무게 함수

2.2. 통계학에서의 활용

가중 평균은 통계학에서 편향의 존재를 보정하기 위해 일반적으로 사용된다. 여러 번 독립적으로 측정된 양 $f$의 각 측정값 $f\_i$가 분산 $\backslash sigma^2\_i$를 가질 때, 가장 정확한 추정치는 각 측정값의 분산($\backslash sigma^2\_i$)의 역수를 가중치($w\_i\; =\; 1\; /\; \backslash sigma\_i^2$)로 사용하여 모든 측정값을 평균 내어 구한다. 이렇게 얻은 결과의 분산($\backslash sigma^2\; =\; 1\; /\; \backslash sum\_i\; w\_i$)은 개별 측정값의 분산보다 작아진다. 최대 우도 방법 역시 동일한 가중치($w\_i$)를 사용하여 모델 적합도와 실제 데이터 간의 차이에 가중치를 적용한다.

확률 변수의 기댓값은 가능한 값들의 가중 평균이며, 가중치는 각 확률이다. 더 나아가, 어떤 확률 변수 함수의 기댓값은 해당 함수가 가질 수 있는 각각의 값에 그 값이 나올 확률을 가중치로 곱하여 평균을 낸 값이다.

선형 회귀 분석에서는 종속 변수가 독립 변수의 현재 값뿐만 아니라 과거 값에도 영향을 받는다고 가정할 때가 있다. 이때 추정되는 분산 시차 함수는 현재 및 과거의 여러 독립 변수 값들을 가중 평균한 것이다. 비슷하게, 이동 평균 모형에서는 시간에 따라 변화하는 변수를 현재 시점과 여러 과거 시점의 확률 변수 값들을 가중 평균하여 나타낸다.

2.3. 역학에서의 활용

'무게 함수'라는 용어는 역학 분야에서 비롯되었다. 만약 지레 위에 $n$개의 물체가 놓여 있고, 각 물체의 무게(물리적 의미)가 $w\_1,\; \backslash ldots,\; w\_n$이고 위치가 $\backslash boldsymbol\{x\}\_1,\backslash dotsc,\backslash boldsymbol\{x\}\_n$이라면, 이 지레는 지레받침이 질량 중심에 위치할 때 균형을 이룬다. 질량 중심의 위치는 다음 공식으로 계산할 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\; \backslash boldsymbol\{x\}\_i\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; w\_i\}$

이 식은 각 물체의 위치 $\backslash boldsymbol\{x\}\_i$에 무게 $w\_i$를 가중치로 적용한 가중 평균과 같다. 즉, 무게 함수는 역학에서 물체들의 균형점(질량 중심)을 찾는 데 활용될 수 있다.

3. 연속 가중 함수

연속적인 상황에서 가중치는 $w(x)\; \backslash ,\; dx$와 같은 양의 측도로 표현될 수 있다. 이 측도는 특정 영역 $\backslash Omega$에 적용되는데, $\backslash Omega$는 보통 유클리드 공간 $\backslash R^n$의 부분 집합이다. 예를 들어, $\backslash Omega$는 구간 $[a,b]$가 될 수 있다. 여기서 $dx$는 르베그 측도를 나타내고, $w\backslash colon\; \backslash Omega\; \backslash to\; \backslash R^+$는 음이 아닌 가측 함수이다. 이런 맥락에서 가중 함수 $w(x)$는 때때로 밀도라고도 불린다.

3.1. 일반적인 정의

만약 $f\backslash colon\; \backslash Omega\; \backslash to\; \backslash R$가 실수 값을 갖는 함수라면, 가중치가 없는 일반적인 적분은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash int\_\backslash Omega\; f(x)\backslash \; dx$

이는 다음과 같은 가중 적분(weighted integral)으로 일반화될 수 있다.

:$\backslash int\_\backslash Omega\; f(x)\; w(x)\backslash ,\; dx$

여기서 $w(x)$는 무게 함수이다. 이 적분 값이 유한하기 위해서는, 함수 $f$가 가중치 $w(x)\; \backslash ,\; dx$에 대해 절대 적분 가능해야 할 필요가 있을 수 있다.

만약 E가 $\backslash Omega$의 부분집합이라면, E의 부피 vol(E)는 다음과 같은 가중 부피(weighted volume)로 일반화될 수 있다.

:$\backslash int\_E\; w(x)\backslash \; dx$

3.2. 가중 평균

만약 어떤 영역 $\backslash Omega$가 유한하고 0이 아닌 가중 부피를 가진다면, 일반적인 평균 계산 방식인

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash mathrm\{vol\}(\backslash Omega)\}\; \backslash int\_\backslash Omega\; f(x)\backslash \; dx$

대신에 각 지점의 중요도(가중치)를 반영하는 가중 평균을 사용할 수 있다. 가중 평균은 다음과 같은 수식으로 계산된다.

:$\backslash frac\{\backslash displaystyle\backslash int\_\backslash Omega\; f(x)\backslash ,\; w(x)\; \backslash ,\; dx\}\{\backslash displaystyle\backslash int\_\backslash Omega\; w(x)\; \backslash ,\; dx\}$

여기서 $f(x)$는 함수이고, $w(x)$는 각 지점 $x$에서의 가중치를 나타내는 무게 함수이다. 분모는 영역 $\backslash Omega$의 총 가중 부피를 의미한다.

3.3. 쌍선형 형식

$f\backslash colon\; \backslash Omega\; \backslash to\; \{\backslash mathbb\; R\}$와 $g\backslash colon\; \backslash Omega\; \backslash to\; \{\backslash mathbb\; R\}$가 두 함수일 때, 가중치를 고려하지 않은 쌍선형 형식은 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash langle\; f,\; g\; \backslash rangle\; :=\; \backslash int\_\backslash Omega\; f(x)\; g(x)\backslash \; dx$
여기에 가중치 함수 $w(x)$를 도입하여 가중 쌍선형 형식으로 일반화할 수 있다.
:$\{\backslash langle\; f,\; g\; \backslash rangle\}\_w\; :=\; \backslash int\_\backslash Omega\; f(x)\; g(x)\backslash \; w(x)\backslash \; dx.$
이러한 가중치를 이용한 직교 함수의 예시로는 직교 다항식이 있다.