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무게 함수

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목차

1. 개요

무게 함수는 이산 집합 또는 연속 영역에서 정의되며, 각 요소 또는 위치에 가중치를 할당하는 데 사용되는 함수이다. 이산적인 상황에서 가중 함수는 집합의 각 요소에 양의 실수를 할당하여 가중 합, 가중 기수, 가중 평균을 계산하는 데 사용된다. 통계학에서는 편향 보정, 기댓값 계산, 선형 회귀 및 이동 평균 모형 등에 활용된다. 연속적인 상황에서 무게 함수는 양의 측도로 표현되며, 가중 적분, 가중 부피, 가중 평균을 계산하고, 쌍선형 형식을 일반화하는 데 사용된다.

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2. 이산 가중 함수

이산적인 상황에서, 가중 함수 w \colon A \to \R^+는 일반적으로 유한 집합 또는 가산 집합인 이산 수학 집합 A 위에 정의된 양의 함수이다. 가중 함수 w(a) := 1은 모든 요소가 동일한 가중치를 갖는 "가중되지 않은" 상황에 해당한다. 이 가중치는 가중 합, 가중 기수, 가중 평균 등 다양한 개념에 적용될 수 있으며, 자세한 정의와 활용은 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 일반적인 정의

이산적인 상황에서, 가중 함수 w \colon A \to \R^+는 보통 유한 집합 또는 가산 집합인 이산 수학 집합 A 위에 정의된 양의 함수이다. 모든 요소가 동일한 가중치를 갖는 "가중되지 않은" 상황은 가중 함수 w(a) := 1로 표현할 수 있다. 이 가중 함수 개념은 다양한 수학적 계산에 적용될 수 있다.

함수 f\colon A \to \R가 실수 값을 갖는 수학 함수라면, 집합 A에 대한 함수 f의 "가중되지 않은 합"은 다음과 같이 정의된다.

:\sum_{a \in A} f(a);

그러나 가중 함수 w\colon A \to \R^+가 주어지면, '''가중 합''' 또는 원뿔 조합은 각 요소의 함수값에 해당 가중치를 곱하여 더하는 방식으로 다음과 같이 정의된다.

:\sum_{a \in A} f(a) w(a).

가중 합은 수치 적분과 같은 분야에서 일반적으로 적용된다.

만약 ''B''가 ''A''의 유한 부분 집합일 경우, ''B''의 원소 개수를 나타내는 가중되지 않은 기수 |''B''| 대신, 각 원소의 가중치를 합한 '''가중 기수'''를 사용할 수 있다.

:\sum_{a \in B} w(a).

또한, 만약 ''A''가 유한이고 공집합이 아닐 경우, 가중되지 않은 평균 또는 평균값

:\frac{1}

\sum_{a \in A} f(a)

대신에 '''가중 평균'''을 사용할 수 있다. 가중 평균은 각 함수값에 가중치를 곱한 합을 모든 가중치의 합으로 나눈 값이다.

: \frac{\sum_{a \in A} f(a) w(a)}{\sum_{a \in A} w(a)}.

이 경우, 각 가중치의 절대적인 값보다는 상대적인 비율, 즉 "상대적" 가중치만이 계산 결과에 영향을 미친다.

2. 2. 통계학에서의 활용

가중 평균은 통계학에서 편향의 존재를 보정하기 위해 일반적으로 사용된다. 여러 번 독립적으로 측정된 양 f의 각 측정값 f_i가 분산\sigma^2_i를 가질 때, 가장 정확한 추정치는 각 측정값의 분산(\sigma^2_i)의 역수를 가중치(w_i = 1 / \sigma_i^2)로 사용하여 모든 측정값을 평균 내어 구한다. 이렇게 얻은 결과의 분산(\sigma^2 = 1 / \sum_i w_i)은 개별 측정값의 분산보다 작아진다. 최대 우도 방법 역시 동일한 가중치(w_i)를 사용하여 모델 적합도와 실제 데이터 간의 차이에 가중치를 적용한다.

확률 변수의 기댓값은 가능한 값들의 가중 평균이며, 가중치는 각 확률이다. 더 나아가, 어떤 확률 변수 함수의 기댓값은 해당 함수가 가질 수 있는 각각의 값에 그 값이 나올 확률을 가중치로 곱하여 평균을 낸 값이다.

선형 회귀 분석에서는 종속 변수가 독립 변수의 현재 값뿐만 아니라 과거 값에도 영향을 받는다고 가정할 때가 있다. 이때 추정되는 분산 시차 함수는 현재 및 과거의 여러 독립 변수 값들을 가중 평균한 것이다. 비슷하게, 이동 평균 모형에서는 시간에 따라 변화하는 변수를 현재 시점과 여러 과거 시점의 확률 변수 값들을 가중 평균하여 나타낸다.

2. 3. 역학에서의 활용

'무게 함수'라는 용어는 역학 분야에서 비롯되었다. 만약 지레 위에 n개의 물체가 놓여 있고, 각 물체의 무게(물리적 의미)가 w_1, \ldots, w_n이고 위치가 \boldsymbol{x}_1,\dotsc,\boldsymbol{x}_n이라면, 이 지레는 지레받침이 질량 중심에 위치할 때 균형을 이룬다. 질량 중심의 위치는 다음 공식으로 계산할 수 있다.

:\frac{\sum_{i=1}^n w_i \boldsymbol{x}_i}{\sum_{i=1}^n w_i}

이 식은 각 물체의 위치 \boldsymbol{x}_i에 무게 w_i를 가중치로 적용한 가중 평균과 같다. 즉, 무게 함수는 역학에서 물체들의 균형점(질량 중심)을 찾는 데 활용될 수 있다.

3. 연속 가중 함수

연속적인 상황에서 가중치는 w(x) \, dx와 같은 양의 측도로 표현될 수 있다. 이 측도는 특정 영역 \Omega에 적용되는데, \Omega는 보통 유클리드 공간 \R^n의 부분 집합이다. 예를 들어, \Omega는 구간 [a,b]가 될 수 있다. 여기서 dx는 르베그 측도를 나타내고, w\colon \Omega \to \R^+는 음이 아닌 가측 함수이다. 이런 맥락에서 가중 함수 w(x)는 때때로 밀도라고도 불린다.

3. 1. 일반적인 정의

만약 f\colon \Omega \to \R가 실수 값을 갖는 함수라면, 가중치가 없는 일반적인 적분은 다음과 같이 표현된다.

:\int_\Omega f(x)\ dx

이는 다음과 같은 가중 적분(weighted integral)으로 일반화될 수 있다.

:\int_\Omega f(x) w(x)\, dx

여기서 w(x)는 무게 함수이다. 이 적분 값이 유한하기 위해서는, 함수 f가 가중치 w(x) \, dx에 대해 절대 적분 가능해야 할 필요가 있을 수 있다.

만약 ''E''가 \Omega의 부분집합이라면, ''E''의 부피 vol(''E'')는 다음과 같은 가중 부피(weighted volume)로 일반화될 수 있다.

: \int_E w(x)\ dx

3. 2. 가중 평균

만약 어떤 영역 \Omega가 유한하고 0이 아닌 가중 부피를 가진다면, 일반적인 평균 계산 방식인

:\frac{1}{\mathrm{vol}(\Omega)} \int_\Omega f(x)\ dx

대신에 각 지점의 중요도(가중치)를 반영하는 가중 평균을 사용할 수 있다. 가중 평균은 다음과 같은 수식으로 계산된다.

: \frac{\displaystyle\int_\Omega f(x)\, w(x) \, dx}{\displaystyle\int_\Omega w(x) \, dx}

여기서 f(x)는 함수이고, w(x)는 각 지점 x에서의 가중치를 나타내는 무게 함수이다. 분모는 영역 \Omega의 총 가중 부피를 의미한다.

3. 3. 쌍선형 형식

f\colon \Omega \to {\mathbb R}와 g\colon \Omega \to {\mathbb R}가 두 함수일 때, 가중치를 고려하지 않은 쌍선형 형식은 다음과 같이 정의된다.

:\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ dx

여기에 가중치 함수 w(x)를 도입하여 가중 쌍선형 형식으로 일반화할 수 있다.

:{\langle f, g \rangle}_w := \int_\Omega f(x) g(x)\ w(x)\ dx.

이러한 가중치를 이용한 직교 함수의 예시로는 직교 다항식이 있다.

참조

[1] 서적 The First Systems of Weighted Differential and Integral Calculus https://books.google[...] 1980
[2] 서적 Meta-Calculus: Differential and Integral https://books.google[...] 1981
[3] 서적 The First Systems of Weighted Differential and Integral Calculus https://books.google[...] 1980
[4] 서적 Meta-Calculus: Differential and Integral https://books.google[...] 1981


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