합

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1. 개요

합은 덧셈이 정의된 집합의 원소들을 더하는 연산이며, 유한 수열이나 집합의 모든 항 또는 원소를 더한 결과를 의미한다. 무한히 많은 항을 더하는 무한합(급수)과 유한 개의 항을 더하는 유한합이 있으며, 시그마(Σ) 기호를 사용하여 수학적으로 표현한다. 합은 교환, 결합, 분배 법칙을 따르며, 코시-슈바르츠, 횔더, 민코프스키 부등식 등의 성질을 갖는다. 다항식, 유리식, 지수 함수, 이항 계수 등 다양한 수열의 합 공식을 통해 계산할 수 있으며, 적분, 오일러-매클로린 공식, 리만 합 등을 이용하여 근사값을 구할 수도 있다. 17세기 라이프니츠가 적분 기호를 제안하고, 18세기 오일러가 시그마 기호를 사용하면서 합의 표기법이 정립되었다.

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합
합 (수학)
정의	여러 수나 양의 더하기 연산 결과
표기법	수 또는 양의 나열: 예시) 덧셈 기호 사용: 예시) 등호 사용: 예시)
관련 개념
기타
관련 문서	덧셈 급수 (수학)

2. 정의

합은 주어진 수들을 모두 더하는 연산으로, 더하는 수의 개수에 따라 유한합과 무한합(급수)으로 나뉜다.

유한 수열 $(a_m, a_{m+1}, \dots, a_n)$ 이나 유한 집합 $I$ 로 첨수된 수들의 집합 $\{a_i \colon i \in I\}$ 의 '''유한합'''은 단순히 그 모든 원소를 더한 값을 의미한다. 덧셈의 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하므로, 유한합은 더하는 순서에 상관없이 일정한 값을 가진다.

반면, 무한히 많은 수를 더하는 '''무한합''' 또는 '''급수'''는 유한합처럼 간단하게 정의되지 않는다. 18세기 이전에는 무한합을 유한합과 같이 취급하여 모순이 발생하는 경우가 있었다. 무한합을 엄밀하게 다루기 위해서는 극한 개념이 필요했고, 이는 19세기에 디리클레, 리만, 코시 등 수학자들에 의해 정립되었다. 무한합은 부분합으로 이루어진 수열의 극한값으로 정의되며, 이 극한값이 존재할 경우 급수가 수렴한다고 한다.

합을 나타내는 기호로는 그리스 문자 시그마의 대문자 $\Sigma$ 가 사용된다. 이는 레온하르트 오일러가 처음 사용했으며,^[12] '합'을 의미하는 라틴어 'Summa'의 첫 글자 S에서 유래했다.^[13] 예를 들어, 수열 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 의 합은 $\sum_{i=1}^n x_i$ 와 같이 표기하며, 아래 첨자 $i=1$ 은 합산 시작 항을, 위 첨자 $n$ 은 마지막 항을 나타낸다.^[14] 수열의 첫 항부터 $i$ 번째 항까지의 합인 부분합은 $s_i = \sum_{k=1}^i x_k$ 와 같이 정의된다.^[11]

2. 1. 유한합

유한 수열

(a_m, a_{m+1}, \dots, a_n)

의 '''유한합'''은 수열의 모든 항을 더한 결과를 의미하며, 다음과 같이 표기한다.

:

\sum_{k=m}^n a_k = \sum_{m \le k \le n} a_k = a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n

이 합은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수도 있다.

:

\sum_{k=m}^{m-1} a_k = 0

(더할 항이 없는 경우, 합은 0이다. 이를 '빈 합'(empty sum|엠프티 섬^eng)이라고 한다.)

:

\sum_{k=m}^n a_k = a_n + \sum_{k=m}^{n-1} a_k \qquad (n \ge m)

(n번째 항까지의 합은 (n-1)번째 항까지의 합에 n번째 항을 더한 것과 같다.)

더 일반적으로, 유한 집합

I

로 첨수된 수들의 집합

\{a_i \colon i \in I\}

의 '''유한합'''은 이 집합의 모든 원소를 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 정의된다.

:

\sum_{i \in I} a_i = \sum_{k=1}^

a_{f(k)}

여기서

|I|

는 집합

I

의 크기이고,

f \colon \{1, \dots, |I|\} \to I

는 임의의 전단사 함수이다. 덧셈의 교환 법칙과 결합 법칙이 성립하므로, 합의 결과는 원소의 순서를 정하는 전단사 함수

f

의 선택과 무관하다.

집합

I

와 그 위의 성질

P

에 대해, 원소

i \in I

가 성질

P

를 만족시키는 경우(

P(i)

), 성질

P

를 만족하는 원소들의 집합

\{i \in I \colon P(i)\}

가 유한 집합이라면, 이 원소들의 합은 다음과 같이 표기할 수 있다.

:

\sum_{i \in \{j \in I \colon P(j)\}} a_i

또는 간단히

\sum_{i \in I \colon P(i)} a_i

합은 덧셈이 정의된 집합의 원소들의 수열

x_1, x_2, \dots, x_n

에 대한 n항 연산으로 볼 수 있다. 이는 귀납법으로 다음과 같이 부분합(partial sum|파셜 섬^eng)

s_i

를 이용하여 정의된다.^[11]

$s_1 = x_1$
$s_i = s_{i-1} + x_i \quad (i = 2, \dots, n)$

n

이 유한하면,

x_1, x_2, \dots, x_n

의 총합은 마지막 부분합

s_n

과 같으며, 다음과 같이 표기한다.

:

s_n = \sum_{i=1}^n x_i

기호

\Sigma

는 그리스 문자의 대문자 시그마이며, 레온하르트 오일러가 처음 사용했다.^[12] 이는 '합'을 의미하는 라틴어 Summa|숨마^lat의 첫 글자 S에서 유래했다.^[13]

\Sigma

의 위아래 첨자는 합산할 항의 범위를 나타내며, 아래 첨자는 시작 값, 위 첨자는 끝 값을 의미한다.^[14]

유한합은 선형성을 갖는다. 즉, 상수

\lambda

에 대해 다음 성질이 성립한다.

$\sum_{i=a}^b (x_i + y_i) = \left( \sum_{i=a}^b x_i \right) + \left( \sum_{i=a}^b y_i \right)$
$\sum_{i=a}^b \lambda x_i = \lambda \sum_{i=a}^b x_i$

유한 집합

R

의 크기가

n

일 때,

R

의 모든 원소에 번호를 매겨

x_1, x_2, \dots, x_n

으로 나타낼 수 있으므로, 집합

R

의 원소들의 총합을

\sum R

또는

\sum_{x \in R} x

로 표기할 수 있다. 만약

R

이 공집합

\emptyset

이면, 그 합은 덧셈에 대한 항등원 (영원)인 0으로 정의한다. 즉, 빈 합은 0이다.

:

\sum \emptyset = 0

2. 2. 무한합 (급수)

유한 개의 수를 더하는 것은 덧셈의 교환 법칙이 성립하므로 더하는 순서에 상관없이 귀납법적으로 계산할 수 있다. 하지만 무한 개의 수를 더하는 것은 이처럼 간단하지 않다. 18세기 이전에는 무한합을 유한합과 동일하게 취급하여 순서를 임의로 바꾸는 등의 과정에서 모순된 결과를 얻기도 했다.

무한합을 수학적으로 엄밀하게 다루기 시작한 것은 19세기에 이르러서이다. 디리클레, 리만, 코시와 같은 수학자들이 극한의 개념을 명확히 정립하면서 무한합에 대한 이론적 토대가 마련되었다.

유한합의 개념을 확장하여, 가산 무한개의 수로 이루어진 수열

x_1, x_2, x_3, \dots

에 대해서도 합을 정의할 수 있다. 이를 '''무한합'''(infinite sum), '''무한급수'''(infinite series) 또는 간단히 '''급수'''(series)라고 부른다.

급수의 값을 정의하기 위해 부분합이라는 개념을 사용한다. 수열

(x_n)

의 첫째 항부터

n

번째 항까지의 합을 제

n

항 부분합

s_n

이라고 한다. 즉,

s_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n = \sum_{i=1}^{n} x_i

이다. 이렇게 얻어지는 부분합들의 수열

s_1, s_2, s_3, \dots

이 어떤 일정한 값

S

로 수렴할 때, 즉

\lim_{n \to \infty} s_n = S

일 때, 급수는 '''수렴'''한다고 말하고 그 극한값

S

를 급수의 '''합''' 또는 '''값'''이라고 정의한다. 만약 부분합의 수열이 수렴하지 않고 발산하면, 그 급수는 '''발산'''한다고 한다. (단, 체사로 합과 같이 부분합의 극한과는 다른 방식으로 급수의 값을 정의하는 총화법도 존재한다.)

자연수 집합

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}

을 첨자 집합으로 하는 가산 수열

(x_i)_{i \in \mathbb{N}}

의 급수는 기호

\Sigma

를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

:

\sum_{i=1}^{\infty} x_i = x_1 + x_2 + x_3 + \dots

이는

\sum_{i \in \mathbb{N}} x_i

와 같이 쓰기도 한다.

이 개념은 더 일반화되어, 가산 집합이 아닌 무한 집합

\Lambda

를 첨자 집합으로 하는 족

(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}

의 합

\sum_{\lambda \in \Lambda} x_\lambda

도 형식적으로 생각할 수 있다. 그러나 이 경우 합이 잘 정의되는지 확인하기 위해서는 수렴성에 대한 더 세심한 논의가 필요하다.

3. 표기법

수학에서는 여러 개의 유사한 항들의 합을 간결하게 나타내기 위해 기호를 사용한다. 가장 대표적인 것은 그리스 문자 대문자 시그마(Σ)를 이용한 합 기호 $\sum$ 이다.^[1]

예를 들어, 유한 수열 $(a_m, a_{m+1}, \dots, a_n)$ 의 모든 항을 더한 결과는 다음과 같이 나타낸다.

: $\sum_{k=m}^n a_k = a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n$

여기서 $k$ 는 합의 지수, $m$ 은 하한, $n$ 은 상한을 의미한다.

문맥상 명확할 경우 합의 범위( $m, n$ )나 지수( $k$ )를 생략하기도 하며( $\sum a_i^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2$ 와 같이^[2]), 특정 조건을 만족하는 항들만 더하는 것을 나타내기도 한다. 예를 들어,

$\sum_{0 \le k < 100} f(k)$ : $0 \le k < 100$ 을 만족하는 모든 정수 $k$ 에 대해 $f(k)$ 를 더한다.
$\sum_{x \in S} f(x)$ : 집합 $S$ 의 모든 원소 $x$ 에 대해 $f(x)$ 를 더한다.
$\sum_{d|n} \mu(d)$ : $n$ 의 모든 양의 약수 $d$ 에 대해 $\mu(d)$ 를 더한다.

또한, 유한 집합

I

로 첨수된 수들의 집합

\{a_i : i \in I\}

의 합을

\sum_{i \in I} a_i

와 같이 나타내기도 한다. 이처럼 합을 나타내는 다양한 표기법이 존재한다.

3. 1. 시그마 기호 (Σ)

수학에서는 여러 개의 유사한 항들의 합을 간결하게 나타내기 위해 합 기호

\sum

를 사용한다. 이는 그리스 문자의 대문자 시그마(Σ)를 확대한 형태이다.^[1] 레온하르트 오일러가 처음 사용했으며,^[12] 합(Sum)을 의미하는 라틴어 Summa^lat의 첫 글자 S에서 유래했다.^[13]

기본적인 정의는 다음과 같다.

:

\sum_{i=m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_{n-1} + a_n

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$i$ : '''합의 지수''' (index of summation)
$a_i$ : 합하려는 각 항을 나타내는 '''인덱스 변수''' (indexed variable)
$m$ : '''합의 하한''' (lower bound of summation)
$n$ : '''합의 상한''' (upper bound of summation)

합 기호 아래의

i=m

은 지수

i

가

m

부터 시작함을 의미한다. 지수

i

는 각 항마다 1씩 증가하여

i=n

이 될 때까지 계속된다. 이 식은 "

i=m

부터

n

까지

a_i

의 합"이라고 읽는다.

예를 들어, 3부터 6까지의 제곱수의 합은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\sum_{i=3}^6 i^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 9 + 16 + 25 + 36 = 86

합의 지수로는 보통

i, j, k

등의 문자를 사용하지만, 문맥상 혼동이 없다면 어떤 변수든 사용할 수 있다. 때로는 문맥이 명확할 경우 합의 지수와 범위를 생략하기도 한다. 특히 지수가 1부터

n

까지 변하는 경우에 자주 사용된다.^[2] 예를 들면 다음과 같다.

:

\sum a_i^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2

합의 범위를 특정 조건으로 나타낼 수도 있다. 예를 들어,

$\sum_{0 \le k < 100} f(k)$ 는 $0 \le k < 100$ 을 만족하는 모든 정수 $k$ 에 대해 $f(k)$ 를 더하라는 의미이다. 즉, $\sum_{k=0}^{99} f(k)$ 와 같다.
$\sum_{x \in S} f(x)$ 는 집합 $S$ 의 모든 원소 $x$ 에 대해 $f(x)$ 를 더하라는 의미이다.
$\sum_{d|n} \mu(d)$ 는 $n$ 의 모든 양의 약수 $d$ 에 대해 $\mu(d)$ 를 더하라는 의미이다.

여러 개의 시그마 기호를 중첩하여 사용할 수도 있다. 예를 들어,

:

\sum_{i,j}

는

\sum_i \sum_j

와 동일한 의미이다.

유한 수열

(a_m, a_{m+1}, \dots, a_n)

의 합은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수도 있다.

:

\sum_{k=m}^{m-1} a_k = 0

(항이 없는 경우, 합은 0이다. 이를 빈 합이라고 한다.)

:

\sum_{k=m}^n a_k = a_n + \sum_{k=m}^{n-1} a_k \quad (n \ge m)

유한 집합

I

로 인덱스된 수들의 집합

\{a_i : i \in I\}

의 합은 집합의 모든 원소를 더한 것을 의미하며, 다음과 같이 정의된다.

:

\sum_{i \in I} a_i = \sum_{k=1}^

a_{f(k)}

여기서

|I|

는 집합

I

의 크기이고,

f: \{1, \dots, |I|\} \to I

는 임의의 전단사 함수이다. 이 합은 함수

f

의 선택과 관계없이 일정하다.

합 기호는 다음과 같은 선형성을 가진다. (

\lambda

는 상수)

$\sum_{i=a}^b (x_i + y_i) = \sum_{i=a}^b x_i + \sum_{i=a}^b y_i$
$\sum_{i=a}^b \lambda x_i = \lambda \sum_{i=a}^b x_i$

수열의 각 항까지의 합을 '''부분합'''(partial sum)이라고 부른다. 수열

x_1, x_2, \dots, x_n

에 대해

k

번째 부분합

s_k

는 다음과 같다.^[11]

:

s_k = \sum_{i=1}^k x_i = x_1 + x_2 + \cdots + x_k

유사한 표기법으로 수열의 곱을 나타내는 기호

\prod

가 있다. 이는 그리스 문자 대문자 파이(Π)를 확대한 형태이다.

3. 2. 여러 가지 표기법

수학에서는 여러 유사한 항의 합을 간결하게 나타내기 위해 합 기호

\sum

를 사용한다. 이는 그리스 문자 대문자 시그마(Σ)를 확대한 형태이다.^[1]

=== 유한합 ===

유한 수열

(a_m, a_{m+1}, \dots, a_n)

의 '''유한합'''은 수열의 모든 항을 더한 결과를 의미하며, 다음과 같이 표기한다.

:

\sum_{k=m}^n a_k = \sum_{m \le k \le n} a_k = a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n

여기서

k

는 '''합의 지수'''(index of summation),

a_k

는 각 항을 나타내는 변수,

m

은 '''합의 하한'''(lower limit),

n

은 '''합의 상한'''(upper limit)이다. 합 기호 아래의 "

k = m

"은 지수

k

가

m

부터 시작함을 의미하며, 각 항마다 1씩 증가하여

k = n

이 될 때까지 더한다. 이는 "

k = m

부터

n

까지

a_k

의 합"이라고 읽는다.

유한합은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수도 있다.

:

\sum_{k=m}^{m-1} a_k = 0

(항이 없는 경우, 합은 0이다)

:

\sum_{k=m}^n a_k = a_n + \sum_{k=m}^{n-1} a_k \qquad (n \ge m)

예를 들어, 3부터 6까지 제곱수의 합은 다음과 같이 나타낸다.

:

\sum_{i=3}^6 i^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 9 + 16 + 25 + 36 = 86

합의 지수로는 보통

i, j, k, n

등의 문자를 사용하며, 문맥상 명확하다면 어떤 변수를 사용해도 무방하다. 때로는 합의 지수와 범위를 생략하기도 하는데, 특히 지수가 1부터

n

까지 변하는 경우에 그렇다.^[2]

:

\sum a_i^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2

=== 집합을 이용한 표기 ===

유한 집합

I

로 첨수된 수들의 집합

\{a_i : i \in I\}

의 '''유한합'''은 집합의 모든 원소를 더한 것을 의미하며, 다음과 같이 정의된다.

:

\sum_{i \in I} a_i = \sum_{k=1}^

a_{f(k)}

여기서

|I|

는 집합

I

의 크기이고,

f: \{1, \dots, |I|\} \to I

는 임의의 전단사 함수이다. 이 합은 어떤 전단사 함수

f

를 선택하든 결과가 같기 때문에 잘 정의된다.

특정 조건을 만족하는 원소들의 합을 나타낼 수도 있다. 집합

I

의 원소

i

가 성질

P

를 만족하는 것을

P(i)

라고 할 때, 성질

P

를 만족하는 원소들의 집합

\{i \in I : P(i)\}

가 유한 집합이면, 그 합은 다음과 같이 표기할 수 있다.

:

\sum_{i \in I : P(i)} a_i

예를 들어,

$\sum_{0 \le k < 100} f(k)$ 는 $0 \le k < 100$ 을 만족하는 모든 정수 $k$ (즉, 0부터 99까지)에 대한 $f(k)$ 의 합을 의미한다. 이는 $\sum_{k=0}^{99} f(k)$ 와 같다.
$\sum_{x \in S} f(x)$ 는 집합 $S$ 의 모든 원소 $x$ 에 대한 $f(x)$ 의 합이다.
$\sum_{d|n} \mu(d)$ 는 $n$ 의 모든 양의 정수 약수 $d$ 에 대한 $\mu(d)$ 의 합이다.

여러 개의 합 기호를 중첩하여 사용할 수도 있다. 예를 들어,

:

\sum_{i,j}

는

\sum_{i} \sum_{j}

와 같다.

=== 부분합 ===

덧셈이 정의된 집합

M

의 원소로 이루어진 수열

x_1, x_2, \dots, x_n

에 대해, '''부분합''' partial sum^eng

s_i

는 처음

i

개 항의 합을 의미하며, 다음과 같이 정의된다.^[11]

$s_1 = x_1$
$s_i = s_{i-1} + x_i \quad (i = 2, 3, \dots, n)$

수열의 전체 합은 마지막 부분합

s_n

과 같으며,

s_n = \sum_{i=1}^n x_i

로 표기한다.

합 기호

\sum

는 레온하르트 오일러가 처음 사용했으며,^[12] 합(Sum^eng)을 의미하는 라틴어 Summa^lat의 첫 글자 S를 전사한 것이다.^[13]

합 연산은 다음과 같은 선형성을 가진다.

$\sum_{i=a}^b (x_i + y_i) = \left( \sum_{i=a}^b x_i \right) + \left( \sum_{i=a}^b y_i \right)$
$\sum_{i=a}^b \lambda x_i = \lambda \sum_{i=a}^b x_i$ (여기서 $\lambda$ 는 상수)

공집합

\emptyset

의 합은 덧셈의 항등원 (영원)

0_M

으로 정의한다.

:

\sum \emptyset = 0_M.

=== 무한합 (급수) ===

유한합을 확장하여, 가산 무한개의 원소로 이루어진 수열

x_1, x_2, \dots

의 합을 정의할 수 있는데, 이를 '''무한합''' infinite sum^eng, '''무한급수''' infinite series^eng, 또는 간단히 '''급수'''(series)라고 한다.

무한급수의 값은 부분합

s_n = \sum_{i=1}^n x_i

의 극한으로 정의된다 (단, 다른 방식으로 정의하는 총화법도 존재한다). 부분합 수열

(s_n)

이 특정 값으로 수렴하면 급수는 '''수렴''' converge^eng한다고 하고, 그렇지 않으면 발산 diverge^eng한다고 한다. 급수가 수렴할 때 그 극한값을 원래 수열의 '''합'''이라고 부른다.

가산 수열

(x_i)_{i \in \mathbb{N}}

의 급수는 다음과 같이 표기한다.

:

\sum_{i=1}^{\infty} x_i \quad \text{또는} \quad \sum_{i \in \mathbb{N}} x_i

일반적인 (가산이 아닌) 무한 집합

\Lambda

로 첨수된 족

(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}

의 합도 형식적으로는

\sum_{\lambda \in \Lambda} x_\lambda

로 나타낼 수 있지만, 이 합이 의미를 가지려면 수렴성에 대한 엄밀한 정의와 확인이 필요하다.

참고로, 수열의 곱을 나타낼 때는 합 기호

\sum

대신 그리스 대문자 파이(Π)를 확대하여 만든 곱 기호

\prod

를 사용한다.

4. 성질

덧셈이 정의된 집합 M의 원으로 이루어진 수열 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 의 합은 귀납법적으로 다음과 같이 정의된다.

$s_1 = x_1$
$s_i = s_{i-1} + x_i \quad (i = 2, \dots, n)$

여기서

s_i

는

i

번째 '''부분합'''이라고 불린다.^[11]

n

이 유한할 때, 이 과정은 유한 번 만에 끝나며, 수열

x_1, x_2, \dots, x_n

의 총합은 마지막 부분합

s_n

과 같다. 이를 시그마 기호(Σ)를 사용하여 다음과 같이 표기한다.

:

s_n = \sum_{i=1}^n x_i

기호 Σ는 그리스 문자 시그마의 대문자로, 레온하르트 오일러가 처음 사용했다.^[12] 이는 합(Sum)을 의미하는 라틴어 ''Summa''의 첫 글자 S에서 유래했다.^[13] Σ 기호의 아래첨자

i=1

은 합을 시작하는 항의 번호를, 위첨자

n

은 합을 끝내는 항의 번호를 나타낸다.^[14]

유한합은 선형성을 만족하는 연산이다. 즉, 합의 덧셈 분리와 스칼라 곱 분리가 가능하다. (자세한 항등식은 #항등식 섹션 참조)

유한 집합

R

의 모든 원소들의 합도 정의할 수 있다. 집합

R

의 원소들을

x_1, x_2, \dots, x_n

이라고 번호를 매기면, 그 합은 다음과 같이 표기할 수 있다.

:

\sum R = \sum_{x\in R} x = \sum_{i=1}^n x_i

특히, 덧셈에 대한 항등원 (0)이 존재하는 집합에서는 공집합

\emptyset

의 합을 0으로 정의한다.

:

\sum \emptyset = 0

유한합을 확장하여, 가산 무한개의 원소로 이루어진 수열

x_1, x_2, \dots

의 합도 정의할 수 있다. 이를 '''무한합''' 또는 '''급수'''라고 부른다. 무한합은 부분합

s_n = \sum_{i=1}^n x_i

수열의 극한으로 정의된다.

:

\sum_{i=1}^{\infty} x_i = \lim_{n\to\infty} s_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n x_i

부분합의 수열이 특정 값으로 수렴하면 급수는 '''수렴'''한다고 하고, 그렇지 않으면 '''발산'''한다고 한다. 급수가 수렴할 때 그 극한값을 급수의 '''합'''이라고 부른다.

무한급수는 각 항의 절대값을 취한 급수의 수렴 여부에 따라 '''절대 수렴''' 또는 '''조건 수렴'''으로 분류될 수 있다. 유한합과 달리 무한합은 더하는 순서를 바꾸면 합의 결과가 달라질 수 있으며, 절대 수렴하는 경우에만 순서 변경이 자유롭다. (자세한 내용은 #수렴성 섹션 참조)

4. 1. 항등식

합 연산에 대해 다음과 같은 항등식이 성립한다.

'''합 분할''': 합의 구간을 나눌 수 있다. 이는 점화식과 관련된다.

\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^m a_k + \sum_{k=m+1}^n a_k

(단,

1 \le m < n

)

\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n)

(결합 법칙 사용)^[4]

'''덧셈/뺄셈 보존''': 각 항의 합 또는 차의 전체 합은, 각 항의 합들의 합 또는 차와 같다. 이는 교환 법칙 및 결합 법칙에 기반한다.^[4]

\sum_{k=1}^n (a_k \pm b_k) = \sum_{k=1}^n a_k \pm \sum_{k=1}^n b_k

'''스칼라 곱 보존 (분배 법칙)''': 모든 항에 상수를 곱한 합은, 전체 합에 상수를 곱한 것과 같다.^[4]

\sum_{k=1}^n c a_k = c \sum_{k=1}^n a_k

'''선형성''': 덧셈 보존과 스칼라 곱 보존을 일반화한 성질이다.

\sum_{k=1}^n (c a_k + c' b_k) = c \sum_{k=1}^n a_k + c' \sum_{k=1}^n b_k

'''인덱스 이동''': 합의 시작과 끝 인덱스를 동일한 값만큼 평행 이동시킬 수 있다.

\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p)

'''인덱스 변경''': 유한 집합 $A$ 에서 집합 $B$ 로의 전단사 함수 $\sigma$ 를 이용하여 합의 인덱스를 변경할 수 있다.

\sum_{n \in B} f(n) = \sum_{m \in A} f(\sigma(m))

'''합 순서 변경 (푸비니 정리)''': 유한 이중 합의 경우, 합하는 순서를 바꿀 수 있다. 이는 교환 법칙과 결합 법칙에 따른다.

\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{i,j} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m a_{i,j}

'''곱셈 관련 항등식''': 분배 법칙을 이용하여 다음과 같이 전개하거나 인수분해할 수 있다.

\biggl(\sum_{i=0}^{n} a_i\biggr) \biggl(\sum_{j=0}^{n} b_j\biggr) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n a_i b_j

\sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \biggl(\sum_{i=s}^m a_i\biggr) \biggl( \sum_{j=t}^n c_j \biggr)

'''로그 및 지수 관련 항등식''':

\sum_{n=s}^t \log_b f(n) = \log_b \prod_{n=s}^t f(n)

(곱의 로그는 인수들의 로그의 합과 같다)

C^{\sum\limits_{n=s}^t f(n) } = \prod_{n=s}^t C^{f(n)}

(합의 지수는 각 항의 지수들의 곱과 같다)

그러나 일반적으로 합은 곱셈이나 나눗셈 연산을 보존하지 않는다. 즉, 다음은 일반적으로 성립하지 않는다.

\sum_{k=1}^n (a_k b_k) \ne \left(\sum_{k=1}^n a_k\right) \left(\sum_{k=1}^n b_k\right)

\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k} \ne \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}

4. 2. 부등식

실수들의 유한합을 포함하는 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

코시-슈바르츠 부등식:

\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2\le\left(\sum_{k=1}^na_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^nb_k^2\right)

횔더 부등식 (코시-슈바르츠 부등식은 이 부등식의 특수한 경우이다.):

\sum_{k=1}^n|a_kb_k|\le\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^\frac1p\left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^\frac1q\qquad p,q>1,\;\frac1p+\frac1q=1

민코프스키 부등식:

\left(\sum_{k=1}^n|a_k+b_k|^p\right)^\frac1p\le\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^\frac1p+\left(\sum_{k=1}^n|b_k|^p\right)^\frac1p\qquad p>1

'''코시-슈바르츠 부등식 증명'''

:

\begin{align}0&\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(a_ib_j-a_jb_i)^2\\&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(a_i^2b_j^2-2a_ia_jb_ib_j+a_j^2b_i^2)\\&=2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_i^2b_j^2-2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_jb_ib_j\\&=2\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum_{j=1}^nb_j^2\right)-2\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2\end{align}

'''횔더 부등식 증명'''

영의 부등식에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.

:

\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n|a_kb_k|}{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n|a_i|^p\right)^\frac1p\left(\sum_{j=1}^n|b_j|^q\right)^\frac1q}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{|a_k|^p}{\displaystyle\sum_{i=1}^n|a_i|^p}\right)^\frac1p\left(\frac{|b_k|^q}{\displaystyle\sum_{j=1}^n|b_j|^q}\right)^\frac1q\le\sum_{k=1}^n\left(\frac1p\frac{|a_k|^p}{\displaystyle\sum_{i=1}^n|a_i|^p}+\frac1q\frac

4. 3. 수렴성

유한 개의 수를 더하는 것은 덧셈의 교환 법칙이 성립하므로 더하는 순서에 상관없이 귀납법적으로 연산을 반복하면 된다. 하지만 무한 개의 수를 더하는 것은 간단하지 않다. 18세기 이전에는 무한합도 유한합처럼 순서를 자유롭게 다루어 모순적인 결과를 낳기도 했다.무한합을 올바르게 다루기 시작한 것은 디리클레, 리만, 코시와 같은 수학자들이 극한 개념을 정립한 19세기에 이르러서였다.가산 무한개의 원소로 이루어진 수열

x_1, x_2, \dots

에 대해서도 합을 정의할 수 있는데, 이를 '''무한합'''(infinite sum^eng), '''무한급수'''(infinite series^eng), 또는 단순히 '''급수'''라고 부른다.

유한합처럼 부분합을 계산하는 과정을 생각할 수 있다. 첫 항부터

n

번째 항까지의 합을 부분합

s_n = \sum_{i=1}^n x_i

이라고 할 때, 이 부분합들의 수열

(s_n)

이 특정 값으로 극한이 수렴하면, 그 극한값을 급수의 '''값''' 또는 '''합'''이라고 정의한다. 부분합의 수열

(s_n)

이 수렴하면 급수는 '''수렴'''(converge^eng)한다고 하고, 수렴하지 않으면 '''발산'''(diverge^eng)한다고 한다. (단, 체사로 합과 같이 다른 방식으로 합을 정의하는 총화법도 존재한다.)

수열

(x_i)_{i \in \mathbb{N}}

의 급수는 기호로

:

\sum_{i=1}^{\infty} x_i

또는

\sum_{i\in\mathbb{N}} x_i

와 같이 나타낸다.

일반적인 무한 집합

\Lambda

로 첨자가 부여된 원소들의 족

(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}

의 합도 형식적으로는

:

\sum_{\lambda\in\Lambda} x_\lambda

로 쓸 수 있지만, 이 합이 잘 정의되는지는 수렴성을 신중히 따져봐야 한다.

무한급수

\sum_{i=1}^\infty x_i

에 대해, 각 항의 절대값을 취한 급수

:

\sum_{i=1}^\infty |x_i|

가 수렴할 경우, 원래의 급수는 '''절대 수렴'''(converge absolutely^eng)한다고 한다. 절대 수렴하는 급수는 항상 수렴한다.

만약 급수

\sum_{i=1}^\infty x_i

는 수렴하지만, 절대값을 취한 급수

\sum_{i=1}^\infty |x_i|

는 발산하는 경우, 이 급수는 '''조건 수렴'''(converge conditionally^eng)한다고 한다.

유한합과 달리 무한합은 더하는 순서를 바꾸면 합의 결과가 달라질 수 있다는 점에 주의해야 한다. 즉, 자연수 집합

\mathbb{N}

위의 치환

\phi

에 대해

:

\sum_{i=1}^\infty x_{\phi(i)} \ne \sum_{i=1}^\infty x_i

가 될 수 있다.

그러나 급수가 절대 수렴한다면, 유한합과 마찬가지로 더하는 순서를 바꾸어도 합의 결과는 변하지 않는다. 따라서 급수의 수렴성을 다룰 때 절대 수렴 여부는 매우 중요한 성질이다.

5. 공식

수학에서는 여러 유사한 항의 합을 간결하게 나타내기 위해 합 기호 $\sum$ 를 사용하는데, 이는 그리스 문자 대문자 시그마(Σ)를 이용한 것이다.^[1] 합 기호는 다음과 같이 정의된다.

: $\sum_{i=m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_{n-1} + a_n$

여기서 $i$ 는 합의 첨자(index of summation), $a_i$ 는 합의 각 항을 나타내는 변수, $m$ 은 합의 하한(lower limit of summation), $n$ 은 합의 상한(upper limit of summation)이다. 합 기호 아래의 " $i=m$ "은 첨자 $i$ 가 $m$ 에서 시작함을 의미한다. 첨자 $i$ 는 각 항마다 1씩 증가하며, $i=n$ 일 때 합이 끝난다. 이는 " $i=m$ 부터 $n$ 까지 $a_i$ 의 합"이라고 읽는다.

예를 들어, 3부터 6까지의 제곱수의 합은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\sum_{i=3}^6 i^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 9 + 16 + 25 + 36 = 86$

합의 첨자로는 주로 $i$ , $j$ , $k$ 등이 사용되지만, 문맥상 혼동이 없다면 다른 문자를 사용할 수도 있다. 합의 범위가 명확할 경우, 특히 첨자가 1부터 $n$ 까지 변하는 경우에는 합의 범위를 생략하기도 한다.^[2] 예를 들어, $\sum a_i^2$ 는 $\sum_{i=1}^n a_i^2$ 와 같이 해석될 수 있다.

합 기호는 특정 조건을 만족하는 모든 값에 대한 합을 나타내는 데에도 사용된다. 예를 들어,

: $\sum_{0 \le k < 100} f(k)$

는 0 이상 100 미만의 모든 정수 $k$ 에 대해 $f(k)$ 를 더하는 것을 의미하며, 이는 $\sum_{k=0}^{99} f(k)$ 와 같다. 마찬가지로,

: $\sum_{x \in S} f(x)$

는 집합 $S$ 의 모든 원소 $x$ 에 대한 $f(x)$ 의 합을 나타내고,

: $\sum_{d|n}\mu(d)$

는 $n$ 의 모든 양의 약수 $d$ 에 대한 $\mu(d)$ 의 합을 의미한다.

여러 개의 합 기호를 중첩하여 사용할 수도 있다. 예를 들어, $\sum_{i,j}$ 는 $\sum_i \sum_j$ 와 같다.

만약 합하는 항이 하나( $a_m$ )만 있다면 (즉, $n=m$ ), 합은 $a_m$ 이 된다. 합하는 항이 없다면 (즉, $n < m$ ), 합은 0이 되는데, 이를 빈 합(empty sum)이라고 한다. 0은 덧셈의 항등원이기 때문이다.

수열 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 의 합은 귀납적으로 정의될 수도 있다.

$s_1 = x_1$
$s_i = s_{i-1} + x_i \quad (i = 2, 3, \dots, n)$

여기서

s_i

를

i

번째 부분합(partial sum)이라고 부른다.^[11] 최종 합

s_n

은

\sum_{i=1}^n x_i

로 표기한다. 합 기호 Σ는 레온하르트 오일러가 처음 사용했으며,^[12] '합'을 의미하는 라틴어 'Summa'의 첫 글자 S에서 유래했다.^[13]

합 연산은 다음과 같은 선형성을 만족한다.

$\sum_{i=a}^b (x_i + y_i) = \sum_{i=a}^b x_i + \sum_{i=a}^b y_i$
$\sum_{i=a}^b \lambda x_i = \lambda \sum_{i=a}^b x_i$ (여기서 $\lambda$ 는 상수)

유한 집합

R

의 원소들의 합은

\sum_{x \in R} x

또는

\sum R

등으로 표기한다. 만약

R

이 공집합

\emptyset

이면, 그 합은 0으로 정의한다. 즉,

\sum \emptyset = 0

이다.

다항식, 유리식, 지수 함수, 이항 계수 등 다양한 형태의 수열에 대한 구체적인 합 공식은 아래 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

5. 1. 다항식

'''상수항의 합'''
* 상수열의 유한합: $\sum_{k=1}^n c = nc$

'''등차수열의 합'''
* 1부터 n까지 자연수의 합 (삼각수): $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$
* 처음 n개 홀수 자연수의 합: $\sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2$
* 처음 n+1개 짝수 자연수의 합 (0 포함): $\sum_{i=0}^{n} 2i = n(n+1)$

'''거듭제곱수의 합'''
* 제곱수의 합 (사각뿔수, 제곱 피라미드 수): $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
* 세제곱수의 합 (니코마코스 정리(Nicomachus's theorem^영어)): $\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$
* 네제곱수의 합: $\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
* 다섯제곱수의 합: $\sum_{k=1}^n k^5 = \frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}$
* 여섯제곱수의 합: $\sum_{k=1}^n k^6 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}$
* 일곱제곱수의 합: $\sum_{k=1}^n k^7 = \frac{n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)}{24}$
* 임의의 거듭제곱수의 합 (파울하버 공식(Faulhaber's formula^영어)): $p>1$ 일 때, 다음이 성립한다.

\sum_{k=1}^n k^p = \frac{n^{p+1}}{p+1} + \frac{1}{2}n^p + \sum_{k=2}^p \binom p k \frac{B_k}{p-k+1}\,n^{p-k+1}

여기서

B_k

는

k

번째 베르누이 수이고,

\binom p k

는 이항 계수이다.

'''기타'''
* 로그의 합: $\sum_{i=1}^{n} \log i = \log (n!)$ (로그의 합은 곱의 로그)
* 등비수열의 합 ( $x \neq 1$ ): $\sum_{i=0}^n x^i = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$
* 무한 등비급수 ( $|x|<1$ ): $\sum_{i=0}^{\infty} x^i = \frac{1}{1-x}$
* 이항 계수의 합: $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n$
* 하키스틱 항등식: $\sum_{i=0}^{n-1} \binom{i}{k} = \binom{n}{k+1}$

5. 2. 유리식

조화수열의 유한합은 조화수라고 부른다.

:

\sum_{k=1}^n\frac1k=\int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}dx=H_n

n번째 조화수:

:

\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = H_n

일반화된 조화수:

:

\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^k} = H^k_n

5. 3. 지수 함수

등비수열의 유한합 ( $a \ne 1$ ):

\sum_{k=0}^na^k=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}

등차-등비 수열의 유한합 ( $a \ne 1$ ):

\sum_{k=1}^nka^k=\frac{a-(n+1)a^{n+1}+na^{n+2}}{(1-a)^2}

등차-등비 수열의 유한합 (일반 형태, $a \ne 1$ ):

\sum_{i= 0}^{n-1} \left(b + i d\right) a^i = \frac{b(1-a^n) - (n - 1)d a^n}{1 - a}+\frac{da(1 - a^{n - 1})}{(1 - a)^2}

5. 4. 이항 계수

이항 계수와 관련된 여러 가지 합의 항등식이 존재한다. 대표적인 항등식들은 다음과 같다.

기본 항등식
* 이항 정리: $\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{n-i} b^i=(a + b)^n$
* 이항 계수의 합: $\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n$
** 이는 이항 정리에서 $a=1, b=1$ 인 특수한 경우이다.
* 이항 분포의 합: $\sum_{i=0}^n {n \choose i}p^i (1-p)^{n-i}=1$ ( $0 \le p \le 1$ )
** 이는 이항 정리에서 $a=p, b=1-p$ 인 특수한 경우이다.
* 하키스틱 항등식: $\sum_{i=k}^{n} {i \choose k} = {n+1 \choose k+1}$
** 변형 1: $\sum_{k=0}^{m} \binom{n+k}{n} = \binom{n+m+1}{n+1}$
** 변형 2: $\sum_{i=0}^n {m+i-1 \choose i} = {m+n \choose n}$
** 변형 3: $\textstyle\sum\limits_{i=0}^{n-1} \displaystyle{i \choose k} = {n \choose k+1}$
* 이항 계수 제곱의 합: $\sum_{i=0}^n {n \choose i}^2 = {2n \choose n}$

미분 및 적분을 이용한 항등식
* $\sum_{i=0}^{n} i{n \choose i} = n(2^{n-1})$
** 이는 이항 정리를 $a$ 에 대해 미분한 후 $a=1, b=1$ 을 대입한 결과이다.
* $\sum_{i=0}^n \frac{n \choose i}{i+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$
** 이는 이항 정리를 $a$ 에 대해 적분한 후 $a=1, b=1$ 을 대입한 결과이다.

순열 및 팩토리얼 관련 항등식 ( ${}_{n}P_{k}$ 는 k-순열의 개수)
* $\sum_{i=0}^{n} {}_{i}P_{k}{n \choose i} = {}_{n}P_{k}(2^{n-k})$
* $\sum_{i=1}^n {}_{i+k}P_{k+1} = \sum_{i=1}^n \prod_{j=0}^k (i+j) = \frac{(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}$
* $\sum_{i=0}^{n} i!\cdot{n \choose i} = \sum_{i=0}^{n} {}_{n}P_{i} = \lfloor n! \cdot e \rfloor, \quad n \in \mathbb{Z}^+$ (여기서 $\lfloor x\rfloor$ 는 바닥 함수, $\mathbb{Z}^+$ 는 양의 정수 집합)
* $\sum_{i=0}^n i\cdot i! = (n+1)! - 1$
* $\sum_{i=0}^n \frac{1}{i!} = \frac{\lfloor n!\; e \rfloor}{n!}$

6. 근사

6. 1. 유한 차분 미적분학

함수 ''f''가 구간 [''m'', ''n''] 내의 정수에서 정의된다면, 다음 등식이 성립한다.

:

f(n)-f(m)= \sum_{i=m}^{n-1} (f(i+1)-f(i)).

이것은 텔레스코핑 급수로 알려져 있으며, 유한 차분 미적분학에서 미적분학의 기본 정리와 유사한 역할을 한다. 미적분학의 기본 정리는 다음과 같다.

:

f(n)-f(m)=\int_m^n f'(x)\,dx,

여기서

:

f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

는 ''f''의 도함수이다.

텔레스코핑 급수 식의 적용 예시는 다음과 같다.

:

n^k=\sum_{i=0}^{n-1} \left((i+1)^k-i^k\right).

이항 정리를 사용하면 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

n^k=\sum_{i=0}^{n-1} \biggl(\sum_{j=0}^{k-1} \binom{k}{j} i^j\biggr).

위 공식은 일반적으로 다음과 같이 정의된 차분 연산자

\Delta

를 역으로 계산하는 데 사용된다.

:

\Delta(f)(n)=f(n+1)-f(n),

여기서 ''f''는 음이 아닌 정수에서 정의된 함수이다.

따라서, 음이 아닌 정수에서 정의된 함수 ''f''가 주어졌을 때,

\Delta F=f

를 만족하는 함수

F=\Delta^{-1}f

, 즉 ''f''의 부정 차분을 계산하는 문제가 된다. 다시 말해,

F(n+1)-F(n)=f(n)

을 만족하는 ''F''를 찾는 것이다.

이 함수 ''F''는 임의의 상수를 더한 값까지 정의되며, 다음과 같이 선택할 수 있다.^[3]

:

F(n)=\sum_{i=0}^{n-1} f(i).

이러한 합에 대한 닫힌 형식 표현이 항상 존재하는 것은 아니지만, 파울하버 공식은

f(n)=n^k

인 경우와 선형성 원리에 따라 ''n''에 대한 모든 다항 함수에 대해 닫힌 형식을 제공한다.

6. 2. 리만 합

측도론 및 적분 이론의 표기법에서 합은 정적분으로 표현될 수 있다.

:

\sum_{k \mathop =a}^b f(k) = \int_{[a,b]} f\,d\mu

여기서

[a, b]

는

a

에서

b

까지의 정수 부분 집합이며,

\mu

는 정수에 대한 계수 측도이다.

이러한 근사값은 합과 적분 사이의 다음과 같은 관계를 통해 얻을 수 있으며, 이는 모든 증가 함수 ''f''에 대해 성립한다.

:

\int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds.

그리고 모든 감소 함수 ''f''에 대해 성립한다.

:

\int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds.

더 일반적인 근사값에 대해서는 오일러-매클로린 공식을 참조할 수 있다.

피합수(더해지는 함수)가 첨자(index)의 적분 가능 함수로 주어지거나 보간될 수 있는 합의 경우, 합은 해당 정적분의 정의에서 발생하는 리만 합으로 해석될 수 있다. 따라서 예를 들어 다음과 같은 근사가 가능하다.

:

\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}n\right) \approx \int_a^b f(x)\ dx,

이는 우변의 정적분이

n\to\infty

일 때 좌변의 극한으로 정의되기 때문이다. 그러나 주어진 합에 대해 ''n''은 고정되어 있으며, ''f''에 대한 추가적인 가정이 없다면 위의 근사값의 오차에 대해 거의 말할 수 없다. 함수가 심하게 진동하는 경우 리만 합은 리만 적분 값과 임의로 멀어질 수 있다는 점에 유의해야 한다.

7. 역사

1675년, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 헨리 올덴버그에게 보낸 편지에서 미분량의 합을 나타내기 위해 기호 ∫ (calculus summatorius|칼쿨루스 숨마토리우스^lat, 합 계산)를 제안했는데, 여기서 S자 모양이 유래되었다. 이 기호는 나중에 요한 베르누이와의 서신 교환 과정에서 '적분'으로 명칭이 변경되었다.

1755년, 합산 기호 Σ는 레온하르트 오일러의 ''미분적분학 기초''에서 처음 확인된다. 오일러는 다음과 같은 표현에서 이 기호를 사용했다.

: $\Sigma \ (2 wx + w^2) = x^2$

1772년에는 조제프루이 라그랑주가 Σ와 Σⁿ 기호를 사용한 것이 확인되었다.

1823년에는 대문자 ''S''가 급수를 위한 합산 기호로 사용되었으며, 이는 널리 퍼진 사용법으로 보인다.

1829년에는 조제프 푸리에와 카를 구스타프 야코프 야코비가 합산 기호 Σ를 사용한 것이 확인되었다. 특히 푸리에는 아래첨자와 위첨자를 포함하여 다음과 같이 사용했다.

: $\sum_{i=1}^{\infty}e^{-i^2t} \ldots$

유한 개의 수를 더하는 것은 두 수를 더하는 연산을 귀납법적으로 반복하면 된다. 덧셈은 교환 법칙이 성립하므로 수를 더하는 순서는 중요하지 않다. 반면, 무한 개의 수를 더하는 것은 간단한 문제가 아니다. 18세기 이전에는 무한합을 유한합처럼 다루어 더하는 순서를 임의로 바꾸는 경향이 있었고, 이로 인해 모순적인 결과가 나타나기도 했다.

무한합을 올바르게 다루기 위해서는 19세기에 이르러 디리클레, 베른하르트 리만, 오귀스탱 루이 코시와 같은 수학자들이 극한 개념을 정립할 때까지 기다려야 했다.

참조

_[1] 서적 Calculus John Wiley & Sons 1967
_[2] 웹사이트 Summation Notation http://www.columbia.[...] 2020-08-16
_[3] 서적 Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics CRC Press 1999
_[4] 웹사이트 Calculus I - Summation Notation https://tutorial.mat[...] 2020-08-16
_[5] 서적 The History of Mathematics: An Introduction McGraw-Hill
_[6] 서적 Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band http://name.umdl.umi[...] Mayer & Müller
_[7] 서적 Institutiones Calculi differentialis https://www.digitale[...] 1755
_[8] 서적 Oeuvres de Lagrange. Tome 3 https://gallica.bnf.[...] 1867–1892
_[9] 서적 Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France pour l'année 1825, tome VIII https://books.google[...] Didot 1829
_[10] 서적 Oeuvres de Fourier. Tome 2 https://gallica.bnf.[...] Gauthier-Villars 1888–1890
_[11] 문서 一般には、部分列を取り出して和をとったものを総じて[[部分和]]と呼ぶ。
_[12] 서적 なっとくする数学記号講談社 2021
_[13] 문서 この記号は、{{#if:{{{1|}}}|[[LaTeX|LaTeX]]|LaTeX}} においては \sum、HTML においては文字参照 ∑ を用いて表される。
_[14] 문서 "{{mvar|i}} は {{en|'''i'''ndex}}（添え字）を意味する。（この {{mvar|i}} はほかの字でも良い。）このような変数は、和の結果には現れないため、[[自由変数と束縛変数|'''ダミー変数''']] {{en|(dummy variable)}} または'''束縛変数''' {{en|(bound variable)}} と呼ばれる。同様の例として、[[積分]]における積分変数はダミー変数である。"

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