내부자기동형사상

1. 개요

내부자기동형사상은 군 G의 원소 g에 대해 x ↦ gxg⁻¹로 정의되는 자기동형사상이다. 내부자기동형사상 전체는 내부자기동형군을 형성하며, 이는 자기동형군의 정규 부분군이다. 내부자기동형사상은 켤레와 관련이 있으며, 켤레는 군의 원소 x를 a⁻¹xa 형태로 변환하는 연산이다. 내부자기동형군의 존재 여부와 수는 군에서 교환 법칙의 위반 정도를 나타낸다. 또한, 내부자기동형사상은 환 및 리 대수에서도 정의되며, 환의 경우 단위원을 사용하여, 리 대수의 경우 수반 사상을 사용하여 정의된다.

2. 정의

군 $G$의 원소 $g$에 대해, 내부자기동형사상은 다음과 같이 정의된다.

:$G\backslash to\; G$
:$x\backslash mapsto\; gxg^\{-1\}$

즉, $g$에 의한 (오른쪽) 켤레는 다음과 같은 함수이다.

:$\backslash begin\{align\}$
\varphi_g\colon G&\to G \\
\varphi_g(x)&:= g^{-1}xg
\end{align}

이 함수는 $G$의 자기사상이며, $\backslash varphi\_\{g^\{-1\}\}$라는 역함수를 가지므로 단사 함수이자 전사 함수이다. 따라서, $\backslash varphi\_g$는 자기동형사상이다. 내부 자기 동형사상은 켤레에서 발생하는 모든 자기 동형사상이다.

$g^\{-1\}xg$는 $x^g$로 지수적으로 표기되기도 한다. 이는 켤레의 합성이 $\backslash left(x^\{g\_1\}\backslash right)^\{g\_2\}\; =\; x^\{g\_1g\_2\}$ 와 같은 항등식을 만족하기 때문이다.

군 $G$의 내부자기동형군 $\backslash operatorname\{Inn\}(G)$는 $G$위의 내부자기동형사상들이 이루는 군이다. $\backslash operatorname\{Inn\}(G)$는 자기동형군 $\backslash operatorname\{Aut\}(G)$의 정규 부분군이다.

항등 사상이 아닌 내부 자기 동형의 존재와 개수는 군에서 교환 법칙이 성립하지 않음을 측정하는 것과 같다. 즉, $a^\{-1\}xa\; =\; x$ ("$a$에 의한 공액은 $x$를 바꾸지 않는다")라는 명제와 $ax\; =\; xa$ ("$a$와 $x$는 가환이다")는 서로 동치이다.

2.1. 켤레류

군에서 원소 $x,\; y\; \backslash in\; G$가 서로 켤레(conjugate)라는 것은 $gxg^\{-1\}\; =\; y$를 만족하는 $g\; \backslash in\; G$가 존재한다는 것을 의미한다. 서로 켤레 관계는 군 위의 동치 관계이다.

군의 원소 $x\; \backslash in\; G$의 켤레류(-類, conjugacy class^영어) 또는 공액류(共軛類)는 다음과 같은 집합이다.
:$\backslash operatorname\{Cl\}(x)=\backslash \{gxg^\{-1\}\backslash colon\; g\backslash in\; G\backslash \}$
이는 $G$ 위의 켤레 관계에 대한 동치류이다. 즉, 군을 분할한다. 또한, 켤레류는 내부자기동형사상이 유도하는 군의 작용의 궤도이다.

원소 $x$를 고정했을 때, $a^\{-1\}xa$를 $x$의 $a$에 의한 공액(conjugate)이라 하고, $x$를 $a^\{-1\}xa$로 변환하는 것($x\; \backslash mapsto\; a^\{-1\}xa$)을 $x$의 $a$에 의한 공액 변환(conjugation) 또는 닮음 변환(similarity transformation)이라고 한다.

$a$에 대해 $a^\{-1\}xa$ 형태로 쓸 수 있는 원소를 $x$의 공액 원소(conjugate element)라고 한다.

3. 성질

내부자기동형군은 자기동형군의 정규 부분군이다.
:$\backslash operatorname\{Inn\}(G)\backslash trianglelefteq\backslash operatorname\{Aut\}(G)$
이에 대한 몫군
:$\backslash operatorname\{Out\}(G)=\backslash operatorname\{Aut\}(G)/\backslash operatorname\{Inn\}(G)$
를 외부자기동형군이라고 한다.

군의 원소를 그에 대한 내부자기동형사상에 대응시키는 군 준동형
:$G\backslash to\backslash operatorname\{Aut\}(G)$
:$g\backslash mapsto\; g\{-\}g^\{-1\}$
의 상은 내부자기동형군이며, 핵은 군의 중심이다. 따라서 다음 동형이 성립한다.
:$\backslash operatorname\{Inn\}(G)\backslash cong\; G/Z(G)$

이 군 준동형은 군의 작용으로 볼 때, 그 궤도는 켤레류이며, 안정자군은 중심화 부분군이다. 따라서 다음과 같은 항등식이 성립하며, 이를 켤레류 방정식(class equation^영어)이라고 한다.
:$|G|=|Z(G)|+\backslash sum\_\{i=1\}^n|\backslash !\backslash operatorname\{Cl\}(x\_i)|$
즉,
:$|G|=|Z(G)|+\backslash sum\_\{i=1\}^n|G:C\_G(x\_i)|$
여기서
* $\backslash operatorname\{Cl\}(x\_i)$는 크기 1 이상의 켤레류들이다.
* $C\_G(x\_i)$는 중심화 진부분군들이다.
* $Z(G)$는 중심이다. 중심의 원소일 조건은 켤레류가 한원소 집합일 조건 및 중심화 부분군이 $G$일 조건과 동치이다.

4. 내부 자기 동형 군과 외부 자기 동형 군

군 $G$의 원소 $g$에 대한 내부자기동형사상은 $x \mapsto gxg^{-1}$로 정의되는 함수 $G \to G$이다. 군 $G$의 모든 내부자기동형사상들의 집합은 군을 이루며, 이를 $G$의 내부자기동형군이라 하고 $\operatorname{Inn}(G)$로 표기한다. 내부자기동형군은 자기동형군 $\operatorname{Aut}(G)$의 정규 부분군이다.

내부자기동형군 $\operatorname{Inn}(G)$는 자기동형군 $\operatorname{Aut}(G)$의 정규 부분군이므로, 몫군 $\operatorname{Out}(G) = \operatorname{Aut}(G) / \operatorname{Inn}(G)$를 정의할 수 있으며, 이를 외부자기동형군이라고 한다.

군 $G$의 원소를 그에 대응하는 내부자기동형사상으로 보내는 군 준동형 $G \to \operatorname{Aut}(G)$, $g \mapsto g{-}g^{-1}$을 생각하면, 이 준동형사상의 상(image)은 내부자기동형군 $\operatorname{Inn}(G)$이고, 핵(kernel)은 군의 중심 $Z(G)$이다. 따라서, 다음 동형이 성립한다.

:$\operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)$

$g$에 의한 (오른쪽) 켤레는 $\varphi_g(x) := g^{-1}xg$ 와 같이 정의되는 함수이며, 이는 $G$의 자기사상이다. 내부 자기 동형사상은 켤레에서 발생하는 모든 자기 동형사상이다.

오른쪽 켤레는 $x^g$ 와 같이 지수적으로 표기되기도 한다. 두 내부 자기동형사상의 합성은 다시 내부 자기동형사상이며, 이 연산에 의해 $G$의 모든 내부 자기동형사상의 집합 Inn($G$)는 군을 이룬다.

외부 자기동형군은 $G$의 자기동형사상 중 내부 자기동형사상이 아닌 것의 수를 측정한다. 모든 비내부 자기동형사상은 Out($G$)의 자명하지 않은 원소를 생성하지만, 서로 다른 비내부 자기동형사상들은 Out($G$)의 동일한 원소를 생성할 수 있다.

$a$에 의한 $x$의 켤레가 $x$를 변경하지 않는다는 것은 $a$와 $x$가 서로 교환 가능하다는 것과 같다. 즉,
:$a^{-1}xa = x \iff xa = ax.$

따라서 항등 사상이 아닌 내부 자기동형사상의 존재 여부와 수는 군 (또는 환)에서 교환 법칙이 성립하지 않는 정도를 측정하는 척도라고 할 수 있다.

4.1. 유한 p-군의 비내부 자기 동형

볼프강 가슈츠(Wolfgang Gaschütz)의 결과에 따르면, G^영어가 유한 비가환 -군이면, G^영어는 내적이 아닌 p^영어-거듭제곱 차수의 자기동형사상을 갖는다.

모든 비가환 p^영어-군 G^영어가 차수 p^영어의 자기동형사상을 갖는지 여부는 미해결 문제이다. 이 질문은 G^영어가 다음 조건 중 하나를 만족할 때 긍정적인 답을 갖는다.

# G^영어는 2류 멱영군이다.
# G^영어는 정규 {{lang이다.
# 는 강력한 {{lang이다.
# G^영어의 중심, Z^영어의 중앙화 부분군 , 의 프라티니 부분군에 대하여, 는 와 같지 않다.

5. 군의 유형

군의 내부 자기동형사상군 Inn(G)가 아벨군인 것과 G가 아벨 군인 것은 동치이다.

Inn(G)은 군의 중심에 대한 기본적인 결과에 의해 자명할 때에만 순환군이 된다.

그 반대로 내부 자기동형에 의해 모든 자기동형이 소진되는 경우도 있다. 자기동형이 내부 자기동형뿐이고 중심이 자명한 군을 완전군이라고 한다. n이 2 또는 6이 아닐 때 n차 대칭군은 complete이다. n = 6일 때는 대칭군은 단 하나의 비자명한 외부 자기동형의 종류를 가진다. n = 2일 때는 대칭군은 아벨 군이므로 중심은 자명하지 않고, 외부 자기동형을 갖지 않음에도 불구하고 complete가 아니다.

완전군 G의 내부 자기동형군이 단순군일 때, G를 준단순군이라고 한다.

6. 환의 경우

환 R과 단위 u ∈ R이 주어졌을 때, ƒ(x) = u⁻¹xu로 정의되는 사상은 R의 환 자기 동형 사상이다. 이러한 형태의 환 자기 동형 사상을 R의 내부 자기 동형 사상이라고 한다. R의 내부 자기 동형 사상 전체는 R의 자기 동형 사상군의 정규 부분군을 이룬다.

7. 리 대수의 경우

리 대수의 자기동형사상은 $Ad_g$ 형태일 때 내부 자기동형사상이라고 한다. 여기서 $Ad$는 리 군의 원소에 대한 수반 사상이고, $g$는 리 대수가 $\mathfrak{g}$인 리 군의 원소이다. 리 대수의 내부 자기동형사상 개념은 리 군의 내부 자기동형사상 개념과 호환되는데, 리 군의 내부 자기동형사상은 해당 리 대수의 고유한 내부 자기동형사상을 유도한다는 의미이다.

8. 확장

가 환 의 가역원군이면, 위의 내부 자기 동형 사상은 행렬환 의 가역원군에 의해 환 위의 사영선 위로 확장될 수 있다. 특히, 고전군의 내부 자기 동형 사상은 그런 방식으로 확장될 수 있다.

G가 환 A의 단위군으로 생성될 때, G 위의 내부 자기 동형 사상을 행렬환 M₂(A)의 단위군에 의해 A 위의 사영 직선 위의 사상으로 확장할 수 있다.