20]

예를 들어, 레옹 푸코는 그의 푸코 진자를 사용하여 코리올리 힘이 지구 자전의 결과임을 보여주었다. 만약 지구가 20배 더 빠르게 회전한다면 (각 날이 약 72분만 지속된다면), 사람들은 회전 목마에서처럼 그러한 허구의 힘이 자신들을 잡아당기고 있다는 인상을 쉽게 받을 수 있을 것이다. 사실 온대 및 열대 위도에 있는 사람들은 원심력에 의해 궤도로 발사되는 것을 피하기 위해 붙잡고 있어야 할 것이다.[20]

허구력의 효과는 자동차가 원운동을 할 때도 발생합니다. 자동차에 부착된 비관성 기준틀에서 관찰하면, 원심력이라고 불리는 허구력이 나타납니다. 자동차가 좌회전을 하면, 먼저 뒷좌석 왼쪽에 있던 여행 가방이 뒷좌석 오른쪽으로 미끄러져 간 다음 오른쪽의 닫힌 문에 닿을 때까지 계속 움직입니다. 이 운동은 허구 원심력의 단계를 나타내는데, 이 운동에 영향을 미치는 것은 가방의 관성입니다. 이 운동을 일으키는 힘이 있는 것처럼 보일 수 있지만, 실제로는 이 운동이 이미 가속되고 있는 기준틀 내에서 (여전히) '자유 물체'인 가방의 관성 때문에 발생합니다.[20]

가방이 자동차의 닫힌 문에 닿은 후에는 접촉력이 발생하는 상황이 현재화됩니다. 자동차에 작용하는 구심력도 이제 가방으로 전달되고 뉴턴의 제3법칙 상황이 작용하여 구심력이 작용 부분으로, 소위 반작용 원심력이 반작용 부분으로 작용합니다. 반작용 원심력 역시 가방의 관성에 기인합니다. 그러나 이제 관성은 운동 상태의 변화에 대한 저항으로 나타납니다.[20]

몇 마일 더 가면 자동차가 회전 교차로를 계속 돌면서 일정한 속도로 움직인다고 가정하면, 탑승자는 (반작용) 원심력에 의해 차량 바깥쪽으로 밀려나는 듯한 느낌을 받을 것입니다.[20]

이 상황은 관성 기준틀과 비관성 기준틀 모두에서 볼 수 있다.[20]

  • 자동차와 함께 움직이는 회전 기준틀의 관점에서 볼 때, 허구 원심력이 나타나 자동차를 도로 바깥쪽으로 밀어내는 것처럼 보입니다(그리고 탑승자를 자동차 바깥쪽으로 밀어냅니다). 원심력은 바퀴와 도로 사이의 마찰을 상쇄하여 이 비관성 기준틀에서 자동차를 정지시킵니다.[20]


지구 표면에서 인식되는 회전 기준틀에서, 원심력은 위도에 따라 중력의 겉보기 힘을 약 1,000분의 1만큼 줄입니다. 이 감소는 극에서는 0이고 적도에서는 최대입니다.[20]

회전 틀에서 관찰되는 허구적인 코리올리 힘은 일반적으로 장거리 총의 탄도 운동이나 지구 대기의 순환과 같은 매우 큰 규모의 운동에서만 보입니다(로스비 수 참조). 공기 저항을 무시하면, 적도에서 50미터 높이의 타워에서 떨어진 물체는 코리올리 힘 때문에 낙하 지점의 동쪽으로 7.7밀리미터 떨어진 곳에 떨어질 것입니다.[22]

회전하는 회전목마에 있는 관찰자의 관측의 예에서 회전 관찰자는 그림 5에 표시된 것처럼 보행자가 회전목마 중앙에서 가장자리로 직선으로 이동하는 것을 본다. 또한, 회전 관찰자는 보행자가 같은 방향으로 일정한 속도로 움직이는 것을 보므로 뉴턴의 관성 법칙을 적용하면 보행자에게 작용하는 힘은 ''0''이다. 이러한 결론은 관성 관찰자와 일치하지 않는다. 일치를 얻기 위해 회전 관찰자는 회전하는 세상에 존재하는 것처럼 보이는 가상의 힘을 도입해야 한다. 비록 이러한 가상의 힘을 설명할 뚜렷한 이유, 즉 중력 질량, 전하 등이 없더라도 말이다.[45]

회전하는 세상에서 직선 운동을 얻으려면 가상력과 부호가 정확히 반대되는 힘을 가하여 보행자에게 가해지는 순수한 힘을 0으로 줄여야 하므로, 뉴턴의 관성 법칙은 회전 관찰자가 보는 것과 일치하는 직선 운동을 예측할 것이다. 극복해야 하는 가상력은 코리올리 힘 (첫 번째 항)과 원심력 (두 번째 항)이다. (이 항들은 근사값이다.)[47] 이러한 두 가상력에 대항하는 힘을 가함으로써 회전 관찰자는 결국 관성 관찰자가 필요하다고 예측한 것과 정확히 동일한 힘을 보행자에게 가하게 된다.[45]

보행자와 회전 관찰자는 보행 속도가 일정하다는 것만 다를 뿐이므로 동일한 가속도를 본다. 보행자의 관점에서 가상력은 실제처럼 느껴지며, 이 힘에 대항하는 것은 일정한 속도를 유지하면서 직선 반경 경로에 머물기 위해 필요하다. 이는 회전목마의 가장자리로 던져지는 동안 측풍과 싸우는 것과 같다.[48]

3. 2. 2. 코리올리 힘

회전 좌표계에서 운동하는 물체에 작용하는 가상힘 중 하나이다. 코리올리 힘은 물체의 운동 방향에 수직으로 작용하며, 북반구에서는 오른쪽으로, 남반구에서는 왼쪽으로 작용한다. 크기는 물체의 질량($m$), 회전 좌표계의 각속도($\Omega$), 물체의 속도($v$)의 곱의 두 배와 같다.

코리올리 힘은 지구 자전에 의해 발생하는 현상으로, 지구 표면에서 움직이는 물체에 영향을 미친다. 대표적인 예시는 다음과 같다.

  • 푸코 진자: 진자의 진동면이 시간이 지남에 따라 회전한다. 이는 지구가 자전하면서 진자가 관성을 유지하려 하기 때문에 발생한다.
  • 태풍, 허리케인: 북반구에서는 시계 반대 방향, 남반구에서는 시계 방향으로 회전한다. 이는 저기압 중심을 향해 이동하는 공기가 코리올리 힘의 영향을 받기 때문이다.
  • 장거리 포탄의 궤적: 포탄의 궤적이 코리올리 힘의 영향을 받아 목표 지점에서 벗어난다.


회전 틀에서 관찰되는 허구적인 코리올리 힘은 일반적으로 장거리 총의 탄도 운동이나 지구 대기의 순환과 같은 매우 큰 규모의 운동에서만 보입니다(로스비 수 참조). 공기 저항을 무시하면, 적도에서 50미터 높이의 타워에서 떨어진 물체는 코리올리 힘 때문에 낙하 지점의 동쪽으로 7.7밀리미터 떨어진 곳에 떨어질 것입니다.[22]

회전목마에서 코리올리 힘을 설명하면 다음과 같다.

회전목마가 일정한 각속도로 회전을 하고 회전목마를 탄 사람이 회전목마 중심에서 가장자리로 일정한 속도로 걸어간다고 가정한다.

  • 고정된 관찰자: 보행자가 나선형 경로로 이동한다.
  • 회전하는 관찰자: 보행자가 직선으로 이동한다.

회전하는 관찰자는 보행자가 직선, 일정한 속도로 움직이는 것을 보는데 관성 법칙을 적용하면 보행자에게 작용하는 힘은 0이다. 하지만 관성 관찰자와 일치하지 않기에 회전 관찰자는 가상의 힘을 도입해야 한다. 이때 도입되는 가상힘은 다음과 같다.

:\mathbf{F}_{\mathrm{fict}} = - 2 m \omega s \mathbf{u}_{\theta} + m \omega^2 R(t) \mathbf{u}_R.

회전하는 세상에서 직선 운동을 얻으려면 가상력과 부호가 정확히 반대되는 힘을 가하여 보행자에게 가해지는 순수한 힘을 0으로 줄여야 한다. 극복해야 하는 가상력은 코리올리 힘 (첫 번째 항)과 원심력 (두 번째 항)이다.

3. 2. 3. 오일러 힘

회전하는 기준틀에서 각속도가 변할 때 나타나는 겉보기힘을 오일러 힘이라고 한다.[39][40] 오일러 힘은 회전 중심에서 본 물체의 위치 벡터와 수직 방향으로 작용한다.

예를 들어 회전목마의 회전 속도가 변하는 경우, 회전목마 위에 있는 관찰자는 오일러 힘을 경험하게 된다.

4. 관성력과 일

겉보기힘은 물체의 궤도가 잠재 에너지에서 운동 에너지로 에너지를 변화시키는 경우, 일을 한다고 간주할 수 있다. 예를 들어, 회전 의자에 앉아 팔을 뻗어 무게를 든 사람들을 생각해 보자. 회전하는 기준 틀의 관점에서, 그들이 몸 쪽으로 손을 안으로 당기면, 원심력에 거스르는 일을 한 것이다. 무게를 놓으면, 원심력이 물체에 일을 하여 잠재 에너지를 운동 에너지로 변환하기 때문에 회전하는 기준 틀에 대해 저절로 바깥으로 날아간다. 물론, 관성적 관점에서는, 물체가 갑자기 직선으로 움직일 수 있게 되면서 그들로부터 멀리 날아간다. 이는 물체의 총 잠재 에너지와 운동 에너지처럼, 비관성 좌표계에서 한 일이 관성 좌표계에서와 다를 수 있다는 것을 보여준다.

5. 중력과 관성력

알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 "가상의 힘" 개념이 나타난다.[23][24] 모든 가상의 힘은 작용하는 물체의 질량에 비례하며, 이는 중력에도 적용된다.[25][26] 아인슈타인은 닫힌 상자 안에서 자유 낙하하는 관찰자는 중력을 감지할 수 없다는 점에 주목했고, 자유 낙하 기준틀은 관성 기준틀과 동일하다는 등가 원리를 제시했다. 아인슈타인은 중력을 가상의 힘으로 하는 이론을 공식화했고, 중력으로 인한 겉보기 가속도를 시공간의 곡률에 기인한다고 보았다. 이러한 중력에 대한 관점은 일반 상대성 이론의 기초가 된다. 외트뵈시 실험을 참조하라.

낭떠러지에서 굴러 떨어지는 물체의 물리적 힘(빨간색)과 가상력(파란색)의 빗방울 시점과 쉘 프레임 시점.

6. 한국의 관점

참조

[1] 웹사이트 What is a "fictitious force"? https://www.scientif[...] 2021-12-14
[2] 웹사이트 Fictitious force - Britannica https://www.britanni[...]
[3] 서적 A Modern Approach to Classical Mechanics https://books.google[...] World Scientific
[4] 웹사이트 Coriolis force https://www.britanni[...]
[5] 웹사이트 Coriolis force https://sciencedemon[...]
[6] 웹사이트 Coriolis effect https://www.thoughtc[...]
[7] 웹사이트 Inertial force - Britannica https://www.britanni[...]
[8] 서적 Einstein's Theory of Relativity https://archive.org/[...] Courier Dover Publications
[9] 웹사이트 NASA notes:(23) Accelerated Frames of Reference: Inertial Forces https://pwg.gsfc.nas[...]
[10] 서적 The Variational Principles of Mechanics https://books.google[...] Courier Dover Publications
[11] 웹사이트 Fictitious Forces http://cseligman.com[...] 2007-09-03
[12] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 12-5: Pseudo forces https://feynmanlectu[...]
[13] 웹사이트 Inertia and Newton's third law https://www.physicsf[...] 2021-03-03
[14] 웹사이트 about Newton's third law https://physics.stac[...]
[15] 문서 The term ''d'Alembert force'' often is limited to this case. See Lanczos, for example.
[16] 서적 The Principles of Electromagnetic Theory and Relativity https://books.google[...] Springer
[17] 간행물 Mach's Principle II, p.1, p.9 2004-09-01
[18] 서적 Mathematical Methods of Classical Mechanics https://books.google[...] Springer
[19] 문서 As part of the requirement of simplicity, to be an inertial frame, in all other frames that differ only by a uniform rate of translation, the description should be of the same form. However, in the Newtonian system the [[Galilean transformation]] connects these frames and in the special theory of relativity the [[Lorentz transformation]] connects them. The two transformations agree for speeds of translation much less than the [[speed of light]].
[20] 웹사이트 centripetal force, pp 48-49 https://archive.org/[...]
[21] 문서 The force in this example is known as ''[[ground reaction force|ground reaction]],'' and it could exist even without friction, for example, a sledge running down a curve of a bobsled track.
[22] 서적 An Introduction to Mechanics https://archive.org/[...] McGraw-Hill
[23] 서적 Fictitional Forces and apparent gravitational fields https://books.google[...] World Scientific
[24] 서적 Introduction to Special and General Relativity - geodesic deviation p. 104-105 https://books.google[...] Cambridge University Press
[25] 문서 The gravitational mass and the inertial mass are found experimentally to be equal to each other within experimental error.
[26] 서적 Example train and gravity, p 101 https://books.google[...] Springer 2013-11-11
[27] 서적 Exploring black holes Addison Wesley Longman, NY
[28] 서적 Robust Autonomous Guidance: An Internal Model Approach https://books.google[...] Springer
[29] 서적 Advanced Dynamics https://archive.org/[...] American Institute of Aeronautics, and Astronautics
[30] 서적 The Principles of Circular Accelerators and Storage Rings https://books.google[...] Cambridge University Press
[31] 서적 Theoretical Mechanics of Particles and Continua https://books.google[...] Courier Dover Publications
[32] 서적 Problems and Solutions on Mechanics: Major American Universities Ph.D. Qualifying Questions and Solutions https://books.google[...] World Scientific
[33] 서적 Classical Mechanics https://books.google[...] University Science Books
[34] 문서 Kleppner pages 62–63
[35] 서적 Principles of Mechanics https://archive.org/[...] McGraw-Hill
[36] 서적 Classical Mechanics: An Undergraduate Text https://books.google[...] Cambridge University Press
[37] 서적 Theoretical Physics https://books.google[...] Courier Dover Publications
[38] 서적 Theoretical Mechanics https://archive.org/[...] Gin
[39] 서적 The Variational Principles of Mechanics https://books.google[...] Courier Dover Publications
[40] 서적 Introduction to Mechanics and Symmetry: A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems: Texts in applied mathematics, 17 https://books.google[...] Springer-Verlag
[41] 서적 Popular Astronomy https://books.google[...] Read Books
[42] 서적 Constitutive and Centrifuge Modelling: Two Extremes https://books.google[...] Taylor and Francis
[43] 서적 Consolidation of Soils: Testing and Evaluation: a Symposium https://books.google[...] ASTM International
[44] 서적 The Popular Science Monthly https://books.google[...]
[45] 서적 A Handbook for Wireless/ RF, EMC, and High-Speed Electronics, Part of the EDN Series for Design Engineers https://books.google[...] Newnes
[46] 서적 Orbital Mechanics for Engineering Students Butterworth-Heinemann
[47] 문서
[48] 문서
[49] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...]


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