결정학적 점군

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1. 개요

결정학적 점군은 결정 구조에서 회전 변환이 결정학적 제한 정리에 의해 제한되어, 1, 2, 3, 4, 6회 회전만 허용되는 점군이다. 결정학적 점군은 유한하며, 쇤플리스 표기법과 헤르만-모갱 표기법 등 다양한 표기법으로 나타낸다. 3차원에는 총 32개의 결정학적 점군이 존재하며, 이들은 결정계, 점군, 표기법, 유형에 따라 분류된다. 공간군과 결정점군은 밀접한 관련이 있으며, 동형인 점군은 동일한 내부 구조를 공유한다.

결정학적 점군

결정계	삼사정계, 단사정계, 사방정계, 정방정계, 육방정계, 삼방정계, 입방정계
공간군	결정 공간군
점군	32개
대칭 연산	회전 반사 반전 회전반사

대칭 그룹

슈플리스 기호	32개 점군 모두에 대해
헤르만-모갱 표기법	32개 점군 모두에 대해
콘웨이 표기법	32개 점군 모두에 대해
쇤플리스 표기법	32개 점군 모두에 대해
국제 표기법	32개 점군 모두에 대해

상세 정보

점군 대수	1차원: 2개 2차원: 10개 3차원: 32개

결정 구조	결정계
동형	동형
자기군	자기군

2. 정의

일반적인 점군은 그 개수가 무한하다. 그러나 준결정이 아닌 결정 구조에서는 결정학적 제한 정리(crystallographical restriction theorem^영어)에 따라 점군이 포함할 수 있는 회전 변환이 제한된다. 2π/n 라디안 회전의 경우, 오직 n=1, 2, 3, 4, 6만이 가능하다. 이 조건을 만족하는 점군의 개수는 유한하며, 이들을 결정학적 점군이라고 한다. (다만, 준결정에서는 n=5 회전 대칭이 가능하다.) 점군은 그것을 구성하는 대칭 요소에 따라 명명된다. 결정학자, 광물학자, 물리학자들이 사용하는 표기법에는 여러 가지 표준이 있다.

일반적으로 점군은 분자 대칭성 등 유한 크기를 고려할 때 자주 사용되지만, 결정과 같이 무한히 이어지는 구조에 적용하면 대칭 조작에 제한이 더해진다.

유한 크기의 도형의 경우, 그 회전축에는 제한이 없다. 예를 들어 정이십면체의 경우 5회 회전축이 존재한다. 그러나 결정과 같은 주기적인 구조의 경우, 허용되는 것은 1회 회전축, 2회 회전축, 3회 회전축, 4회 회전축, 6회 회전축으로 제한되며, 5회 회전축 등은 존재할 수 없다는 것이 알려져 있다.

이와 같이 회전축을 1회, 2회, 3회, 4회, 6회로 제한하여 얻어진 점군을 결정점군이라고 부른다.

3. 점군 표기법

점군의 표기법에는 쇤플리스 표기법, 헤르만-모갱 표기법, 콕세터 표기법, 오비폴드 표기법 등이 있다. 이 중 주로 사용되는 것은 쇤플리스 표기법과 헤르만-모갱 표기법이다.

아서 모리츠 쇤플리스가 도입한 쇤플리스 표기법은 문자 기호와 아래첨자를 사용하여 나타낸다. 예를 들어 C_n은 n차 회전축을 갖는 군을, D_n은 n차 회전축과 그 축에 수직인 n개의 2차 축을 갖는 군을 나타낸다.

카를 헤르만과 샤를빅토르 모갱이 도입한 헤르만-모갱 표기법은 결정학적 점군을 설명하는 데 사용되는 축약형 표기법이다. 예를 들어, 4/mmm은 4차 회전축, 그 축에 수직인 거울면, 그리고 2차 회전축과 거울면을 갖는 군을 나타낸다.

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결정족	결정계	국제 표기법		슈브니코프	쇤플리스 표기법	궤도 공간 표기법	콕세터 표기법	차수
결정족	결정계	(완전)	(축약)	슈브니코프	쇤플리스 표기법	궤도 공간 표기법	콕세터 표기법	차수
삼사정계		1	1	$1\$	C₁	11	[]⁺	1
삼사정계				$\tilde{2}$	C_i = S₂	×	[2⁺,2⁺]	2
단사정계		2	2	$2\$	C₂	22	[2]⁺	2
		m	m	$m\$	C_s = C_1h	*	[]	2
		$\tfrac{2}{m}$	2/m	$2:m\$	C_2h	2*	[2,2⁺]	4
사방정계		222	222	$2:2\$	D₂ = V	222	[2,2]⁺	4
		mm2	mm2	$2 \cdot m\$	C_2v	*22	[2]	4
		$\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$	mmm	$m \cdot 2:m\$	D_2h = V_h	*222	[2,2]	8
정방정계		4	4	$4\$	C₄	44	[4]⁺	4
				$\tilde{4}$	S₄	2×	[2⁺,4⁺]	4
		$\tfrac{4}{m}$	4/m	$4:m\$	C_4h	4*	[2,4⁺]	8
		422	422	$4:2\$	D₄	422	[4,2]⁺	8
		4mm	4mm	$4 \cdot m\$	C_4v	*44	[4]	8
		2m	2m	$\tilde{4}\cdot m$	D_2d = V_d	2*2	[2⁺,4]	8
		$\tfrac{4}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$	4/mmm	$m \cdot 4:m\$	D_4h	*422	[4,2]	16
육방정계	삼방	3	3	$3\$	C₃	33	[3]⁺	3
				$\tilde{6}$	C_3i = S₆	3×	[2⁺,6⁺]	6
		32	32	$3:2\$	D₃	322	[3,2]⁺	6
		3m	3m	$3 \cdot m\$	C_3v	*33	[3]	6
		$\tfrac{2}{m}$	m	$\tilde{6}\cdot m$	D_3d	2*3	[2⁺,6]	12
	육방	6	6	$6\$	C₆	66	[6]⁺	6
				$3:m\$	C_3h	3*	[2,3⁺]	6
		$\tfrac{6}{m}$	6/m	$6:m\$	C_6h	6*	[2,6⁺]	12
		622	622	$6:2\$	D₆	622	[6,2]⁺	12
		6mm	6mm	$6 \cdot m\$	C_6v	*66	[6]	12
		m2	m2	$m \cdot 3:m\$	D_3h	*322	[3,2]	12
		$\tfrac{6}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$	6/mmm	$m \cdot 6:m\$	D_6h	*622	[6,2]	24
입방정계		23	23	$3/2\$	T	332	[3,3]⁺	12
		$\tfrac{2}{m}$	m	$\tilde{6}/2$	T_h	3*2	[3⁺,4]	24
		432	432	$3/4\$	O	432	[4,3]⁺	24
		3m	3m	$3/\tilde{4}$	T_d	*332	[3,3]	24
		$\tfrac{4}{m}$ $\tfrac{2}{m}$	mm	$\tilde{6}/4$	O_h	*432	[4,3]	48

3.1. 쇤플리스 표기법

쇤플리스 표기법(Schoenflies notation)은 독일의 수학자 아르투어 모리츠 쇤플리스가 도입한 표기법으로, 주로 화학에서 점군을 나타낼 때 사용된다. 쇤플리스 표기법은 문자(C, S, D, T, O)와 첨자(숫자, h, v, d)의 조합으로 표기한다.

* O (Oktaeder^독일어): 정육면체 또는 정팔면체의 대칭군을 나타낸다.
* O_h: 반사 대칭을 포함하는 경우
* O: 반사 대칭을 포함하지 않는 경우
* T (Tetraeder^독일어): 정사면체의 대칭군을 나타낸다.
* T_d: 모든 반사 대칭을 포함하는 경우
* T_h: 모든 반사 대칭을 포함하지는 않지만 반전 대칭을 포함하는 경우
* T: 그 어떤 반사 대칭 및 반전 대칭도 포함하지 않는 경우
* C_n (cyclic^영어): 순환군을 나타낸다. ( $n=1,2,3,4,6$ )
* 첨자 $n$ 은 $2\pi/n$ 라디안 회전 변환을 포함함을 의미한다.
* C_nh: 회전축에 수직인 반사 대칭을 포함하는 경우
* C_nv: 회전축에 평행한 반사 대칭을 포함하는 경우
* C_n: 어떤 반사 대칭도 포함하지 않는 경우
* C₁: 아무 대칭을 포함하지 않는 자명군
* C_1h와 C_1v: 같은 군이며, 하나의 반사 대칭만을 포함하는 크기가 2인 군 (C_s로 쓰기도 함)
* S_n (Spiegel^독일어): $2\pi/n$ 라디안 회전반사 대칭에 의해 생성되는 순환군을 나타낸다. ( $n=2,4,6$ )
* 즉, $2\pi/n$ 라디안 회전과 회전축에 수직인 반사면에 대한 반사 대칭의 합성에 의해 생성된다.
* S₂: 반전 대칭(= 180도 회전반사 대칭)만을 포함하는, 크기가 2인 군 (C_i로 쓰기도 함)
* S₆: 60도 회전반사 대칭만을 포함하는, 크기가 6인 군 (C_3i로 쓰기도 함)
* D_n (Dieder^독일어): $2\pi/n$ 라디안 회전 대칭을 포함하는 정이면체군을 나타낸다. ( $n=2,3,4,6$ )
* D_nh: 회전축에 수직한 반사 대칭을 포함하는 경우
* D_nv: 회전축에 평행한 반사 대칭을 포함하는 경우
* D_n: 반사 대칭을 포함하지 않는 경우
* D₂: 클라인 4원군 (V로 쓰기도 함)
* D_4d와 D_6d는 불가능하다.

결정학적 제한 정리에 따르면, 3차원 결정에서 가능한 n은 1, 2, 3, 4, 6 뿐이다.

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n	1	2	3	4	6
C_n	C₁	C₂	C₃	C₄	C₆
C_nv	C_1v=C_1h	C_2v	C_3v	C_4v	C_6v
C_nh	C_1h	C_2h	C_3h	C_4h	C_6h
D_n	D₁=C₂	D₂	D₃	D₄	D₆
D_nh	D_1h=C_2v	D_2h	D_3h	D_4h	D_6h
D_nd	D_1d=C_2h	D_2d	D_3d	D_4d	D_6d
S_2n	S₂	S₄	S₆	S₈	S₁₂

3.2. 헤르만-모갱 표기법

헤르만-모갱 표기법(Hermann–Mauguin notation^영어)은 공간군과 점군을 표기할 때 사용된다. 독일의 카를 헤르만(Carl H. Hermann)과 프랑스의 샤를빅토르 모갱(Charles-Victor Mauguin)이 도입하였으며, 주로 결정학에서 쓰인다.

점군은 구성하는 대칭 요소에 따라 명명되며, 헤르만-모갱 표기법에서 점군의 표현은 다음과 같다.
* 1, 1
* 2, m, ²⁄_m
* 222, mm2, mmm
* 4,4, ⁴⁄_m, 422, 4mm, 42m, ⁴⁄_mmm
* 3, 3, 32, 3m, 3m
* 6, 6, ⁶⁄_m, 622, 6mm, 62m, ⁶⁄_mmm
* 23, m3, 432, 43m, m3m

결정학자, 광물학자, 물리학자들이 사용하는 표기법에는 여러 가지 표준이 있으며, 공간군에 흔히 사용되는 헤르만-모갱 표기법의 축약형은 결정학적 점군을 설명하는 데에도 사용된다. 군의 이름은 아래 표와 같다.

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결정족	결정계	군의 이름
입방		23	m3		432	43m	m3m
육방	육방	6	6	⁶⁄_m	622	6mm	6m2	6/mmm
육방	삼방	3	3		32	3m	3m
정방		4	4	⁴⁄_m	422	4mm	42m	4/mmm
사방					222		mm2	mmm
단사		2		²⁄_m		m
삼사		1	1

4. 3차원 결정군 목록

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결정계	점군 / 결정족	쇤플리스 표기법	헤르만-모갱 표기법	오비폴드 표기법	유형
삼사정계	triclinic-pedial	C₁	1	11	enantiomorphic polar
삼사정계	triclinic-pinacoidal	C_i	$\bar{1}$	1x	centrosymmetric
단사정계	monoclinic-sphenoidal	C₂	2	22	enantiomorphic polar
	monoclinic-domatic	C_s	m	1*	polar
	monoclinic-prismatic	C_2h	$\frac 2 m$	2*	centrosymmetric
사방정계	orthorhombic-sphenoidal	D₂	222	222	enantiomorphic
	orthorhombic-pyramidal	C_2v	mm2	*22	polar
	orthorhombic-bipyramidal	D_2h	mmm	*222	centrosymmetric
정방정계	tetragonal-pyramidal	C₄	4	44	enantiomorphic polar
	tetragonal-disphenoidial	S₄	$\bar{4}$	2x
	tetragonal-dipyramidal	C_4h	$\frac 4 m$	4*	centrosymmetric
	tetragonal-trapezoidal	D₄	422	422	enantiomorphic
	ditetragonal-pyramidal	C_4v	4mm	*44	polar
	tetragonal-scalenoidal	D_2d	$\bar{4}2m$ or $\bar{4}m2$	2*2
	ditetragonal-dipyramidal	D_4h	$\frac 4 {m}mm$	*422	centrosymmetric
삼방정계	trigonal-pyramidal	C₃	3	33	enantiomorphic polar
	rhombohedral	S₆ (C_3i)	$\bar{3}$	3x	centrosymmetric
	trigonal-trapezoidal	D₃	32 or 321 or 312	322	enantiomorphic
	ditrigonal-pyramidal	C_3v	3m or 3m1 or 31m	*33	polar
	ditrigonal-scalahedral	D_3d	$\bar{3} m$ or $\bar{3} m 1$ or $\bar{3} 1 m$	2*3	centrosymmetric
육방정계	hexagonal-pyramidal	C₆	6	66	enantiomorphic polar
	trigonal-dipyramidal	C_3h	$\bar{6}$	3*
	hexagonal-dipyramidal	C_6h	$\frac 6 m$	6*	centrosymmetric
	hexagonal-trapezoidal	D₆	622	622	enantiomorphic
	dihexagonal-pyramidal	C_6v	6mm	*66	polar
	ditrigonal-dipyramidal	D_3h	$\bar{6}m2$ or $\bar{6}2m$	*322
	dihexagonal-dipyramidal	D_6h	$\frac6{m}mm$	*622	centrosymmetric
입방정계	tetartoidal	T	23	332	enantiomorphic
	diploidal	T_h	$m\bar{3}$	3*2	centrosymmetric
	gyroidal	O	432	432	enantiomorphic
	tetrahedral	T_d	$\bar{4}3m$	*332
	hexoctahedral	O_h	$m\bar{3}m$	*432	centrosymmetric

5. 공간군과 결정점군

공간군 G의 부분군인 병진군 T는 정규 부분군이며, 몫군(또는 인자군, 잉여군) G/T는 결정점군과 동형이다. 모든 병진 성분을 가진 대칭 요소를 병진 대칭이 없는 해당 대칭 요소로 변환하면 결정 점군을 얻을 수 있다. 이때 글라이드면은 단순한 거울면으로, 나사축은 단순한 회전축으로 변환되며, 회전축, 회전반전축 및 거울면은 변경되지 않는다.

6. 동형(Isomorphisms)

많은 결정학적 점군은 동일한 내부 구조를 공유한다. 예를 들어, 점군 $\bar 1$ , 2, m은 서로 다른 기하학적 대칭 연산(각각 반전, 회전, 반사)을 포함하지만 모두 순환군 C₂의 구조를 공유한다. 모든 동형인 군은 같은 위수를 가지지만, 같은 위수를 가진 모든 군이 동형인 것은 아니다. 동형인 점군은 다음 표에 나와 있다.

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헤르만-모건	쇼엔플리스	위수	추상군
1	C₁	1	C₁	$G_1^1$
$\bar 1$	C_i = S₂	2	C₂	$G_2^1$
2	C₂	2
m	C_s = C_1h	2
3	C₃	3	C₃	$G_3^1$
4	C₄	4	C₄	$G_4^1$
$\bar 4$	S₄	4	C₄	$G_4^1$
2/m	C_2h	4	D₂ = C₂ × C₂	$G_4^2$
222	D₂ = V	4
mm2	C_2v	4
$\bar 3$	C_3i = S₆	6	C₆	$G_6^1$
6	C₆	6
$\bar 6$	C_3h	6
32	D₃	6	D₃	$G_6^2$
3m	C_3v	6	D₃	$G_6^2$
mmm	D_2h = V_h	8	D₂ × C₂	$G_8^3$
4/m	C_4h	8	C₄ × C₂	$G_8^2$
422	D₄	8	D₄	$G_8^4$
4mm	C_4v	8
$\bar 4$ 2m	D_2d = V_d	8
6/m	C_6h	12	C₆ × C₂	$G_{12}^2$
23	T	12	A₄	$G_{12}^5$
$\bar 3$ m	D_3d	12	D₆	$G_{12}^3$
622	D₆	12
6mm	C_6v	12
$\bar 6$ m2	D_3h	12
4/mmm	D_4h	16	D₄ × C₂	$G_{16}^9$
6/mmm	D_6h	24	D₆ × C₂	$G_{24}^5$
m $\bar 3$	T_h	24	A₄ × C₂	$G_{24}^{10}$
432	O	24	S₄	$G_{24}^{7}$
$\bar 4$ 3m	T_d	24	S₄	$G_{24}^{7}$
m $\bar 3$ m	O_h	48	S₄ × C₂	$G_{48}^7$

이 표는 순환군(C₁, C₂, C₃, C₄, C₆), 이면체군(D₂, D₃, D₄, D₆), 교대군 중 하나(A₄), 그리고 대칭군 중 하나(S₄)를 사용한다. 여기서 기호 " × "는 직접곱을 나타낸다.