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해석학 (수학)

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목차

1. 개요

해석학은 17세기에 미적분학의 발전과 함께 시작되었으며, 극한, 연속성, 미분, 적분 등의 개념을 엄밀하게 다루는 수학의 한 분야이다. 고대 그리스 시대부터 극한의 개념이 암묵적으로 사용되었으며, 19세기에 코시, 바이어슈트라스, 리만 등에 의해 엄밀한 기초가 다져졌다. 주요 분야로는 실해석학, 복소해석학, 함수해석학, 조화해석학 등이 있으며, 미적분학을 비롯한 다양한 수학 분야의 기초가 된다. 또한 물리학, 신호 처리 등 다양한 분야에 응용되며, 현대 과학 기술 발전에 필수적인 역할을 한다.

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해석학 (수학)
수학 분야
학문 분야수학
연구함수, 극한, 연속성, 미분, 적분, 급수
세부 분야실해석학
복소해석학
조화 해석학
함수해석학
p-adic 해석학
미분방정식
동역학계
관련 주제
주요 인물고트프리트 빌헬름 라이프니츠
아이작 뉴턴
오귀스탱 루이 코시
카를 바이어슈트라스
베른하르트 리만
앙리 르베그
주요 정리미적분학의 기본 정리
스토크스 정리
역사
기원고대 그리스 수학
발전17세기, 19세기

2. 역사

해석학은 과학 혁명 기간인 17세기에 공식적으로 발전했지만,[2] 그 아이디어의 상당수는 더 이전의 수학자들에게서 비롯됐다. 해석학의 초기 결과는 고대 그리스 수학의 초기 시대에 암묵적으로 존재했다. 예를 들어, 무한 등비 급수는 제논의 분할의 역설에 암묵적으로 나타난다.

이후, 에우독소스와 아르키메데스와 같은 고대 그리스 수학자들은 영역과 입체의 면적과 부피를 계산하기 위해 소진법(또는 구진법)을 사용하면서 극한과 수렴의 개념을 더 명시적으로, 하지만 비공식적으로 사용했다.[57] 무한소의 명시적인 사용은 20세기에 재발견된 아르키메데스의 저서 『기계적 정리의 방법』에 나타난다.[3] 이러한 고대의 업적은 오늘날 적분의 시작으로 볼 수 있지만, 당시에는 일반적인 이론 없이 개별 도형에만 적용되는 한계가 있었다.[57]

아시아에서도 비슷한 시도가 있었다. 중국 수학자 유휘는 서기 3세기에 원의 면적을 구하기 위해 소진법을 사용했다.[4] 인도에서는 자이나교 문헌에 따르면 기원전 4세기 초에 등차 수열과 등비 수열의 합에 대한 공식을 가지고 있었던 것으로 보인다.[5] 아차르야 바드라바후는 기원전 433년에 그의 『칼파수트라』에서 등비 급수의 합을 사용하기도 했다.[6]

2. 1. 미적분학의 탄생과 발전

17세기 유럽에서 현대적인 수학적 분석의 기초가 확립되었다.[2] 페르마와 데카르트는 현대 미적분학의 선구적 개념인 해석 기하학을 발전시켰다. 페르마는 함수의 극대값과 극소값, 곡선의 접선을 구하는 방법을 개발했으며,[10] 데카르트는 1637년 출판한 저서 ''라 지오메트리''에서 데카르트 좌표계를 도입하여 해석학 발전에 기여했다.

이후 뉴턴과 라이프니츠는 서로 독자적으로 미적분을 창시했다. 뉴턴은 고전역학을 연구하는 과정에서 미적분학을 발전시켰고, 미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있다는 중요한 사실(미적분학의 기본 정리)을 발견했다.[57] 또한 멱급수를 활용하여 다양한 함수에 미적분학을 적용하는 방법을 제시했다.[57] 비슷한 시기에[57] 라이프니츠 역시 미적분학을 발견했으며, 오늘날에도 널리 사용되는 미분 기호 \frac{dy}{dx} 와 적분 기호 \int (합계를 의미하는 라틴어 'summa'의 첫 글자 S에서 유래)를 포함한 라이프니츠 표기법을 고안하여 후속 연구의 토대를 마련했다. 뉴턴과 라이프니츠는 미적분학의 주요 영역을 개척했지만, 무한이나 극한과 같은 기본 개념을 엄밀하게 정의하지는 못하여 후대에 비판을 받기도 했다.[57] 두 사람 사이에는 미적분학 발견의 우선권을 두고 논쟁이 있었으나, 현재는 각자 독립적으로 발견한 것으로 인정받고 있다.[57]

미적분학은 18세기에 더욱 발전했다. 테일러(1715년)와 맥클로린(1742년) 등이 중요한 연구 성과를 발표했다. 그러나 영국에서는 많은 과학자들이 뉴턴의 표기법을 고수하면서 대륙에 비해 미적분학 연구 발전이 다소 더디게 진행되었다.[57] 특히 편미분과 같이 여러 변수를 다루는 문제에서는 라이프니츠의 표기법이 더 유용했기 때문이다.[57]

반면, 라이프니츠 표기법을 적극적으로 받아들인 유럽 대륙에서는 베르누이 가문, 로피탈 등을 중심으로 다변수 미적분학, 미분 방정식, 변분법 등 해석학의 여러 분야가 빠르게 발전했다.[57] 18세기에는 오일러가 이러한 다양한 연구들을 통합하고 체계화하여 해석학을 크게 발전시켰다. 오일러는 특히 함수의 개념을 명확히 정의했으며, 그의 저서 『무한 해석 입문』[66] 서두에서 함수를 '해석적 표현식'[67]으로 정의하며 해석학을 함수 연구 중심으로 발전시키는 데 중요한 역할을 했다.[57] 이러한 미적분학의 발전은 이후 변분법, 상미분 방정식과 편미분 방정식, 푸리에 해석, 생성 함수 등 다양한 해석학 분야가 탄생하고 발전하는 기반이 되었다.

2. 2. 해석학의 엄밀화

19세기에 들어서면서 해석학은 이전까지 직관에 의존해 왔던 무한소, 극한, 수렴과 같은 기초 개념에 대한 엄밀한 검토가 이루어지면서 발전하게 되었다.[57] 특히 18세기부터 제기된 "임의의 함수는 삼각급수의 합으로 나타낼 수 있는가?"라는 질문과 푸리에가 열전도 문제 해결을 위해 도입한 푸리에 급수는[57] 이러한 엄밀화 과정을 촉진하는 중요한 계기가 되었다. 푸리에 급수의 수렴성을 엄밀하게 증명하려는 노력 속에서, 그전까지는 명확한 정의 없이 사용되던 급수, 함수, 실수 등의 개념에 대한 엄밀한 기초가 확립되기 시작했다. 푸리에 자신은 현대적인 엄밀함으로 수렴성을 연구하지 않았기에 라그랑주 등이 비판하기도 했으나, 이는 당시 수렴 판정의 어려움을 보여준다.[57]

코시는 1821년 연구를 통해 해석학의 논리적 기초를 다지는 데 중요한 역할을 했다. 그는 오일러 등이 사용했던 대수 일반성 원리를 비판하고, 기하학적 사고와 무한소 개념을 바탕으로 미적분학을 재정립하려 시도했다.[57] 코시는 연속성에 대한 초기 정의(x의 무한소 변화가 y의 무한소 변화를 유발)를 제시하고 코시 수열 개념을 도입했으며,[12] 복소해석학의 형식적 이론 개발에도 기여했다. 또한, 적분 개념을 엄밀하게 정의하여, 부정적분을 정적분으로부터 유도되는 미적분학의 기본 정리 (`d/dx ∫[a,x] f(s)ds = f(x)`)로 제시하는 혁신적인 접근을 보여주었다.[57] 볼차노 역시 1816년에 현대적인 연속성 정의를 도입했으나, 그의 연구는 비교적 늦게 알려졌다.[12]

이 시기 함수 개념 역시 변화를 겪었다. 이전까지 함수는 주로 구체적인 해석적 식으로 표현되는 것으로 여겨졌으나, 디리클레가 푸리에 급수 연구에서 제시한 것처럼[68], 함수를 값들 사이의 대응 관계로 이해하는 현대적 관점이 자리 잡기 시작했다.[57]

그러나 코시의 연구에도 불구하고, 연속성과 균등 연속성, 각 점 수렴과 균등 수렴과 같은 미묘한 개념들은 여전히 명확히 구분되지 않았다.[57] 이러한 개념들을 엄밀하게 정립하고 해석학의 기초를 더욱 공고히 한 인물은 바이어슈트라스였다. 그는 극한을 정의하는 엡실론-델타 논법을 체계화하여 현대 해석학의 표준적인 방법론을 확립했다.[57] 특히 바이어슈트라스는 1875년, 모든 점에서 연속이지만 어디에서도 미분 불가능한 함수(바이어슈트라스 함수)의 예를 제시하여,[57] 당시 널리 받아들여지던 "연속 함수는 유한 개의 점을 제외하고 미분 가능하다"는 통념(앙페르의 정리 관련 오해)을 깨뜨렸다.[57] 이는 미분 가능성에 대한 이해를 근본적으로 바꾸는 계기가 되었다.

리만은 1854년 푸리에 급수 연구의 연장선상에서 적분 개념을 확장하여 리만 적분을 도입했다.[57] 이는 코시의 정의보다 더 넓은 범위의 함수(일부 불연속 함수)에 대해 적분을 가능하게 하여 적분 이론의 발전에 기여했다. 하지만 리만 적분 역시 완전하지는 않았고, 이후 르베그에 의해 더욱 일반적인 르베그 적분 이론으로 발전하게 된다.[57]

해석학의 근본이 되는 실수 체계의 엄밀한 구축 역시 이 시기에 이루어졌다. 수학자들은 증명 없이 실수의 연속성을 가정하는 것에 대한 우려를 표했고, 이에 데데킨트는 유리수 사이의 "틈"을 메우는 데데킨트 절단을 이용하여 실수를 구성했으며,[70] 칸토어 역시 푸리에 급수 연구 과정에서 집합론과 무한의 개념을 발전시키며 실수론에 기여했다.

또한, 이 시기에는 어디에도 연속이 아닌 함수, 공간 채움 곡선 등 직관에 반하는 다양한 "병리적" 함수들이 발견되면서,[57] 함수와 집합의 성질에 대한 더 깊은 탐구가 이루어졌고, 이는 조르당의 측도 이론이나 칸토어의 집합론 발전으로 이어졌다.

2. 3. 집합론과 측도론의 등장

19세기 말, 수학자들은 실수의 연속체와 같은 기본적인 개념을 증명 없이 사용하고 있다는 점에 주목하기 시작했다. 또한 리만 적분의 한계를 넘어서려는 시도 과정에서 실수 함수의 불연속 집합의 "크기"를 측정하는 문제가 중요해졌다. 더불어 어디에도 연속이 아닌 함수, 연속이지만 어디에도 미분 가능하지 않은 함수, 공간 채움 곡선 등 기존의 직관과 어긋나는 병리적 대상들이 발견되면서 새로운 이론의 필요성이 제기되었다.

이러한 배경 속에서 해석학의 기초를 다지는 데 결정적인 역할을 한 것이 바로 집합론이다. 칸토어는 1874년 소박한 집합론이라고 불리는 이론을 창시하여 집합의 개념을 수학적으로 다루기 시작했다. 칸토어의 집합론은 이후 베어, 보렐, 르베그와 같은 수학자들의 연구에 필수적인 토대가 되었다. 베어는 집합론적 관점에서 불연속 함수를 분류하는 중요한 업적을 남겼다[57].

집합론과 더불어 측도론 역시 해석학 발전에 크게 기여했다. 조르당이 측도의 개념을 도입한 이후, 르베그는 보렐의 측도론을 더욱 발전시키고 일반화하여 르베그 측도 이론을 확립했다. 르베그는 이 측도론을 바탕으로 르베그 적분이라는 새로운 적분 이론을 만들었다. 르베그 적분은 기존의 리만 적분으로는 다룰 수 없었던 더 넓은 범위의 함수들을 적분할 수 있게 했으며[57], 이는 리만 적분에 비해 큰 진전으로 평가받는다. 르베그 측도와 적분은 길이, 면적, 부피와 같은 기하학적 개념을 엄밀하게 일반화하여[69], 이전에는 다루기 어려웠던 복잡한 도형의 측정을 가능하게 했다[57].

르베그 적분론의 영향력은 해석학을 넘어 다른 수학 분야로 확장되었다. 특히 콜모고로프는 르베그 적분을 이용하여 확률론을 공리적으로 엄밀하게 정립하는 데 성공했다[57]. 이로 인해 확률론은 현대 수학에서 해석학의 한 분야로 자리 잡게 되었다. 적분 이론은 이후에도 계속 발전하여 위너는 이를 브라운 운동과 같은 복잡한 확률 과정을 수학적으로 분석하는 데 적용하기도 했다[57].

2. 4. 현대 해석학

20세기 초, 미적분학은 공리적 집합론을 사용하여 공식화되었다. 르베그는 측도 이론을 크게 발전시켰고, 리만 적분을 개선한 르베그 적분 이론을 도입했다. 힐베르트는 적분 방정식을 풀기 위해 힐베르트 공간이라는 개념을 도입했으며, 이는 이후 함수해석학 발전의 토대가 되었다. 노름 벡터 공간의 아이디어가 등장했고, 1920년대에 바나흐는 이를 바탕으로 함수해석학을 창시했다. 함수해석학은 함수를 함수 공간의 점으로 간주하여 연구하는 분야로[57], 그 기원은 프레셰의 1906년 추상 공간론[71] 등에서도 찾아볼 수 있다. 폰 노이만은 힐베르트 공간 이론을 더욱 발전시켜 양자역학의 수학적 기초를 확립하는 데 중요한 기여를 했다[57].

또한 20세기에는 편미분 방정식과 푸리에 해석 연구에서 함수와 도함수의 개념을 확장할 필요성이 제기되었다. 슈바르츠는 초함수 및 초함수의 의미에서의 도함수 개념을 도입하여 이러한 문제를 해결했으며[57], 이 업적으로 필즈상을 수상했다. 슈바르츠의 이론은 어떤 의미에서 모든 함수를 미분 가능하게 만들었다고 평가받는다[57]. 이후 사토 미키오는 더 일반적인 개념인 사토 초함수를 도입했다[57]. 함수와 그 초함수 도함수에 적절한 노름을 도입한 소볼레프 공간 역시 편미분 방정식 분야에서 중요한 개념으로 자리 잡았다[57].

19세기에 코시, 리만 등에 의해 발전한 복소해석학과 푸아송, 리우빌, 푸리에 등이 연구한 조화 해석 역시 20세기에도 지속적으로 발전하며 다양한 수학 및 과학 분야에 응용되었다.

한편, 19세기 해석학의 엄밀화 과정에서 배제되었던 무한소 개념을 현대 수리논리학을 이용하여 부활시키려는 시도로 초준해석학이 등장하기도 했다. 이는 무한소 개념을 엄밀하게 다루는 현대적인 접근 방식이다. 이 외에도 범함수가 극값을 갖는 함수를 구하는 문제인 변분법은 물리학 등 다양한 분야에서 널리 응용되고 있다[57].

3. 주요 분야

해석학은 여러 세부 분야로 나뉘어 발전해 왔다. 주요 분야들은 다음과 같다.



수학에서 거리 공간은 집합의 원소들 간의 거리 개념(거리 함수)이 정의된 집합이다. 해석학의 많은 부분은 어떤 거리 공간에서 이루어진다. 가장 일반적으로 사용되는 예로는 실수선, 복소 평면, 유클리드 공간, 다른 벡터 공간 및 정수가 있다. 거리가 없는 해석학의 예로는 측도론 (거리 대신 크기를 설명)과 함수해석학 (거리 개념이 필요 없는 위상 벡터 공간을 연구)이 있다.

형식적으로, 거리 공간은 (M,d)의 순서쌍이며, 여기서 M은 집합이고 d는 M에 대한 거리 함수이다. 즉, 다음과 같은 함수이다.

:d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}

임의의 x, y, z \in M에 대해 다음이 성립한다.

# d(x,y) \geq 0, 필요충분 조건은 x = y    (''식별 불가능성의 동일성'')

# d(x,y) = d(y,x)    (''대칭성'')

# d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)    (''삼각 부등식'')

세 번째 속성을 사용하고 z=x로 두면 d(x,y) \ge 0     (''음이 아닌 값'')임을 보일 수 있다.

3. 1. 미적분학

미적분학은 함수의 극한, 연속, 미분, 적분 등을 다루는 해석학의 핵심 분야이다. 19세기에 들어서면서 해석학은 이전까지 직관에 의존했던 무한소, 극한, 수렴과 같은 기초 개념에 대한 엄밀한 검토가 이루어지면서 발전했다.

18세기부터 현의 진동을 나타내는 미분방정식으로부터 "임의의 함수는 삼각급수의 합으로 나타낼 수 있는가?"라는 문제가 제기되었다. 이와 관련하여 푸리에가 열전도 문제에서 사용한 푸리에 급수

:y(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum^{\infty}_{k=0}(a_{k}\cos{kx}+b_{k}\sin{kx})

가 중요하게 부각되었다. 푸리에 급수는 19세기 수학에서 중요한 역할을 했으며, 이 급수의 수렴을 엄밀하게 증명하려는 과정에서 급수, 함수, 실수 등 현대 해석학의 기본 개념들이 엄밀하게 정립되어 갔다.

푸리에 자신은 현대적인 엄밀함으로 수렴을 연구하지 않았고, 당시에는 급수의 수렴 판정이 어려운 문제였다.[57] 코시 등이 처음으로 일반적인 급수 수렴 문제를 다루었지만, 그들의 이해도 완전하지는 않았다.[57] 푸리에 급수의 수렴 문제에 대한 충분 조건을 제시한 디리클레의 연구[68]는 해석학의 엄밀화에 중요한 기여를 했다.[57]

함수 개념도 이 시기에 변화했다. 이전에는 함수를 구체적인 식으로 나타낼 수 있는 것(해석적 식)으로 여겼으나, 디리클레의 연구[68] 이후 함수는 값의 대응 관계로 인식되기 시작했다.[57] 푸리에 급수 연구는 기존의 미적분 계산이 일반적인 함수에 대해서도 성립하는지에 대한 의문을 제기했고, 극한과 수렴에 대한 엄밀한 이론의 필요성을 높였다. 코시와 볼차노 등은 극한, 연속, 미분, 적분 가능성을 엄밀하게 논의했다.[57]

코시는 정적분을 먼저 정의하고, 부정적분을 미적분학의 기본 정리의 형태로 유도하는 혁신적인 접근을 보였다.[57]

:\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(s)ds=f(x)

그러나 코시조차 연속과 균등 연속, 각 점 수렴과 균등 수렴을 명확히 구분하지 못했다. 이러한 기본 개념의 정립은 바이어슈트라스의 기여로 이루어졌다.[57]

리만은 1854년 푸리에 급수 연구에서 코시의 적분 개념을 확장하여 리만 적분을 도입했지만, 이 역시 불완전했다. 실변수 함수의 완전한 적분 이론은 20세기 르베그의 르베그 적분 등장으로 완성되었다.[57]

미분 가능성에 대한 엄밀한 논의도 이루어졌다. 19세기 전반까지는 모든 연속 함수가 일부 점을 제외하고 미분 가능하다고 여겨졌으나(앙페르의 정리), 이는 잘못된 믿음이었다. 바이어슈트라스가 1875년 연속이지만 미분 불가능한 함수를 제시하면서 이 문제가 명확해졌다.[57]

미적분학의 주요 개념은 다음과 같다.

3. 2. 실해석학

실해석학(전통적으로 "실변수 함수의 이론")은 실수와 실변수의 실수 값 함수를 다루는 수학적 해석학의 한 분야이다.[13][14] 구체적으로는 실변수 함수의 미분과 적분 등을 엄밀한 방법으로 연구하며, 실수의 수열과 그 수렴, 극한, 급수, 측도, 실함수의 연속성, 매끄러움 및 관련 속성 등 실 함수 및 수열의 해석적 속성을 다룬다.

19세기에 들어서면서 해석학은 이전까지 직관에 의존했던 무한소, 극한, 수렴과 같은 기초 개념에 대한 의문이 제기되었고, 이를 엄밀하게 정의하려는 노력 속에서 발전하게 되었다. 특히 18세기부터 제기된 "임의의 함수를 삼각급수의 합으로 나타낼 수 있는가?"라는 문제는 푸리에가 열전도 문제를 다루며 사용한 푸리에 급수

:y(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum^{\infty}_{k=0}(a_{k}\cos{kx}+b_{k}\sin{kx})

를 통해 중요한 논의로 부상했다. 이 푸리에 급수는 19세기 수학에서 중요한 역할을 했으며, 급수의 수렴성을 엄밀하게 증명하는 과정에서 이전에는 엄밀함이 덜 요구되었던 급수, 함수, 실수 등의 개념에 대한 현대적인 정의와 기초가 확립되었다.

함수 개념 역시 이 시기에 현대화되기 시작했다. 오일러 시대에는 함수를 구체적인 해석적인 식으로 나타낼 수 있는 것으로 여겼으나[66], 푸리에 급수에 관한 디리클레의 연구[68]를 통해 함수를 값의 '대응 관계'로 인식하는 방향으로 변화했다.[57] 푸리에 급수 연구는 기존의 직관적인 미적분 계산이 일반적인 함수에 대해서도 유효한지에 대한 의문을 제기했고, 이는 수렴과 극한에 대한 엄밀한 이론의 필요성으로 이어졌다. 코시와 볼차노 등은 무한소와 같은 모호한 개념 대신 극한, 연속성, 미분 및 적분 가능성을 엄밀하게 정의하고자 했다.[57]

예를 들어, 오일러까지는 부정적분을 미분의 역연산으로 보았지만, 코시는 먼저 정적분을 정의하고 미적분학의 기본 정리를 통해 부정적분을

:\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(s)ds=f(x)

로 유도하는 혁신적인 접근을 보였다.[57] 하지만 코시조차도 연속과 균등 연속, 각 점 수렴과 균등 수렴과 같은 개념을 명확히 구분하지는 못했으며, 이러한 기본 개념들이 정립되고 그 중요성이 인식되기까지는 바이어슈트라스의 연구가 필요했다.[57]

리만은 1854년 푸리에 급수 연구 과정에서 코시의 적분 개념을 확장하여 일부 불연속 함수도 적분할 수 있는 리만 적분을 도입했다. 그러나 리만 적분 역시 완전하지 않았고, 실변수 함수에 대한 완전한 적분 이론은 20세기에 들어선 1902년 르베그가 르베그 적분을 제시하면서 완성되었다.[57]

수렴과 적분뿐만 아니라 미분에 대한 엄밀화도 이루어졌다. 18세기 이전에는 함수의 미분 가능성이 당연시되었지만, 코시 등에 의해 연속성에 대한 엄밀한 개념이 도입되면서 이 기초가 흔들렸다.[57] 모든 연속 함수가 미분 가능한지에 대한 의문이 제기된 것이다. 19세기 전반까지는 "모든 연속 함수는 유한 개의 점을 제외하고 미분 가능하다"는 앙페르의 정리가 무조건 성립한다는 믿음이 있었으나, 이는 잘못된 생각이었다. 바이어슈트라스가 1875년 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능한 함수를 발표하면서 이러한 믿음은 깨지게 되었다.[57]

해석학의 근본은 실수의 성질에 있으며, 데데킨트와 칸토어는 실수의 성질을 깊이 연구하여 실수를 특징짓는 조건을 찾아냈다. 칸토어는 푸리에 급수 연구를 통해 실수를 논했으며, 이 과정에서 실수의 개념과 무한 집합과 같은 중요한 개념들이 형성되었다. 데데킨트 절단과 같은 실수의 정의 방식 외에도 코시, 바이어슈트라스, 볼차노 등 여러 수학자들이 다양한 방식으로 실수를 정의하려 시도했다. 겉보기에는 다양한 정의들이 존재하지만, 이들은 고전 논리의 범위 내에서 모두 동치임이 증명되었다.[70]

3. 3. 복소해석학

복소해석학은 전통적으로 복소변수 함수론이라고도 불리며, 복소수를 변수로 갖는 함수를 연구하는 해석학의 한 분야이다. 특히 복소수 위에서 미분 가능한 함수, 즉 해석 함수(또는 더 일반적으로 유리형 함수)를 주로 다룬다. 해석 함수의 실수 부분과 허수 부분은 라플라스 방정식을 만족시키기 때문에, 복소해석학은 물리학의 2차원 문제 해결에 널리 응용된다.

19세기에 들어 해석학은 본격적으로 복소수를 다루기 시작했다. 코시는 기존의 정적분 계산 등이 복소 변수 함수를 이용하면 더 쉽게 해결될 수 있음을 발견했다. 이후 바이어슈트라스와 리만에 의해 일변수 복소함수 이론이 체계적으로 정립되면서 복소해석학은 독립된 수학 분야로 자리 잡았다. 20세기에는 앙리 카르탕과 오카 키요시 등이 다변수 복소함수 이론을 발전시켰다.

복소해석학의 주요 연구 대상으로는 해석 함수, 코시-리만 방정식, 복소선적분(코시 적분 공식, 코시 적분 정리), 유수와 유수 정리, 로랑 급수 등이 있다. 또한 타원 함수 이론이나 소수 정리와도 깊은 관련이 있다.[57]

복소해석학은 대수기하학, 정수론, 응용수학 등 다양한 수학 분야뿐만 아니라, 유체역학, 열역학, 기계공학, 전기공학 등 물리학 및 공학 분야, 특히 양자장론에서도 중요한 도구로 사용된다.

3. 4. 함수해석학

함수 해석학은 수학적 해석학의 한 분야로, 어떤 종류의 극한 관련 구조(예: 내적, 노름, 위상 등)가 부여된 벡터 공간과 이 공간 위에서 작용하며 이러한 구조를 보존하는 선형 연산자를 연구하는 것을 핵심으로 한다. 구체적으로는 함수 공간을 연구하며, 바나흐 공간이나 힐베르트 공간과 같은 개념을 다룬다.

함수 해석학의 역사적 기원은 함수 공간 연구와 푸리에 변환 같은 함수 변환의 성질을 탐구하는 데서 찾을 수 있다. 이러한 변환들은 함수 공간 사이에서 연속성이나 유니타리성 등의 성질을 가지는 연산자로 공식화되었다. 이러한 접근 방식은 특히 미분 방정식과 적분 방정식 연구에 매우 유용함이 밝혀졌다.

미분법이 함수의 극값을 찾는 문제라면, 이를 일반화하여 주어진 범함수가 극값을 갖는 함수를 찾는 문제가 변분법이며, 이는 물리학에서 널리 응용된다.[57] 범함수 해석학을 더욱 일반화하여 함수를 함수 공간의 점으로 간주하면서 함수 해석학이 탄생했다. 그 기원은 프레셰가 1906년에 제시한 추상 공간론[71] 등에서도 찾아볼 수 있지만, 근본적인 뿌리는 적분 방정식 연구에 있다고 여겨진다.[57] 이 과정에서 디리클레 문제가 중요해졌고, 이를 해결하기 위해 디리클레 원리의 정당화가 필요했다.[57] 초기 연구자인 프레드홀름은 성공하지 못했지만, 힐베르트가 이를 정당화하는 데 성공하고 적분 방정식 연구를 진척시켰다. 이후 노이만은 이를 더욱 일반화하여 힐베르트 공간 이론을 발전시켰고, 이는 양자역학의 수학적 기초를 마련하는 데 기여했다.[57]

3. 5. 조화해석학

조화 해석학은 기본적인 함수와 신호를 기본적인 파동의 중첩으로 표현하는 것을 다루는 수학적 해석학의 한 분야이다. 여기에는 푸리에 급수와 푸리에 변환 (푸리에 해석학) 및 그 일반화에 대한 연구가 포함된다. 조화 해석학은 음악 이론, 정수론, 표현론, 신호 처리, 양자 역학, 조석 분석, 신경과학과 같은 다양한 분야에 응용된다.

3. 6. 미분 방정식

미분 방정식은 하나 또는 여러 변수의 미지 함수에 대한 수학적 방정식으로, 함수 자체의 값과 다양한 차수의 도함수 간의 관계를 나타낸다.[15][16] 미분 방정식은 공학, 물리학, 경제학, 생물학 및 기타 여러 분야에서 중요한 역할을 수행한다.

미분 방정식은 과학 및 기술의 다양한 영역에서 나타나는데, 특히 연속적으로 변화하는 양(함수로 표현됨)과 그 변화율(도함수로 표현됨) 사이의 결정론적 관계가 알려져 있거나 가정될 때 사용된다. 예를 들어, 고전 역학에서는 물체의 운동을 시간에 따른 위치와 속도로 설명한다. 뉴턴의 법칙은 위치, 속도, 가속도, 그리고 물체에 작용하는 여러 힘 사이의 관계를 통해 물체의 운동을 미분 방정식으로 표현할 수 있게 한다. 이러한 방정식을 운동 방정식이라고 부르며, 경우에 따라 명시적인 해를 구할 수도 있다.

미분 방정식의 주요 분야 및 관련 응용은 다음과 같다.

  • 상미분방정식
  • 편미분방정식
  • 확률 미분 방정식
  • 적분방정식
  • 함수방정식
  • 변분법
  • 수리 모델
  • * 단진동
  • * 지수함수적 감쇠
  • * 해석역학
  • * 유체역학
  • * 비선형 과학
  • * 수리물리학

3. 7. 측도론

집합에 대한 측도는 직관적으로 크기로 해석되는, 집합의 각 적절한 부분집합에 숫자를 할당하는 체계적인 방법이다.[17] 이러한 의미에서 측도는 길이, 면적, 부피 개념의 일반화이다. 특히 중요한 예는 유클리드 공간에 대한 르베그 측도로, n차원 유클리드 공간 \mathbb{R}^n의 적절한 부분집합에 유클리드 기하학의 전통적인 길이, 면적, 부피를 할당한다. 예를 들어, 실수의 구간 \left[0, 1\right]의 르베그 측도는 단어의 일상적인 의미에서의 길이, 즉 1이다.

기술적으로, 측도는 집합 X의 (특정) 부분집합에 0이 아닌 실수 또는 +∞를 할당하는 함수이다. 측도는 공집합에 0을 할당해야 하며, 가산적이어야 한다. 즉, 유한(또는 가산) 개의 '더 작은' 서로소 부분집합으로 분해될 수 있는 '큰' 부분집합의 측도는 '더 작은' 부분집합의 측도의 합이다. 일반적으로, 측도의 다른 공리를 만족하면서 주어진 집합의 ''모든'' 부분집합에 ''일관된'' 크기를 연관시키려면 계수 측도와 같은 사소한 예만 찾을 수 있다. 이 문제는 측도를 모든 부분집합의 하위 집합(소위 ''가측'' 부분집합)에서만 정의함으로써 해결되었으며, 이는 \sigma-대수를 형성해야 한다. 이는 가측 부분집합의 공집합, 가산 합집합, 가산 교집합 및 여집합이 가측임을 의미한다. 르베그 측도를 일관되게 정의할 수 없는 유클리드 공간의 비가측 집합은 여집합과 심하게 뒤섞인다는 의미에서 필연적으로 복잡하다. 실제로, 그들의 존재는 선택 공리의 비자명한 결과이다.

해석학의 기초를 다지는 데 있어 집합론의 역할은 중요하며, 1874년 칸토어에 의해 본격적으로 도입되었다. 특히 R. 베어, 보렐, 르베그 등의 업적에는 집합론이 필수적이었다. 르베그는 보렐의 측도론을 일반화하여 르베그 측도를 도입함으로써 르베그 적분론을 정식화했다.[57] 이를 통해 길이, 면적, 부피 등을 완전히 일반화하는 데 성공했으며[69], 복잡한 도형, 예를 들어 곡선이나 곡면의 길이와 면적 등을 논하는 것이 가능해졌다.[57]

더욱이 르베그 적분론은 콜모고로프에 의해 확률론의 엄밀화에도 사용되었으며[57], 확률론을 현대 해석학으로 다루는 것을 가능하게 했다. 이 때문에 순수 수학으로서의 확률론은 현대 수학에서는 해석학의 한 분야로 분류된다. 적분의 이론은 더욱 일반화되어 응용 범위도 넓어졌으며, 예를 들어 위너에 의해 브라운 운동과 같은 복잡한 현상조차 수학적으로 다루는 것이 가능해졌다.[57]

3. 8. 수치해석학

수치해석학은 연속적인 문제를 알고리즘을 통해 근사하는 방법을 연구하는 분야이다. 이는 수학적 분석 문제에 대한 수치적 근사를 사용하는 알고리즘에 대한 연구로, 일반적인 기호 조작과는 구별된다.[18]

현대의 수치 해석은 정확한 해를 구하는 것이 현실적으로 불가능한 경우가 많기 때문에, 이를 직접적인 목표로 삼지 않는다. 대신 오차 범위를 관리하면서 근사해를 구하는 데 중점을 둔다.

수치 해석은 모든 공학 및 자연과학 분야에 폭넓게 응용된다. 21세기 들어서는 생명과학이나 예술 분야에서도 과학적 계산 요소가 도입되었다. 예를 들어, 상미분 방정식은 천체 역학(행성, 별, 은하) 연구에, 수치 선형대수는 데이터 분석에 중요하게 사용된다. 또한 확률 미분 방정식과 마르코프 연쇄는 의학 및 생물학 분야에서 살아있는 세포를 시뮬레이션하는 데 필수적이다.

3. 9. 벡터 해석

'''벡터 해석'''은 '''벡터 미적분학'''이라고도 하며, 벡터 값 함수를 다루는 수학적 분석의 한 분야이다.[19]

3. 10. 스칼라 해석

스칼라 해석은 방향과 관계없이 크기만을 다루는 값을 연구하는 해석학의 한 분야이다. 예를 들어, 온도와 같은 값은 방향, 힘, 변위 등과 무관하게 값의 크기만을 나타내므로 스칼라에 해당한다.

3. 11. 텐서 해석

텐서 해석은 텐서장의 개념을 다루는 해석학의 한 분야이다.

3. 12. 기타 분야


  • 변분법: 일반적인 미적분학이 함수를 다루는 것과 달리, 범함수의 최대/최소 문제를 다룬다.
  • 기하해석학: 편미분 방정식 연구에 기하학적 방법을 사용하거나, 편미분 방정식 이론을 기하학에 적용하는 분야이다.
  • p진 해석학: p진수 체계 위에서 해석학을 연구한다. 이는 실수나 복소수 위에서의 해석학과 다른 독특한 특징을 보인다.
  • 계산 가능 해석학: 해석학의 여러 개념 중 어떤 부분을 계산 가능한 방식으로 형식화하고 연구할 수 있는지 탐구한다.
  • 확률 미적분학: 확률 과정을 다루기 위해 개발된 해석학적 도구들을 연구한다.
  • 집합값 해석학: 해석학과 위상수학의 개념들을 집합값 함수, 즉 함수의 값이 단일 원소가 아닌 집합인 경우에 적용하는 분야이다.
  • 볼록 해석학: 볼록 집합과 볼록 함수의 성질 및 최적화 문제 등을 연구한다.
  • 멱등 해석학: 덧셈 연산이 멱등적(A + A = A)인 멱등 반환 구조 위에서 해석학을 연구한다. 덧셈에 대한 역원이 존재하지 않는 특징을 가진다.
  • 열대 해석학: 최대-플러스 대수 또는 최소-플러스 대수라고도 불리는 열대 반환 위에서의 해석학을 다룬다. 멱등 해석학의 한 분야이다.
  • 구성적 해석학: 고전 논리 대신 구성적 논리와 집합론을 기반으로 해석학을 재구성한다.
  • 직관주의적 해석학: 구성적 해석학과 유사하게 구성적 논리를 사용하지만, 선택 수열과 같은 직관주의적 개념을 추가로 도입한다.
  • 비모순적 해석학: 비모순적 논리와 집합론을 기반으로 하는 해석학이다.
  • 매끄러운 무한소 해석학: 무한소를 엄밀하게 다루기 위해 매끄러운 토포스라는 수학적 구조 위에서 전개되는 해석학이다.

4. 응용

해석학은 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 학문 분야뿐만 아니라 수학 자체의 여러 분야에서도 광범위하게 응용되는 중요한 도구이다. 자연 현상을 수학적으로 모델링하고 분석하는 데 필수적인 개념과 기법들을 제공하기 때문이다.

물리학에서는 고전역학, 상대성 이론, 양자역학 등 대부분의 이론이 해석학, 특히 미분 방정식을 기반으로 한다. 또한 신호 처리 분야에서는 푸리에 분석과 같은 해석학적 도구를 사용하여 음성, 전파, 이미지 등 다양한 신호를 분석하고 처리한다.[20]

수학 내에서도 해석학의 기법들은 해석적 정수론, 해석적 조합론, 미분 기하학, 확률론 등 여러 세부 분야의 발전에 핵심적인 역할을 수행하고 있다.

4. 1. 물리학

고전역학, 상대성 이론, 양자역학의 대부분은 응용 해석학, 특히 미분 방정식에 기반을 두고 있다. 중요한 미분 방정식의 예로는 뉴턴의 운동 법칙, 슈뢰딩거 방정식, 아인슈타인 방정식 등이 있다.

함수 해석학 또한 양자역학의 주요 요소이다.

4. 2. 신호 처리

신호 처리 분야에서는 음성, 전파, 빛, 지진파, 그리고 심지어 이미지와 같은 다양한 신호를 다룬다. 이때 푸리에 분석을 이용하면 복잡한 파형을 개별적인 주파수 성분으로 분리할 수 있어, 특정 성분을 감지하거나 제거하기 쉬워진다. 많은 신호 처리 기법은 신호에 푸리에 변환을 적용하고, 변환된 데이터를 간단하게 조작한 뒤, 다시 원래 신호로 되돌리는 과정을 거친다.[20]

4. 3. 수학의 다른 분야

해석학의 기법은 다음을 포함한 다양한 수학 분야에서 사용된다.

  • 해석적 정수론
  • 해석적 조합론
  • 연속 확률
  • 정보 이론에서의 미분 엔트로피
  • 미분 게임
  • 미분 기하학, 복잡한 내부 구조를 가지지만 국소적으로는 단순하게 동작하는 다양체로 알려진 특정 수학적 공간에 미적분학을 적용한 분야
  • 미분 가능 다양체
  • 미분 위상수학
  • 편미분 방정식

참조

[1] 서적 Real and Abstract Analysis Springer-Verlag 1965
[2] 서적 A History of Analysis https://books.google[...] American Mathematical Society 2015-11-15
[3] 서적 Infinitesimal Methods of Mathematical Analysis https://books.google[...] Horwood Publishing 2015-11-15
[4] 서적 A comparison of Archimedes' and Liu Hui's studies of circles https://books.google[...] Springer 2015-11-15
[5] 간행물 On the Use of Series in Hindu Mathematics https://www.jstor.or[...] 1936
[6] 간행물 Summation of Convergent Geometric Series and the concept of approachable Sunya https://insa.nic.in/[...] 2013
[7] 서적 Calculus: Early Transcendentals https://books.google[...] Jones & Bartlett Learning 2015-11-15
[8] 간행물 The positive sciences of the ancient Hindus 1915
[9] 간행물 On an untapped source of medieval Keralese Mathematics 1978-06
[10] 웹사이트 Pierre de Fermat http://www.math.rutg[...] 2008-02-24
[11] 서적 Euler: The Master of Us All https://archive.org/[...] The Mathematical Association of America 1999
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[13] 서적 Principles of Mathematical Analysis https://archive.org/[...] McGraw–Hill 1976
[14] 서적 Understanding Analysis Springer-Verlag 2001
[15] 서적 Ordinary Differential Equations https://books.google[...] Dover Publications 1956
[16] 서적 Lectures on Ordinary Differential Equations Dover Publications
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[18] 서적 Introduction to Numerical Analysis McGraw-Hill 1974
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[20] 서적 Theory and Application of Digital Signal Processing https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1975
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[22] 웹사이트 Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I https://archive.org/[...]
[23] 웹사이트 Основы математического анализа. Том II https://archive.org/[...]
[24] 웹사이트 Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том III https://archive.org/[...]
[25] 서적 The Fundamentals of Mathematical Analysis: International Series in Pure and Applied Mathematics, Volume 1
[26] 서적 The Fundamentals of Mathematical Analysis: International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, Vol. 73-II
[27] 웹사이트 A Course of Mathematical Analysis Vol 1 https://archive.org/[...]
[28] 웹사이트 A Course of Mathematical Analysis Vol 2 https://archive.org/[...]
[29] 서적 Mathematical Analysis I
[30] 서적 Mathematical Analysis II
[31] 웹사이트 A Course of Higher Mathematics Vol 3 1 Linear Algebra https://archive.org/[...]
[32] 웹사이트 A Course of Higher Mathematics Vol 2 Advanced Calculus https://archive.org/[...]
[33] 웹사이트 A Course of Higher Mathematics Vol 3-2 Complex Variables Special Functions https://archive.org/[...]
[34] 웹사이트 A Course of Higher Mathematics Vol 4 Integral and Partial Differential Equations https://archive.org/[...]
[35] 웹사이트 A Course of Higher Mathematics Vol 5 Integration and Functional Analysis https://archive.org/[...]
[36] 웹사이트 Differential and Integral Calculus https://archive.org/[...]
[37] 웹사이트 A Course of Mathematical Analysis https://archive.org/[...]
[38] 서적 Mathematical Analysis: A Special Course
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[40] 웹사이트 Theory of functions of a real variable =Teoria functsiy veshchestvennoy peremennoy https://archive.org/[...]
[41] 웹사이트 Problems in Mathematical Analysis https://archive.org/[...]
[42] 서적 Problems and Theorems in Analysis I: Series. Integral Calculus. Theory of Functions
[43] 서적 Problems and Theorems in Analysis II: Theory of Functions. Zeros. Polynomials. Determinants. Number Theory. Geometry
[44] 서적 Mathematical Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus, 2nd Edition
[45] 서적 Principles of Mathematical Analysis
[46] 서적 Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces
[47] 서적 Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable 1979-01-01
[48] 서적 Complex Analysis
[49] 서적 Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis
[50] 서적 Analysis I: Third Edition
[51] 서적 Analysis II: Third Edition
[52] 서적 Analysis I 2004
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[65] 문서 ハーディの記事参照
[66] 서적 オイラーの無限解析 海鳴社 2001
[67] 문서 解析という単語自体の意味が時代によって異なることに注意されたい。当時は初等代数の展開や因数分解のような演算のごとく、微積分も公式を用いてそのような初等代数と同様に計算できるようなものと認識されており、イプシロンデルタ論法にみられるような厳密化はまだであった。だが、オイラーも解析的(多項式で表せる函数)と[[初等関数|初等超越函数]]との区別はしていたようである。詳細な議論は{{harv|長岡亮介|2000}}などを参照。
[68] 간행물 P. G. L. Dirichlet, J. Reine Angew. Math., 4(1829), 157-169.
[69] 서적 ルベーグ積分長さ及び面積 http://www.kyoritsu-[...] 共立出版 1969
[70] 서적 数学の基礎 http://www.nippyo.co[...] 日本評論社 2008
[71] 서적 抽象空間論 http://www.kyoritsu-[...] 共立出版


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