직교 여원 격자

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
- 4.1. 양자 논리
- 4.2. 대합환
참조

1. 개요

직교 여원 격자는 유계 격자 위의 함수로, 각 원소 a를 직교 여원 a⊥에 매핑하여 여원 법칙, 대합 법칙, 순서 반전의 공리를 만족시킨다. 직교 여원 격자는 불 대수의 일반화된 개념으로, 양자 논리에서 닫힌 부분 공간의 격자로 사용되며, 드 모르간의 법칙을 만족한다. 직교 모듈 격자는 양자 논리 연구에 중요한 격자 형태이며, 힐베르트 공간의 닫힌 부분 공간에 대한 계산법과 형식적으로 구별할 수 없는 특징을 가진다. 불 대수는 직교 여원 격자의 특수한 경우이며, 분배 격자이고 직교 여원이 유일하다.

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직교 여원 격자
정의
설명	격자 이론에서 여원 격자는 각 원소가 여원을 갖는 격자이다.
관련 개념
격자	격자
유계 격자	유계 격자
분배 격자	분배 격자
모듈러 격자	모듈러 격자
여원	여원
직교 여원 격자	직교 여원 격자
성질
유계성	여원 격자는 유계 격자이다.
여원의 유일성	분배 격자에서는 여원이 존재하면 유일하다.
부울 대수	분배 여원 격자를 부울 대수라고 한다.
드 모르간 법칙	여원 격자에서 드 모르간 법칙이 성립한다. 즉, 임의의 원소 a, b에 대하여 (a∨b)' = a'∧b'이고 (a∧b)' = a'∨b'이다.
예시
멱집합	임의의 집합의 멱집합은 부울 대수를 이룬다.

2. 정의

'''여원 격자'''는 모든 원소 ''a''가 '''여원'''을 갖는 유계 격자(최소 원소 0과 최대 원소 1을 가짐)이다. 즉, 다음을 만족하는 원소 ''b''가 존재한다.

:''a'' ∨ ''b'' = 1 , ''a'' ∧ ''b'' = 0.

일반적으로 한 원소는 여러 개의 여원을 가질 수 있다. 하지만 (유계) 분배 격자에서 모든 원소는 최대 하나의 여원만을 갖는다.^[1] 모든 원소가 정확히 하나의 여원을 갖는 격자를 '''유일 여원 격자'''라고 한다.^[2]

'''직교 여원 격자'''(또는 '''직교 격자''')는 각 원소 ''a''를 "직교 여원" ''a''^⊥에 매핑하는 함수가 정의된 유계 격자이며, 다음 공리를 만족시킨다.^[5]

여원 법칙: ''a''^⊥ ∨ ''a'' = 1 , ''a''^⊥ ∧ ''a'' = 0.
대합 법칙: ''a''^⊥⊥ = ''a''.
순서 반전: ''a'' ≤ ''b''이면 ''b''^⊥ ≤ ''a''^⊥.

내적 공간의 부분 공간 격자와 직교 여원 연산은 일반적으로 분배적이지 않은 직교 여원 격자의 예시를 제공한다.^[6]

불 대수는 직교 여원 격자의 특수한 경우이며, 이는 다시 여원 격자의 특수한 경우이다(추가 구조 포함). 직교 격자는 양자 논리에서 가장 자주 사용되며, 여기서 닫힌 부분 공간은 분리 가능한 힐베르트 공간의 양자 명제를 나타내고 직교 여원 격자로 동작한다.

직교 여원 격자는 불 대수와 마찬가지로 드 모르간의 법칙을 만족한다.

(''a'' ∨ ''b'')^⊥ = ''a''^⊥ ∧ ''b''^⊥
(''a'' ∧ ''b'')^⊥ = ''a''^⊥ ∨ ''b''^⊥.

유계 격자 ''L'' 위에 각 원소 ''a''를 그 '''직교 여원''' ''a''^⊥으로 사상하는 사상이 주어지고, 위의 여원, 대합, 순서 보존 성질을 만족할 때, ''L''과 ^⊥의 조합을 직교 상보 격자라고 한다.

2. 1. 순서 반대 보존성의 동치 조건

유계 격자

(L,\land,\lor,\top,\bot)

위의 함수

\lnot\colon L\to L

에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.

(순서 반대 보존) 임의의 $x,y\in L$ 에 대하여, $x\le y$ 라면 $\lnot x\ge\lnot y$
(드 모르간 법칙 1) 임의의 $x,y\in L$ 에 대하여, $\lnot(x\land y)=\lnot x\lor\lnot y$
(드 모르간 법칙 2) 임의의 $x,y\in L$ 에 대하여, $\lnot(x\lor y)=\lnot x\land\lnot y$

'''증명:'''

'''순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 1:''' 임의의 $x,y\in L$ 에 대하여,

:

x\land y\le x

:

x\land y\le y

이므로

:

\lnot(x\land y)\ge\lnot x

:

\lnot(x\land y)\ge\lnot y

이다. 따라서, 상한의 정의에 따라

:

\lnot(x\land y)\ge\lnot x\lor\lnot y

이다.

'''순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 2:''' 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

'''드 모르간 법칙 1 ⇒ 순서 반대 보존:''' 임의의 $x,y\in L$ 에 대하여, $x\le y$ 라고 하자. 그렇다면,

:

x=x\land y

이므로

:

\lnot x=\lnot(x\land y)=\lnot x\lor\lnot y

이다. 따라서

:

\lnot x\ge\lnot y

이다.

'''드 모르간 법칙 2 ⇒ 순서 반대 보존:''' 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

2. 2. 직교 여원

유계 격자

(L,\land,\lor,\top,\bot)

위의 '''직교 여원'''(直交餘元, orthocomplementation^영어)

\lnot\colon L\to L

은 다음 네 조건들을 만족시키는 함수이다.^[8]^[9]

(대합) 임의의 $x\in L$ 에 대하여, $\lnot\lnot x=x$
(순서 반대 보존) 임의의 $x,y\in L$ 에 대하여, $x\le y$ 라면 $\lnot x\ge\lnot y$
(배중률) 임의의 $x\in L$ 에 대하여, $\lnot x\lor x=\top$
(비모순율) 임의의 $x\in L$ 에 대하여, $\lnot x\land x=\bot$

'''직교 여원 격자'''(orthocomplemented lattice^영어)는 직교 여원이 부여된 격자이다. 이들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 직교여원 격자 사이의 '''직교 여원 격자 사상'''(orthocomplemented lattice morphism^영어)

f\colon L\to L'

은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

격자 사상이다. 즉, 임의의 $x,y\in L$ 에 대하여 $f(x\land y)=f(x)\land f(y)$ 이며, $f(x\lor y)=f(x)\lor f(y)$ 이다.
임의의 $x\in L$ 에 대하여 $f(\lnot x)=\lnot f(x)$ 이다.

이 경우, 임의의

x\in L

에 대하여

:

f(\top)=f(x\lor\lnot x)=f(x)\lor\lnot f(x)=\top

:

f(\bot)=f(x\land\lnot x)=f(x)\land\lnot f(x)=\bot

이므로 이는 자동적으로 유계 격자 사상이 된다.

'''직교 여원 격자''' 또는 '''직교 격자'''는 유계 격자 상의 함수로, 각 원소 ''a''를 "직교 여원" ''a''^⊥에 매핑하여 다음 공리를 만족시킨다.^[5]

여원 법칙: ''a''^⊥ ∨ ''a'' = 1 및 ''a''^⊥ ∧ ''a'' = 0.
대합 법칙: ''a''^⊥⊥ = ''a''.
순서 반전: ''a'' ≤ ''b''이면 ''b''^⊥ ≤ ''a''^⊥.

내적 공간의 부분 공간 격자와 직교 여원 연산은 일반적으로 분배적이지 않은 직교 여원 격자의 예시를 제공한다.^[6]

유계 격자 ''L'' 위에 각 원소 ''a''를 그 '''직교 여원''' ''a''^⊥으로 사상하는 사상이 주어지고,

여원: ''a''^⊥ ∨ ''a'' = 1 이고 ''a''^⊥ ∧ ''a'' = 0.
대합: ''a''^⊥⊥ = ''a''.
순서 보존: ''a'' ≤ ''b'' 이면 ''b''^⊥ ≤ ''a''^⊥.

을 만족할 때, ''L''과 ^⊥의 조합을 직교 상보 격자라고 한다.

2. 3. 가환성

직교 여원 격자

L

에서, 두 원소

x,y\in L

가 다음 조건을 만족시키면

x

가

y

와 '''가환한다'''(commute^영어)고 한다.^[8]

:

x=(x\land y)\lor(x\land\lnot y)

이는

x\operatorname{\mathsf C}y

로 표기한다.

가환 관계는 일반적으로 대칭 관계가 아니다. 즉,

x\operatorname{\mathsf C}y

라고 해서

y\operatorname{\mathsf C}x

일 필요는 없다.

직교 여원 격자

L

의 두 원소

x,y\in L

에 대하여,

x\le y

라면

x\operatorname{\mathsf C}y

이다.^[8]

2. 4. 직교모듈러 격자

직교 여원 격자

L

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 '''직교모듈러 격자'''(orthomodular lattice^영어)라고 한다.^[9]^[8]

임의의 $x,y\in L$ 에 대하여, $x\le y$ 이라면 $y\operatorname{\mathsf C}x$ 이다 (즉, $x\lor(\lnot x\land y)=y$ 이다).
임의의 $x,y\in L$ 에 대하여, $x\lor(\lnot x\land(x\lor y))=x\lor y$ 이다.
가환 관계는 대칭 관계이다. 즉, 임의의 $x,y\in L$ 에 대하여, $x\operatorname{\mathsf C}y$ 이라면 $y\operatorname{\mathsf C}x$ 이다.
임의의 $x,y\in L$ 에 대하여, $x\operatorname{\mathsf C}y$ 이라면 $\lnot x\operatorname{\mathsf C}y$ 이다.
임의의 $x,y\in L$ 에 대하여, $x\le y$ 이자 $\lnot x\land y=\bot$ 이라면 $x=y$ 이다.
임의의 $x,y,z\in L$ 에 대하여, $x\le y\le z$ 라면 $x\lor(\lnot y\land z)=(x\lor\lnot y)\land z$ 이다.
육각형 격자를 부분 격자로 갖지 않는다.

여기서 '''육각형 격자'''(hexagon lattice^영어)는 다음과 같은 유계 격자이다.

:

L=\{\bot,a,b,c,d,\top\}

:

\bot\le a\le b\le\top

:

\bot\le c\le d\le\top

양자 논리에서의 응용에 필요한 직교 여원 격자의 추가 약화는, ''b'' = ''a''^⊥에 대해서만 조건을 요구하는 것이다. 따라서 '''직교 모듈 격자'''는 임의의 두 원소에 대해 다음 함의가 성립하는 직교 여원 격자로 정의된다.

: 만약 ''a'' ≤ ''c''이면, ''a'' ∨ (''a''^⊥ ∧ ''c'') = ''c''

이러한 형태의 격자는 양자 논리 연구에 매우 중요한데, 힐베르트 공간의 공식화에 대한 공리화의 일부이기 때문이다. 개릿 버크호프와 존 폰 노이만은 양자 논리에서 명제 계산법이 부울 격자에서 '그리고', '또는', '아니다'의 역할에 해당하는 집합 곱, 선형 합 및 직교 여원에 관하여 "[힐베르트 공간의] 선형 부분 공간의 계산법과 형식적으로 구별할 수 없다"고 언급했다. 이 언급은 직교 모듈 격자를 형성하는 힐베르트 공간의 닫힌 부분 공간에 대한 관심을 촉진했다.^[7]

3. 성질

직교 여원 격자는 다음 성질들을 만족한다.^[5]

여원 법칙: ''a''^⊥ ∨ ''a'' = 1 및 ''a''^⊥ ∧ ''a'' = 0.
대합 법칙: ''a''^⊥⊥ = ''a''.
순서 반전: ''a'' ≤ ''b''이면 ''b''^⊥ ≤ ''a''^⊥.

내적 공간의 부분 공간 격자와 직교 여원 연산은 일반적으로 분배적이지 않은 직교 여원 격자의 예시를 제공한다.^[6]

오각형 격자 ''N''₅에서 오른쪽에 있는 노드는 두 개의 여원을 갖는다.

불 대수는 직교 여원 격자의 특수한 경우이며, 직교 격자는 양자 논리에서 자주 사용된다. 양자 논리에서 닫힌 부분 공간은 분리 가능한 힐베르트 공간의 양자 명제를 나타내고 직교 여원 격자로 동작한다.

직교 여원 격자는 불 대수와 마찬가지로 드 모르간의 법칙을 만족한다.

(''a'' ∨ ''b'')^⊥ = ''a''^⊥ ∧ ''b''^⊥
(''a'' ∧ ''b'')^⊥ = ''a''^⊥ ∨ ''b''^⊥.

모든 원소 ''a'', ''b'', ''c''에 대해 "만약 ''a'' ≤ ''c''이면, ''a'' ∨ (''b'' ∧ ''c'') = (''a'' ∨ ''b'') ∧ ''c''" 가 성립하면 모듈 격자라고 한다. 이 조건은 분배성보다 약하다. 예를 들어, 위에 표시된 격자 ''M''₃는 모듈 격자이지만 분배 격자는 아니다.

'''직교 모듈 격자'''는 임의의 두 원소에 대해 "만약 ''a'' ≤ ''c''이면, ''a'' ∨ (''a''^⊥ ∧ ''c'') = ''c''" 가 성립하는 직교 여원 격자로 정의된다. 이러한 형태의 격자는 양자 논리 연구에 매우 중요하며, 힐베르트 공간의 공식화에 대한 공리화의 일부이다. 개릿 버크호프와 존 폰 노이만은 양자 논리에서 명제 계산법이 부울 격자에서 '그리고', '또는', '아니다'의 역할에 해당하는 집합 곱, 선형 합 및 직교 여원에 관하여 "[힐베르트 공간의] 선형 부분 공간의 계산법과 형식적으로 구별할 수 없다"고 언급했다. 이 언급은 직교 모듈 격자를 형성하는 힐베르트 공간의 닫힌 부분 공간에 대한 관심을 촉진했다.^[7]

3. 1. 함의 관계

모든 불 대수는 직교 여원 격자이다. 하지만, 직교 여원 격자가 반드시 분배 격자일 필요는 없다.

직교 여원 격자

L

에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.^[10]

불 대수이다.
분배 격자이다.
임의의 원소 $x\in L$ 에 대하여, $c\land x=\bot$ 이며 $c\lor x=\top$ 인 $c\in L$ 가 유일하게 존재한다. (이는 $\lnot x$ 이다.)
(엘칸 법칙 Elkan’s law^영어) 임의의 $x,y\in L$ 에 대하여, $\lnot(a\land\lnot b)=b\lor\lnot a\land\lnot b$ 이다.

모든 모듈러 직교 여원 격자는 직교모듈러 격자이지만,^[8] 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

3. 2. 유일성

주어진 격자 위에 직교 여원이 유일할 필요는 없다. 다만, 분배 격자 위의 직교 여원은 만약 존재한다면 유일하다.^[1]^[2]

분배 격자

L

의 원소

x,c,c'\in L

에 대하여

:

x\lor c=x\lor c'=\top

:

x\land c=x\land c'=\bot

라고 하자. 그렇다면

:

c'=c'\lor\top=c'\land(x\lor c)=(c'\land x)\lor(c'\land c)=\bot\lor(c'\land c)=c'\land c

이다. 따라서

:

c'\le c

이다. 마찬가지로

c\le c'

임을 보일 수 있으며, 따라서

c=c'

이다.

3. 3. 범주론적 성질

직교 여원 격자와 직교 여원 격자 준동형의 구체적 범주

\operatorname{OLat}

는 대수 구조 다양체의 범주이므로 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 자유 대상이 존재한다.^[1]

4. 예

벡터 공간의 벡터 부분 공간의 격자는 일반적으로 분배적이지 않은 여원 격자의 예시를 제공한다.^[3]^[4] 내적 공간의 부분 공간 격자와 직교 여원 연산 또한 일반적으로 분배적이지 않은 직교 여원 격자의 예시이다.^[6]

다음은 몇몇 여원 격자의 예시이다.

--
--
--

불 대수는 직교 여원 격자의 특수한 경우이며, 이는 다시 여원 격자의 특수한 경우이다.

4. 1. 양자 논리

힐베르트 공간의 부분 벡터 공간들은 포함 관계에 따라 유계 격자를 이룬다. 이때, 직교여원은 다음과 같이 정의된다.^[5]

:

\lnot V=V^\perp=\{u\in\mathcal H\colon\forall v\in V\colon u\perp v\}

이 직교여원을 정의하면, 직교모듈러 격자를 이룬다. 개릿 버크호프와 존 폰 노이만은 양자 논리에서 명제 계산법이 부울 격자에서 '그리고', '또는', '아니다'의 역할에 해당하는 집합 곱, 선형 합 및 직교 여원에 관하여 "[힐베르트 공간의] 선형 부분 공간의 계산법과 형식적으로 구별할 수 없다"고 언급했다.^[7] 이는 힐베르트 공간의 닫힌 부분 공간이 직교 모듈 격자를 형성한다는 사실에 대한 관심을 불러일으켰다.

직교 격자는 양자 논리에서 가장 자주 사용되며, 여기서 닫힌 부분 공간은 분리 가능한 힐베르트 공간의 양자 명제를 나타내고 직교 여원 격자로 동작한다.

4. 2. 대합환

대합환

(R,^*)

에서, 다음 조건을 만족하는 원소들의 집합

L

을 생각하자.

:

L=\{r\in R\colon r=r^*=r^2\}

L

의 원소

r, s

에 대해 순서 관계

\le

와 연산

\lnot

를 다음과 같이 정의한다.

:

r\le s\iff r=rs

:

\lnot r=1-r

그러면

L

은 직교모듈러 격자를 이룬다.^[8] 또한,

L

의 임의의 원소

r, s

에 대해 다음이 성립한다.

:

\forall r,s\in L\colon xy=yx\iff x\operatorname{\mathsf C}y

즉, 환으로서의 가환성 개념(

xy=yx

)이 직교 여원 격자로서의 가환성 개념(

x\operatorname{\mathsf C}y

)과 일치한다.^[8]

참조

_[1] 서적 Lemma I.6.1
_[2] 서적 Semimodular Lattices: Theory and Applications https://books.google[...] Cambridge University Press
_[3] 서적 Lemma I.6.2
_[4] 서적 Corollary IX.1
_[5] 서적
_[6] 웹사이트 The Unapologetic Mathematician: Orthogonal Complements and the Lattice of Subspaces http://unapologetic.[...]
_[7] 서적 Axioms for lattices and boolean algebras https://books.google[...] World Scientific
_[8] 서적 Lattice theory American Mathematical Society 1967
_[9] 서적 Current research in operational quantum logic: algebras, categories, languages Springer-Verlag 2016-07-06
_[10] 간행물 On orthocomplemented lattices with Elkan’s law http://www.kurims.ky[...] 2006

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