깎은 정사면체

3. 성질

한 모서리의 길이가 $a$인 깎은 정사면체의 겉넓이 $A$와 부피 $V$는 다음과 같다.

:$A\; =\; 7\backslash sqrt3a^2$

:$V\; =\; \backslash frac\{23\backslash sqrt\{2\}\}\{12\}\; a^3$

변의 길이가 $a$인 경우, 깎은 정사면체의 표면적 $A$는 4개의 정육각형과 4개의 정삼각형의 면적의 합이며, 부피 $V$는 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$

A &= 7\sqrt{3}a^2 &&\approx 12.124a^2, \\

V &= \tfrac{23}{12}\sqrt{2}a^3 &&\approx 2.711a^3.

\end{align}

깎은 정사면체에서 삼각형과 육각형 사이의 이면각은 약 109.47°이며, 인접한 육각형 면 사이의 이면각은 약 70.53°이다. 깎은 정사면체의 가장 조밀한 쌓기는 $\backslash Phi\; =\; \backslash frac\{207\}\{208\}$로 추정된다. 깎은 정사면체에 대해 이것이 가능한 최상의 쌓기라는 수학적 증거는 없지만, 1에 가까운 값과 발견의 독립성으로 인해 훨씬 더 조밀한 쌓기가 발견될 가능성은 낮다.

4. 관련 다면체

증가 깎은 정사면체는 깎은 정사면체의 육각형 면에 삼각 돔을 붙여 만든 존슨의 다면체이다. 삼각깎은 정사면체는 깎은 정사면체의 삼각면에 세 개의 사면체를 더하여 구성한 다면체이다. 준정다면체로 분류되며, 삼각깎은 정사면체 벌집 구조와 같이 3차원 공간에서 테셀레이션될 수 있다.^[1]

J. B. 프리아우프의 이름을 따서 명명된 ''프리아우프 다면체''는 금속 원소 화합물로 형성된 금속간 화합물 구조로 설명된다.^[2] 이는 마그네슘 아연 MgZn₂와 같은 복합 금속 합금 결정에서 발견될 수 있다.^[3] 프리아우프 다면체는 깎은 정사면체의 낮은 대칭 버전으로, 3차원 대칭군이 8차 이이각형군인 깎인 사각 이면체로 해석된다.

깎은 정사면체를 절단하면 54개의 모서리, 32개의 꼭짓점, 20개의 면(4개의 육각형, 4개의 구각형, 12개의 사다리꼴)이 생성된다. 이 다면체는 2010년 FIFA 월드컵을 위해 디자인된 자블라니 공의 기본 기하학으로 아디다스에서 사용되었다.^[4]

5. 깎은 정사면체 그래프

6. 예시

참조

_[1] 서적 An Atlas of Graphs
_[2] 서적 An Atlas of Graphs
_[3] 서적 An Atlas of Graphs
_[4] 논문 Regular-faced convex polyhedra
_[5] 논문 Crystalline Assemblies and Densest Packings of a Family of Truncated Tetrahedra and the Role of Directional Entropic Forces
_[6] 서적 Multi-shell Polyhedral Clusters https://books.google[...] Springer
_[7] 논문 The crystal structure of the intermetallic compounds
_[8] 논문 Tilings with congruent tiles
_[9] 서적 Mathematical Physics: Proceedings of the 13th Regional Conference, Antalya, Turkey, 27–31 October 2010 World Scientific
_[10] 논문 96.45 Can you 'bend' a truncated truncated tetrahedron?
_[11] arXiv A Packing of Truncated Tetrahedra that Nearly Fills All of Space
_[12] 논문 Convex polyhedra with regular faces
_[13] 서적 Principles of Inorganic Materials Design https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[14] 서적 Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem https://books.google[...] Hindustan Book Agency
_[15] 서적 The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design https://archive.org/[...] Dover Publications, Inc.