해석기하학

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1. 개요

해석기하학은 좌표 개념을 사용하여 기하학적 문제를 대수적으로 해결하는 수학의 한 분야이다. 르네 데카르트의 저서에서 시작되어 아이작 뉴턴에 의해 '해석기하학'이라는 명칭으로 사용되었으며, 고대 그리스, 페르시아 등에서 그 기원을 찾아볼 수 있다. 데카르트 좌표계, 극좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계와 같은 다양한 좌표계를 사용하며, 방정식과 도형 간의 관계를 통해 직선, 평면, 원뿔 곡선, 이차 곡면 등을 표현한다. 거리와 각도, 변환, 교점 등을 공식화하여 기하학적 개념을 다루며, 접선과 법선 등의 개념 또한 해석기하학의 중요한 부분이다.

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해석기하학

2. 역사

해석기하학은 "좌표" 개념의 등장과 함께 시작되었다. 르네 데카르트의 저서 『방법서설』에서 처음 등장했으며, 고트프리트 라이프니츠 이후에 명확하게 사용되었다.^[26]

르네 데카르트는 좌표를 사용하여 공간에 있는 점들을 알아내는 방법을 설명한 책을 출간하면서 해석기하학이 시작되었다고 할 수 있다. 데카르트는 처음으로 그래프를 그려 수학적 함수를 기하학적으로 해석하였다. 오늘날의 카테시안 좌표는 데카르트의 라틴어 이름인 '레나투스 카르테시우스'에서 유래한 것이다. 거의 같은 시기에 피에르 드 페르마도 좌표기하학에 대한 아이디어를 확립했지만, 데카르트와 달리 자신의 연구를 발표하지 않았다. 오늘날의 카테시안 좌표는 데카르트와 페르마의 연구로 완성된 것이다.

"해석기하학"이라는 말은 아이작 뉴턴의 저서 『Geometria Analitica』부터 사용되기 시작하여, 18세기 말부터 19세기 초에 현재의 형태가 되었다.^[26]

2. 1. 고대 그리스

그리스 수학자 메나이크무스는 좌표 사용과 매우 유사한 방법을 사용하여 문제를 해결하고 정리를 증명했으며, 해석 기하학을 도입했다고 주장되기도 한다.^[1]

페르가의 아폴로니우스는 ''결정 단면론''에서 1차원 해석 기하학이라고 부를 수 있는 방식으로 문제를 다루었으며, 선 위의 점들이 다른 점들과의 비율을 찾는 문제였다.^[2] 아폴로니우스는 ''원뿔 곡선론''에서 해석 기하학과 매우 유사한 방법을 더욱 발전시켰으며, 그의 연구는 데카르트의 연구보다 약 1800년 앞선 것으로 여겨지기도 한다. 그가 사용한 기준선, 즉 지름과 접선은 현대의 좌표계 사용과 본질적으로 다르지 않다. 여기서 접점에서 지름을 따라 측정된 거리는 횡좌표이고, 접선과 평행하며 축과 곡선 사이에 있는 선분은 종좌표이다. 그는 또한 횡좌표와 해당 종좌표 간의 관계를 더욱 발전시켰으며, 이는 곡선의 수사적 방정식(단어로 표현)과 동일하다. 그러나 아폴로니우스는 해석 기하학을 개발하는 데 근접했지만, 음의 크기를 고려하지 않았고, 모든 경우에 좌표계는 ''사후적''으로 주어진 곡선 위에 겹쳐졌으며, ''사전적''으로 겹쳐지지 않았기 때문에 그렇게 하지 못했다. 즉, 방정식은 곡선에 의해 결정되었지만 곡선은 방정식에 의해 결정되지 않았다. 좌표, 변수 및 방정식은 특정 기하학적 상황에 적용된 부차적인 개념이었다.^[3]

2. 2. 페르시아

11세기 페르시아 수학자 오마르 하이얌은 기하학과 대수 사이의 강력한 관계를 인식하고, 일반적인 3차 방정식의 기하학적 해법을 통해 수치 대수와 기하 대수 사이의 격차를 좁히는 데 기여했다.^[4]^[5] 대수기하학의 기초를 확립한 것으로 평가받는 오마르 하이얌의 저서 ''대수 문제 증명 논문''(1070)은 유럽으로 전해진 페르시아 수학의 일부이다.^[6] 대수 방정식을 위한 그의 철저한 기하학적 접근 방식 때문에, 하이얌은 해석 기하학 발명에 있어 르네 데카르트의 선구자로 여겨질 수 있다.^[7]

2. 3. 서유럽

르네 데카르트와 피에르 드 페르마는 독립적으로 해석기하학을 발전시켰다.^[8]^[9] 데카르트는 1637년 자신의 저서 ''방법서설''과 함께 출판된 세 개의 부록 중 하나인 ''라 지오메트리(기하학)''에서 이 방법들을 상당히 발전시켰다. 이 에세이는 프랑스어로 쓰였으며, 유럽에서 미적분학의 기초를 제공했다. 처음에는 논증의 많은 공백과 복잡한 방정식 때문에 호평을 받지 못했지만, 1649년 프란스 반 스코텐에 의한 라틴어 번역과 해설이 추가된 후에야 데카르트의 걸작은 인정을 받았다.^[12]

페르마도 해석기하학 발전에 기여했다. 그의 생전에 출판되지는 않았지만, ''Ad locos planos et solidos isagoge''(평면 및 입체 궤적 입문)의 원고가 1637년 데카르트의 ''방법서설'' 출판 직전에 파리에서 유통되었다.^[13]^[14]^[15] 명확하게 작성되고 호평을 받은 ''서론''은 해석기하학의 토대를 마련했다. 페르마와 데카르트의 처리 방식의 주요 차이점은 관점의 문제였다. 페르마는 항상 대수적 방정식으로 시작하여 그 방정식을 만족하는 기하학적 곡선을 설명한 반면, 데카르트는 기하학적 곡선으로 시작하여 곡선의 여러 속성 중 하나로 그 방정식을 만들었다.^[12] 이러한 접근 방식의 결과로 데카르트는 더 복잡한 방정식을 다루어야 했고 고차 다항 방정식으로 작업하는 방법을 개발해야 했다. 공간 곡선과 표면에 대한 체계적인 연구에서 좌표 방법을 처음 적용한 사람은 레온하르트 오일러였다.

2. 4. 한국

조선시대 최석정의 九數略^중국어에는 좌표와 관련된 개념이 나타나지만, 본격적인 해석기하학은 서구 수학의 도입과 함께 발전했다. 일제강점기에는 일본을 통해 해석기하학이 교육되었으며, 해방 이후에는 미국의 영향을 받아 교육과정이 개편되었다. 현재 한국의 수학 교육과정에서 해석기하학은 중요한 위치를 차지하며, 특히 이과 학생들에게 필수적인 과목으로 여겨진다.

3. 좌표계

해석 기하학에서, 유클리드 평면은 좌표계를 가지며, 모든 점은 한 쌍의 실수 좌표를 갖는다. 마찬가지로, 유클리드 공간은 모든 점이 세 개의 좌표를 갖는 좌표를 가진다. 좌표의 값은 원점의 초기 선택에 따라 달라진다. 다양한 좌표계가 사용된다.^[16]

데카르트 좌표 평면. 녹색 (2,3), 빨간색 (−3,1), 파란색 (−1.5,−2.5), 보라색 원점 (0,0)으로 표시됨.

3. 1. 데카르트 좌표계

가장 널리 사용되는 좌표계는 데카르트 좌표계로, 각 점은 수평 위치를 나타내는 ''x'' 좌표와 수직 위치를 나타내는 ''y'' 좌표를 갖는다. 이들은 일반적으로 순서쌍 (''x'',''y'')으로 표기된다.^[16] 이 시스템은 3차원 기하학에도 사용될 수 있으며, 유클리드 공간의 모든 점은 순서 삼중쌍 좌표 (''x'',''y'',''z'')로 표현된다.

3. 2. 극좌표계

극좌표계에서 평면의 모든 점은 원점으로부터의 거리 ''r''과 각도 ''θ''로 표시되며, ''θ''는 일반적으로 양의 ''x''축에서 반시계 방향으로 측정된다. 이 표기법을 사용하여 점은 일반적으로 순서쌍 (''r'', ''θ'')으로 표기된다. 다음 공식을 사용하여 2차원 데카르트 좌표계와 극좌표계 사이를 변환할 수 있다.

x = r\, \cos\theta,\, y = r\, \sin\theta; \, r = \sqrt{x^2+y^2},\, \theta = \arctan(y/x).

이 시스템은 원통 좌표계 또는 구면 좌표계를 사용하여 3차원 공간으로 일반화할 수 있다.^[16]

3. 3. 원통 좌표계

원통 좌표계에서 공간의 모든 점은 높이 ''z'', ''z''-축으로부터의 반지름 ''r'', ''xy'' 평면에 대한 투영이 수평축과 이루는 각도 ''θ''로 표시된다.^[16]

3. 4. 구면 좌표계

구면 좌표계에서 공간의 모든 점은 원점으로부터의 거리 ''ρ'', xy-평면에 대한 투영이 수평축과 이루는 각도 ''θ'', 그리고 z-축과 이루는 각도 ''φ''로 표현된다. 각도의 이름은 물리학에서 종종 반대로 사용된다.^[16]

4. 방정식과 도형

해석기하학에서 좌표를 포함하는 방정식은 평면의 부분 집합을 지정하며, 이는 방정식의 해집합 또는 자취라고 불린다. 예를 들어, ''y'' = ''x''는 ''x'' 좌표와 ''y'' 좌표가 같은 모든 점의 집합을 나타내며, 이 점들은 선을 형성한다. 따라서 ''y'' = ''x''는 이 선의 방정식이라고 할 수 있다.^[17]

일반적으로 ''x''와 ''y''를 포함하는 선형 방정식은 선을, 이차 방정식은 원뿔 곡선을, 더 복잡한 방정식은 더 복잡한 도형을 나타낸다.^[17] 단일 방정식은 평면상의 곡선에 대응되는 경우가 많지만, 항상 그런 것은 아니다. 예를 들어 ''x'' = ''x''는 전체 평면을, ''x''² + ''y''² = 0은 점 (0, 0)만을 나타낸다. 3차원에서 단일 방정식은 보통 곡면을 나타내며, 곡선은 두 곡면의 교집합 또는 매개변수 방정식 시스템으로 표현된다.^[18] ''x''² + ''y''² = ''r''²은 반지름이 ''r''이고 원점을 중심으로 하는 모든 원의 방정식이다.

4. 1. 직선과 평면

데카르트 좌표계에서 직선은 *선형* 방정식으로 표현할 수 있다. 2차원에서 수직선이 아닌 직선의 방정식은 주로 *기울기-절편 형식*으로 나타낸다.

:

y=mx+b

여기서,

''m''은 직선의 기울기이다.
''b''는 직선의 y-절편이다.
''x''는 함수 ''y'' = ''f''(''x'')의 독립 변수이다.

3차원 공간의 평면은 평면 위의 한 점과 그 점에 수직인 법선 벡터를 사용하여 나타낼 수 있다.

점

P_0 = (x_0, y_0, z_0)

의 위치 벡터를

\mathbf{r}_0

, 영벡터가 아닌 벡터

\mathbf{n} = (a, b, c)

라고 할 때, 이 점과 벡터로 결정되는 평면은 위치 벡터가

\mathbf{r}

인 점

P

로 구성된다. 이때,

P_0

에서

P

로 그려진 벡터는

\mathbf{n}

에 수직이다. 두 벡터의 내적이 0이면 수직이므로, 평면은 다음 식을 만족하는 모든 점

\mathbf{r}

의 집합으로 표현할 수 있다.

:

\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) =0.

이를 전개하면 다음과 같다.

:

a (x-x_0)+ b(y-y_0)+ c(z-z_0)=0,

이는 평면 방정식의 *점-법선* 형식이다.^[19] 이는 선형 방정식으로 다음과 같이 표현된다.

:

ax + by + cz + d = 0, \text{ 여기서 } d = -(ax_0 + by_0 + cz_0).

반대로, ''a'', ''b'', ''c'', ''d''가 상수이고 ''a'', ''b'', ''c''가 모두 0이 아닐 때, 다음 방정식의 그래프는

:

ax + by + cz + d = 0,

벡터

\mathbf{n} = (a,b,c)

를 법선으로 갖는 평면이 된다.^[19] 이 방정식은 평면 방정식의 *일반 형식*이라고 한다.^[19]

3차원에서 직선은 하나의 선형 방정식으로 나타낼 수 없으므로, 매개변수 방정식으로 표현한다.

:

x = x_0 + at

:

y = y_0 + bt

:

z = z_0 + ct

여기서,

''x'', ''y'', ''z''는 모두 실수 범위의 독립 변수 ''t''의 함수이다.
(''x''₀, ''y''₀, ''z''₀)는 직선 위의 임의의 점이다.
''a'', ''b'', ''c''는 직선의 기울기와 관련되며, 벡터 (''a'', ''b'', ''c'')는 직선과 평행하다.

4. 2. 원뿔 곡선

데카르트 좌표계에서 두 변수에 대한 이차 방정식의 함수의 그래프는 항상 원뿔 곡선이며, 모든 원뿔 곡선은 이러한 방식으로 나타난다. 방정식의 형태는 다음과 같다.

:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0\text{ with }A, B, C\text{ not all zero.}

여섯 개의 모든 상수를 스케일링해도 동일한 영점 궤적이 나오므로 원뿔 곡선을 5차원 사영 공간

\mathbf{P}^5

의 점으로 간주할 수 있다.

이 방정식으로 설명되는 원뿔 곡선은 판별식

B^2 - 4AC

을 사용하여 분류할 수 있다.^[20]

원뿔 곡선이 비퇴화인 경우:

$B^2 - 4AC < 0$ 이면, 방정식은 타원을 나타낸다.
* $A = C$ 이고 $B = 0$ 이면, 방정식은 원을 나타내며, 이는 타원의 특별한 경우이다.
$B^2 - 4AC = 0$ 이면, 방정식은 포물선을 나타낸다.
$B^2 - 4AC > 0$ 이면, 방정식은 쌍곡선을 나타낸다.
* $A + C = 0$ 이면, 방정식은 직사각형 쌍곡선을 나타낸다.

4. 3. 이차 곡면

'''이차 곡면'''은 3차원 공간에서 2차 곡면이며, 영점의 자취로 정의되는 3차원 공간의 2차 다항식이다.^[21] 좌표 ''x''₁, ''x''₂, ''x''₃|x1, x2, x3^영어에서 일반적인 이차 곡면은 대수 방정식으로 정의된다.

:

\sum_{i,j=1}^{3} x_i Q_{ij} x_j + \sum_{i=1}^{3} P_i  x_i + R = 0.

이차 곡면에는 타원체 (구 포함), 포물면, 쌍곡면, 원기둥, 원뿔, 그리고 평면이 포함된다.

5. 거리와 각

해석 기하학에서 거리와 각 같은 기하학적 개념은 공식을 사용하여 정의한다. 이러한 정의는 기본적인 유클리드 기하학과 일치하도록 설계되었다. 평면에서 데카르트 좌표를 사용하는 경우와 3차원으로 확장하는 경우로 나누어 거리와 각을 구하는 공식을 살펴볼 수 있다.

5. 1. 평면에서의 거리와 각

해석 기하학에서, 거리 및 각 측정과 같은 기하학적 개념은 공식을 사용하여 정의된다. 이러한 정의는 기본적인 유클리드 기하학과 일치하도록 설계되었다. 예를 들어, 평면에서 데카르트 좌표를 사용하여, 두 점 (''x''₁, ''y''₁)과 (''x''₂, ''y''₂) 사이의 거리는 다음 공식으로 정의된다.

:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2},

이것은 피타고라스 정리의 변형으로 볼 수 있다. 마찬가지로, 선이 수평선과 이루는 각도는 다음 공식으로 정의할 수 있다.

:

\theta = \arctan(m),

여기서 ''m''은 선의 기울기이다.

5. 2. 공간에서의 거리와 각

3차원에서 거리는 피타고라스 정리를 확장하여 다음과 같이 나타낸다.

:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2+ (z_2 - z_1)^2},

두 벡터 사이의 각은 내적을 통해 계산한다. 두 유클리드 벡터 '''A'''와 '''B'''의 내적은 다음과 같이 정의된다.^[22]

:

\mathbf A\cdot\mathbf B \stackrel{\mathrm{def}}{=} \left\|\mathbf A\right\| \left\|\mathbf B\right\| \cos\theta,

여기서 ''θ''는 '''A'''와 '''B''' 사이의 각이다.

6. 변환

해석기하학에서는 함수나 도형을 변환하여 새로운 형태를 얻을 수 있다. 변환은 방정식이 함수를 나타내는지 여부에 관계없이 모든 기하 방정식에 적용할 수 있으며, 개별적으로 또는 조합하여 적용할 수 있다. 예를 들어, 다음 관계는 단위 원을 나타낸다.

: $x^2+y^2-1=0$

6. 1. 표준 변환

변환은 상위 함수에 적용되어 유사한 특성을 가진 새로운 함수로 바뀐다.

R(x,y)

의 그래프는 다음과 같은 표준 변환에 의해 변경된다.

$x$ 를 $x-h$ 로 변경하면 그래프가 오른쪽으로 $h$ 단위 이동한다.
$y$ 를 $y-k$ 로 변경하면 그래프가 위로 $k$ 단위 이동한다.
$x$ 를 $x/b$ 로 변경하면 그래프가 가로로 $b$ 만큼 늘어난다. ( $x$ 가 팽창된다고 생각하면 된다.)
$y$ 를 $y/a$ 로 변경하면 그래프가 세로로 늘어난다.
$x$ 를 $x\cos A+ y\sin A$ 로 변경하고 $y$ 를 $-x\sin A + y\cos A$ 로 변경하면 그래프가 각도 $A$ 만큼 회전한다.

초등 해석기하학에서는 일반적으로 물체의 모양을 변경하는 다른 표준 변환(예: 기울이기)은 잘 다루지 않는다. 자세한 내용은 아핀 변환 문서를 참조하면 된다.

예를 들어, 상위 함수

y=1/x

는 수평 및 수직 점근선을 가지며, 제1 및 제3 사분면을 차지한다. 변환된 모든 형태는 하나의 수평 및 수직 점근선을 가지며 제1 및 제3 또는 제2 및 제4 사분면 중 하나를 차지한다. 일반적으로

y=f(x)

인 경우

y=af(b(x-k))+h

로 변환될 수 있다. 새롭게 변환된 함수에서

a

는 1보다 큰 경우 함수를 수직으로 늘리거나 1보다 작은 경우 함수를 수직으로 압축하는 요소이며, 음수

a

값의 경우 함수는

x

축에 대해 반사된다.

b

값은 1보다 크면 함수의 그래프를 가로로 압축하고 1보다 작으면 함수를 가로로 늘리며,

a

와 마찬가지로 음수일 때 함수를

y

축에 대해 반사한다.

k

및

h

값은 각각 수평(

k

), 수직(

h

) 변환을 의미한다. 양수

h

및

k

값은 함수가 축의 양수 끝으로 변환됨을 의미하고 음수는 음수 끝으로 변환됨을 의미한다.

변환은 방정식이 함수를 나타내는지 여부에 관계없이 모든 기하 방정식에 적용할 수 있으며, 개별적으로 또는 조합하여 적용할 수 있다.

R(x,y)

가

xy

평면의 관계라고 가정할 때, 예를 들어

x^2+y^2-1=0

는 단위 원을 나타내는 관계이다.

6. 2. 아핀 변환

기울이기와 같이 물체의 모양을 변경하는 변환도 가능하다. 기울이기는 그러한 변환의 한 예시이다.

더 자세한 내용은 아핀 변환 문서를 참조하면 된다.

7. 교점

해석기하학에서 두 도형의 교점은 연립 방정식을 풀어 구할 수 있다.^[23] 예를 들어, 두 원의 교점을 구할 때, 각 원의 방정식을 연립하여 해를 구하면 두 원이 만나는 점의 좌표를 얻을 수 있다. 이때, 대입법이나 소거법과 같은 방법을 사용하여 방정식을 풀 수 있다. 원뿔 곡선과 같이 더 복잡한 도형의 경우에는 교점이 최대 4개까지 존재할 수 있다.

7. 1. 교점 구하기

두 기하학적 객체 P와 Q가 관계식

P(x,y)

와

Q(x,y)

로 표현될 때, 교점은 두 관계 모두에 속하는 모든 점

(x,y)

의 집합이다.^[23]

예를 들어, 반지름이 1이고 중심이

(0,0)

인 원

P = \{(x,y) | x^2+y^2=1\}

과 반지름이 1이고 중심이

(1,0)

인 원

Q = \{(x,y) | (x-1)^2+y^2=1\}

의 교차점을 구하는 경우를 생각해보자.

P

와

Q

의 교차점은 다음 연립 방정식을 풀어 찾을 수 있다.

:

x^2+y^2 = 1

:

(x-1)^2+y^2 = 1.

교차점을 찾는 전통적인 방법에는 대입법과 소거법이 있다.

'''대입법:''' 첫 번째 방정식을

x

에 대한

y

로 풀고, 그 다음

y

에 대한 식을 두 번째 방정식에 대입한다.

:

x^2+y^2 = 1

:

y^2=1-x^2.

그런 다음 이

y^2

값을 다른 방정식에 대입하고

x

를 풀면 다음과 같다.

:

(x-1)^2+(1-x^2)=1

:

x^2 -2x +1 +1 -x^2 =1

:

-2x = -1

:

x=1/2.

다음으로, 이

x

값을 원래 방정식 중 하나에 넣고

y

를 풀면 다음과 같다.

:

(1/2)^2+y^2 = 1

:

y^2 =3/4

:

y = \frac{\pm \sqrt{3}}{2}.

따라서 교차점은 두 개의 점

\left(1/2,\frac{+ \sqrt{3}}{2}\right)

와

\left(1/2,\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)

이다.

'''소거법:''' 한 변수를 소거하기 위해 한 방정식의 배수를 다른 방정식에 더하거나 뺀다. 예시의 경우, 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면

(x-1)^2-x^2=0

을 얻는다. 첫 번째 방정식의

y^2

는 두 번째 방정식의

y^2

에서 빼져

y

항이 남지 않으므로, 변수

y

가 소거된다. 그런 다음 대입법과 같은 방식으로 나머지 방정식을

x

에 대해 푼다.

:

x^2 -2x +1 -x^2 =0

:

-2x = -1

:

x=1/2.

다음으로 이

x

값을 원래 방정식 중 하나에 넣고

y

를 풀면 다음과 같다.

:

(1/2)^2+y^2 = 1

:

y^2 = 3/4

:

y = \frac{\pm \sqrt{3}}{2}.

따라서 교차점은 두 개의 점

\left(1/2,\frac{+ \sqrt{3}}{2}\right)

와

\left(1/2,\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)

이다.

원뿔 곡선의 경우, 최대 4개의 점이 교차점에 있을 수 있다.

7. 2. 절편

널리 연구되는 한 종류의 교차는 기하학적 대상과

x

및

y

좌표축의 교차이다.

기하학적 대상과

y

축의 교차는 객체의 y절편이라고 한다.

기하학적 대상과

x

축의 교차는 객체의 x절편이라고 한다.

직선

y=mx+b

에 대해, 매개변수

b

는 직선이

y

축을 가로지르는 점을 지정한다. 문맥에 따라

b

또는 점

(0,b)

가 y절편이라고 한다.

8. 기하학적 축과 법선

기하학에서 축은 임의의 선, 물체 또는 표면에 수직인 선이다.

기하학에서 '''법선'''은 주어진 물체에 수직인 선 또는 벡터와 같은 객체이다. 예를 들어, 2차원인 경우, 주어진 점에서의 곡선에 대한 '''법선'''은 그 점에서 곡선의 접선에 수직인 선이다.

3차원인 경우, 점 ''P''에서의 곡면에 대한 '''곡면 법선'''(또는 간단히 '''법선''')은 ''P''에서 해당 곡면에 대한 접공간에 수직인 벡터이다. '법선'이라는 단어는 형용사로도 사용된다. 평면에 수직인 선, 힘의 법선 성분, '''법선 벡터''' 등. '''정규성'''의 개념은 직교성으로 일반화된다.

9. 접선과 접평면

기하학에서, 주어진 점에서 평면 곡선에 대한 '''접선'''은 그 점에서 곡선에 "단지 닿는" 직선이다. 비공식적으로는 곡선 위의 무한소에 가까운 두 점을 지나는 선이다. 더 정확하게는, 직선이 곡선 위의 점 x|x^영어 = c|c^영어 에서 y|y^영어 = f(x)|f(x)^영어 곡선의 접선이라고 한다면, 이 선은 곡선 위의 점 (c|c^영어, f(c)|f(c)^영어)를 지나고 기울기가 f'(c)|f'(c)^영어이며, 여기서 f'|f'^영어는 f|f^영어의 도함수이다. 유사한 정의는 공간 곡선과 ''n''차원 유클리드 공간의 곡선에도 적용된다.

'''접점'''이라고 불리는 접선과 곡선이 만나는 점을 지나면서, 접선은 곡선과 "같은 방향으로" 움직이며, 따라서 그 점에서 곡선에 대한 최적의 직선 근사이다.

마찬가지로, 주어진 점에서의 곡면에 대한 '''접평면'''은 그 점에서 곡면에 "단지 닿는" 평면이다. 접선의 개념은 미분기하학의 가장 기본적인 개념 중 하나이며 광범위하게 일반화되었다.

참조

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_[23] 문서 While this discussion is limited to the xy-plane, it can easily be extended to higher dimensions.
_[24] 문서 解析幾何学という名称における接頭辞「解析」は、微積分学を含む現代的な解析学という意味の「解析」ではなく、発見的な代数的手法によるものであることを示唆するものである。詳細は、#Reference-Kotobank-解析幾何学を参照。
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