탁구 정리

1. 개요

탁구 정리는 군과 군의 작용, 부분군, 집합을 이용하여 부분군이 자유곱임을 보이는 정리이다. 군 G의 두 부분군 H, H'와 G가 작용하는 집합 X, 그리고 X의 부분집합 Y, Y'가 특정 조건을 만족하면, H와 H'로 생성되는 부분군은 H와 H'의 자유곱과 같다는 것이 핵심 내용이다. 이 정리는 펠릭스 클라인이 클라인 군 연구에 처음 사용했으며, 기하학적 위상수학, 기하학적 군론, 티츠 대안 증명 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의

탁구 정리는 군의 작용과 관련된 조건을 통해 부분군들의 자유곱을 정의하는 정리이다. 군 $G$가 집합 $X$ 위에 작용할 때, $G$의 부분군들과 $X$의 부분집합들 사이에 특정 관계가 성립하면, 이 부분군들로 생성되는 군이 자유곱이 된다는 내용을 담고 있다.

2.1. 기본 정의

군 $G$와 $G$의 부분군 $H,\; H\text{'}$, 그리고 $G$가 작용하는 집합 $X$가 주어졌다고 하자. $Y,Y\text{'}\backslash subseteq\; X$는 $X$의 두 부분 집합이다. 이때 다음 조건들이 성립한다고 가정한다.

* $|H|\backslash ge3$
* $Y\; \backslash ne\; \backslash varnothing\; \backslash ne\; Y\text{'}$
* $Y\; \backslash not\; \backslash subseteq\; Y\text{'}$
* $h\text{'}\backslash cdot\; Y\; \backslash subseteq\; Y\text{'}\; \backslash qquad\backslash forall\; h\text{'}\backslash in\; H\text{'}\backslash setminus\backslash \{1\backslash \}$
* $h\backslash cdot\; Y\text{'}\; \backslash subseteq\; Y\; \backslash qquad\backslash forall\; h\backslash in\; H\backslash setminus\backslash \{1\backslash \}$

이때, 탁구 정리에 따르면 $H$와 $H\text{'}$로 생성되는 부분군은 $H$와 $H\text{'}$의 자유곱과 같다. 즉, 다음이 성립한다.

:$\backslash langle\; H\backslash cup\; H\text{'}\backslash rangle\; =\; H*H\text{'}$

여기서 좌변은 $G$의 부분 집합으로 생성되는 부분군이며, 우변은 군들의 자유곱이다.

2.2. 여러 부분군에 대한 탁구 정리

G를 집합 X에 작용하는 군이라고 하고, H₁, H₂, ..., H_k를 G의 부분군이라고 하자. 여기서 k는 2 이상이고, 이 부분군 중 적어도 하나는 차수가 2보다 크다. 그리고 X의 서로소인 공집합이 아닌 부분 집합 X₁, X₂, ...,X_k가 있다고 가정하자.

만약 모든 i ≠ s에 대해, H_i에 있는 모든 h ≠ 1에 대해, h(X_s) ⊆ X_i가 성립하면, $\backslash langle\; H\_1,\backslash dots,\; H\_k\backslash rangle=H\_1\backslash ast\backslash dots\; \backslash ast\; H\_k$이다. 즉, $H\_1,\; H\_2,\; \backslash dots,\; H\_k$에 의해 생성되는 군은 이들의 자유곱이 된다.

이는 두 부분군뿐만 아니라 여러 부분군에 대한 탁구 정리의 확장이다. 각 부분군에 대응하는 서로소인 부분집합들이 존재하고, 이 부분집합들에 대한 군 작용이 특정 조건을 만족하면 해당 부분군들로 생성되는 군은 자유곱이 된다는 것을 의미한다.

3. 역사

탁구 정리는 19세기 말 펠릭스 클라인이 클라인 군을 연구하기 위해 처음 사용하였다. 이후 자크 티츠가 티츠 대안 증명에 활용하면서 널리 알려지게 되었다. 핑퐁 보조정리와 그 변형은 기하학적 위상수학과 기하학적 군론에서 널리 사용된다. 핑퐁 보조정리의 현대적 버전은 여러 책에서 찾아볼 수 있다.

3.1. 펠릭스 클라인과 클라인 군

이 정리의 이름은 증명 과정에서 $H$와 $H\text{'}$의 번갈아 가는 군의 작용을 탁구에서 탁구공을 양 선수가 번갈아서 치는 것에 빗댄 것이다.

펠릭스 클라인은 19세기 말에 클라인 군(쌍곡 공간의 등거리 변환 또는 리만 구의 뫼비우스 변환의 이산군)을 연구하기 위하여 탁구 정리를 최초로 사용하였다.

3.2. 자크 티츠와 티츠 대안

이 정리의 이름은 증명 과정에서 $H$와 $H\text{'}$의 번갈아 가는 군의 작용을 탁구에서 탁구공을 양 선수가 번갈아서 치는 것에 빗댄 것이다.

탁구 정리는 펠릭스 클라인이 19세기 말에 클라인 부분군을 연구하기 위하여 최초로 사용하였다. 이후 자크 티츠 등이 이 정리의 기법을 다시 사용하였다.

자크 티츠는 1972년 논문에서 핑퐁 보조정리를 핵심 도구로 사용하여 티츠 대안으로 알려진 유명한 결과를 수학적 증명하였다. 이 결과는 유한 생성 선형군은 가상적으로 가해군이거나 자유군 계수가 2인 자유 부분군을 포함한다는 것이다.

3.3. 현대적 발전

핑퐁 논증은 19세기 후반으로 거슬러 올라가며 일반적으로 펠릭스 클라인이 사용한 것으로 여겨진다. 클라인은 이를 클라인 군의 부분군, 즉 쌍곡 공간의 등거리 변환 또는 리만 구의 뫼비우스 변환의 이산군을 연구하는 데 사용했다. 핑퐁 보조정리는 자크 티츠가 1972년 논문에서 사용한 핵심 도구였으며, 이는 티츠 대안으로 알려진 유명한 결과에 대한 수학적 증명을 담고 있다. 이 결과는 유한 생성 선형군은 가상적으로 가해군이거나 자유군 계수가 2인 자유 부분군을 포함한다는 것이다. 핑퐁 보조정리와 그 변형은 기하학적 위상수학과 기하학적 군론에서 널리 사용된다.

핑퐁 보조정리의 현대적 버전은 Lyndon & Schupp, de la Harpe, Bridson & Haefliger 등을 포함한 많은 책에서 찾아볼 수 있다.

4. 예시

핑퐁 보조정리를 사용하면 SL₂(ℤ)의 부분군이 자유 순위 2임을 증명할 수 있다. 이 부분군은 다음과 같은 두 행렬로 생성된다.

:,

A^영어와 B^영어는 각각 무한 차수를 갖는 원소이며, 이들로 생성되는 순환 부분군 H^영어₁과 H^영어₂는 다음과 같다.

:

:

SL₂(ℤ)^영어의 ℝ²^영어에 대한 표준 군 작용을 선형 변환으로 고려하면, 다음과 같은 두 집합을 정의할 수 있다.

:$X\_1\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash begin\{pmatrix\}x\; \backslash \backslash \; y\; \backslash end\{pmatrix\}\backslash in\; \backslash R^2\; :\; |x|>|y|\backslash right\backslash \}$

:

H^영어₁과 H^영어₂의 원소들은 다음 성질을 만족한다.

* 모든 자명하지 않은 g^영어 ∈ H^영어₁에 대해 g(X₂)^영어 ⊆ X₁^영어
* 모든 자명하지 않은 g^영어 ∈ H^영어₂에 대해 g(X₁)^영어 ⊆ X₂^영어

따라서 핑퐁 보조정리에 의해 H = H₁ * H₂^영어이며, 이는 랭크 2의 자유군이다.

4.1. 특수 선형군 SL(2, ℤ)

$\backslash operatorname\{SL\}(2;\backslash mathbb\; Z)$에서, 다음과 같은 두 행렬 $A$와 $B$로 생성되는 부분군을 생각할 수 있다.

:$A\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
1&2\\0&1
\end{pmatrix}

:$B\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
1&0\\2&1
\end{pmatrix}

$A$와 $B$는 각각 무한 차수의 원소이다. 즉, $A^n\; =\; 1$이 되는 정수 $n$은 $n=0$ 밖에 없으며, $B$의 경우도 마찬가지이다. $A^n$과 $B^n$은 다음과 같다.

:$A^n\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
1&2n\\
0&1
\end{pmatrix}

:$B^n\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
1&0\\
2n&1
\end{pmatrix}

$\backslash operatorname\{SL\}(2;\backslash mathbb\; Z)$는 $X=\backslash mathbb\; R^2\; =\; \backslash mathbb\; Z^\{\backslash oplus2\}\backslash otimes\_\{\backslash mathbb\; Z\}\backslash mathbb\; R^2$ 위에 선형 변환으로 작용한다.

:$Y\; =\; \backslash \{(x,y)\backslash in\; X\backslash colon\; |x|>|y|\backslash \}$

:

로 두면, 다음이 성립한다.

:$A^n\; Y\text{'}\; \backslash subseteq\; Y$

:$B^n\; Y\; \backslash subseteq\; Y\text{'}$

따라서, 탁구 정리에 의하여 $\backslash langle\; A,B\backslash rangle$은 두 개의 원소로 생성되는 자유군이다.

4.2. 단어 쌍곡군 (Word-hyperbolic group)

단어 쌍곡군이 비틀림 없는 군이라고 하자. 즉, 유한한 차수를 갖는 항등원이 아닌 원소가 없다. G의 원소 g, h 가 두 개의 교환하지 않는 원소, 즉 gh ≠ hg를 만족한다고 하자. 그러면 어떤 정수 n ≥ M, m ≥ M에 대해 부분군 $H\; =\; \backslash langle\; g^n,\; h^m\; \backslash rangle\; \backslash le\; G$가 랭크 2의 자유군이 되도록 하는 M ≥ 1이 존재한다.

5. 응용

핑퐁 논증은 19세기 후반 펠릭스 클라인이 클라인 군의 부분군, 즉 쌍곡 공간의 등거리 변환이나 리만 구의 뫼비우스 변환의 이산군을 연구하는 데 사용하면서 시작되었다. 자크 티츠는 1972년 티츠 대안을 증명할 때 핑퐁 보조정리를 핵심 도구로 사용했다.

핑퐁 보조정리는 기하학적 위상수학과 기하학적 군론에서 널리 사용되며, 현대적 버전은 여러 책에서 찾아볼 수 있다. 또한 자유군의 외부 자기 동형 사상 군의 부분군 연구에도 사용된다.

그룹의 여러 요소가 자유 반군을 생성하도록 보장하는 핑퐁 보조정리의 버전도 있으며, 이는 집합에 대한 군 작용의 일반적인 맥락과 선형 군, 트리에 작용하는 군 등 특정 유형의 작용에 모두 사용할 수 있다.

5.1. 쇼트키 군 (Schottky group)

핑퐁 보조정리는 클라인 군에서 이른바 쇼트키 부분군을 연구하는 데 사용된다. 클라인 군의 맥락에서 핑퐁 보조정리는 쌍곡 공간의 특정 등거리 변환군이 자유군일 뿐만 아니라 제대로 불연속적이고 기하학적으로 유한하다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.

5.2. 기하학적 군론

기하학적 군론에서 널리 사용되는 쇼트키 유형의 논증은 단어 쌍곡 군의 부분군 및 트리의 자기 동형 사상 군에 사용된다.

5.3. 사상류군 (Mapping class group)

리만 곡면의 사상 클래스 군의 쇼트키 유형 부분군 연구에 탁구 정리가 사용되며, 여기서 사상 클래스 군이 작용하는 집합은 타히미어 공간의 Thurston 경계이다.

5.4. 티츠 대안 (Tits alternative)

자크 티츠는 1972년 논문에서 탁구 정리를 핵심 도구로 사용하여 선형군에 대한 티츠 대안을 증명했다. 이 결과는 유한 생성 선형군이 가상적으로 가해군이거나 자유군 중 계수(rank)가 2인 자유 부분군을 포함한다는 것이다. 티츠의 증명에 대한 개요와 관련 아이디어에 대한 설명은 를 참조.

5.5. 자유곱 및 HNN 확장

핑퐁 보조정리의 일반화는 자유곱뿐만 아니라 합병된 자유곱과 HNN 확장을 생성한다. 이러한 일반화는 특히 클라인 군에 대한 마스키트 조합 정리의 증명에 사용된다.