깎은 정사면체

1. 개요

깎은 정사면체는 정사면체의 각 꼭짓점을 잘라내어 얻는 다면체이다. 4개의 정삼각형과 4개의 정육각형으로 이루어져 있으며, 18개의 모서리와 12개의 꼭짓점을 갖는다. 모서리 길이가 a일 때, 겉넓이는 7√3a², 부피는 (23√2/12)a³이다. 깎은 정사면체는 정사면체와 동일한 대칭성을 가지며, 깎은 정사면체 그래프는 12개의 꼭짓점과 18개의 모서리를 가진 연결된 3차 그래프이다.

2. 구성

깎은 정사면체는 정사면체의 각 꼭짓점을 잘라내는 깎기 과정을 통해 만들 수 있다. 깎은 정사면체는 4개의 정삼각형 면과 4개의 정육각형 면, 18개의 모서리, 12개의 꼭짓점을 갖는다. 모서리 길이가 1일 때, 12개 꼭짓점의 데카르트 좌표는 다음과 같다.

$$$$
\bigl( {\pm\tfrac{3\sqrt{2}}{4} }, \pm\tfrac{\sqrt{2}}{4}, \pm\tfrac{\sqrt{2}}{4} \bigr)


이는 마이너스 부호가 짝수 개인 점이다.

3. 성질

한 모서리의 길이가 $a$인 깎은 정사면체의 겉넓이 $A$와 부피 $V$는 다음과 같다.

:$A\; =\; 7\backslash sqrt3a^2$
:$V\; =\; \backslash frac\{23\backslash sqrt\{2\}\}\{12\}\; a^3$

변의 길이가 $a$인 경우, 깎은 정사면체의 표면적 $A$는 4개의 정육각형과 4개의 정삼각형의 면적의 합이며, 부피 $V$는 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$
A &= 7\sqrt{3}a^2 &&\approx 12.124a^2, \\
V &= \tfrac{23}{12}\sqrt{2}a^3 &&\approx 2.711a^3.
\end{align}

깎은 정사면체에서 삼각형과 육각형 사이의 이면각은 약 109.47°이며, 인접한 육각형 면 사이의 이면각은 약 70.53°이다. 깎은 정사면체의 가장 조밀한 쌓기는 $\backslash Phi\; =\; \backslash frac\{207\}\{208\}$로 추정된다. 깎은 정사면체에 대해 이것이 가능한 최상의 쌓기라는 수학적 증거는 없지만, 1에 가까운 값과 발견의 독립성으로 인해 훨씬 더 조밀한 쌓기가 발견될 가능성은 낮다.

4. 관련 다면체

증가 깎은 정사면체는 깎은 정사면체의 육각형 면에 삼각 돔을 붙여 만든 존슨의 다면체이다. 삼각깎은 정사면체는 깎은 정사면체의 삼각면에 세 개의 사면체를 더하여 구성한 다면체이다. 준정다면체로 분류되며, 삼각깎은 정사면체 벌집 구조와 같이 3차원 공간에서 테셀레이션될 수 있다.

J. B. 프리아우프의 이름을 따서 명명된 프리아우프 다면체는 금속 원소 화합물로 형성된 금속간 화합물 구조로 설명된다. 이는 마그네슘 아연 MgZn₂와 같은 복합 금속 합금 결정에서 발견될 수 있다. 프리아우프 다면체는 깎은 정사면체의 낮은 대칭 버전으로, 3차원 대칭군이 8차 이이각형군인 깎인 사각 이면체로 해석된다.

깎은 정사면체를 절단하면 54개의 모서리, 32개의 꼭짓점, 20개의 면(4개의 육각형, 4개의 구각형, 12개의 사다리꼴)이 생성된다. 이 다면체는 2010년 FIFA 월드컵을 위해 디자인된 자블라니 공의 기본 기하학으로 아디다스에서 사용되었다.

5. 깎은 정사면체 그래프

6. 예시

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