모듈러 격자

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 모듈러 격자의 예
- 4.2. 비-모듈러 격자의 예
5. 역사
- 5.1. 데데킨트의 연구
- 5.2. 자유 모듈러 격자
참조

1. 개요

모듈러 격자는 격자 이론의 한 분야로, 격자 L의 모든 원소 a, b, c에 대해 a ≤ c이면 a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c가 성립하는 격자를 의미한다. 모듈러 격자는 오각형 격자를 부분 격자로 포함하지 않으며, 모듈러 법칙, 모듈러 항등식을 만족한다. 모든 분배 격자는 모듈러 격자이지만 그 역은 성립하지 않으며, 환의 아이디얼 격자, 가군의 부분 가군 격자, 정규 부분군의 격자 등이 모듈러 격자의 예시이다. 리하르트 데데킨트가 아이디얼과 부분 가군의 격자를 연구하면서 모듈러 격자의 개념을 발견했으며, 3개의 원소로 생성된 자유 모듈러 격자는 28개의 원소를 갖는다.

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완비 격자는 모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 부분 순서 집합으로, 격자 이론에서 중요한 개념이며 다양한 수학 분야에서 활용된다.

모듈러 격자
개요
유형	순서론
분야	수학
정의
정의	어떤 두 원소 x, a, b에 대해 a ≤ b일 때, a ∨ (x ∧ b) = (a ∨ x) ∧ b를 만족하는 격자
성질
특징	모듈러 법칙을 만족하는 격자 분배 격자는 항상 모듈러 격자이다.
중요성	모듈러 격자는 다양한 수학적 구조에서 나타나며, 특히 표현 이론과 기하학에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

격자 $L$ 에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 격자를 '''모듈러 격자'''라고 한다.

(A) 모든 $a,b,c\in L$ 에 대하여, $a\le c$ 이면 $a\vee(b\wedge c)=(a\vee b)\wedge c$ 이다.
(B) 모든 $a,b,c\in L$ 에 대하여, $(a\wedge c)\vee(b\wedge c)=((a\wedge c)\vee b)\wedge c$ 이다.
(C) 오각형 격자를 부분 격자로 포함하지 않는다.^[12]^[13]

두 번째 조건은 항등식으로 표현되므로, 모듈러 격자의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 즉, 모듈러 격자는 격자 준동형사상에 대한 상, 부분 격자, 곱 격자 연산에 대하여 닫혀 있다.

2. 1. 모듈러 법칙

모듈러 격자는 제한된 형태의 결합 법칙을 만족시킨다. 모든 원소 a, b, x에 대해, a ≤ b 이면 a ∨ (x ∧ b) = (a ∨ x) ∧ b 가 성립한다.^[2]

모듈러 법칙은 두 격자 연산을 연결하는 제한된 결합 법칙으로 볼 수 있으며, 이는 벡터 공간에서 필드 곱셈과 스칼라 곱셈을 연결하는 결합 법칙 λ(μ''x'') = (λμ)''x''와 유사하다.

가 모든 격자에서 를 함의한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 따라서 모듈러 법칙은 다음과 같이도 진술할 수 있다.

'''모듈러 법칙 (변형):''' 는 를 함의한다.

모듈러 법칙은 무조건 성립해야 하는 방정식으로 표현할 수 있다. 는 를 함의하고, 이므로, 모듈러 법칙의 정의 방정식에서 를 로 대체하면 다음을 얻는다.

'''모듈러 항등식:''' .

이는 보편 대수학의 용어를 사용하여 모듈러 격자가 격자의 다양성의 부분 다양성을 형성한다는 것을 보여준다. 따라서 모듈러 격자의 모든 준동형 사상, 부분 격자 및 직접 곱은 다시 모듈러이다.

--

수정 사항:1. 허용되지 않는 문법 수정:

`` 템플릿은 허용되지 않는 문법이므로 제거해야 하지만, 텍스트 서식(기울임꼴)을 유지하면서 내용을 보존하는 것이 중요하다고 판단했습니다. 따라서 `` 템플릿을 제거하고, 해당 내용을 일반 텍스트로 변환하면서 `''` (두 개의 작은따옴표)를 사용하여 기울임꼴을 적용했습니다.

2. 중복 제거:

세 번째 문단과 네 번째 문단에서 언급되는 모듈러 법칙(변형)과 모듈러 항등식의 조건()이 중복되므로, 이를 통합하여 하나의 문단으로 정리했습니다.

3. 가독성 개선:

일부 문장의 표현을 다듬어 가독성을 높였습니다.

2. 2. 모듈러 항등식

모듈러 법칙은 항등식으로 표현될 수 있다. 즉, 모든

a, b, x

에 대해 (''a'' ∧ ''b'') ∨ (''x'' ∧ ''b'') = ((''a'' ∧ ''b'') ∨ ''x'') ∧ ''b''가 성립한다. 이는 보편 대수학의 용어를 사용하여 모듈러 격자가 격자의 다양성의 부분 다양성을 형성한다는 것을 보여준다.^[2] 따라서 모듈러 격자의 모든 준동형 사상, 부분 격자 및 직접 곱은 다시 모듈러이다.

2. 3. 오각형 부분 격자

모듈러 격자는 오각형 격자를 부분 격자로 포함하지 않는다. 이는 모듈러 격자를 판별하는 중요한 기준이 된다.^[12]^[13] 가장 작은 비모듈러 격자는 5개의 원소로 구성된 "오각형" 격자 ''N''₅이며, 다음 조건을 만족한다.

0 < ''x'' < ''b'' < 1
0 < ''a'' < 1
''a''는 ''x'' 또는 ''b''와 비교할 수 없다.

이 격자에서는 ''x'' ∨ (''a'' ∧ ''b'') = ''x'' ∨ 0 = ''x'' < ''b'' = 1 ∧ ''b'' = (''x'' ∨ ''a'') ∧ ''b''가 성립하여 모듈러 법칙에 위배된다. 모든 비모듈러 격자는 ''N''₅의 사본을 부분 격자로 포함한다.^[3]

3. 성질

모든 분배 격자는 모듈러 격자이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 모든 데자르그 격자( Arguesian lattice^영어)는 모듈러 격자이나, 그 역은 성립하지 않는다.

딜워스(Dilworth)는 1954년에 모든 유한 모듈러 격자에서 결합-비가역 원소의 개수가 교집합-비가역 원소의 개수와 같다는 것을 증명했다. 더 일반적으로, 모든 에 대해, 정확히 개의 다른 원소를 덮는 격자의 원소의 개수는 정확히 개의 다른 원소에 의해 덮이는 원소의 개수와 같다.^[6]

격자가 모듈러 격자가 아님을 보이는 데 유용한 정리는 다음과 같다. 격자 가 모듈러 격자일 필요충분 조건은, 모든 에 대해,

:: $\Big((c\leq a)\text{ and }(a\wedge b=c\wedge b)\text{ and }(a\vee b=c\vee b)\Big)\Rightarrow(a=c)$

가 성립하는 것이다.

3. 1. 분배 격자와의 관계

모든 분배 격자는 모듈러 격자이나, 그 역은 성립하지 않는다.^[4]^[5]

3. 2. 다이아몬드 동형 정리

모듈러 격자의 임의의 두 원소 ''a'', ''b''에 대해, 구간 [''a'' ∧ ''b'', ''b'']와 [''a'', ''a'' ∨ ''b'']를 고려할 수 있다. 이들은 순서를 보존하는 다음 두 맵에 의해 연결된다.

:φ: [''a'' ∧ ''b'', ''b''] → [''a'', ''a'' ∨ ''b'']

:ψ: [''a'', ''a'' ∨ ''b''] → [''a'' ∧ ''b'', ''b'']

이때 φ(''x'') = ''x'' ∨ ''a'', ψ(''y'') = ''y'' ∧ ''b''로 정의된다.

모듈러 격자에서, 화살표로 표시된 맵 φ와 ψ는 서로 역인 동형사상이다.

ψφ를 합성하면 구간 [''a'' ∧ ''b'', ''b'']에서 자신으로 가는 순서를 보존하는 맵이 되며, 부등식 ψ(φ(''x'')) = (''x'' ∨ ''a'') ∧ ''b'' ≥ ''x''가 성립한다. 예시에서 볼 수 있듯, 이 부등식은 일반적으로 등식이 성립하지 않을 수 있지만, 모듈러 격자에서는 등식이 성립한다. 모듈러 격자의 쌍대 격자 또한 모듈러 격자이므로, φψ 역시 [''a'', ''a'' ∨ ''b'']에서 항등원이 되며, 따라서 두 맵 φ와 ψ는 이 두 구간 사이의 동형사상이다. 이 결과는 때때로 모듈러 격자에 대한 '''다이아몬드 동형 정리'''라고 불린다. 격자는 모든 원소 쌍에 대해 다이아몬드 동형 정리가 성립할 경우에만 모듈러 격자이다.

모듈러 격자에 대한 다이아몬드 동형 정리는 대수학의 두 번째 동형 정리와 유사하며, 격자 정리의 일반화이다.

3. 3. M-대칭성

어떤 격자에서든, '''모듈러 쌍'''은 모든 ''x''가 ''a'' ∧ ''b'' ≤ ''x'' ≤ ''b''를 만족할 때 (''x'' ∨ ''a'') ∧ ''b'' = ''x''를 만족하는, 즉 다이아몬드 동형 정리의 한 쪽이 성립하는 원소 쌍 (''a, b'')을 의미한다.^[7] 격자의 원소 ''b''는 모든 원소 ''a''에 대해 (''a, b'')가 모듈러 쌍일 때 '''오른쪽 모듈러 원소'''라고 하며, 원소 ''a''는 모든 원소 ''b''에 대해 (''a, b'')가 모듈러 쌍일 때 '''왼쪽 모듈러 원소'''라고 한다.^[8]

(''a, b'')가 모듈러 쌍이면 (''b, a'')도 모듈러 쌍인 속성을 가진 격자를 '''M-대칭 격자'''라고 한다.^[9] 따라서 M-대칭 격자에서는 모든 오른쪽 모듈러 원소가 왼쪽 모듈러 원소이기도 하고, 그 반대도 성립한다. 격자가 모든 원소 쌍이 모듈러일 때만 모듈러이므로, 모든 모듈러 격자는 분명히 M-대칭이다. 위에서 설명한 격자 ''N''₅에서 쌍 (''b, a'')는 모듈러이지만 쌍 (''a, b'')는 그렇지 않다. 따라서 ''N''₅는 M-대칭이 아니다. -- 중심 육각형 격자 ''S''₇은 M-대칭이지만 모듈러가 아니다. ''N''₅는 ''S''₇의 부분 격자이므로, M-대칭 격자는 격자의 다양체의 부분 다양체를 형성하지 않는다.

M-대칭은 자기 쌍대 개념이 아니다. '''쌍대 모듈러 쌍'''은 쌍대 격자에서 모듈러인 쌍을 의미하며, 격자의 쌍대가 M-대칭이면 해당 격자를 쌍대 M-대칭 또는 '''M^*-대칭'''이라고 한다. 유한 격자가 모듈러이기 위한 필요충분조건은 M-대칭이고 M^*-대칭인 것이다. 이러한 동치는 상승 사슬 조건 (또는 하강 사슬 조건)을 만족하는 무한 격자에도 성립한다.

몇 가지 덜 중요한 개념도 밀접하게 관련되어 있다. 격자가 '''교차 대칭'''인 경우, 모든 모듈러 쌍 (''a, b'')에 대해 쌍 (''b, a'')는 쌍대 모듈러이다. 교차 대칭은 M-대칭을 의미하지만 M^*-대칭을 의미하지는 않는다. 따라서 교차 대칭은 쌍대 교차 대칭과 동등하지 않다. 최소 원소 0을 가진 격자는 ''a'' ∧ ''b'' = 0을 만족하는 모든 모듈러 쌍 (''a, b'')에 대해 쌍 (''b, a'')도 모듈러이면 '''⊥-대칭'''이다.

4. 예시

환 위의 가군의 부분 가군 격자는 모듈러 격자이다. 특별한 경우로, 아벨 군의 부분군의 격자는 모듈러 격자이다. 군의 정규 부분군의 격자는 모듈러 격자이다. 그러나 일반적으로 군의 모든 부분군 격자는 모듈러 격자가 아니다. 예를 들어, 8차 이면체군의 부분군 격자는 모듈러 격자가 아니다.

4. 1. 모듈러 격자의 예

환의 아이디얼의 (포함 관계에 대한) 격자는 분배 격자이며, 따라서 모듈러 격자이다. 환의 가군의 부분가군들의 (포함 관계에 대한) 격자는 모듈러 격자이다. 보다 일반적으로, 아벨 범주의 대상의 부분 대상들의 격자는 모듈러 격자이다.

오각형 격자는 모듈러 격자가 아닌 가장 작은 격자이다.

4. 2. 비-모듈러 격자의 예

오각형 격자는 모듈러 격자가 아닌 가장 작은 격자이다.

가장 작은 비모듈러 격자는 0, 1, ''x'', ''a'', ''b''의 다섯 원소로 구성된 "오각형" 격자 ''N''₅이며, 0 < ''x'' < ''b'' < 1, 0 < ''a'' < 1이고 ''a''는 ''x'' 또는 ''b''와 비교할 수 없다. 이 격자에 대해,

:''x'' ∨ (''a'' ∧ ''b'') = ''x'' ∨ 0 = ''x'' < ''b'' = 1 ∧ ''b'' = (''x'' ∨ ''a'') ∧ ''b''

가 성립하며, 이는 모듈러 법칙에 위배된다. 모든 비모듈러 격자는 부분 격자로 ''N''₅의 사본을 포함한다.^[3]

군의 정규 부분군의 격자는 모듈러 격자이다. 그러나 일반적으로 군의 모든 부분군 격자는 모듈러 격자가 아니다. 예를 들어, 8차 이면체군의 부분군 격자는 모듈러 격자가 아니다.

5. 역사

리하르트 데데킨트는 아이디얼과 부분 가군의 격자를 연구하면서 모듈러 항등식을 최초로 발견하였다.^[14]^[15] 데데킨트는 격자를 "이중군"(Dualgruppe^de)이라 불렀고, 모듈러 격자를 "가군형 이중군"(Dualgruppe vom Modultypus|두알그루페 폼 모둘튀푸스^de), 분배 격자를 "아이디얼형 이중군"(Dualgruppe vom Idealtypus|두알그루페 폼 이데알튀푸스^de)이라고 불렀다. 오늘날 쓰이는 "모듈러 격자"(modular lattice^영어)는 "가군"(module|모듈^영어)에서 유래했다.

데데킨트는 은퇴 후 발표한 논문에서 모듈러 법칙을 관찰했다. 1894년 논문에서는 '이중군'이라 부르는 격자를 연구했고, 1897년 논문에서는 약수의 격자를 연구하며 일반적인 격자를 소개하고 모듈러 항등식을 만족하는 '모듈 유형의 이중군'을 정의했다. 또한 모듈러 항등식과 그 쌍대가 동일함을 증명했다. 같은 논문에서 데데킨트는 모듈러 항등식의 더 강력한 형태를 조사하여 '이상 유형의 이중군' (분배 격자)을 정의하고, 모듈러가 아닌 격자와 이상 유형이 아닌 모듈러 격자의 예를 제시했다.

5. 1. 데데킨트의 연구

리하르트 데데킨트는 아이디얼과 부분 가군의 격자를 연구하면서 모듈러 격자의 개념을 발견하였다.^[14]^[15] 데데킨트는 격자를 "이중군"(Dualgruppe^de)이라고 불렀으며, 모듈러 격자를 "가군형 이중군"(Dualgruppe vom Modultypus|두알그루페 폼 모둘튀푸스^de)이라고 불렀다. 오늘날 쓰이는 "모듈러 격자"(modular lattice^영어)라는 용어는 "가군"(module|모듈^영어)에서 왔다.

5. 2. 자유 모듈러 격자

리하르트 데데킨트는 1900년에 발표한 논문에서 세 개의 원소로 생성되어 28개의 원소를 가지는 자유 모듈러 격자를 설명했다.^[11]

참조

_[1] 웹사이트 Why are modular lattices important? https://math.stackex[...] 2018-09-17
_[2] 문서
_[3] 서적 Lattices and Ordered Algebraic Structures Springer
_[4] 서적 Lattices and Ordered Algebraic Structures Springer
_[5] 문서
_[6] 간행물 Proof of a conjecture on finite modular lattices
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 간행물 Festschrift der Herzogl. Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte in Braunschweig Friedrich Vieweg und Sohn
_[11] 간행물 Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe http://resolver.sub.[...]
_[12] 서적 A course in universal algebra https://www.math.uwa[...] Springer 2022-08-08
_[13] 서적 Introduction to lattices and order Cambridge University Press
_[14] 저널 Über Zerlegungen von Zahlen Durch Ihre Grössten Gemeinsamen Theiler Vieweg 1897
_[15] 저널 Ueber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe http://resolver.sub.[...]

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