무조건 수렴

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1. 개요

무조건 수렴은 위상 벡터 공간에서 정의되는 급수의 수렴 개념으로, 급수의 항을 어떤 순서로 더해도 수렴하는 경우를 의미한다. 무조건 수렴은 절대 수렴보다 약한 개념으로, 절대 수렴하는 급수는 무조건 수렴하지만 그 역은 성립하지 않는다. 특히, 무한 차원 바나흐 공간에서는 절대 수렴하지 않으면서 무조건 수렴하는 급수가 존재한다. 실수 또는 복소수 항의 급수에서는 무조건 수렴과 절대 수렴이 동치이며, 리만 재배열 정리에 따라 조건 수렴하는 실수항 급수는 재배열을 통해 임의의 값으로 수렴하게 만들 수 있다.

무조건 수렴

수열의 수렴

유형	수학
하위 유형	수열의 수렴

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관련 항목	절대 수렴, 조건 수렴

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1. 개요
2. 정의
3. 절대 수렴과의 관계
4. 성질
5. 예

2. 정의

무조건 수렴은 급수의 항들의 순서를 바꾸거나, 각 항에 ±1을 곱하거나, 연속 반노름 또는 부분합을 이용해도 정의할 수 있다. 무조건 수렴 급수는 자동적으로 수렴하며, 그렇지 않은 경우를 조건 수렴이라고 한다.

2.1. 기본 정의

위상체 $K$ 및 하우스도르프 $K$ -위상 벡터 공간 $V$ 가 주어졌다고 하자. 점렬 $(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 경우 급수 $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i$ 가 무조건 수렴한다고 한다.
* 임의의 순열 $\sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)$ 에 대하여, $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}$ 는 수렴한다.
* 다음 조건을 만족시키는 $s\in V$ 가 존재한다.
임의의 0의 근방 $U$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_U\in\mathbb N$ 가 존재한다.
: $\sum_{i\in J}v_i\in s+U\qquad\forall J\in\{J\subseteq\mathbb N\colon|J|<\aleph_0,\;\{0,\dots,N_{\epsilon,\nu}\}\subseteq J\}$
무조건 수렴 급수는 자명하게 수렴한다. 무조건 수렴하지 않는 수렴 급수를 조건 수렴(conditional convergence^영어)한다고 한다.

실수체 또는 복소수체 $K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 및 하우스도르프 $K$ -국소 볼록 공간 $V$ 의 경우, 점렬 $(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i$ 는 무조건 수렴한다.
* 다음 조건을 만족시키는 $s\in V$ 가 존재한다.
임의의 연속 반노름 $\nu\colon V\to[0,\infty)$ 및 양의 실수 $\epsilon\in\mathbb R^+$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon,\nu}\in\mathbb N$ 가 존재한다.
: $\nu\left(s-\sum_{i\in J}v_i\right)<\epsilon\qquad\forall J\in\{J\subseteq\mathbb N\colon|J|<\aleph_0,\;\{0,\dots,N_{\epsilon,\nu}\}\subseteq J\}$

실수체 또는 복소수체 $K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 및 $K$ -바나흐 공간 $(V,\Vert\cdot\Vert)$ 의 경우, 점렬 $(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i$ 는 무조건 수렴한다.
* 임의의 순증가 자연수열 $i_0 에 대하여, \textstyle\sum_{j=0}^\infty v_{i_j} 는 수렴한다.$
* 완전 수렴(perfect convergence^영어) 임의의 $\lambda_0,\lambda_1,\dots\in\mathbb\{{-1},1\}$ 에 대하여, $\textstyle\sum_{i=0}^\infty\lambda_iv_i$ 는 수렴한다.

$X$ 를 위상 벡터 공간이라고 하자. $I$ 를 인덱스 집합이라고 하고, 모든 $i \in I$ 에 대해 $x_i \in X$ 라고 하자.

수열 $\textstyle \sum_{i \in I} x_i$ 가 $x \in X$ 로 무조건 수렴한다고 하는 것은 다음을 만족할 때이다.
* 인덱싱 집합 $I_0 := \left\{i \in I : x_i \neq 0\right\}$ 가 가산 집합이고,
* $I_0 = \left\{i_k\right\}_{k=1}^\infty$ 의 모든 순열(전단사 함수) $\sigma : I_0 \to I_0$ 에 대해 다음 관계가 성립한다: $\sum_{k=1}^\infty x_{\sigma\left(i_k\right)} = x.$

$X$ 를 선형 위상 공간으로 한다. $I$ 를 첨자 집합으로 하고, 모든 $i \in I$ 에 대해 $x_i \in X$ 라고 한다.

급수 $\sum_{i \in I} x_i$ 가 $x \in X$ 에 무조건 수렴한다는 것은,
* 첨자의 집합 $I_0 :=\{i\in I: x_i\ne 0\}$ 가 가산 집합이고,
* $I_0=\{i_k\}_{k=1}^\infty$ 상의 임의의 치환 $\sigma:I_0\to I_0$ 에 대해 $\sum_{k=1}^\infty x_{\sigma(i_k)} = x$ 가 성립하는 것을 말한다.

2.2. 부호 수열을 이용한 정의

급수 $\left(x_n\right)_{n=1}^\infty$ 가 주어졌을 때, 모든 수열 $\left(\varepsilon_n\right)_{n=1}^\infty,$ $\varepsilon_n \in \{-1, +1\}$ 에 대해 급수
$\sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x_n$
가 수렴하면 그 급수는 무조건 수렴한다.

임의의 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하지만, 역은 일반적으로 성립하지 않는다. $X$ 가 무한 차원 바나흐 공간일 때, 드보레츠키-로저스 정리에 의해 이 공간에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 반드시 존재한다. 그러나 $X = \R^n$ 일 때는, 리만 급수 정리에 의해 급수 $\sum_n x_n$ 이 무조건 수렴하는 것과 절대 수렴하는 것은 동치이다.

2.3. 국소 볼록 공간에서의 정의

실수체 또는 복소수체 $K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 및 하우스도르프 $K$ - 국소 볼록 공간 $V$ 에서, 점렬 $(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V$ 에 대한 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i$ 가 무조건 수렴한다.
* 다음 조건을 만족시키는 $s\in V$ 가 존재한다.
** 임의의 연속 반노름 $\nu\colon V\to[0,\infty)$ 및 양의 실수 $\epsilon\in\mathbb R^+$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon,\nu}\in\mathbb N$ 가 존재한다.
: $\nu\left(s-\sum_{i\in J}v_i\right)<\epsilon\qquad\forall J\in\{J\subseteq\mathbb N\colon|J|<\aleph_0,\;\{0,\dots,N_{\epsilon,\nu}\}\subseteq J\}$

2.4. 바나흐 공간에서의 정의

실수체 또는 복소수체 $K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 및 $K$ -바나흐 공간 $(V,\Vert\cdot\Vert)$ 의 점렬 $(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V$ 에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.
* $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i$ 는 무조건 수렴한다.
* 임의의 순증가 자연수열 $i_0 에 대하여, \textstyle\sum_{j=0}^\infty v_{i_j} 는 수렴한다.$
* (완전 수렴, perfect convergence^영어) 임의의 $\lambda_0,\lambda_1,\dots\in\{-1,1\}$ 에 대하여, $\textstyle\sum_{i=0}^\infty\lambda_iv_i$ 는 수렴한다.

3. 절대 수렴과의 관계

바나흐 공간에서 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 무한 차원 바나흐 공간에서는 드보르체츠키-로저스 정리에 의해 절대 수렴하지 않으면서 무조건 수렴하는 급수가 항상 존재한다. 그러나 유한 차원 공간( $X = \R^n$ )에서는 리만 급수 정리에 따라 급수의 무조건 수렴과 절대 수렴은 동치이다.

3.1. 절대 수렴의 정의

실수체 또는 복소수체 $K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 및 하우스도르프 $K$ -국소 볼록 공간 $V$ 가 주어졌다고 하자. 점렬 $(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V$ 이 다음 조건을 만족시킨다면, 급수 $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i$ 가 절대 수렴한다고 한다.
* 임의의 연속 반노름 $\nu\colon V\to[0,\infty)$ 에 대하여, $\textstyle\sum_{i=0}^\infty\nu(v_i)<\infty$

실수체 또는 복소수체 $K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 및 $K$ -노름 공간 $(V,\Vert\cdot\Vert)$ 의 경우, 점렬 $(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i$ 는 무조건 수렴한다.
* $\textstyle\sum_{i=0}^\infty\Vert v_i\Vert<\infty$

만약 $X$ 가 바나흐 공간이라면, 모든 절대 수렴하는 급수는 무조건 수렴하지만, 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 실제로 $X$ 가 무한 차원 바나흐 공간이면, 드보르체츠키-로저스 정리에 의해 절대 수렴하지 않으면서 무조건 수렴하는 급수가 항상 존재한다. 그러나 $X = \R^n$ 일 경우, 리만 급수 정리에 따라 급수 $\sum_n x_n$ 는 무조건 수렴하는 것과 절대 수렴하는 것은 동치이다.

3.2. 유한 차원 공간

3.3. 무한 차원 공간

무한 차원 바나흐 공간에서는 드보레츠키-로저스 정리에 의해 절대 수렴하지 않으면서 무조건 수렴하는 급수가 항상 존재한다. 그러나 $X = \R^n$ 인 경우, 리만 급수 정리에 따라 급수 $\sum_n x_n$ 가 무조건 수렴하는 것과 절대 수렴하는 것은 동치이다.

4. 성질

하우스도르프 완비 국소 볼록 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴한다. 특히, 프레셰 공간이나 바나흐 공간 위의 절대 수렴 급수는 무조건 수렴한다. 유한 차원 하우스도르프 국소 볼록 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.

위상체 $K$ 및 하우스도르프 완비 $K$ -위상 벡터 공간 $V$ 의 경우, 점렬 $(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i$ 는 무조건 수렴한다.
* 임의의 0의 근방 $U$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 $N_U\in\mathbb N$ 가 존재한다.

프레셰 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.
* 핵공간이다.

노름 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴한다.
* 모든 절대 수렴 급수는 수렴한다.
* 바나흐 공간이다.

바나흐 공간에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. (드보레츠키-로저스 정리)
* 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.
* 유한 차원이다.

이에 따라, 임의의 무한 차원 바나흐 공간은 절대 수렴하지 않는 무조건 수렴 급수를 가진다.

4.1. 완비 공간

하우스도르프 완비 국소 볼록 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴한다. 특히, 프레셰 공간이나 바나흐 공간 위의 절대 수렴 급수는 무조건 수렴한다.

위상체 $K$ 및 하우스도르프 완비 $K$ -위상 벡터 공간 $V$ 의 경우, 점렬 $(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq V$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i$ 는 무조건 수렴한다.
* 임의의 0의 근방 $U$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 $N_U\in\mathbb N$ 가 존재한다.

4.2. 프레셰 공간

프레셰 공간에서 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.
* 핵공간이다.

4.3. 바나흐 공간

노름 공간에서 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴한다.
* 모든 절대 수렴 급수는 수렴한다.
* 바나흐 공간이다.

바나흐 공간에서 다음 세 조건은 서로 동치이다. (드보레츠키-로저스 정리, Dvoretzky–Rogers theorem^영어)
* 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.
* 유한 차원이다.

이에 따라, 임의의 무한 차원 바나흐 공간은 절대 수렴하지 않는 무조건 수렴 급수를 가진다.

4.4. 실수항 또는 복소수항 급수

(실수체와 복소수체는 유한 차원 바나흐 공간이므로,) 실수항 또는 복소수항 급수에 대하여, 무조건 수렴은 절대 수렴과 동치이다. 이에 따라 실수항 또는 복소수항 조건 수렴 급수는 적절한 순열을 가하여 발산 급수로 만들 수 있다. 리만 재배열 정리에 따르면, 모든 실수항 조건 수렴 급수는 적절한 순열을 가하여 임의의 확장된 실수로 수렴하도록 만들 수 있다. 이는 복소수항 급수에 대해서는 성립하지 않는다.

임의의 자연수 집합 $A\subseteq\mathbb N$ 에 대하여, 다음과 같이 정의한다.
: $N(A)=\min\left\{|J|\colonA=\bigcup_{(i,j)\in J}\{i,i+1,\dots,j-1,j\},\;J\subseteq\mathbb N^2\right\}\in\mathbb N\cup\{\infty\}$

임의의 순열 $\sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다. (이 조건을 ㈀이라고 하자)
* $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i$ 가 수렴하며, $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}$ 는 발산하게 되는 실수열 $(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq\mathbb R$ 이 존재한다.
* $\textstyle\sup_{i,j\in\mathbb N}N(\sigma^{-1}(\{i,i+1,\dots,j-1,j\}))=\infty$

임의의 순열 $\sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb N)$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다. (이 조건을 ㈁이라고 하자)
* $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_i$ 와 $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}$ 가 수렴하며, $\textstyle\sum_{i=0}^\infty v_{\sigma(i)}\ne\sum_{i=0}^\infty v_i$ 이게 되는 실수열 $(v_i)_{i=0}^\infty\subseteq\mathbb R$ 이 존재한다.
* $\textstyle\lim_{i\to\infty}N(\sigma^{-1}(\{0,1,\dots,i\})=\infty$

특히, ㈁ 조건은 ㈀ 조건을 함의한다.

5. 예

르베그 공간 $V=\ell^2(\mathbb R)$ 위의 다음과 같은 점렬 $(v_i)_{i=1}^\infty$을 생각하자.

:$v_i=(\underbrace{0,\dots,0,i^{-1}}_i,0,\dots)\in\ell^2(\mathbb K)$

그렇다면, 급수 $\textstyle\sum_{i=1}^\infty v_i$는

:$s=(1,2^{-1},3^{-1},\dots)\in\ell^2(\mathbb K)$

로 무조건 수렴하지만,

:$\sum_{i=1}^\infty\Vert v_i\Vert_2=\sum_{i=1}^\infty i^{-1}=\infty$

이므로 절대 수렴하지 않는다.