단위구

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1. 개요

단위구는 유클리드 공간에서 중심으로부터 특정 거리 이내에 있는 점들의 집합을 의미하며, 노름 벡터 공간 및 거리 공간으로 일반화될 수 있다. n차원 유클리드 공간에서 단위구는 중심으로부터 거리가 1인 점들의 집합인 단위 구면, 거리가 1보다 작은 점들의 집합인 열린 단위구, 거리가 1 이하인 점들의 집합인 닫힌 단위구로 구분된다. 단위구의 부피와 표면적은 감마 함수를 사용하여 표현할 수 있으며, 짝수 차원과 홀수 차원에서 팩토리얼과 이중 팩토리얼을 통해 계산할 수 있다. 노름 벡터 공간에서 단위구는 노름의 종류에 따라 다양한 모양을 가지며, Lp 공간에서의 단위구는 p 값에 따라 다른 특성을 나타낸다. 또한, 거리 공간과 이차 형식으로도 일반화가 가능하다.

단위구

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1. 개요
2. 유클리드 공간에서의 단위구와 구면
- 2.1. 일반적인 넓이와 부피 공식
3. 노름 벡터 공간에서의 단위구
- 3.1. Lp 공간에서의 단위구
4. 일반화
- 4.1. 거리 공간
- 4.2. 이차 형식

2. 유클리드 공간에서의 단위구와 구면

n차원 유클리드 공간에서, (n−1)차원 단위 구면(unit sphere)은 원점으로부터의 거리가 1인 점 $(x_1, \ldots, x_n)$ 들의 집합으로, 다음 등식을 만족시킨다:
: $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 = 1$

n차원 열린 단위 공(open unit ball)은 원점으로부터의 거리가 1보다 작은 점들의 집합이며, 다음 부등식을 만족시킨다:
: $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 < 1$

n차원 닫힌 단위 공(closed unit ball)은 원점으로부터의 거리가 1 이하인 점들의 집합이며, 다음 부등식을 만족시킨다:
: $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 \le 1$

2.1. 일반적인 넓이와 부피 공식

단위구의 고전적인 방정식은 반지름이 1이고 x-, y-, z-축에 대해 중심이 원점인 구의 방정식이다:
: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$

n차원 유클리드 공간의 단위구의 부피와 그 경계인 (n−1)차원 구면의 넓이는 여러 해석학 공식에 등장한다. n차원 단위구의 부피 V_n은 감마 함수 Γ를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $V_n = \frac{\pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \begin{cases}{\pi^{n/2}}/{(n/2)!} & \mathrm{if~}n \ge 0\mathrm{~is~even,} \\~\\{\pi^{\lfloor n/2 \rfloor}2^{\lceil n/2 \rceil}}/{n!!} & \mathrm{if~}n \ge 0\mathrm{~is~odd.}\end{cases}$

여기서 n!!는 이중 팩토리얼이며, $\lfloor\cdot\rfloor$ 와 $\lceil\cdot\rceil$ 는 각각 바닥 함수와 천장 함수이다.

(n−1)차원 단위 구면의 초부피(즉, n차원 단위구의 표면적) A_n은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $A_n = n V_n = \frac{n \pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \frac{2 \pi ^ {n/2}}{\Gamma(n/2)}$

여기서 마지막 등식은 n > 0일 때만 성립한다. A_n 역시 n이 짝수인지 홀수인지에 따라 다르게 표현할 수 있다.

: $A_n = \begin{cases}{2 \pi^{n/2}}/{(n/2 - 1)!} & \mathrm{if~}n \ge 2\mathrm{~is~even,} \\~\\{2 \pi^{\lfloor n/2 \rfloor} 2^{\lceil n/2 \rceil}}/{n!!} = {2(2\pi)^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!} & \mathrm{if~}n \ge 1\mathrm{~is~odd.}\end{cases}$

몇몇 낮은 차원 n에 대한 표면적과 부피 값은 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

$n$	$A_n$ (표면적)		$V_n$ (부피)
0	$0$	0	$1$	1
1	$2$	2	$2$	2
2	$2 \pi$	6.283	$\pi$	3.141
3	$4 \pi$	12.57	$(4/3)\pi$	4.189
4	$2 \pi^2$	19.74	$(1/2)\pi^2$	4.935
5	$(8/3)\pi^2$	26.32	$(8/15)\pi^2$	5.264
6	$\pi^3$	31.01	$(1/6)\pi^3$	5.168
7	$(16/15)\pi^3$	33.07	$(16/105)\pi^3$	4.725
8	$(1/3)\pi^4$	32.47	$(1/24)\pi^4$	4.059
9	$(32/105)\pi^4$	29.69	$(32/945)\pi^4$	3.299
10	$(1/12)\pi^5$	25.50	$(1/120)\pi^5$	2.550

표에서 n ≥ 2일 때 소수점 아래 값은 표시된 정밀도로 반올림한 근사값이다.

2.1.1. 재귀

표면적 A_n과 부피 V_n은 다음과 같은 재귀적인 관계를 갖는다.

표면적 A_n의 값은 다음과 같이 재귀적으로 나타낼 수 있다.
: $A_0 = 0$
: $A_1 = 2$
: $A_2 = 2\pi$
: $A_n = \frac{2 \pi}{n-2} A_{n-2}$ ( $n > 2$ 일 때)

부피 V_n의 값은 다음과 같이 재귀적으로 나타낼 수 있다.
: $V_0 = 1$
: $V_1 = 2$
: $V_n = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2}$ ( $n > 1$ 일 때)

2.1.2. 분수 차원

하우스도르프 측도와 관련하여, 단위구의 표면적 A_n과 부피 V_n 공식은 음이 아닌 정수 n뿐만 아니라, n ≥ 0인 임의의 실수 n에 대해서도 계산할 수 있다. 이는 분수 차원에서의 표면적과 부피를 고려할 수 있게 한다.

n차원 유클리드 n-공간에서 단위 공의 부피 V_n은 감마 함수 Γ를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
:

V_n = \frac{\pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \begin{cases}{\pi^{n/2}}/{(n/2)!} & \mathrm{if~}n \ge 0\mathrm{~is~even} \\[6mu]{2(2\pi)^{(n-1)/2}}/{n!!} & \mathrm{if~}n \ge 0\mathrm{~is~odd,}\end{cases}

여기서 n!!는 이중 계승이다.

(n−1)차원 단위 구면의 초부피(즉, n차원 단위 공의 경계의 "넓이")를 A_n-1로 표기하며 (때로는 n차원 공의 표면적이라는 의미에서 A_n으로 표기하기도 한다), 다음과 같이 표현할 수 있다.
:

A_{n-1} = n V_n = \frac{n \pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \frac{2 \pi ^ {n/2}}{\Gamma(n/2)} = \begin{cases}{2 \pi^{n/2}}/{(n/2 - 1)!} & \mathrm{if~}n \ge 1\mathrm{~is~even} \\[6mu]{2(2\pi)^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!} & \mathrm{if~}n \ge 1\mathrm{~is~odd.}\end{cases}

예를 들어,

A_0 = 2

는 1차원 단위 공

[-1,1] \subset \mathbb{R}

의 경계인 두 점 {−1, 1}의 개수를 나타낸다.

A_1 = 2\pi

는 2차원 단위 공(단위 원판)의 경계인 원주의 길이이다.

A_2 = 4\pi

는 3차원 단위 공

\{ x \in \R^3 : x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \leq 1 \}

의 경계인 구면의 표면적이다.

일부 n 값에 대한 (n−1)차원 표면적과 n차원 부피는 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

$n$	$A_{n-1}$ ((n-1)차원 표면적)		$V_n$ (n차원 부피)
0		0	$(1/0!)\pi^0$	1
1	$2$	2	$2$	2
2	$2 \pi$	6.283	$\pi$	3.141
3	$4 \pi$	12.57	$(4/3)\pi$	4.189
4	$2 \pi^2$	19.74	$(1/2)\pi^2$	4.935
5	$(8/3)\pi^2$	26.32	$(8/15)\pi^2$	5.264
6	$\pi^3$	31.01	$(1/6)\pi^3$	5.168
7	$(16/15)\pi^3$	33.07	$(16/105)\pi^3$	4.725
8	$(1/3)\pi^4$	32.47	$(1/24)\pi^4$	4.059
9	$(32/105)\pi^4$	29.69	$(32/945)\pi^4$	3.299
10	$(1/12)\pi^5$	25.50	$(1/120)\pi^5$	2.550

여기서 n ≥ 2에 대한 소수 값은 표시된 정밀도로 반올림된 근사값이다.

비음수 실수 n에 대해

2^{-n} V_n = \pi ^ {n/2} \big/\, 2^n \Gamma\bigl(1+\tfrac12n\bigr)

값은 하우스도르프 측도의 정규화 상수로 사용되기도 한다.

2.1.3. 다른 반지름

반지름이 $r$ 인 $(n-1)$ 차원 구면의 표면적은 $A_{n-1} r^{n-1}$ 이고, 반지름이 $r$ 인 $n$ 차원 공의 부피는 $V_{n} r^{n}$ 이다. 여기서 $A_{n-1}$ 은 단위 $(n-1)$ -구면의 표면적, $V_n$ 은 단위 $n$ -공의 부피를 의미한다.

예를 들어, 3차원 공간에서 반지름이 $r$ 인 공의 경우, 그 경계인 2차원 구면의 표면적은 $A_2 r^2 = 4\pi r^2$ 이고, 공의 부피는 $V_3 r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$ 이다.

3. 노름 벡터 공간에서의 단위구

노름 $\|\cdot\|$ 을 갖는 노름 벡터 공간 $V$ 에서, 열린 단위구는 다음과 같이 정의된다.
: $\{ x\in V: \|x\|<1 \}$

이는 $(V, \|\cdot\|)$ 의 닫힌 단위구의 위상 내부이다. 닫힌 단위구는 다음과 같이 정의된다.
: $\{ x\in V: \|x\|\le 1\}$

닫힌 단위구는 열린 단위구와 그것들의 공통 경계인 단위 구면(또는 단순히 단위구)의 서로소 합집합으로 구성된다. 단위 구면은 다음과 같이 정의된다.
: $\{ x\in V: \|x\| = 1 \}$

단위구의 '모양'은 어떤 노름을 선택하는지에 따라 달라진다. 예를 들어, 유클리드 거리에 기반한 일반적인 힐베르트 공간 노름에서는 우리가 흔히 생각하는 '둥근' 구 모양이 된다. 하지만 다른 노름을 사용하면 다른 모양이 될 수 있으며, 예를 들어 특정 노름에서는 단위구가 각진 모서리를 가지는 형태가 될 수도 있다.

모든 노름 공간의 단위구는 삼각 부등식 때문에 반드시 볼록 집합이어야 한다.

3.1. Lp 공간에서의 단위구

Lp 공간에서 벡터 $x=(x_1,...x_n)\in \R^n$ 의 $\ell_p$ -노름은 $p \ge 1$ 에 대해 다음과 같이 정의된다.
: $\|x\|_p = \biggl(\sum_{k=1}^n |x_k|^p \biggr)^{1/p}$

이 노름을 사용하여 정의된 단위구 $\{ x\in \R^n: \|x\|_p = 1 \}$ 의 모양은 $p$ 값에 따라 달라진다.
* $p=2$ 일 때, $\|x\|_2$ 는 일반적인 유클리드 거리에 해당하며, 단위구는 우리가 흔히 생각하는 '둥근' 구가 된다. 이는 힐베르트 공간 노름에 해당한다.
* $p=1$ 일 때, $\|x\|_1 = \sum_{k=1}^n |x_k|$ (해밍 노름 또는 맨해튼 거리)이며, 2차원에서는 꼭짓점이 축 위에 있는 마름모 모양이 된다.
* $p=\infty$ 일 때, $\|x\|_\infty = \max_{k} |x_k|$ (최대 노름 또는 체비쇼프 거리)이며, 2차원에서는 변이 축에 평행한 정사각형 $[-1, 1]^2$ 모양이 된다. 즉, '모서리'를 가지는 형태가 될 수 있다.

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$\ell_p$ -노름의 정의에서 $p \ge 1$ 이라는 조건은 중요하다. 이는 삼각 부등식 $\|x+y\|_p \le \|x\|_p + \|y\|_p$ 이 성립하기 위한 조건이며, 이 부등식 때문에 모든 노름 공간의 단위구는 반드시 볼록 집합이 된다. 그림에서 볼 수 있듯이 $p < 1$ 이면 단위구는 오목한 모양을 가지게 되어 노름의 조건을 만족하지 못한다.

2차원 $\ell_p$ 공간에서의 단위구의 둘레 길이 $C_p$ 는 $p$ 값에 따라 변하며, 몇 가지 예시는 다음과 같다.
* $C_1 = 4 \sqrt{2} \approx 5.657$ (최솟값)
* $C_2 = 2 \pi \approx 6.283$
* $C_\infty = 8$ (최댓값)

4. 일반화

단위구와 구면의 정의는 선택된 원점을 기준으로 하는 거리 공간으로 직접 일반화할 수 있다.

4.1. 거리 공간

단위구와 구면의 정의는 선택된 원점을 기준으로 거리 공간으로 일반화될 수 있다. 하지만 위상적인 개념(내부, 폐포, 경계)은 일반적인 유클리드 공간에서와 다르게 적용될 수 있다. 예를 들어, 초거리 공간에서는 단위구와 구면 모두 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이다. 또한 어떤 거리 공간에서는 단위구가 공집합일 수도 있다.

4.2. 이차 형식

선형 공간 $V$ 에 실수 이차 형식 $F: V \to \mathbb{R}$ 가 주어졌을 때, 집합 $\{ p \in V : F(p) = 1 \}$ 은 $V$ 의 단위 구, 단위 준구 또는 단위 구면이라고 불린다. 예를 들어, 이차 형식 $x^2 - y^2$ 을 1로 설정하면 분할 복소수 평면에서 "단위원"과 유사한 역할을 하는 단위 쌍곡선이 생성된다. 마찬가지로, 이차 형식 $x^2$ 은 쌍대수 평면에서 단위 구에 해당하는 한 쌍의 직선을 생성한다.

이차 형식 $F$ 가 음의 값을 가질 수 있을 때, 집합 $\{ x \in V : F(x) = -1 \}$ 을 반구(counter-sphere)라고 부른다.