대수 구조 다양체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 용어
3. 성질
4. 예시
5. 부분 다양체
6. 자유 대상
7. 범주론적 관점
8. 준다양체
참조

1. 개요

대수 구조 다양체는 보편 대수학에서 주어진 시그니처와 항등식을 만족하는 대수 구조들의 집합을 의미한다. 버코프의 HSP 정리에 따르면, 대수 구조 다양체는 준동형 사상, 부분 대수, 직접곱에 대해 닫혀 있다. 대수 구조 다양체는 준동형을 사상으로 하는 구체적 범주를 이루며, 범주론적으로는 로비어 이론으로부터 집합의 범주로 가는 곱을 보존하는 함자들의 범주와 동치이다. 모든 대수 구조 다양체는 자유 대수를 가지며, 완비 및 쌍대 완비 범주이고, 곱과 쌍대곱을 가지며, 끝 대상과 시작 대상을 갖는다. 다양한 대수 구조, 예를 들어 반군, 군, 환, 가군, 격자 등이 대수 구조 다양체를 형성하며, 체는 그렇지 않다. 대수 구조 다양체의 부분 다양체는 원래 다양체와 동일한 시그니처를 가지면서 그 자체로 다양체를 이루는 부분 집합을 의미한다. 대수 구조 다양체는 자유 대상의 개념을 가지며, 유한 모나드 및 로베어 이론과 동등한 범주론적 프레임워크로 설명될 수 있다. 준다양체는 준동형 이미지, 부분 대수, 유한 직접 곱에 대해 닫혀 있는 대수 구조들의 모임으로, 유한 반군 연구와 형식 언어 이론에서 중요하다.

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대수 구조 다양체
대수 구조 다양체
정의	공통적인 시그니처를 갖는 대수 구조들의 모임으로, 동일한 항등식 집합을 만족하는 모임이다.
다른 이름	방정식 클래스
예시
군의 다양체	군의 모든 예시를 포함한다.
아벨 군의 다양체	아벨 군의 모든 예시를 포함한다.
환의 다양체	환의 모든 예시를 포함한다.
결합 대수의 다양체	결합 대수의 모든 예시를 포함한다.
격자의 다양체	격자의 모든 예시를 포함한다.
부울 대수의 다양체	부울 대수의 모든 예시를 포함한다.

2. 정의

주어진 형 $\tau$ 의 대수 구조들의 모임 $\mathcal V$ 가 '''대수 구조 다양체'''(variety of algebraic structures^영어)가 되기 위한 필요충분조건은 다음 두 가지 중 하나를 만족하는 것이다. 이 두 조건이 서로 동치라는 사실은 개릿 버코프가 증명한 '''버코프 준동형사상-곱-부분대수 정리'''(Birkhoff’s HPS theorem^영어) 또는 간단히 '''HSP 정리'''라고 불린다.^[1]^[3]

1. $\mathcal V$ 는 특정 항등식(identity)들을 만족시키는 모든 대수 구조들의 모임이다. 여기서 항등식이란 변수들을 포함하는 두 표현(term)이 같다는 것을 나타내는 식이다. 예를 들어,

: $\forall x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n\in A\colon f(x_1,x_2,\dots,x_m)=g(y_1,y_2,\dots,y_n)$

와 같은 형태이다. 여기서 $f$ 와 $g$ 는 주어진 형 $\tau$ 에 속한 연산들과 변수들로 이루어진 유한한 길이의 식이다.

2. $\mathcal V$ 는 다음 세 가지 연산(H, S, P)에 대하여 닫혀 있다.

'''H''' (Homomorphic images): 준동형에 대한 상. 즉, $A\in\mathcal V$ 이고 준동형 $\phi\colon A\to B$ 가 존재하면, 그 상 $\phi(A)$ 도 $\mathcal V$ 에 속한다.
'''S''' (Subalgebras): 부분 대수. 즉, $A\in\mathcal V$ 이고 $B\subset A$ 가 $A$ 의 부분 대수이면, $B$ 도 $\mathcal V$ 에 속한다.
'''P''' (Products): 곱 대수. 즉, $\mathcal A\subseteq\mathcal V$ 가 $\mathcal V$ 에 속하는 대수들의 (비어있을 수도 있는) 집합이라면, 그들의 곱 $\prod\mathcal A$ 도 $\mathcal V$ 에 속한다. (만약 $\mathcal A=\varnothing$ 이면, $\prod\varnothing$ 은 원소 하나를 가진 자명 대수 $1=\{\bullet\}$ 이다.)

항등식을 만족하는 대수 구조들의 모임이 HSP 연산에 대해 닫혀 있다는 것은 비교적 쉽게 보일 수 있다. 반대로 HSP 연산에 닫힌 모임이 반드시 어떤 항등식들로 정의될 수 있다는 것을 보이는 것은 더 어렵다.

이러한 정의는 '''시그니처'''(signature) 또는 '''형'''(

\tau

) 개념을 바탕으로 한다. 시그니처는 연산들의 집합과 각 연산의 '''아리티'''(arity, 연산이 받는 인자의 개수)로 구성된다. 시그니처

\sigma

와 변수 집합

V

가 주어지면, 연산과 변수를 이용해 '''단어'''(word) 또는 '''항'''(term)을 만들 수 있다. '''항등식''' 또는 '''등식 법칙'''은 두 항이 같다는(

v=w

) 명제이다.

'''이론'''(theory)은 시그니처, 변수 집합, 그리고 항등식들의 집합으로 구성된다. 주어진 이론

T

에 대해,

T

의 '''대수 구조'''는 집합

A

와

T

의 각 연산

o

(아리티

n

)에 대응하는 구체적인 함수

o_A : A^n \to A

의 모임으로, 이론의 모든 항등식을 만족시킨다. 특정 이론

T

의 모든 대수 구조들의 모임이 바로 대수 구조 다양체를 이룬다.

이론

T

의 두 대수 구조

A

와

B

사이의 '''준동형'''(homomorphism)은 모든 연산

o

에 대해 구조를 보존하는 함수

f:A\to B

이다. 즉, 다음을 만족한다.

:

f(o_A(a_1, \dots, a_n)) = o_B(f(a_1), \dots, f(a_n))

모든 이론은 그 이론의 대수 구조들을 대상으로 하고 준동형들을 사상으로 하는 범주를 형성한다.

버코프 정리를 이용하면, 예를 들어 체들의 모임은 대수 구조 다양체를 이루지 않음을 알 수 있다. 왜냐하면 두 체의 직접곱은 일반적으로 체가 아니기 때문이다 (즉, P 연산에 닫혀 있지 않다). 따라서 체의 공리들은 어떤 항등식들의 집합만으로는 표현될 수 없다.

두 대수 구조 다양체

(\tau,\mathcal I)

,

(\tau',\mathcal I')

사이의 '''준동형'''

\phi\colon(\tau,\mathcal I)\to(\tau',\mathcal I')

은 각

n

항 연산

t\in\tau

에 대하여,

\tau'

의 연산들의 합성으로 정의할 수 있는 연산

\phi(t)

를 대응시키는 것으로 구성된다. 이 대응은

\mathcal I

의 모든 항등식이

\phi

를 통해 변환되었을 때

\mathcal I'

으로부터 함의되도록 해야 한다. 이를 통해 대수 구조 다양체들의 모임 자체도 범주를 이룬다는 것을 알 수 있다.

2. 1. 용어

대수 구조 다양체는 대수적 다양체와 혼동해서는 안 된다. 대수적 다양체는 다항 방정식계의 해 집합을 의미하며, 이 둘은 형식적으로 매우 다르고 공통점이 거의 없다.

'대수 구조 다양체'라는 용어는 주로 두 가지 의미로 사용된다. 첫째는 보편 대수학에서 다루는 일반적인 의미의 대수를 가리키며, 둘째는 더 구체적으로 체 위의 대수, 즉 쌍선형 맵을 갖춘 벡터 공간을 의미한다.

3. 성질

주어진 형 $\tau$ 의 대수 구조들의 모임 $\mathcal V$ 에 대하여, 다음 두 성질이 서로 동치이다.

$\mathcal V$ 는 다음 세 연산에 대하여 닫혀 있다.
* 준동형에 대한 상. 즉, $A\in\mathcal V$ 이고 준동형 $\phi\colon A\to B$ 이 존재한다면, $\phi(A)\in\mathcal V$ 이다.
* 곱 대수. 즉, $\mathcal A\subseteq\mathcal V$ 가 부분 집합이라면, $\prod\mathcal A\in\mathcal V$ 이다. (만약 $\mathcal A=\varnothing$ 일 경우, $\prod\varnothing$ 은 하나의 원소를 가진 자명 대수 $1=\{\bullet\}$ 이다.)
* 부분 대수. 즉, $A\in\mathcal V$ 이고 $B\subset A$ 가 부분 대수라면, $B\in\mathcal V$ 이다.
$\mathcal V$ 는 일련의 항등식 $I$ 들을 만족시키는 모든 대수 구조들의 모임이다. 여기서 항등식이란

::

\forall x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n\in A\colon f(x_1,x_2,\dots,x_m)=g(y_1,y_2,\dots,y_n)

:꼴의 조건이며,

f

는

\tau

에 속한 연산들 및 변수

x_1,\dots,x_m

만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이며,

g

는

\tau

에 속한 연산들 및 변수

y_1,\dots,y_n

만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이다.

'''대수 구조 다양체'''(variety of algebraic structures^영어)는 위 조건을 만족시키는, 대수 구조의 집합이다. 위 두 조건이 서로 동치라는 사실은 '''버코프 준동형사상-곱-부분대수 정리'''(Birkhoff’s HPS theorem^영어)라고 하며, 개릿 버코프가 증명하였다.

대수 구조 다양체를 형

\tau

와 항등식 집합

\mathcal I

의 순서쌍으로 적을 수 있다. 두 대수 구조 다양체

(\tau,\mathcal I)

,

(\tau',\mathcal I')

사이의 '''준동형'''

\phi\colon(\tau,\mathcal I)\to(\tau',\mathcal I')

은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

각 $n$ 항 연산 $t\in\tau$ 에 대하여, $\tau'$ 의 연산들의 합성으로 정의할 수 있는 연산 $\phi(t)$

이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

모든 항등식 $I\in\mathcal I$ 에 대하여, $I$ 에 등장하는 각 연산 $t$ 를 $\phi(t)$ 로 대응시킨 항등식은 $\mathcal I'$ 으로부터 함의된다.

이에 따라, 대수 구조 다양체들의 모임은 범주를 이룬다. 같은 연산들을 갖는 두 다양체의 교모임 역시 다양체를 이룬다.

대수 구조 다양체는 준동형을 사상으로 하는 구체적 범주를 이룬다. 범주론적으로, 모든 대수 구조 다양체는 로비어 이론(Lawvere theory^영어)

L

로부터 집합의 범주

\operatorname{Set}

로 가는, 곱을 보존하는 함자들의 범주

\operatorname{Prod}(L,\operatorname{Set})

와 동치이다.^[4]

모든 대수 구조 다양체는 다음 성질을 만족시킨다.

항상 자유 대수가 존재한다. 즉, 대수 구조 다양체 $\mathcal V$ 의 망각 함자 $G\colon\mathcal V\to\operatorname{Set}$ 의 왼쪽 수반 함자 $F\colon\operatorname{Set}\to\mathcal V$ , $F\dashv G$ 가 존재한다.
완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 작은 극한과 쌍대극한이 존재한다. 이 경우 쌍대극한을 '''귀납적 극한''', 극한을 '''사영 극한'''이라고 한다.
* 범주론적 곱이 항상 존재하며, '''직접곱'''이라고 한다. 또한, 망각 함자 아래 이는 곱집합 위에 정의된 대수이다.
* 쌍대곱 역시 항상 존재하며, '''자유곱'''이라고 한다. 이는 일반적으로 집합의 쌍대곱(분리 합집합)과 호환되지 않는다.
* 끝 대상은 하나의 원소만을 갖는 대수이다.
* 시작 대상은 공집합으로부터 생성되는 자유 대수이다.

4. 예시

다양한 종류의 대수 구조들이 대수 구조 다양체의 예시가 될 수 있다.

집합 관련 구조: 아무 연산과 항등식이 없는 집합의 모임, 점이 있는 집합, 크기가 1 이하 또는 1인 집합 등이 다양체를 이룬다. 그러나 유한 집합의 모임은 유한성을 항등식으로 나타낼 수 없고 곱 대수에 대해 닫혀있지 않아 다양체가 아니다.
군 관련 구조: 군, 아벨 군, $n$ -번사이드 군, 특정 유도 길이 이하의 가해군, 특정 중심 길이 이하의 멱영군 등이 군의 다양체 $\operatorname{Grp}$ 의 부분다양체를 이룬다.
환 관련 구조: 유사환, 환, 가환환, 특정 표수를 갖는 환의 모임 등이 다양체를 이룬다.
가군: 주어진 환 $R$ 에 대하여, 좌 $R$ -가군의 모임은 다양체를 형성한다. 이 경우 $R$ 의 각 원소에 대한 스칼라 곱셈이 단항 연산으로 추가된다. 환 $R$ 이 무한하면 무한히 많은 연산과 항등식이 필요할 수 있지만, 이는 대수 구조 다양체의 정의에서 허용된다.
격자 관련 구조: 격자, 모듈러 격자, 분배 격자, 유계 격자, 헤이팅 대수, 불 대수 등이 다양체를 이룬다. 그러나 무한항 연산이 필요한 완비 격자는 다양체가 아니다.
반군: 결합 법칙 $x(yz)=(xy)z$ 만을 항등식으로 가지는, 시그니처 (2)의 다양체이다.

반면, 체의 모임은 대수 구조 다양체를 이루지 않는다. 이는 모든 0이 아닌 원소가 곱셈 역원을 가져야 한다는 조건을 보편적으로 만족하는 항등식으로 표현할 수 없기 때문이다. 체를 단순히 환의 부분 모임으로 보더라도, 곱 대수 및 부분 대수에 대해 닫혀 있지 않아 다양체가 될 수 없다. 다만, 체들을 포함하는 가장 작은 다양체는 가환 폰 노이만 정규환commutative von Neumann-regular ring^영어의 다양체이다.^[5]

소거적 반군 역시 소거 속성이 항등식이 아닌 함축이기 때문에 대수 구조 다양체를 이루지 않는다. (다만 준항등식으로 정의되므로 준다양체는 형성한다.)

4. 1. 집합의 다양체

집합의 모임

\operatorname{Set}

은 아무런 연산 및 항등식을 갖지 않는 다양체이다. 점 갖춘 집합의 모임

\operatorname{Set}_\bullet

은 다음과 같은 다양체이다.

연산: 영항연산 $\bullet$
항등식: 없음

크기가 1 이하인 집합들의 다양체는 다음과 같다.

연산: 없음
항등식: $x=y$

크기가 1인 집합들의 다양체는 다음과 같다.

연산: 영항연산 $\bullet$
항등식: $x=y$

유한 집합들의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 이는 유한성은 항등식으로 나타낼 수 없으며, 또한 무한 개의 유한 집합의 곱집합은 유한 집합이 아니기 때문이다.

군

G

가 주어졌을 때,

G

의 군의 작용을 갖춘 집합들의 모임

G\text{-Set}

는 다음과 같은 다양체이다.

연산: 각 $g\in G$ 에 대하여, 일항연산 $g\cdot$
항등식:
* 모든 $g,h\in G$ 에 대하여, $g\cdot(h\cdot x)=(gh)\cdot x$
* $1\cdot x=x$

4. 2. 군의 다양체

군의 모임

\operatorname{Grp}

은 시그니처 (2, 0, 1)을 갖는 대수 구조 다양체를 형성한다. 여기서 세 가지 연산은 각각 곱셈(이항 연산

\cdot

), 항등원(영항 연산

1

), 역원(일항 연산

{}^{-1}

)이다. 군을 정의하는 항등식(공리)은 다음과 같다.

결합 법칙: $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$
항등원: $1\cdot x=x\cdot 1=x$
역원: $x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1$

아벨 군의 모임

\operatorname{Ab}

은 군의 다양체의 부분 다양체이다. 이는 군의 항등식에 더하여 교환 법칙 항등식

x\cdot y=y\cdot x

를 추가로 만족하는 군들로 이루어진다.

이 밖에도 군의 다양체(

\operatorname{Grp}

)의 주요 부분다양체들은 다음과 같다.

$n$ -번사이드 군: 모든 원소의 차수가 $n$ 의 약수인 군. 즉, 모든 원소 $x$ 에 대해 항등식 $x^n=1$ 을 만족하는 군이다.
유도 길이가 $k$ 이하인 가해군 $\operatorname{SolvGrp}_k$ : 예를 들어, $k=1$ 인 경우 아벨 군( $\operatorname{SolvGrp}_1=\operatorname{Ab}$ )과 같다. $k=2$ 인 가해군( $\operatorname{SolvGrp}_2$ )을 정의하는 항등식은 $1= 교환자 (교환자 (x,y), [z,w])$ 즉, $1=xyx^{-1}y^{-1}zwz^{-1}w^{-1}yxy^{-1}x^{-1}wzw^{-1}z^{-1}$ 이다.
중심 길이가 $k$ 이하인 멱영군 $\operatorname{NilpGrp}_k$ : $\overbrace{[\cdots[G,G],G],G],\cdots]}^k=1$ 인 군 $G$ 를 의미한다. 여기서 $[X, Y]$ 는 교환자 부분군을 나타낸다.

반군의 모임은 시그니처 (2)를 가지며, 이는 곱셈 연산 하나만을 가진다는 의미이다. 군은 곱셈 외에 항등원과 역원 연산을 가지므로 시그니처가 다르다. 따라서 군의 모임은 반군의 다양체의 부분 다양체가 아니다. 마찬가지로, 군이면서 동시에 반군인 대수 구조들의 모임 역시 반군의 다양체의 부분 다양체가 아니다.

4. 3. 환의 다양체

유사환의 모임

\operatorname{Rng}

은 다음과 같은 연산과 항등식을 가지는 다양체이다.

'''연산''': 이항연산 $\cdot$ (곱셈) 및 $+$ (덧셈), 일항연산 $-$ (덧셈 역원), 영항연산 $0$ (덧셈 항등원)
'''항등식''': 유사환의 정의에 따른 항등식들

가환 유사환의 모임

\operatorname{CRng}

은 유사환 다양체

\operatorname{Rng}

의 부분다양체이다.

환의 모임

\operatorname{Ring}

역시 다양체를 이루며, 유사환의 구조를 확장한 것이다.

'''연산''': 유사환의 연산( $\cdot, +, -, 0$ )에 영항연산 $1$ (곱셈 항등원)을 추가한다.
'''항등식''': 유사환의 항등식에 곱셈 항등원에 대한 항등식 $1 \cdot x = x \cdot 1 = x$ 를 추가한다.

가환환의 모임

\operatorname{CRing}

은 환의 다양체

\operatorname{Ring}

에 곱셈의 교환법칙(

xy = yx

)을 항등식으로 추가한 부분다양체이다.

또한, 임의의 음이 아닌 정수

n

에 대해, 표수가

n

의 약수인 환들의 모임도 다양체를 형성한다. 이는

n \cdot 1 = 0

(여기서

n \cdot 1

은

1

을

n

번 더한 것)이라는 항등식을 추가함으로써 정의된다.

반면, 체의 모임은 일반적으로 다양체를 이루지 않는다. 체의 정의에는 0이 아닌 모든 원소에 대한 곱셈 역원이 존재해야 한다는 조건이 있는데, 이 곱셈 역원 연산

^{-1}

은 0에 대해 정의되지 않아 모든 원소에 적용되는 연산으로 보기 어렵다. 또한, 체를 단순히 환의 일종으로 간주하더라도, 체의 모임은 곱 대수(두 체의 곱이 항상 체가 되는 것은 아님)나 부분 대수(체의 부분환이 항상 체가 되는 것은 아님)에 대해 닫혀 있지 않아 다양체의 조건을 만족하지 못한다.

하지만 체의 모임을 포함하는 가장 작은 다양체는 존재하는데, 바로 가환 폰 노이만 정규환(commutative von Neumann-regular ring^영어)의 다양체이다.^[5] 이 다양체는 다음과 같이 정의된다.

'''연산''': 가환환의 연산( $\cdot, +, -, 0, 1$ )에 일항연산 $^{-1}$ (유사 역원)을 추가한다.
'''항등식''': 가환환의 항등식에 다음 두 항등식을 추가한다.
* $xx^{-1}x = x$
* $x^{-1}xx^{-1} = x^{-1}$

이 항등식들을 만족하는 구조에서는 항상

0^{-1}=0

이 성립하게 된다. 모든 체는 이 항등식들을 만족시키므로, 가환 폰 노이만 정규환 다양체의 부분 모임이 된다.

4. 4. 격자의 다양체

격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다.

연산: 이항연산 $\vee$ 및 $\wedge$
항등식:
* (교환 법칙) $a\vee b=b\vee a$ , $a\wedge b=b\wedge a$
* (결합 법칙) $(a\vee b)\vee c=a\vee(b\vee c)$ , $(a\wedge b)\wedge c=a\wedge(b\wedge c)$
* (흡수 법칙) $a\vee(a\wedge b)=a\wedge(a\vee b)=a$

모듈러 격자의 모임은 격자의 다양체의 부분다양체를 이루며, 분배 격자의 모임은 모듈러 격자의 다양체의 부분다양체를 이룬다.

유계 격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다.

연산: 격자의 연산 및 영항연산 $\bot$ 및 $\top$
항등식: 격자의 항등식 및 $a\vee\bot=a$ , $a\wedge\top=a$

헤이팅 대수의 모임과 불 대수의 모임 역시 다양체를 이룬다.

완비 격자의 모임은 다양체를 이루지 않는데, 이는 완비 격자를 공리화하려면 무한항 연산(무한 개의 원소들의 만남·이음)이 필요하기 때문이다.

5. 부분 다양체

대수 구조 다양체 ''V''의 '''부분 다양체'''(subvariety)는 ''V''와 동일한 시그니처를 가지면서, 그 자체로 다양체를 이루는 ''V''의 부분 클래스이다. 즉, 부분 다양체는 원래 다양체의 항등식에 추가적인 항등식들을 만족하는 대수 구조들의 모임으로 정의된다.

대표적인 예로 군의 다양체 $\operatorname{Grp}$ 를 들 수 있다. 아벨 군의 모임 $\operatorname{Ab}$ 은 군의 항등식에 추가적으로 교환 법칙 항등식 $x\cdot y=y\cdot x$ 를 만족하는 군들의 모임이므로, 군 다양체의 부분 다양체가 된다. 이 외에도 다음과 같은 군의 부분 다양체들이 존재한다.

모든 원소의 차수가 $n$ 의 약수인 $n$ -번사이드 군
유도 길이가 $k$ 이하인 가해군 $\operatorname{SolvGrp}_k$
중심 길이가 $k$ 이하인 멱영군 $\operatorname{NilpGrp}_k$

그러나 모든 부분 클래스가 부분 다양체가 되는 것은 아니다. 예를 들어, 군에서 단위원을 제거하거나 역원 연산을 제거하면 반군이 되지만, 이는 시그니처가 변경되었기 때문에 반군 다양체의 부분 다양체가 아니다. 또한, 군이면서 동시에 모노이드인 대수 구조들의 클래스는 정수의 덧셈군

\langle\mathbb Z,+\rangle

를 포함하지만 그 부분 대수인 자연수의 덧셈 모노이드

\langle\mathbb N,+\rangle

를 포함하지 않으므로, 버코프의 정리에 의해 다양체가 아니며 따라서 부분 다양체도 아니다.

유한 생성 아벨 군의 클래스 역시 아벨 군 다양체의 부분 다양체가 아니다. 왜냐하면 유한 생성 아벨 군들의 직접곱이 항상 유한 생성 아벨 군이 되는 것은 아니므로, 직접곱 연산에 대해 닫혀있지 않기 때문이다. 버코프의 정리에 따르면 어떤 대수 구조의 클래스가 다양체가 되기 위해서는 준동형 사상, 부분 대수, 직접곱 연산(HSP 연산)에 대해 닫혀 있어야 한다.^[3]

범주론적 관점에서, 다양체 ''V''와 그 준동형 사상들을 하나의 범주로 보았을 때, ''V''의 부분 다양체 ''U''는 ''V''의 충만 부분 범주이다. 이는 ''U''에 속하는 임의의 두 대상 ''a'', ''b''에 대해, ''U'' 안에서의 준동형 사상 집합

\operatorname{Hom}_U(a, b)

가 ''V'' 안에서의 준동형 사상 집합

\operatorname{Hom}_V(a, b)

와 같다는 것을 의미한다.

6. 자유 대상

$V$ 를 자명하지 않은 대수 구조 다양체, 즉 둘 이상의 원소를 가진 대수 구조를 포함하는 다양체라고 하자. 모든 집합 $S$ 에 대해, 다양체 $V$ 는 $S$ 에 대한 '''자유 대수''' $F_S$ 를 포함한다. 이는 다음과 같은 보편 성질을 만족하는 단사 함수 $i : S \to F_S$ 가 존재한다는 것을 의미한다: 다양체 $V$ 에 속하는 임의의 대수 $A$ 와 임의의 함수 $k : S \to A$ 가 주어지면, $f \circ i = k$ 를 만족하는 유일한 $V$ -준동형사상 $f : F_S \to A$ 가 존재한다.

이 개념은 자유군, 자유 아벨 군, 자유 대수, 자유 가군 등의 개념을 일반화한다. 이는 다양체 내의 모든 대수가 어떤 자유 대수의 준동형 사상이라는 결과를 낳는다.

7. 범주론적 관점

범주론적 관점에서, 모든 대수 구조 다양체는 로비어 이론( Lawvere theory^영어 ) $L$ 로부터 '''Set'''로 가는, 곱을 보존하는 함자들의 범주 $\operatorname{Prod}(L,\operatorname{Set})$ 와 동치이다.^[4]

모든 대수 구조 다양체는 다음과 같은 중요한 범주론적 성질을 만족시킨다.

자유 대수의 존재: 대수 구조 다양체 $\mathcal V$ 에서 '''Set'''로 가는 망각 함자 $G: \mathcal{V} \to \operatorname{Set}$ 는 항상 왼쪽 수반 함자 $F: \operatorname{Set} \to \mathcal{V}$ 를 가진다 ( $F \dashv G$ ). 이 함자 $F$ 는 주어진 집합으로부터 자유 대수를 생성하는 역할을 한다.
완비성과 쌍대 완비성: 대수 구조 다양체는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이는 모든 작은 극한과 쌍대극한이 존재함을 의미한다.
* 극한 (또는 '''사영 극한''')의 예시로는 범주론적 곱이 있다. 이는 대수 구조들의 '''직접곱'''에 해당하며, 망각 함자를 통해 보면 곱집합 위에 정의된 대수 구조와 같다. 끝 대상은 하나의 원소만을 갖는 자명 대수이다.
* 쌍대극한 (또는 '''귀납적 극한''')의 예시로는 쌍대곱이 있다. 이는 '''자유곱'''이라고 불리며, 일반적으로 집합의 분리 합집합과는 다르다. 시작 대상은 공집합으로부터 생성되는 자유 대수이다.

대수 구조 다양체는 유한 모나드와 밀접하게 연관된다. 대수 구조를 대상으로 하고 준동형을 사상으로 하는 범주를 '''유한 대수 범주'''라고 부른다. 유한 대수 범주

\mathcal V

에서 망각 함자

G: \mathcal{V} \to \operatorname{Set}

와 그 왼쪽 수반 함자

F: \operatorname{Set} \to \mathcal{V}

(자유 대수 함자)를 생각할 수 있다. 이 수반 관계는 '''모나드적'''인데, 이는 범주

\mathcal V

가 모나드

T = GF

에 대한 아일렌베르크-무어 범주

\operatorname{Set}^T

와 동치임을 의미한다. 여기서 모나드

T

는 '''유한'''(finitary)한 성질을 가지는데, 이는 모나드가 필터된 공극한과 교환한다는 뜻이다.

결론적으로, 유한 대수 범주는 정확히 유한 모나드의 아일렌베르크-무어 범주와 동치이며, 이는 다시 로베어 이론의 대수 범주와도 동치이다. 즉, 대수 구조 다양체를 설명하는 세 가지 동등한 범주론적 프레임워크(로베어 이론, 유한 모나드, 유한 대수 범주)가 존재한다.

모나드를 이용하면 대수 구조의 개념을 더 일반적으로 확장할 수 있다. 어떤 범주가 '''Set''' 위에서 모나드적일 때, 이를 '''대수 범주'''라고 정의한다. 이는 유한 대수 범주보다 더 넓은 개념으로, 연산의 개수가 무한하거나 연산의 항수(arity)가 무한한 경우도 포함할 수 있다. 예를 들어, 완전 원자 불 대수(CABA)나 완전 반격자(CSLat)의 범주는 무한 연산을 포함하며, 이들의 시그니처(연산 모음)는 집합이 아닌 고유 모임을 이룬다. 시그마 대수의 범주 역시 무한 연산을 가지지만, 연산의 항수가 가산적이므로 시그니처는 집합을 이룬다.

모든 유한 대수 범주는 지역적으로 표현 가능한 범주이다.

8. 준다양체

'준다양체'는 일반적으로 주어진 시그니처를 갖는 대수 구조들의 모임으로 정의되며, 준동형 이미지, 부분 대수, 그리고 유한 직접 곱 연산에 대해 닫혀 있다. 모든 연구자가 준다양체에 속하는 모든 대수 구조가 반드시 유한해야 한다고 가정하는 것은 아니며, 이러한 경우에는 '유한 대수의 다양체'라고 부르기도 한다. 준다양체의 경우, 버코프 정리와 같은 일반적인 유한 대응 정리는 존재하지 않지만, 더 복잡한 항등식 개념을 도입하면 유사한 결과를 얻을 수 있는 경우가 많다.^[2]

준다양체는 특히 유한 반군 연구와 형식 언어 이론 분야에서 중요한 역할을 한다. 흔히 '다양체 정리'라고 불리는 에일렌베르크의 정리(Eilenberg's theorem)는 정규 언어의 다양체와 유한 반군의 준다양체 사이에 자연스러운 대응 관계가 성립함을 보여준다.

참조

_[1] 간행물 On the structure of abstract algebras https://pdfs.semanti[...] 1935-10
_[2] 간행물 The Birkhoff Theorem for varieties of finite algebras
_[3] 간행물 On the structure of abstract algebras https://pdfs.semanti[...] 1935-10
_[4] 저널 The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads https://www.dpmms.ca[...] 2014-10-20
_[5] 웹인용 What is the smallest variety of algebras containing all fields https://mathoverflow[...]

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