만델스탐 변수

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1. 개요
2. 정의
3. 관계식
4. 파인먼 도형과 채널
- 4.1. 만델스탐 변수를 이용한 간소화
5. 일반화
6. 상대론적 극한
참조

1. 개요

만델스탐 변수는 입자 산란 과정에서 사용되는 변수로, 네 입자의 사차원 운동량을 이용하여 정의된다. 이 변수들은 s, t, u로 표현되며, 에너지, 운동량 전달 등을 나타낸다. 만델스탐 변수는 서로 독립적이지 않으며, s+t+u는 입자들의 질량 제곱의 합과 관련된다. 이 변수를 통해 s 채널, t 채널, u 채널로 불리는 파인만 도형과 산란 진폭을 표현할 수 있으며, 다양한 차원과 상대론적 극한에서도 적용된다.

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만델스탐 변수
개요
유형	산란 과정 변수
분야	입자 물리학, 상대론적 운동량
정의	s = (p1 + p2)² = (p3 + p4)² (충돌하는 입자들의 에너지) t = (p1 - p3)² = (p2 - p4)² (운동량 전달) u = (p1 - p4)² = (p2 - p3)² (운동량 전달)
상세 정보
설명	p1, p2: 입자들의 4차원 운동량 p3, p4: 생성된 입자들의 4차원 운동량
관계식	s + t + u = Σ(mi²) (mi는 관련된 모든 입자의 질량)
활용	산란 과정의 운동학적 특성 분석 파인만 도형 계산

2. 정의

계량 부호수 `+---`를 사용하자. 사차원 운동량이 각각 $p_1$ 와 $p_2$ 인 두 개의 입자가 입사하여, 산란 뒤 각각 $p_3$ 와 $p_4$ 의 사차원 운동량을 가지게 된다고 가정한다. 이때 '''만델스탐 변수''' $s$ , $t$ , $u$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $s=(p_1+p_2)^2=(p_3+p_4)^2$

: $t=(p_1-p_3)^2=(p_2-p_4)^2$

: $u=(p_1-p_4)^2=(p_2-p_3)^2$ .

각 변수는 다음과 같은 물리적 의미를 가진다.

'''s''': 입자들의 무게중심 기준틀에서 측정한 총 에너지의 제곱과 같다. 이는 두 입자가 충돌하여 중간 상태를 형성할 때의 에너지와 관련된다. 이 변수를 이용한 분석을 s채널이라고 한다.
'''t''': 입자 1에서 입자 3으로 전달된 사차원 운동량의 제곱이다. 이는 산란 과정에서 입자 간에 교환되는 운동량의 크기를 나타낸다. 이 변수를 이용한 분석을 t채널이라고 한다.
'''u''': 입자 1에서 입자 4로 전달된 사차원 운동량의 제곱이다. 이는 t채널과 유사하지만, 다른 방식으로 운동량이 교환되는 과정을 나타낸다. 이 변수를 이용한 분석을 u채널이라고 한다.

세 만델스탐 변수

s

,

t

,

u

는 서로 독립적이지 않으며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다.

:

s+t+u=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2

여기서

m_i

는 각 입자의 불변 질량이며,

m_i^2=p_i^2

이다. 이 관계식 때문에 세 변수 중 두 개만 알면 나머지 하나를 계산할 수 있다.

만약 산란 전후의 입자 종류가 다르다면, 서로 유사한 입자의 운동량을 짝지어

p_1

과

p_3

(또는

p_2

와

p_4

)로 간주한다. 예를 들어, 전자(e⁻)와 양전자(e⁺)가 충돌하여 뮤온(μ⁻)과 반뮤온(μ⁺)을 생성하는 반응

: e⁺+e⁻

\to

μ⁺+μ⁻

에서는, 렙톤 수 보존과 같은 물리적 유사성을 고려하여 전자(e⁻)의 운동량을

p_1

, 뮤온(μ⁻)의 운동량을

p_3

로 설정하고, 양전자(e⁺)의 운동량을

p_2

, 반뮤온(μ⁺)의 운동량을

p_4

로 설정하여 만델스탐 변수를 계산할 수 있다.

스탠리 만델스탐은 원래 s채널 반응(

A+B \to C+D

)을 기준으로 변수를 정의했으며, 이때 부호 규약이 약간 다를 수 있다 (

s=-(p_1+p_2)^2

등). 하지만 현대에는 위에서 정의한 방식이 더 널리 쓰인다. 만델스탐 변수의 중요한 특징은 하나의 산란 과정(

A+B \to C+D

, s채널)뿐만 아니라, 입자를 반입자로 바꾸고 초기/최종 상태를 교환하여 얻어지는 다른 두 과정, 즉 t채널 반응(

A+\bar{C} \to D+\bar{B}

)과 u채널 반응(

A+\bar{D} \to C+\bar{B}

)도 동시에 기술할 수 있다는 점이다. 여기서

\bar{B}, \bar{C}, \bar{D}

는 각각

B, C, D

의 반입자이다. 이 세 반응의 산란 진폭은 해석적 연장이라는 수학적 과정을 통해 서로 연결되어 있다.

3. 관계식

계량 부호수 (+−−−)를 사용하자. 사차원 운동량이 각각 $p_1$ 와 $p_2$ 인 두 개의 입자가 입사하여, 산란 뒤 각각 $p_3$ 와 $p_4$ 의 사차원 운동량을 가지게 된다고 하자. 그렇다면 만델스탐 변수 $s$ , $t$ , $u$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $s=(p_1+p_2)^2=(p_3+p_4)^2$

: $t=(p_1-p_3)^2=(p_2-p_4)^2$

: $u=(p_1-p_4)^2=(p_2-p_3)^2$ .

여기서 $s$ 는 무게중심 기준틀에서 관측한 총 에너지의 제곱과 같고, $t$ 는 입자 1에서 입자 3으로 전달된 사차원 운동량의 제곱으로 해석할 수 있다.

세 만델스탐 변수 $s$ , $t$ , $u$ 는 서로 독립적이지 않으며, 입자들의 불변 질량 $m_i$ ( $p_i^2 = m_i^2 c^2$ )과 다음과 같은 관계를 만족시킨다. 자연 단위계 ( $c=1$ )를 사용하면 다음과 같다.

: $s+t+u=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2$

만약 산란 과정에서 입자의 종류가 변하는 경우 (예: e⁺+e⁻ $\to$ μ⁺+μ⁻), 유사한 성질을 가진 입자끼리 짝을 지어 운동량을 할당한다. 위 예시에서는 전자(e⁻)의 운동량을 $p_1$ , 뮤온(μ⁻)의 운동량을 $p_3$ 로 간주할 수 있다.

만델스탐 변수 간의 관계식은 다음과 같이 증명할 수 있다. 증명 과정에서는 광속 ''c''를 포함하여 표현한다.

관계식:

: $s+t+u = (m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2)c^4$

여기서 ''m''_''i''는 입자 ''i''의 질량이다.^[1]

증명:

증명에는 다음 두 가지 기본 원리가 사용된다.

:* 각 입자의 사차원 운동량 $p_i$ 의 제곱은 그 입자의 불변 질량 $m_i$ 의 제곱과 같다: $p_i^2 = m_i^2 c^2$ . (여기서 $p_i^2$ 는 사차원 벡터 $p_i$ 의 로런츠 노름 제곱 $E_i^2/c^2 - |\vec{p_i}|^2$ 를 의미한다.)

:: $p_i^2 = m_i^2 c^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)$

:* 사차원 운동량 보존 법칙: 초기 상태의 총 사차원 운동량은 최종 상태의 총 사차원 운동량과 같다.

:: $p_1 + p_2 = p_3 + p_4$

:: $p_1 = -p_2 + p_3 + p_4 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, (2)$

만델스탐 변수의 정의를 이용하여 $s, t, u$ 를 더하면 다음과 같다.

:: $s+t+u = (p_1+p_2)^2 + (p_1-p_3)^2 + (p_1-p_4)^2$

:: $s+t+u = (p_1^2 + p_2^2 + 2p_1 \cdot p_2) + (p_1^2 + p_3^2 - 2p_1 \cdot p_3) + (p_1^2 + p_4^2 - 2p_1 \cdot p_4)$

:: $s+t+u = 3p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + p_4^2 + 2p_1 \cdot p_2 - 2p_1 \cdot p_3 - 2p_1 \cdot p_4$

식 (1) ( $p_i^2 = m_i^2 c^2$ )을 이용하여 $p_i^2$ 항들을 질량으로 바꾸면,

:: $s+t+u = 3m_1^2 c^2 + m_2^2 c^2 + m_3^2 c^2 + m_4^2 c^2 + 2p_1 \cdot p_2 - 2p_1 \cdot p_3 - 2p_1 \cdot p_4$

:: $s+t+u = (m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2)c^2 + 2p_1^2 + 2p_1 \cdot p_2 - 2p_1 \cdot p_3 - 2p_1 \cdot p_4$

마지막 네 개의 항을 $2p_1$ 로 묶으면,

:: $2p_1^2 + 2p_1 \cdot p_2 - 2p_1 \cdot p_3 - 2p_1 \cdot p_4 = 2p_1 \cdot (p_1 + p_2 - p_3 - p_4)$

식 (2) (사차원 운동량 보존, $p_1 + p_2 = p_3 + p_4$ )에 의해 $p_1 + p_2 - p_3 - p_4 = 0$ 이므로, 위 식의 값은 0이 된다.

:: $2p_1 \cdot (p_1 + p_2 - p_3 - p_4) = 2p_1 \cdot 0 = 0$

따라서, 최종적으로 다음 관계식을 얻는다.

: $s+t+u = (m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2)c^2$

만델스탐 변수 $s, t, u$ 는 에너지 제곱의 단위를 가지므로, 양변을 $c^2$ 으로 나눈 형태가 아닌 위의 형태가 일반적이다. 자연 단위계( $c=1$ )를 사용하면 $s+t+u = \sum m_i^2$ 가 된다. (참고: 원본 소스^[1]에서는 $(s+t+u)/c^4 = \sum m_i^2$ 형태로 제시되었으나, 이는 $s, t, u$ 를 에너지 단위로 사용할 경우에 해당하며, 표준적인 정의에서는 위 식이 맞다.)

4. 파인먼 도형과 채널

(내용 없음 - 하위 섹션에서 관련 내용을 다루므로 중복을 피하기 위해 내용을 생략함)

4. 1. 만델스탐 변수를 이용한 간소화

문자 ''s, t, u''는 '''s 채널'''(시간형 채널), '''t 채널''', 그리고 '''u 채널'''(둘 다 공간형 채널)이라는 용어로도 사용된다. 이 채널들은 상호 작용이 각각 ''s, t, u''와 같은 제곱된 4차원 운동량을 갖는 중간 입자의 교환을 포함하는 서로 다른 페르미 다이어그램 또는 서로 다른 가능한 산란 사건들을 나타낸다.

s 채널 페르미 다이어그램	t 채널 페르미 다이어그램	u 채널 페르미 다이어그램
s 채널	t 채널	u 채널

예를 들어, s 채널은 입자 1, 2가 중간 입자로 합쳐져 궁극적으로 입자 3, 4로 분리되는 과정에 해당한다. s 채널은 공명과 새로운 불안정 입자가 충분히 긴 수명을 가져 직접 감지될 수 있을 때 이를 발견할 수 있는 유일한 방법이다. t 채널은 입자 1이 중간 입자를 방출하고 최종 입자 3이 되며, 입자 2가 그 중간 입자를 흡수하여 입자 4가 되는 과정을 나타낸다. u 채널은 t 채널에서 입자 3과 4의 역할을 서로 바꾼 것과 같다.

페르미 진폭을 계산할 때 외부 입자의 4차원 운동량들의 스칼라 곱이 자주 등장하는데, 만델스탐 변수를 사용하면 이를 다음과 같이 간결하게 표현할 수 있다.

$p_1 \cdot p_2 = \frac{s/c^2 - m_1^2 - m_2^2 }{2}$

$p_1 \cdot p_3 = \frac{m_1^2 + m_3^2 - t/c^2}{2}$

$p_1 \cdot p_4 = \frac{m_1^2 + m_4^2 - u/c^2}{2}$

여기서 $m_i$ 는 해당 운동량 $p_i$ 를 가진 입자의 질량이다.

만델스탐은 $A+B \to C+D$ 와 같은 반응(이를 '''s채널 반응'''이라 한다)을 고려하여, 세 가지 변수 $s=-(p_1+p_2)^2$ , $t=-(p_1-p_3)^2$ , $u=-(p_1-p_4)^2$ 를 도입했다. 이 변수들을 '''만델스탐 변수'''라고 부른다. 이 변수들은 $s+t+u=m^2_A+m^2_B+m^2_C+m^2_D$ 라는 관계식을 만족하므로, 독립적인 변수는 두 개뿐이다. 변수 s는 입자 A와 B의 질량 중심계에서의 에너지 제곱을 나타내고, t는 입자 A에서 C로의 운동량 이전의 제곱을, u는 입자 A에서 D로의 운동량 이전의 제곱을 나타낸다.

만델스탐 표현의 중요한 특징은 이 표현이 s채널 반응뿐만 아니라 다음과 같은 두 가지 다른 반응, 즉 t채널 반응과 u채널 반응을 동시에 기술한다는 점이다.

$A+\bar{C} \to D+\bar{B}$ ('''t 채널 반응''')
$A+\bar{D} \to C+\bar{B}$ ('''u 채널 반응''')

여기서

\bar{B}, \bar{C}, \bar{D}

는 각각 입자

B, C, D

의 반입자를 의미한다. 이 세 가지 반응의 진폭은 서로 해석적 연장을 통해 연결되어 있다. 세 반응의 진폭

A(s,t,u)

는 스펙트럼 함수

\rho_{st}(s,t), \rho_{su}(s,u), \rho_{tu}(t,u)

를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

A(s,t,u) = \frac{1}{\pi^2}\int \int \frac{\rho_{st}(s',t')}{(s'-s)(t'-t)}ds'dt' + \frac{1}{\pi^2}\int \int \frac{\rho_{su}(s',u')}{(s'-s)(u'-u)}ds'du' + \frac{1}{\pi^2}\int \int \frac{\rho_{tu}(t',u')}{(t'-t)(u'-u)}dt'du'

5. 일반화

만델스탐 변수는 원래 입자물리학에서 네 개의 입자가 산란하는 4차원 시공간 과정을 기술하기 위해 도입되었으나, 이를 임의의 차원 $D$ 와 둘 이상의 입자 수 $N$ 에 대한 더 일반적인 상황으로 확장할 수 있다. 이렇게 일반화된 만델스탐 변수 $s_{ij}=(p_i+p_j)^2$ 는 각 입자의 운동량 $p_i$ , $p_j$ 를 이용하여 정의되며, 입자들의 운동량과 질량 사이의 관계를 나타내는 특정 상관관계를 만족한다. 또한, 주어진 차원과 입자 수에 따라 독립적인 만델스탐 변수의 개수가 결정되며, 특히 2차원에서의 산란 과정은 신속도 개념을 이용하여 기술할 수 있다.

5. 1. 임의의 차원에서의 만델스탐 변수

일반적으로,

D

차원에서

N>2

개의 입자의 산란을 생각할 수 있다. 초기 상태 입자의 운동량 시간 성분은 양수로, 최종 상태 입자의 운동량 시간 성분은 음수로 놓는다. 운동량들을

p_1,\dots,p_N

이라고 놓자. 그렇다면, 다음과 같은 '''만델스탐 변수'''

s_{ij}

는 다음과 같다.

:

s_{ij}=(p_i+p_j)^2\qquad(1\le i

즉, 총

N(N-1)/2

개의 변수들이 존재한다. 이들 사이에는 다음과 같은 일련의 상관관계가 존재한다.

:

\sum_{j\ne i}s_{ij}=\sum_{j=1}^Nm_j^2+(N-4)m_i^2

4차원에서는 관례적으로 사용되는 만델스탐 변수는 다음과 같다.

:

s=s_{12}

:

t=s_{13}

:

u=s_{14}

이 변수들을 이용하면, 위의 일반적인 상관관계식(

i=1, N=4

대입)은 4차원에서의 잘 알려진 상관관계

:

s+t+u=\sum_{i=1}^4m_i^2

로 일반화됨을 확인할 수 있다.

5. 2. 독립 만델스탐 변수들의 수

편의상

:

D'=D-\min\{N,D\}

로 정의하자. 운동량들 사이에는 다음과 같은 조건들이 존재한다.

(질량껍질 조건) $p_i^2=m_i^2\;\forall i=1,\dots,N$
(운동량 보존 법칙) $\sum_{i=1}^Np_i=0$

또한, 로런츠 변환을 통해

:

D(D-1)/2

개의 추가 제약을 가할 수 있으나, 이들 가운데

:

D'(D'-1)/2

개는 자명하게 작용한다. 따라서, 독립적인 만델스탐 변수의 개수는

:

ND-N-D+D'-D(D-1)/2+D'(D'-1)/2=\begin{cases}N(D-1)-D(D+1)/2&D\le N\\N(N-3)/2&D-1\ge N\end{cases}

이다.

다양한 차원에서 독립 만델스탐 변수들의 수
입자 수 N	D = 2	D = 3	D = 4	D = 5	D = 6
3	0	0	0	0	0
4	1	2	2	2	2
5	2	4	5	5	5
6	3	6	8	9	9

5. 3. 2차원 만델스탐 변수

2차원에서는 2→2 산란 과정에서 오직 하나의 독립적인 만델스탐 변수만 존재하며, 이는 신속도로 표현할 수 있다.

네 입자의 신속도를 각각

\theta_1

,

\theta_2

,

\theta_3

,

\theta_4

라고 하자. 이때 각 입자의 2차원 운동량은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

p_i=m_i(\cosh\theta_i,\sinh\theta_i)

계산을 간단히 하기 위해 모든 입자의 질량이 같다고 가정하고 (

m_1=m_2=m_3=m_4=m

), 적절한 로런츠 변환을 적용하여 다음 조건을 만족하도록 좌표계를 설정할 수 있다.

:

\theta_1+\theta_2=0

:

\theta_3+\theta_4=0

이 좌표계에서 운동량 보존 법칙을 적용하면 신속도 사이의 관계를 알 수 있다.

:

\theta_1=-\theta_2=\pm\theta_3=\mp\theta_4

여기서 새로운 변수

2\theta

를 다음과 같이 정의하자.

:

2\theta=\theta_1-\theta_2=\pm(\theta_3-\theta_4)

이제 만델스탐 변수 s, t, u를 질량

m

과 신속도

\theta

로 표현하면 다음과 같다 (복호 동순).

:

s=4m^2\cosh^2\theta

:

t=-m^2(1\mp1)^2\sinh^2\theta

:

u=-m^2(1\pm1)^2\sinh^2\theta

6. 상대론적 극한

상대론적 극한에서는 입자의 운동량(속도)이 매우 크다. 따라서 상대론적 에너지-운동량 방정식 $E^2= \mathbf{p} \cdot \mathbf{p} + {m_0}^2 c^4$ 에서 정지 질량 $m_0$ 항을 무시할 수 있으므로, 에너지는 근사적으로 운동량의 크기(노름)와 관련된다 ( $E^2 \approx \mathbf{p} \cdot \mathbf{p} c^2$ ). 자연 단위계( $c=1$ )에서는 $E^2 \approx \mathbf{p} \cdot \mathbf{p}$ 가 된다.

예를 들어, 만델스탐 변수 $s$ 는 다음과 같이 정의된다.

$s/c^2=(p_1+p_2)^2=p_1^2+p_2^2+2 p_1 \cdot p_2$

이때 $p_1^2 = m_1^2 c^2$ 이고 $p_2^2 = m_2^2 c^2$ 이다. 상대론적 극한에서는 질량 항 $m_1^2 c^2$ 과 $m_2^2 c^2$ 을 무시할 수 있으므로 ( $p_1^2 \approx 0, p_2^2 \approx 0$ ), 다음과 같이 근사할 수 있다.

$s/c^2 \approx 2 p_1 \cdot p_2$

마찬가지로 다른 만델스탐 변수들도 다음과 같이 근사된다.

변수	근사식 1	근사식 2
$s/c^2$	$\approx 2 p_1 \cdot p_2$	$\approx 2 p_3 \cdot p_4$
$t/c^2$	$\approx -2 p_1 \cdot p_3$	$\approx -2 p_2 \cdot p_4$
$u/c^2$	$\approx -2 p_1 \cdot p_4$	$\approx -2 p_3 \cdot p_2$

참조

_[1] 서적 Introduction to Elementary Particles Wiley-VCH
_[2] 논문 http://imotiro.org/r[...] 2012-10-05

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