기하학적 양자화

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 초기 역사: 바일 양자화와 모얄 곱
- 2.2. 현대 이론: 코스탄트와 수리오
3. 핵심 개념
4. 극성화의 종류
- 4.1. 공변접다발 (Cotangent Bundle) 극성화
- 4.2. 켈러 다양체 (Kähler Manifold) 극성화
5. 구체적인 예시
6. 포아송 다양체로의 확장
7. 변형 양자화 (Deformation Quantization)
8. 한계점
참조

1. 개요

기하학적 양자화는 고전 역학을 양자 역학으로 변환하는 수학적 방법으로, 1970년대 버트럼 코스탄트와 장마리 수리오에 의해 현대적인 이론이 개발되었다. 이 방법은 해밀턴 역학을 힐베르트 공간으로 대응시키며, 전양자화, 편광, 메타플렉틱 보정의 세 단계를 거친다. 기하학적 양자화는 다양한 극성화를 사용하며, 특히 공변접다발과 켈러 다양체 극성화가 중요하다. 이 과정은 변형 양자화와 관련 있으며, 바일 사상과 같은 구체적인 예시를 통해 설명된다.

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기하학적 양자화
개요
분야	수학, 물리학
하위 분야	기하학, 해석학, 양자역학
관련 개념	양자화, 고전역학, 심플렉틱 다양체, 푸아송 다양체, 힐베르트 공간, 표현론
상세 정보
목적	고전계의 대칭성을 이용하여 양자계 구성
접근법	심플렉틱 기하학 또는 푸아송 기하학을 이용하여 고전계를 기하학적으로 표현하고, 이를 양자화
핵심 요소	심플렉틱 다양체 또는 푸아송 다양체 사전 양자화 분극 힐베르트 공간 표현론
응용	양자장론 응집물질물리학 수학 표현론
중요성	고전역학과 양자역학 사이의 관계 이해, 양자계의 수학적 구조 연구
역사
창시자	수리아우 버트럼 코스턴트
개발 시기	1970년대 초
초기 동기	양자역학의 수학적 기초를 더 엄밀하게 구축하고, 양자장론과 같은 분야에 적용
주요 발전	심플렉틱 기하학 및 푸아송 기하학과의 연관성, 다양한 양자화 방법론 개발
수학적 형식화
심플렉틱 다양체	고전계를 나타내는 수학적 공간. (M, ω)로 표현되며, ω는 비퇴화 닫힌 2형식
푸아송 다양체	푸아송 괄호를 갖는 다양체. 고전적 관측가능량의 대수를 나타냄
사전 양자화	심플렉틱 다양체 위에 선다발을 구성하고, 그 위에 공변 미분을 정의하여 양자역학적 연산자를 표현
분극	힐베르트 공간의 크기를 줄이기 위해 심플렉틱 다양체의 절반 차원 부분공간을 선택
힐베르트 공간	양자 상태를 나타내는 복소수 벡터 공간
표현론	대칭성을 이용하여 힐베르트 공간 위에 작용하는 연산자를 표현
주요 개념
양자화	고전적인 물리량을 양자역학적인 연산자로 대응시키는 과정
고전역학	뉴턴 역학, 해밀턴 역학 등 고전적인 물리 법칙을 다루는 분야
양자역학	원자, 분자 등 미시 세계의 물리 현상을 다루는 분야
심플렉틱 기하학	심플렉틱 다양체의 기하학적 성질을 연구하는 분야
푸아송 기하학	푸아송 다양체의 기하학적 성질을 연구하는 분야
힐베르트 공간	양자 상태를 나타내는 복소수 벡터 공간
표현론	대칭성을 이용하여 힐베르트 공간 위에 작용하는 연산자를 표현

2. 역사

기하학적 양자화는 1927년 헤르만 바일이 바일 양자화를 제안하면서 시작되었다. 이후 1946년 H. J. 그로네월드가 위상 공간 별-곱을 발견했고, 1970년대에는 버트럼 코스탄트와 장마리 수리오가 현대적 이론으로 발전시켰다.

2. 1. 초기 역사: 바일 양자화와 모얄 곱

헤르만 바일은 1927년에 바일 양자화를 제안했다. 바일 양자화는 양자역학적 가관측량(힐베르트 공간 위의 자기 수반 연산자)을 고전 위상 공간의 실수 값을 갖는 함수와 연결하려는 시도였다. 이 위상 공간의 위치와 운동량은 하이젠베르크 군의 생성자에 매핑되며, 힐베르트 공간은 하이젠베르크 군의 군 표현으로 나타난다. 1946년, H. J. 그로네월드는 이러한 가관측량 쌍의 곱을 고려하여, 고전 위상 공간에서 대응하는 함수가 무엇일지 질문했다. 이것은 그가 함수 쌍의 위상 공간 별-곱을 발견하도록 이끌었다.

2. 2. 현대 이론: 코스탄트와 수리오

기하학적 양자화의 현대 이론은 1970년대에 버트럼 코스탄트와 장마리 수리오가 개발했다. 이 이론의 중요한 동기 중 하나는 표현론에서 키릴로프의 궤도 방법을 이해하고 일반화하는 것이었다.

3. 핵심 개념

기하학적 양자화는 해밀토니언 계를 힐베르트 공간으로 양자화하는 방법론이다. 이 과정은 일반적으로 다음 세 단계를 거친다.

1. 전양자화 (Prequantization): 심플렉틱 다양체 위에 정의된 해밀토니언 계에 대응하는 힐베르트 공간과 양자 연산자를 구성한다. 이 단계에서는 선다발과 접속을 이용하여 전양자 힐베르트 공간을 정의한다.

2. 편광 (Polarization): 전양자화 단계에서 생성된 힐베르트 공간이 "너무 크다"는 문제를 해결하기 위해 도입되었다. 2n차원 위상 공간에서 n개의 서로 교환 가능한 변수 집합을 선택하고, 이 변수들에만 의존하는 함수나 단면을 고려한다.

3. 메타플렉틱 보정 (Metaplectic Correction): 반형식 보정이라고도 불리며, 힐베르트 공간을 구성하는 과정에서 나타나는 문제를 해결하기 위한 기술적인 방법이다. 특히 실수 편광의 경우 0이 아닌 양자 힐베르트 공간을 얻기 위해 필수적이다.

각 단계에 대한 더 자세한 내용은 하위 섹션을 참고할 수 있다.

3. 1. 전양자화 (Prequantization)

심플렉틱 다양체 위에 정의된 해밀토니언 계에 대응하는 힐베르트 공간과 양자 연산자를 구성하는 단계이다. 심플렉틱 형식

\omega

가 준양자화 조건을 만족시킬 때, 선다발과 접속을 이용하여 전양자화 힐베르트 공간을 정의한다.

준양자화 조건은 다음과 같다.

:

[\omega/2\pi]\in\operatorname H^2(M;\mathbb Z)

즉,

\omega/2\pi

의 코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 원소를 정의한다.

이 조건을 만족하는 심플렉틱 다양체

(M, \omega)

에 대해, 표준적인 준양자 구조는 다음 두 조건을 만족시킨다.

:

\operatorname c_1(L)=[\omega/2\pi]

:

F_\nabla = \mathrm i\omega

여기서

c_1

은 1차 천 특성류이다.

(M,\omega)

의 준양자 구조

(\mathcal L,\nabla)

가 주어졌다면, 전양자화 연산자는 푸아송 괄호를 양자 교환자로 변환하는 성질을 갖는다. 즉, 모든 매끄러운 함수

f

와

g

에 대해 다음을 만족한다.

:

[Q(f),Q(g)]=i\hbar Q(\{ f,g\} )

만약

\omega

가 정확하다고 가정하면,

d\theta=\omega

를 만족하는 전역적으로 정의된 ''심플렉틱 포텐셜''

\theta

가 존재한다는 의미이다.

M

위의 각 매끄러운 함수

f

에 대해, Kostant–Souriau 사전 양자화 연산자는 다음과 같다.

:

Q(f):= - i\hbar\left( X_f +\frac{1}{i\hbar}\theta(X_f)\right) +f

.

여기서

X_f

는

f

에 관련된 해밀턴 벡터장이다.

더 일반적으로,

(M,\omega)

가 임의의 닫힌 표면에 대한

\omega/(2\pi\hbar)

의 적분이 정수라는 성질을 갖는다고 가정한다. 이 경우, 사전 양자화 힐베르트 공간은

L

의 제곱 적분 가능 단면들의 공간이며,

Q(f)

에 대한 공식은 다음과 같다.

:

Q(f)= - i\hbar\nabla_{X_f}+f

여기서

\nabla

는 접속이다.

3. 2. 편광 (Polarization)

'''편광'''(極性化, polarization^영어)은 전양자화 힐베르트 공간이 "너무 크다"는 문제를 해결하기 위해 도입된 개념이다.^[1] 전양자화는 고전적 관측 가능량의 푸아송 괄호를 양자적 관측 가능량의 교환자로 정확하게 변환하는 양자화 절차와 함께 자연스러운 힐베르트 공간을 생성하지만, 일반적으로 전양자 힐베르트 공간은 너무 크다고 여겨진다.

이 문제를 해결하기 위해 2n차원 위상 공간에서 n개의 푸아송 가환 변수 집합을 선택하고, 이 n개의 변수에만 의존하는 함수(또는 단면)를 고려한다. 이 변수들은 실수 값을 가질 수 있으며(위치 스타일 힐베르트 공간), 복소 해석적일 수도 있다(세갈-바그만 공간).

편광은 n개의 푸아송 가환 함수 선택에 대한 좌표 독립적인 설명을 제공한다. 다양체 M 위의 극성화는 접다발의 복소화

TM^{\mathbb C}

의 부분 벡터 다발

P\subset TM^{\mathbb C}

로 정의되며, 다음 성질을 만족시킨다.^[2]

적분 가능성: 모든 $u,v\in P$ 에 대하여, $[u,v]\in P$ 이다. ( $[\cdot,\cdot]$ 는 리 미분)
극대성: $P$ 보다 더 큰 차원의 적분가능 분포는 존재하지 않는다. (M이 유한 차원이라면, $P$ 의 차원은 $\dim_{\mathbb R}P=\dim M$ 이다.)

극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체

(M,L,\nabla,P)

에 대하여, 양자 힐베르트 공간

\mathcal H

는

L

의 제곱 적분 가능 단면 가운데,

P

의 방향으로 일정한 단면들로 구성된다.

:

\mathcal H=\{s\in \operatorname L^2(M, L)\colon\nabla_Ps=0\}

이는 내적을 통해 힐베르트 공간을 이루며, 이 공간의 사영화(projectivization^영어)가 양자역학의 상태 공간이 된다.

‘제곱 적분 가능 단면’은 프로베니우스 정리에 따라 엽층을 정의하고 그 엽공간(leaf space^영어)

M/P

를 정의하여,

M

으로부터 유도된 엽공간 위의 측도에 대한 것이다.

기하학적 양자화에서 편광 선택은

M

의 각 지점에서

M

의 복소 접선 공간의 라그랑지안 부분 공간을 선택하는 것이다. 이 부분 공간은 적분 가능한 분포를 형성해야 하며, 양자 힐베르트 공간은 편광 방향으로 공변적으로 상수인

L

의 단면의 공간이다.

결과적으로 양자 힐베르트 공간에서 단면은

2n

차원 고전적 위상 공간에서

n

개의 변수만의 함수가 된다.

f

가 관련된 해밀턴 흐름이 편광을 보존하는 함수라면,

Q(f)

는 양자 힐베르트 공간을 보존하지만, 일반적으로 이 가정을 만족하는 함수는 많지 않다.

3. 3. 메타플렉틱 보정 (Metaplectic Correction)

'''메타플렉틱 보정'''(Metaplectic Correction)은 반형식 보정(half-form correction)이라고도 불리며, 기하학적 양자화 과정에서 힐베르트 공간을 구성하기 위해 사용되는 기술적인 방법이다. 특히 실수 편광의 경우 0이 아닌 양자 힐베르트 공간을 얻기 위해 필수적이며, 복소 편광의 경우에도 유용하게 사용된다.

메타플렉틱 보정은 선다발

L

을 표준 다발의 제곱근과의 텐서 곱으로 대체하고, 양자 연산자에 추가적인 항을 더하는 방식으로 이루어진다. 예를 들어, 수직 편광의 경우,

x

의 함수

f(x)

대신

f(x)\sqrt{dx}

형태의 객체를 고려한다.

이를 통해, 평면에서의 복소수 편광의 경우, 조화 진동자의 양자화에서 에너지에 대한 표준 양자 역학 공식인

(n+1/2)\hbar\omega

를 얻을 수 있다. 여기서 "

+1/2

"는 하프 폼 보정에서 비롯된다.

메타플렉틱 보정을 위해서는 먼저 '''메타플렉틱 구조'''를 정의해야 한다. 심플렉틱 다양체

(M,\omega)

의 접다발

TM

은 심플렉틱 구조로 인해

\operatorname{Sp}(\dim M,\mathbb R)

구조를 갖는다. '''메타플렉틱 군'''

\operatorname{Mp}(2k,\mathbb R)

는

\operatorname{Sp}(2k,\mathbb R)

의 연결 두 겹 피복군이다. 심플렉틱 다양체

(M,\omega)

의 '''메타플렉틱 구조'''는 접다발의

\operatorname{Sp}(\dim M,\mathbb R)

구조를 메타플렉틱 구조

\operatorname{Mp}(\dim M,\mathbb R)

로 올림(lift)하는 것이다. 이는 스핀 구조의 정의와 유사하다.

메타플렉틱 구조를 통해 준고전적 상태를 힐베르트 공간의 원소로 확장하고, 고전적 관측가능량을 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다. 이때, 선다발

L

은

L \otimes \sqrt K

로 대체되는데, 여기서

K = \textstyle\bigwedge^{\dim M}(\mathrm TM/P)^*

이다.

P

가 정칙 극성화라면

K

는 복소다양체의 표준 인자에 대응되는 정칙 선다발이며,

P

가 실수 극성화라면

K

는 일반화 좌표의 매끄러운 다양체 위의 최고차 미분 형식의 선다발이다.

\mathrm T^*N

의 실수 극성화의 경우, 상태는

N

위의 함수

f(x)

대신

f(x) \sqrt{\mathrm d^{\dim N}x}

의 꼴이 되며, 그 제곱

|f(x)|^2\,\mathrm d^{\dim N}x

은 자연스럽게

N

위에서 적분될 수 있다. 이러한 보정을 통해 조화 진동자의 에너지가

n\omega\hbar

대신

(n+1/2)\omega\hbar

가 된다.

4. 극성화의 종류

기하학적 양자화에서는 주로 공변접다발 극성화와 켈러 다양체 극성화, 크게 두 종류의 극성화를 사용한다. 공변접다발 극성화는 짜임새 공간 $N$ 이 존재하여 라그랑주 역학이 적용 가능한 경우이고, 켈러 다양체 극성화는 $M$ 이 켈러 다양체인 경우이다.

4. 1. 공변접다발 (Cotangent Bundle) 극성화

공변접다발

M = \mathrm T^*N

인 경우, 심플렉틱 미분 형식

\omega=\mathrm dp_i\wedge\mathrm dq^i

에 대한 리우빌 미분 형식

\theta=p_i\wedge\mathrm dq^i

이 대역적(global)으로 존재한다. 즉,

\omega=\mathrm d\theta

는 완전 형식이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 다시 말해, 복소수 선다발

\mathcal L\cong M\times\mathbb C

은 자명하고, 그 위에

\theta

를 성분으로 가지는 코쥘 접속을 정의할 수 있다.

이 경우, 표준적으로

:

\mathrm T_{(x,p)}M \cong \mathrm T_xN \oplus \mathrm T^*_xN \qquad(x\in M,\;p\in\mathrm T^*_xM)

:

\mathrm T_{(x,p)}M^{\mathbb C} \cong \mathrm T_xN^{\mathbb C} \oplus \mathrm T^*_xN^{\mathbb C} \qquad(x\in M,\;p\in\mathrm T^*_xM)

이므로, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다.

:

\mathcal P=\mathrm T^*N^{\mathbb C}\subset TM^{\mathbb C}

이는 파동 함수가 일반화 위치의 함수이며, 일반화 운동량에 의존하지 않는 것에 해당한다.

따라서 복소수 힐베르트 공간은

N

위의 르베그 공간

\mathcal H=\operatorname L^2(N,\mathbb C)

과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은

:

\hat x^i\colon f\mapsto x_if

:

\hat p_i\colon f\mapsto-i\partial_if

으로 대응된다.

4. 2. 켈러 다양체 (Kähler Manifold) 극성화

심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의

2\pi

배)인 켈러 다양체

M

을 생각하자. 이 경우,

\omega/2\pi

에 대응하는 정칙 선다발

L\twoheadrightarrow M

이 존재하며, 그 위에 곡률이

i\omega

인 접속을 정의할 수 있다.

켈러 다양체의 복소구조를 사용하여, 복소화 접다발

TM^{\mathbb C}

를 다음과 같이 분해할 수 있다.

:

\mathrm TM^{\mathbb C}=\mathrm TM^+\oplus\mathrm TM^-

여기서

\mathrm TM^+

는 정칙 벡터장들의 다발이고,

\mathrm TM^-

는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를

:

\mathcal P=\mathrm TM^-

로 잡을 수 있다. 이에 따라서,

:

\mathcal H=H^0(M,L)

은

L

의 (제곱 적분 가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은

:

\hat z^i\colon f\mapsto z^if

:

-\mathrm i\partial_i\colon f\mapsto-\mathrm i\partial_if

에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계를 만족시킨다.

5. 구체적인 예시

심플렉틱 다양체가 2차원 구면인 경우, 이는 $\mathfrak{su}(2)^*$ 에서 공액 궤도로 실현될 수 있다. 구의 면적이 $2\pi\hbar$ 의 정수 배수라고 가정하면 기하학적 양자화를 수행할 수 있으며, 그 결과인 힐베르트 공간은 SU(2)의 기약 표현을 갖는다. 예를 들어 구의 면적이 $2\pi\hbar$ 인 경우에는 2차원 스핀-1/2 표현을 얻는다.

리만 구 $\hat{\mathbb C}$ 위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너를 얻으며, 이는 비가환 기하학적으로 퍼지 구로 해석할 수 있다. 준양자 선다발을 차수 $k$ 의 인자 $D$ 에 대응하는 선다발 $\mathcal O(D)$ 로 선택한다. 이 경우 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다.

: $\mathcal H(k)=\{f\in\Gamma(\mathcal O(D))\colon\bar\partial f=0\}$

이 힐베르트 공간의 차원은 리만-로흐 정리에 의하여

: $\dim_{\mathbb C}\mathcal H(k)=\max\{k+1,0\}$

이다. 이는 스핀 $k/2$ 의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (메타플렉틱 보정을 고려할 경우, $k$ 를 $k-1$ 로 치환한다.)

5. 1. 유클리드 공간의 공변접다발 극성화

위상 공간이

2n

차원 유클리드 공간

\mathbb R^{2n}

인 계를 생각하자. 이를 공변접다발

:

\mathbb R^{2n}\cong T^*\mathbb R^n=\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n\}

으로 여긴다면, 심플렉틱 퍼텐셜

:

\theta=\sum_{i=1}^np_idx_i

에 대응하는 접속은 다음과 같다.

:

\nabla_{\partial/\partial p_i}=\frac\partial{\partial p_i}

:

\nabla_{\partial/\partial q_i}=\frac\partial{\partial q_i}-2\pi i p_i

극성화

:

\operatorname{Span}\left\{\frac\partial{\partial p}\right\}

에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다.

:

\mathcal H=\left\{f\in L^2(\mathbb R^{2n})\colon \frac{\partial f}{\partial p^i}=0\forall i=1,\dots,n\right\}\cong L^2(\mathbb R^n)

반대로, 운동량 방향의 극성화

:

\operatorname{Span}\left\{\frac\partial{\partial x}\right\}

에 대한 힐베르트 공간은 다음과 같다.^[1]

:

\mathcal H=\left\{f\in L^2(\mathbb R^{2n})\colon \frac{\partial f}{\partial x^i}-2\pi i p_if(x)=0\forall i=1,\dots,n\right\}

즉,

:

f(x,p)=f(p)\exp\left(2\pi i\sum_{i=1}^np_ix_i\right)

의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 푸리에 변환임을 알 수 있다.

5. 2. 유클리드 공간의 켈러 극성화

2n

차원 유클리드 공간

\mathbb R^{2n}

을 위상 공간으로 하는 계를 생각하자. 이 위에 복소구조를 다음과 같이 정의한다.

:

\mathbb R^{2n}\cong\mathbb C^n

:

z_i=x_i+x_{i+n},\quad i=1,\dots,n

:

\frac\partial{\partial z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}-i\frac\partial{\partial y}\right)

:

\frac\partial{\partial\bar z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}+i\frac\partial{\partial y}\right)

그리고 다음과 같이 켈러 극성화를 적용한다.^[1]

:

\mathcal P=\operatorname{Span}_{\mathbb C}\left\{\frac\partial{\partial\bar z}_1,\dots,\frac\partial{\partial\bar z}\right\}

이 때 힐베르트 공간은 L² 함수

s\colon\mathbb C^n\to\mathbb C

가운데 다음 조건을 만족시키는 함수들로 구성된다.

:

\nabla_{\partial/\partial z}s(z,\bar z)=\left(2\frac\partial{\partial\bar z}+z\right)s(z,\bar z)=0

이 조건은 아래와 같은 형태의 함수로 나타낼 수 있다.

:

s(z,\bar z)=f(z)\exp\left(-\sum_iz_i\bar z^i/2\right)

여기서

f\colon\mathbb C\to\mathbb C

는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다.

:

\int_{\mathbb C}|f(z)|^2\exp\left(-\sum_iz_i\bar z_i\right)\,d^{2n}z<\infty

이 힐베르트 공간에는 다중지표를 사용한 힐베르트 기저를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

s_\alpha=z^\alpha\exp(-z\bar z/2),\qquad \alpha\in\mathbb N^n

이들은

n

차원 조화 진동자의

\alpha

번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 '''시걸-바르그만-포크 공간'''(Segal–Bargmann–Fock space^영어)이라고 한다.^[1]

5. 3. 리만 구의 양자화

리만 구

\hat{\mathbb C}

위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너를 얻으며, 이는 비가환 기하학적으로 퍼지 구로 해석할 수 있다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수

k

의 인자

D

에 대응하는 선다발

\mathcal O(D)

로 선택한다. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다.

:

\mathcal H(k)=\{f\in\Gamma(\mathcal O(D))\colon\bar\partial f=0\}

이 힐베르트 공간의 차원은 리만-로흐 정리에 의하여

:

\dim_{\mathbb C}\mathcal H(k)=\max\{k+1,0\}

이다. 이는 스핀

k/2

의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (사실 메타플렉틱 보정을 고려할 경우,

k

를

k-1

로 치환하여야 한다.)

6. 포아송 다양체로의 확장

포아송 다양체의 기하학적 양자화와 심플렉틱 잎구조가 연구되었는데, 이는 부분 적분가능 및 초적분가능 해밀턴 역학계와 비자율 역학의 경우에 적용된다.

7. 변형 양자화 (Deformation Quantization)

헤르만 바일이 1927년에 제안한 바일 양자화는 양자역학적 가관측량(힐베르트 공간 위의 자기 수반 연산자)을 고전 위상 공간의 실수 값을 갖는 함수와 연관시키려는 초기 시도 중 하나였다. 이 위상 공간의 위치와 운동량은 하이젠베르크 군의 생성자에 매핑되며, 힐베르트 공간은 하이젠베르크 군의 군 표현으로 나타난다. 1946년, H. J. 그로네월드는 이러한 가관측량 쌍의 곱을 고려하여, 고전 위상 공간에서 대응하는 함수가 무엇일지 질문했고, 이는 함수 쌍의 위상 공간 별-곱을 발견하도록 이끌었다.

더 일반적으로, 이러한 기법은 변형 양자화로 이어지며, 여기서 별-곱(★-곱)은 심플렉틱 다양체 또는 푸아송 다양체 상의 함수 대수의 변형으로 간주된다.^[2] 그러나 자연스러운 양자화 방식(함자)으로서, 바일 사상은 만족스럽지 않다.^[2] 예를 들어, 고전적 각운동량 제곱의 바일 사상은 단지 양자 각운동량 제곱 연산자일 뿐만 아니라, 추가적으로 상수항 3ħ²/2을 포함한다.^[2] (이 추가 항은 실제로 물리적으로 중요하며, 수소 원자의 바닥 상태 보어 궤도의 0이 아닌 각운동량을 설명한다.^[2]) 그러나 바일 사상은 단순한 표현 변환으로서, 기존 양자 역학의 대체적인 위상 공간 공식화의 기초가 된다.^[2]

8. 한계점

바일 양자화는 자연스러운 양자화 방식(함자)으로서 만족스럽지 않은 경우가 있다. 예를 들어, 고전적 각운동량 제곱의 바일 사상은 양자 각운동량 제곱 연산자일 뿐만 아니라, 추가적으로 상수항 3ħ²/2|3ħ²/2^영어을 포함한다. 이 추가 항은 실제로 물리적으로 중요하며, 수소 원자의 바닥 상태 보어 궤도의 0이 아닌 각운동량을 설명한다.

참조

_[1] 서적 Lectures on the geometry of quantization https://math.berkele[...] American Mathematical Society 1997
_[2] 논문 Geometric quantization 2002

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