맨위로가기

극분해

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

극분해는 복소 힐베르트 공간 위의 유계 작용소를 부분 등거리 사상과 음이 아닌 자기 수반 작용소의 곱으로 나타내는 방법이다. 이는 복소수의 극형식과 유사한 개념으로, 행렬의 분해 및 기하학적 변환을 이해하는 데 사용된다. 극분해는 항상 존재하며 유일하며, 특잇값 분해와 밀접한 관련이 있다. 정규 행렬의 경우, 극분해는 고유 기저에서 대각 행렬로 표현되며, 가역 행렬의 경우에는 유니타리 행렬이 유일하게 결정된다. 무경계 연산자 및 사원수, 이중수, 분할 복소수와 같은 다른 수학적 구조에서도 극분해 개념이 확장되어 사용된다. 극분해는 다양한 수학적 문제, 특히 행렬 계산 및 수치적 결정에 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 행렬 분해 - QR 분해
    QR 분해는 행렬을 직교 행렬과 상삼각 행렬의 곱으로 분해하는 방법으로, 실수 또는 복소수 행렬을 직교/유니터리 행렬 Q와 상삼각 행렬 R의 곱으로 표현하여 선형대수학의 계산 및 분석에 활용되며, 그람-슈미트 과정, 하우스홀더 변환, 기븐스 회전 등 다양한 계산 방법이 존재한다.
  • 행렬 분해 - 조르당 표준형
    조르당 표준형은 대수적으로 닫힌 체 위에서 정사각 행렬을 유사 변환하여 얻을 수 있는 특정한 형태의 행렬로, 조르당 블록으로 구성되며 고윳값, 중복도, 특성/최소 다항식과 관련 있고, 스펙트럼 사영 정리, 케일리-해밀턴 정리 등 다양한 정리 증명과 행렬 계산에 응용된다.
  • 행렬론 - 행렬식
    행렬식은 정사각 행렬에 대해 정의되는 값으로, 선형 방정식의 해를 구하고 선형 독립성을 확인하며 기저의 방향과 부피를 계산하는 데 사용되며, 가우스 소거법 등의 계산 기법과 가역성 판단, 고유값 연관성 등의 성질을 갖는다.
  • 행렬론 - 행렬 분해
    행렬 분해는 주어진 행렬을 특정 성질을 갖는 여러 행렬의 곱으로 표현하는 방법으로, 수치 해석에서 행렬 알고리즘 구현 및 선형 연립 방정식 해를 구하거나 행렬 특성 분석에 활용되며 LU 분해, QR 분해, 특잇값 분해 등이 있다.
  • 함수해석학 - 섭동 이론
    섭동 이론은 정확히 풀리는 문제에 작은 변화가 있을 때 급수로 표현하여 근사해를 구하는 방법으로, 초기 해에 보정항을 더하는 방식으로 고전역학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용되며 섭동 형태와 적용 차수에 따라 구분된다.
  • 함수해석학 - 분포 (해석학)
    해석학에서 분포는 시험 함수 공간의 연속 쌍대 공간의 원소로 정의되며, 로랑 슈바르츠에 의해 정립되어 편미분 방정식의 해를 다루는 데 유용하고 미분 불가능하거나 특이점을 갖는 함수를 포함한 다양한 함수를 다루는 데 효과적인 일반적인 함수의 개념을 확장한 것이다.
극분해
개요
분야선형대수학
관련 항목특잇값 분해
극좌표계
정의
내용가역 행렬을 유니타리 연산자와 에르미트 연산자의 곱으로 표현
설명모든 가역 행렬 A는 A = U P로 표현 가능 (U는 유니타리 행렬, P는 양의 정부호 에르미트 행렬)
응용
분야행렬 분석
양자역학

2. 정의

복소수 힐베르트 공간 H 위의 유계 작용소 A\colon H\to H가 주어졌을 때, A의 '''극분해'''는 다음 조건들을 만족시키는 순서쌍 (U,P)이다.


  • U,P\colon H\to H는 유계 작용소이다.
  • A=U\circ P이다.
  • U\colon H\to H는 H/\ker U\to H에서 등거리 변환이다. (단, 단사 함수나 전사 함수일 필요는 없다.)
  • P는 유계 자기 수반 작용소이며, 임의의 v\in H에 대하여 \langle v|H|v\rangle\in[0,\infty)\subseteq\mathbb C이다.
  • (\ker U)^\perp = \operatorname{cl}(PH)이다. (여기서 \operatorname{cl}(-)은 폐포이다.)


항상 P=\sqrt{A^*A}=|A|임을 보일 수 있다.

3. 기하학적 해석

실수 m\times m 정사각 행렬 A는 열 벡터 x를 A x로 변환하는 \mathbb{R}^m의 선형 변환으로 해석할 수 있다. 극분해 A = RP에서, 인자 R은 m\times m 실수 직교 행렬이다. 따라서 극분해는 A로 정의된 선형 변환을 P의 각 고유 벡터 e_i를 따라 스케일 팩터 \sigma_i (P의 작용)로 공간 \mathbb{R}^m을 스케일링한 다음 \mathbb{R}^m을 회전시키는 것 (R의 작용)으로 표현하는 것으로 볼 수 있다.

또는, 분해 A=P R는 A로 정의된 변환을 회전 (R)한 다음 특정 직교 방향을 따라 스케일링 (P)하는 것으로 표현한다. 스케일 팩터는 동일하지만 방향은 다르다.

4. 성질

복소수 힐베르트 공간 H 위의 유계 작용소 A\colon H\to H의 극분해 (U,P)는 항상 존재하며, 항상 유일하다.

만약 H가 유한 차원이며 A가 가역 행렬이라면, A의 극분해 (U,P)에서 U는 유니터리 작용소가 된다. 그러나 만약 H가 무한 차원이라면 그럴 필요는 없다.

또한, H가 유한 차원일 때,

:\det A=\det U\det P

이므로

:\det P=|\det A|\in[0,\infty)

:\det U\in\{z\in\mathbb C\colon |z|=1\}

이다.

복소 켤레의 극분해는 \overline{A} = \overline{U}\overline{P}로 주어진다. \det A = \det U \det P = e^{i\theta} r는 \det U = e^{i\theta}이고 \det P = r = \left|\det A\right|이므로 ''A''의 행렬식에 해당하는 극분해를 제공한다. 특히, 만약 A의 행렬식이 1이라면, U와 P 둘 다 행렬식이 1이다.

양의 반정부호 행렬 ''P''는 ''A''가 특이 행렬인 경우에도 항상 유일하며, 다음과 같이 나타낸다. [4] 만약 ''A''가 가역 행렬이라면 ''P''는 양의 정부호 행렬이므로 가역 행렬이기도 하며, 행렬 ''U''는 다음으로 유일하게 결정된다.

5. 특잇값 분해와의 관계

A의 특잇값 분해(SVD) A = WΣV*의 관점에서 극분해를 설명하면 다음과 같다.

:P = VΣV*

:U = WV*

여기서 U, V, W는 유니타리 행렬이다. (만약 실수 ${\displaystyle \mathbb {R} }$를 사용한다면 직교 행렬이 된다.) 이를 통해 P는 양의 정부호이고 U는 유니타리임을 알 수 있다. 따라서 특잇값 분해(SVD)가 존재하면 극분해도 존재하고, 반대로 극분해가 존재하면 특잇값 분해도 존재한다.

또한 A는 다음과 같이 분해할 수도 있다.

:A = P'U

여기서 U는 위에서와 같고 P'는 다음과 같다.

:P' = UPU-1 = (AA*)1/2 = WΣW*

이를 좌 극분해라고 하며, 앞서 설명한 분해는 우 극분해라고 한다. 좌 극분해는 역 극분해라고도 한다.

6. 정규 행렬과의 관계

행렬 $A$가 극분해 $A=UP$를 가질 때, $U$와 $P$가 가환하면(즉, $UP = PU$이면), 행렬 $A$는 정규 행렬이다. 또는 이와 동등하게, $U$와 $P$는 동시에 대각화 가능하다.

7. 존재의 구성 및 증명

극분해 구성의 핵심 아이디어는 특이값 분해를 계산하는 데 사용되는 것과 유사하다.

7. 1. 정규 행렬의 유도

A가 정규 행렬이면, 어떤 유니타리 행렬 V와 어떤 대각 행렬 Λ에 대해 A = VΛV*로 대각 행렬과 유니타리 동치이다. 이것은 극분해 유도를 특히 간단하게 만들며, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:A = VΦΛ |Λ|V* = (VΦΛV*)(V |Λ| V*)

여기서 ΦΛ는 Λ의 원소의 "위상"을 포함하는 대각 행렬이다. 즉, Λii ≠ 0일 때 (ΦΛ)ii ≡ Λii / |Λii|이고, Λii = 0일 때 (ΦΛ)ii = 0이다.

따라서 극분해는 A=UP이며, 여기서 U와 P는 A의 고유 기저에서 대각 행렬이고 각각 A의 위상과 절대값과 같은 고유값을 갖는다.

7. 2. 가역 행렬의 유도

특이값 분해로부터, 행렬 $A$가 가역 행렬일 필요충분조건은 $A^*A$ (또는 $AA^*$)가 가역 행렬인 것이다. 또한, 이는 $A^*A$의 고윳값이 모두 0이 아닌 경우와 같다.[5]

이 경우, 극분해는 다음과 같이 쓸 때 직접 얻을 수 있다.

:$A = A\left(A^* A\right)^{-1/2}\left(A^* A\right)^{1/2}$

그리고 $A\left(A^* A\right)^{-1/2}$가 유니타리 행렬임을 관찰한다. 이를 확인하기 위해, $A^*A$의 스펙트럼 분해를 이용하여 $A\left(A^* A\right)^{-1/2} = AVD^{-1/2}V^*$로 쓸 수 있다.

이 식에서 $V^*$는 $V$가 유니타리 행렬이므로 유니타리 행렬이다. 또한 $AVD^{-1/2}$도 유니타리 행렬임을 보이기 위해, SVD를 사용하여 $A = WD^{1/2}V^*$로 쓸 수 있으며, 따라서

:$AV D^{-1/2} = WD^{1/2}V^* VD^{-1/2} = W$

여기서 다시 $W$는 구성에 의해 유니타리 행렬이다.

$A\left(A^* A\right)^{-1/2}$의 유니타리성을 직접적으로 보여주는 또 다른 방법은 SVD를 랭크 1 행렬의 관점에서 $A = \sum_k s_k v_k w_k^*$로 쓰고, 여기서 $s_k$는 $A$의 특이값이라고 할 때,

:$A\left(A^* A\right)^{-1/2}

= \left(\sum_j \lambda_j v_j w_j^*\right)\left(\sum_k |\lambda_k|^{-1} w_k w_k^*\right)

= \sum_k \frac{\lambda_k}

v_k w_k^*$

이것은 행렬이 유니타리 행렬일 필요충분조건이 특이값의 절댓값이 유니타리 행렬이므로, $A\left(A^* A\right)^{-1/2}$의 유니타리성을 직접적으로 의미한다.

위의 구성을 통해 가역 행렬의 극분해에서 ''유니타리 행렬이 유일하게 정의된다''는 것을 알 수 있다.

7. 3. 일반적인 유도

정방 행렬 $A$의 특잇값 분해(SVD)는 $A = WD^{1/2}V^*$로 표현되며, 여기서 $W$, $V$는 유니타리 행렬이고, $D$는 대각, 양의 준정부호 행렬이다. 이를 통해 $A$의 극분해 두 가지 형태를 얻을 수 있다.

$A = WD^{1/2}V^* = (WD^{1/2}W^*)(WV^*) = (WV^*)(VD^{1/2}V^*)$

$A$가 직사각형 $n \times m$ 행렬인 경우, SVD는 $A=WD^{1/2}V^*$로 쓸 수 있으며, 여기서 $W$와 $V$는 각각 $n \times r$ 및 $m \times r$ 차원을 가진 등거리 사상이며, $D$는 $r \times r$ 차원의 대각 양의 준정부호 정방 행렬이다. $A=PU=UP'$로 쓸 수 있지만, 여기서 $U \equiv WV^*$는 일반적으로 유니타리가 아니다. $U$는 $A$와 동일한 지지 집합과 범위를 가지며, $U^*U=VV^*$ 및 $UU^*=WW^*$를 만족한다.

8. 힐베르트 공간의 유계 연산자

복소수 힐베르트 공간 사이의 임의의 유계 선형 연산자 ''A''의 '''극분해'''는 부분 등거리 사상과 음이 아닌 연산자의 곱으로의 정규 분해이다.[4] ''A''가 유계 선형 연산자이면, ''A'' = ''UP''와 같이 ''A''를 곱으로 유일하게 분해할 수 있다. 여기서 ''U''는 부분 등거리 사상이고, ''P''는 음이 아닌 자기 수반 연산자이며, ''U''의 시작 공간은 ''P''의 범위의 폐포이다.[4]

연산자 ''U''는 단일 연산자가 아닌 부분 등거리 사상으로 약화되어야 하는데, 이는 다음과 같은 문제 때문이다. ''A''가 ''l''2('''N''')에 대한 단측 이동이면, |''A''| = {''A*A''}1/2 = ''I''이다. 따라서 ''A'' = ''U'' |''A''|이면, ''U''는 단일 연산자가 아닌 ''A''여야 한다.

극분해의 존재는 다음 Douglas의 보조정리의 결과이다.

: 만약 ''A'', ''B''가 힐베르트 공간 ''H''에 대한 유계 연산자이고, ''A*A'' ≤ ''B*B''이면, ''A = CB''인 수축 ''C''가 존재한다. 또한, ker(''B*'') ⊂ ker(''C'')이면 ''C''는 유일하다.

연산자 ''C''는 모든 ''H''의 ''h''에 대해 ''C''(''Bh'') := ''Ah''로 정의할 수 있으며, ''Ran''(''B'')의 폐포로 연속성을 통해 확장하고, ''H'' 전체에 대한 직교 여집합에서는 0으로 정의한다. 보조정리는 ''A*A'' ≤ ''B*B''가 ker(''B'') ⊂ ker(''A'')를 의미하므로 성립한다.

특히, 만약 ''A*A'' = ''B*B''이면, ''C''는 부분 등거리 사상이며, ker(''B*'') ⊂ ker(''C'')이면 유일하다. 일반적으로, 임의의 유계 연산자 ''A''에 대해,

A^*A = \left(A^*A\right)^{1/2} \left(A^*A\right)^{1/2},

여기서 (''A*A'')1/2는 일반적인 함수 미적분학에 의해 주어진 ''A*A''의 유일한 양의 제곱근이다. 따라서 보조정리에 의해, 다음을 얻는다.

A = U\left(A^*A\right)^{1/2}

어떤 부분 등거리 사상 ''U''에 대해, ker(''A*'') ⊂ ker(''U'')이면 유일하다. ''P''를 (''A*A'')1/2로 잡으면 극분해 ''A'' = ''UP''를 얻는다. 유사한 논증을 사용하여 ''A = P'U' ''를 보일 수 있는데, 여기서 ''P' ''는 양수이고 ''U' ''는 부분 등거리 사상이다.

''H''가 유한 차원인 경우, ''U''는 유니타리 연산자로 확장될 수 있다. 하지만 이는 일반적으로 사실이 아니다. 또는 특이값 분해의 연산자 버전을 사용하여 극분해를 보일 수 있다.

연속 함수 미적분학의 성질에 의해, |''A''|는 ''A''에 의해 생성된 C*-대수에 속한다. 유사하지만 약한 명제가 부분 등거리 사상에 대해 성립한다. 즉, ''U''는 ''A''에 의해 생성된 폰 노이만 대수에 속한다. ''A''가 가역적이면, 극 부분 ''U''도 C*-대수에 속한다.

9. 무경계 연산자

A영어가 복소 힐베르트 공간 사이의 닫힌, 조밀하게 정의된 무경계 연산자라면, 여전히 (고유한) 극분해를 갖는다.

:A = U |A|

여기서 |A영어|는 A영어와 동일한 정의역을 갖는 (아마도 무경계인) 음이 아닌 자기 수반 연산자이고, U영어는 ran영어(|A영어|)의 직교 여집합에서 0이 되는 부분 등거리 사상이다.[1]

증명은 일반적으로 무경계 연산자에 대해 적용되는 위의 동일한 보조정리를 사용한다. 만약 dom영어(A영어A영어}) = dom영어(B영어B영어})이고 모든 h영어 ∈ dom영어(A영어A영어})에 대해 A영어Ah영어 = B영어Bh영어이면, 부분 등거리 사상 U영어가 존재하여 A영어 = UB영어가 된다. ran영어(B영어)⊥ ⊂ ker영어(U영어)이면 U영어는 고유하다. 닫힌 조밀하게 정의된 연산자 A영어는 연산자 A영어A영어가 자기 수반(조밀한 정의역을 가짐)임을 보장하므로 (A영어A영어})1/2을 정의할 수 있게 한다. 보조정리를 적용하면 극분해가 얻어진다.[1]

10. 사원수 극분해

사원수 \ \mathbb{H}\ 의 극분해는 정규 직교 기저 사원수 \ 1 , \widehat{ i }, \widehat{ j }, \widehat{ k } \ 에 의존하며, 이는 '오른쪽 베르서'로 알려진 \ \widehat{ r } \in \lbrace\ x\ \widehat{ i } + y\ \widehat{ j } + z\ \widehat{ k } \in \mathbb{H} \smallsetminus \mathbb{R}\ :\ x^2 + y^2 +z^2 = 1\ \rbrace\ 의 단위 2차원 구면에 의존한다. 이 구면 위의 \ \widehat{ r }\ 과 각 -π < ''a'' ≤ π 가 주어지면, 베르서 \ e^{a\ \widehat{ r } } = \cos (a) + \widehat{ r }\ \sin (a)\ 는 \ \mathbb{H} 의 단위 3-구 위에 있다. ''a'' = 0 및 ''a'' = π 에 대해, 베르서는 선택된 r에 관계없이 1 또는 -1이다. 사원수 q의 노름 t는 원점에서 q까지의 유클리드 거리이다. 사원수가 단지 실수만 아니라면, ''유일한'' 극분해가 존재한다.

:\ q = t\ \exp\left(\ a\ \widehat{ r }\ \right) ~.

여기서 r, a, t 는 모두 r이 오른쪽 베르서 (r2 = –1) 이고 a가 0 < ''a'' < π 을 만족하며 t > 0 을 만족하도록 유일하게 결정된다.

11. 대안적인 평면 분해

=== 이중수 ===

만약 x영어 ≠ 0이면, z영어 = x영어(1 + ε(y영어/x영어))는 이중수 z영어 = x영어 + y영어ε의 극분해이다. 여기서 ε2영어 = 0인데, 이는 ε가 멱영원임을 의미한다. 이 극분해에서 단위원은 직선 x영어 = 1이고, 극각은 기울기 y영어/x영어이며, 반지름 x영어는 왼쪽 반평면에서 음수로 대체된다.[6]

=== 분할 복소수 ===

z영어 = x영어 + y영어j (x영어 ≠ ±y영어)이면, 단위 쌍곡선과 켤레 쌍곡선을 이용하여 z영어를 통과하는 단위 쌍곡선의 가지를 기반으로 극분해를 형성할 수 있다. 이 가지는 쌍곡 각 ''a''로 매개변수화되며 exp(aj영어) = eaj영어와 같이 표기된다. 여기서 j2 = 1이고 분할 복소수의 산술[6]이 사용된다. z영어를 통과하는 가지는 −eaj영어에 의해 추적된다. j를 곱하는 연산은 점을 직선 y영어 = x영어에 대해 반사하므로 켤레 쌍곡선은 je영어aj영어 또는 −je영어aj영어에 의해 추적되는 가지를 갖는다. 따라서 사분면 중 하나의 점은 r eaj영어, - r eaj영어, rj영어eaj영어, -rj영어eaj영어, r > 0 와 같은 형식 중 하나로 극분해를 갖는다.

집합 {1, -1, j, -j}는 클라인 네 그룹과 동형이 되게 하는 곱을 갖는다. 이 경우의 극분해는 해당 그룹의 원소를 포함한다.

11. 1. 이중수

만약 x영어 ≠ 0이면, z영어 = x영어(1 + ε(y영어/x영어))는 이중수 z영어 = x영어 + y영어ε의 극분해이다. 여기서 ε2영어 = 0이다. 즉, ε는 멱영원이다. 이 극분해에서 단위원은 직선 x영어 = 1으로, 극각은 기울기 y영어/x영어로, 반지름 x영어는 왼쪽 반평면에서 음수로 대체되었다.[6]

11. 2. 분할 복소수

만약 이면, 단위 쌍곡선 과 켤레 쌍곡선 을 사용하여 을 통과하는 단위 쌍곡선의 가지를 기반으로 극분해를 형성할 수 있다. 이 가지는 쌍곡 각 ''a''로 매개변수화되며 다음과 같이 표기된다.

:\cosh(a) + j\ \sinh(a) = \exp(aj) = e^{aj}

여기서 이고 분할 복소수의 산술[6]이 사용된다. 을 통과하는 가지는 −''e''''aj''에 의해 추적된다. j를 곱하는 연산은 점을 직선 에 대해 반사하므로 켤레 쌍곡선은 ''je''''aj'' 또는 −''je''''aj''에 의해 추적되는 가지를 갖는다. 따라서 사분면 중 하나의 점은 다음 형식 중 하나로 극분해를 갖는다.

:r e^{aj}, - re^{aj}, rje^{aj}, -rje^{aj}, \quad r > 0

집합 는 클라인 네 그룹과 동형이 되게 하는 곱을 갖는다. 분명히 이 경우의 극분해는 해당 그룹의 원소를 포함한다.

12. 행렬 극분해의 수치적 결정

극분해 ''A'' = ''UP''의 근사값을 계산하기 위해, 일반적으로 유니타리 인자 ''U''를 근사한다.[7][9] 이 반복은 1의 제곱근에 대한 헤론의 방법에 기반하며, U = ''A''에서 시작하여 다음과 같은 수열을 계산한다.

:U = 1/2 (U|Uₖ영어 + (U*|Uₖ*영어))

역행렬과 에르미트 수반의 조합은 특이값 분해에서 유니타리 인자가 동일하게 유지되고, 이 반복이 특이값에 대한 헤론의 방법으로 축소되도록 선택된다.

이 기본 반복은 프로세스 속도를 높이기 위해 개선될 수 있다.


  • 매 단계 또는 정기적인 간격으로, U|Uₖ영어의 특이값 범위를 추정하고, 특이값을 1 근처에 집중시키기 위해 행렬을 γU|Uₖ영어로 재조정한다. 스케일링 팩터 γ는 행렬과 그 역행렬의 행렬 노름을 사용하여 계산한다. 이러한 스케일 추정의 예는 다음과 같다.


::γ = ⁴√(U|Uₖ⁻¹}}U|Uₖ⁻¹}} / U U})

:행 합 및 열 합 행렬 노름을 사용하거나

::γ = √(U|Uₖ⁻¹}} / U})

:프로베니우스 노름을 사용한다. 스케일 팩터를 포함하면, 반복은 다음과 같다.

::U = 1/2 (γ U + 1/γ (U))

  • QR 분해는 특이 행렬 ''A''를 더 작은 정규 행렬로 줄이기 위한 준비 단계와 역행렬 계산 속도를 높이기 위해 각 단계 내에서 사용할 수 있다.
  • x - 1 = 0의 근을 계산하기 위한 헤론의 방법은 더 높은 차수의 방법으로 대체될 수 있으며, 예를 들어 핼리 방법의 3차에 기반하여, 다음과 같은 결과를 얻는다.


::U = U(I|I영어 + 3U U})(3I|3I영어 + U U})

:이 반복은 다시 스케일링과 결합될 수 있다. 이 특정 공식은 특이 행렬 또는 직사각형 행렬 ''A''에도 적용할 수 있다는 장점이 있다.

참조

[1] 서적
[2] 서적 Theorem 2.17
[3] 서적
[4] 서적 Lemma 2.18
[5] 문서
[6] 간행물 "Hyperbolic Number Plane"
[7] 논문 Computing the polar decomposition with applications Society for Industrial and Applied Mathematics
[8] 논문 Fast polar decomposition of an arbitrary matrix Society for Industrial and Applied Mathematics
[9] 논문 A New Scaling for Newton's Iteration for the Polar Decomposition and its Backward Stability Society for Industrial and Applied Mathematics


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com