란다우 문제

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1. 개요

란다우 문제는 1912년 에드문트 란다우가 제기한 네 가지 소수 관련 문제와 골드바흐의 추측을 포함한 총 다섯 가지 문제들을 지칭한다. 이 문제들은 2024년 11월 6일 기준으로 모두 미해결 상태이다. 네 가지 소수 관련 문제는 다음과 같다: 골드바흐의 추측, 쌍둥이 소수 추측, 르장드르 추측, 그리고 p-1이 제곱수인 소수 p가 무한히 존재하는가에 대한 질문이다.

란다우 문제

란다우의 문제들

"에드문트 란다우"

분류	수학, 수론
분야	해석적 정수론
제안자	에드문트 란다우

문제

문제 1	모든 짝수는 두 개의 소수의 합으로 표현 가능한가? (골드바흐 추측)
문제 2	무한히 많은 메르센 소수가 존재하는가?
문제 3	n² + 1 형태의 소수는 무한히 많이 존재하는가? (란다우의 문제)
문제 4	모든 짝수는 두 개의 소수의 차이로 표현 가능한가? (소수 간격)

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1. 개요
2. 문제
3. 각 문제에 대한 진전

2. 문제

1912년 국제 수학자 회의에서 에드문트 란다우가 소수와 관련하여 제시한 네 가지 미해결 문제이다. 2024년 11월 6일 기준으로 네 문제 모두 미해결 상태이다.

란다우가 제시한 문제는 다음과 같다.

* 골드바흐의 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 쓸 수 있는가?
* 쌍둥이 소수 추측: p+2가 소수인 소수 p가 무한히 존재하는가?
* 르장드르 추측: 연속하는 두 자연수의 제곱 사이에는 항상 소수가 존재하는가?
* n²+1 꼴 소수가 무한히 존재하는가?

2.1. 골드바흐의 추측

이반 비노그라도프는 1937년에 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 증명하였고, 2013년에 하랄드 헬프콧은 5보다 큰 모든 홀수에 대해 약한 추측이 성립함을 검증하였다. 약한 골드바흐의 추측은 '5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 표현할 수 있다'는 추측으로, 강한 골드바흐의 추측은 아직 증명되지 않았지만 약한 골드바흐의 추측을 함의한다.

천징룬은 1937년에 충분히 큰 $n$ 에 대해서, 소수 $p$ 와 소수 또는 반소수인 $q$ 에 대해 $2n=p+q$ 가 성립한다는 천의 정리를 증명하였다. 몽고메리와 본은 두 소수의 합으로 표현할 수 없는 짝수의 예외 집합이 자연 밀도 0을 가지지만, 그 집합이 유한하다는 것은 증명되지 않았음을 보였다. 핀츠는 현재 예외 집합에 대한 최상의 경계는 $E(x) < x^{0.72}$ (충분히 큰 x에 대해)이고, RH 하에서 골드스톤에 의해 $E(x) \ll x^{0.5}\log^3 x$ 임을 보였다.

2015년, 토모히로 야마다는 $e^{e^{36}} \approx 1.7\cdot10^{1872344071119348}$ 이상의 모든 짝수가 소수와 소수 또는 반소수의 합임을 증명하였다.

2.2. 쌍둥이 소수 추측

장이탕은 7천만 이하의 간격을 가진 소수쌍이 무한히 많음을 증명하였으며, 이 간격은 폴리매스 프로젝트의 공동 노력으로 246까지 향상되었다. 일반화된 Elliott–Halberstam 추측에 의해 간격은 6까지 개선되었다.

천징룬은 p+2가 소수 또는 반소수인 소수 p(천 소수라 부른다.)가 무한히 많음을 증명하였다.

2.3. 르장드르 추측

르장드르 추측은 소수 $p$ 에 대해 다음 소수와의 간격이 $2 \sqrt p$ 보다 작음을 증명하면 해결된다. $4\times10^{18}$ 이하의 수에 대해서는 르장드르 추측이 성립하며, $10^{18}$ 근처에서 반례가 생기기 위해서는 평균 간격의 5천만 배 정도가 필요하다. Matomäki는 다음 식에 대하여 최대 $x^{1/6}$ 개의 예외적인 소수(간격이 $\sqrt{2p}$ 보다 큰 소수)가 존재한다고 증명하였다.

: $\sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n>x^{1/2}}{x\le p_n\le 2x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{2/3}.$

각 소수 간격이 p에서 시작하여 $2 \sqrt p$ 보다 작다는 것을 확인하는 것으로 충분하다. 최대 소수 간격의 표는 이 추측이 2⁶⁴ ≈ 18P까지 유효하다는 것을 보여준다. 그 크기 근처의 반례는 평균 간격의 1억 배에 달하는 소수 간격을 필요로 할 것이다.

Järviniemi, Heath-Brown, Matomäki의 연구를 개선하여 $\sqrt{2p}$ 보다 큰 간격을 갖는 예외적인 소수가 최대 $x^{7/100+\varepsilon}$ 개 존재한다는 것을 보여준다. 특히,
: $\sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n > \sqrt{p_n}^{1/2}}{p_n \leq x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{0.57+\varepsilon}.$

2.4. <math>n^2 + 1</math> 꼴 소수

현재, n² + 1 형태의 소수가 무한히 많이 존재하는지는 미해결 문제이다. 이 형태의 소수 목록은 A002496에서 확인할 수 있다.

이러한 소수가 무한히 존재한다는 명제는 부냐콥스키 추측과 베이트먼-혼 추측과 같은 다른 수론적 추측에서 도출되는 결과이다.

페르마 소수는 n² + 1 꼴 소수의 한 예시이다. 헨릭 이와니에츠는 소인수가 최대 두 개인 n² + 1 형태의 수가 무한히 많다는 것을 증명했다. 안케니와 쿠빌리우스는 L-함수에 대한 확장된 리만 가설을 가정하면 y = O(log p)인 p = x² + y² 형태의 소수가 무한히 많다는 것을 증명했다. 란다우의 추측은 이보다 더 강력한 조건인 y = 1인 경우에 대한 것이다.

메리코스키는 이전 연구들을 개선하여 최대 소인수가 최소한 n^1.279인 n² + 1 형태의 숫자가 무한히 많다는 것을 보였다. 여기서 지수를 2로 바꾸면 란다우의 추측이 된다.

프리들렌더-이와니에츠 정리에 따르면 x² + y⁴ 형태의 소수는 무한히 많이 존재한다.

브룬 체는 p = n² + 1 형태의 소수 밀도에 대한 상한을 설정했는데, x까지 그러한 소수의 개수는 O(√x/log x)이다. 따라서 n² + 1 형태의 숫자는 거의 모두 합성수이다.

3. 각 문제에 대한 진전

1912년 국제수학자대회에서 란다우는 당시의 소수 이론으로 해결하기 어려운 네 가지 문제를 제시하였다. 이 문제들은 각각 골드바흐의 추측, 쌍둥이 소수 추측, 르장드르 추측, 그리고 $n^2 + 1$ 꼴 소수 문제였다. 각 문제에 대한 연구는 다음과 같이 진행되었다.

* 골드바흐의 추측: 1937년 이반 비노그라도프가 충분히 큰 홀수에 대해 약한 골드바흐의 추측이 성립함을 증명하였고, 2013년 하랄드 헬프갓이 5보다 큰 모든 홀수에 대해 이 추측이 성립함을 보였다. 천징룬은 충분히 큰 짝수를 소수와 소수 또는 반소수의 합으로 표현할 수 있다는 천의 정리를 증명하였다.
* 쌍둥이 소수 추측: 장이탕이 7천만 이하의 간격을 가진 소수쌍이 무한히 많음을 증명하였고, 폴리매스 프로젝트를 통해 이 간격이 246까지 줄어들었다. 천징룬은 p + 2가 소수이거나 반소수인 소수 p가 무한히 많음을 보였다.
* 르장드르 추측: $4\times10^{18}$ 이하의 수에 대해서는 추측이 성립함이 확인되었으며, 잉엄은 충분히 큰 $n$ 에 대해 $n^3$ 과 $(n+1)^3$ 사이에 항상 소수가 존재함을 보였다.
* $n^2 + 1$ 꼴 소수 문제: 헨릭 이와니에츠는 최대 두 개의 소인수를 가지는 $n^2 + 1$ 꼴의 수가 무한히 많음을 증명했다.

3.1. 골드바흐의 추측 연구

1937년 이반 비노그라도프가 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 증명하였고, 2013년 하랄드 헬프갓은 5보다 큰 모든 홀수에 대해 약한 추측이 성립함을 검증하였다. 약한 골드바흐의 추측은 '5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 표현할 수 있다'는 추측이다.

1937년 천징룬은 충분히 큰 $n$ 에 대해서, 소수 $p$ 와 소수 또는 반소수인 $q$ 에 대해 $2n=p+q$ 가 성립한다는 천의 정리를 증명하였다. 몽고메리와 본은 두 소수의 합으로 표현할 수 없는 짝수(예외적인 수)의 점근밀도가 0임을 증명하였다. 핀츠는 충분히 큰 $x$ 에 대해 예외적인 수들이 $E(x) < x^{0.72}$ 를 만족함을 증명하였다.

2015년 토모히로 야마다는 $e^{e^{36}} \approx 1.7\cdot10^{1872344071119348}$ 이상의 모든 짝수가 소수와 소수 또는 반소수의 합임을 증명하였다.

3.2. 쌍둥이 소수 추측 연구

장이탕은 7천만 이하의 간격을 가진 소수쌍이 무한히 많음을 증명하였으며, 이 간격은 폴리매스 프로젝트의 공동 노력으로 246까지 향상되었다. 일반화된 엘리엇-할버스탐 추측에 의해 간격은 6까지 개선되었다.

천징룬은 p + 2가 소수이거나 반소수인 소수 p (천 소수라고 불림)가 무한히 많음을 증명하였다.

3.3. 르장드르 추측 연구

르장드르 추측은 소수 $p$ 에 대해 다음 소수와의 간격이 $2 \sqrt p$ 보다 작음을 증명하면 해결된다. $4\times10^{18}$ 이하의 수에 대해서는 르장드르 추측이 성립하며, $10^{18}$ 근처에서 반례가 생기기 위해서는 평균 간격의 5천만 배 정도가 필요하다. 마토마키(Matomäki)는 다음 식에 대하여 최대 $x^{1/6}$ 개의 예외적인 소수(간격이 $\sqrt{2p}$ 보다 큰 소수)가 존재한다고 증명하였다.

: $\sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n>x^{1/2}}{x\le p_n\le 2x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{2/3}.$

잉엄은 충분히 큰 $n$ 에 대해 $n^3$ 과 $(n+1)^3$ 사이에 항상 소수가 존재함을 증명하였다.

3.4. <math>n^2 + 1</math> 꼴 소수 연구

이 문제는 부냐콥스키 추측이나 Bateman-Horn 추측이 참일 경우 자연스럽게 해결된다. 헨릭 이와니에츠는 최대 두 개의 소인수를 가지는 $n^2 + 1$ 꼴의 수가 무한히 많음을 증명했다. 안케니는 Hecke 특성을 가지는 L-함수에 대한 확장된 리만 가설을 가정할 때 $y=O(\log x)$ 를 만족하는 $x^2+y^2$ 꼴의 소수가 무한히 많음을 증명하였다. 란다우의 네 번째 문제는 $y=1$ 인 경우이다.

메리코스키는 가장 큰 소인수가 $n^{1.279}$ 이상인 $n^2+1$ 꼴의 수가 무한히 많음을 증명하였다. 지수가 2인 경우 란다우 추측이 된다.