베어스토우 방법

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1. 개요
2. 방법
3. 예제
4. 성능
5. 한계 및 개선 방안
참조

1. 개요

베어스토우 방법은 이차식의 계수를 조정하여 다항식의 근을 찾는 수치 해석 방법이다. 뉴턴 방법을 사용하여 이차식 형태의 인수를 반복적으로 찾아 다항식의 근을 구하며, 이차식으로 나눗셈을 반복하여 모든 근을 결정한다. 이 방법은 프로그래밍 언어로 구현될 수 있으며, 고차 다항식의 해를 찾는 데 사용된다. 그러나 중복 근과 홀수 차수 다항식의 경우 수렴에 문제가 발생할 수 있으며, 이러한 한계를 해결하기 위해 다른 방법과의 조합을 고려할 수 있다.

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베어스토우 방법
개요
분야	수치해석
종류	근 찾기
명명 유래	레너드 베어스토우
베어스토우 방법
목적	계수가 실수인 다항식의 근을 찾음
특징	모든 근이 반드시 실수일 필요는 없음
설명	실수 계수를 갖는 대수 방정식의 근을 찾는 효율적인 반복 방법임. 뉴턴-랍손 방법과 유사하지만, 2차 방정식을 사용하여 실수 해와 복소수 해를 모두 찾을 수 있음
알고리즘
목표	다항식 f(x)의 2차 인자 (x^2 + rx + s)를 찾음
방법	r과 s에 대한 초기 추정값을 설정 다항식 나눗셈을 사용하여 f(x) = (x^2 + rx + s)q(x) + (Ax + B) 형태를 얻음 (q(x)는 몫, Ax + B는 나머지) A와 B가 0에 가까워지도록 r과 s를 조정 뉴턴 방법을 사용하여 r과 s를 반복적으로 개선
반복 중단 조건	충분히 작은 A와 B 값
추가 정보
장점	다항식의 실수 근과 복소수 근을 모두 찾을 수 있음
단점	초기 추정값에 따라 수렴 속도가 달라질 수 있음

2. 방법

베어스토우 방법(Bairstow's method)은 다항식의 근을 찾는 수치해석적 방법 중 하나로, 특히 실수 계수를 가진 고차 다항식의 복소수 근까지 효과적으로 찾을 수 있다. 이 방법의 핵심 아이디어는 주어진 다항식 $P(x)$ 에서 $x^2+ux+v$ 형태의 이차식 인수를 찾아내는 것이다. 이 이차식의 근을 구하고, 원래 다항식을 이 이차식으로 나누어 차수를 낮추는 과정을 반복한다.

구체적으로, $n$ 차 다항식 $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$ 가 주어졌을 때, 이를 이차식 $x^2+ux+v$ 로 나누면 몫 $Q(x)$ 와 나머지 $cx+d$ 를 얻는다.

: $P(x)= (x^2+ux+v)Q(x)+cx+d$

만약 $x^2+ux+v$ 가 $P(x)$ 의 인수라면 나머지 항 $cx+d$ 는 0이 되어야 하므로, $c=0$ 이고 $d=0$ 이어야 한다. 베어스토우 방법은 이 조건을 만족하는 계수 $u$ 와 $v$ 의 값을 찾는 것을 목표로 한다.

이를 위해 뉴턴 방법을 2차원 문제( $u, v$ 에 대한 연립 방정식 $c(u,v)=0, d(u,v)=0$ )에 적용한다. 뉴턴 방법을 적용하려면 $c$ 와 $d$ 를 $u, v$ 에 대해 편미분한 값이 필요한데, 이는 몫 $Q(x)$ 를 다시 $x^2+ux+v$ 로 나누었을 때의 나머지 항( $gx+h$ )과 관련된다. 적절한 초기값 $(u, v)$ 에서 시작하여, $c$ 와 $d$ 가 충분히 0에 가까워질 때까지 $u, v$ 값을 반복적으로 개선해 나간다.

$u, v$ 값이 수렴하면, 이차 방정식 $x^2+ux+v=0$ 을 풀어 $P(x)$ 의 근 두 개(실근 또는 켤레 복소수 근)를 찾을 수 있다. 이후 몫 $Q(x)$ 에 대해 동일한 과정을 반복하여 다항식의 모든 근을 찾아낸다. 이 방법은 값이 수렴할 때까지 반복 계산이 필요하며, 프로그래밍 언어나 스프레드시트로 비교적 쉽게 구현할 수 있다.

2. 1. 다항식 나눗셈

베어스토우 방법은 주어진 고차 다항식

P(x)

를

x^2+ux+v

형태의 이차식으로 반복해서 나누어 그 근을 찾는 방법이다. 이 과정에서 다항식 나눗셈이 핵심적으로 사용된다.

먼저,

n

차 다항식

P(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i

를 이차식

x^2 + ux + v

로 나눈다. 다항식 장제법에 따라 몫

Q(x)=\sum_{i=0}^{n-2} b_i x^i

와 나머지

cx+d

를 얻을 수 있다.

:

P(x)=(x^2+ux+v) Q(x) + (cx+d)

:

P(x)=(x^2+ux+v)\left(\sum_{i=0}^{n-2} b_i x^i\right) + (cx+d)

다음으로, 위에서 얻은 몫

Q(x)

를 다시 이차식

x^2 + ux + v

로 나눈다. 이때 몫은

R(x)=\sum_{i=0}^{n-4} f_i x^i

이고 나머지는

gx+h

이다.

:

Q(x)=(x^2+ux+v) R(x) + (gx+h)

:

Q(x)=(x^2+ux+v)\left(\sum_{i=0}^{n-4} f_i x^i\right) + (gx+h)

나눗셈 과정에서 나타나는 계수들

\{b_i\}

,

\{f_i\}

와 나머지 항의 변수

c,\,d,\,g,\,h

는 원래 다항식의 계수

\{a_i\}

와 이차식의 계수

u, v

를 이용하여 다음과 같은 재귀적인 관계를 통해 계산할 수 있다.

:

\begin{align}b_n &= b_{n-1} = 0,& f_n &= f_{n-1} = 0,\\b_i &= a_{i+2}-ub_{i+1}-vb_{i+2}&f_i &= b_{i+2}-uf_{i+1}-vf_{i+2}\qquad (i=n-2,\ldots,0),\\c &= a_1-ub_0-vb_1,& g &= b_1-uf_0-vf_1,\\d & =a_0-vb_0,& h & =b_0-vf_0.\end{align}

만약 이차식

x^2+ux+v

가 다항식

P(x)

의 인수라면, 즉

P(x)

가

x^2+ux+v

로 나누어떨어진다면 나머지 항

cx+d

는 0이 되어야 한다. 이는

c=0

이고

d=0

임을 의미한다.

:

c(u,v)=0, \quad d(u,v)=0 \,

베어스토우 방법은 이 조건을 만족하는

u

와

v

값을 찾기 위해 뉴턴 방법을 사용한다. 초기 추정값

(u, v)

에서 시작하여 다음 행렬 식을 반복적으로 계산하여 더 정확한

u, v

값에 수렴시킨다.

:

\begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix}:=\begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

\frac{\partial c}{\partial u}&\frac{\partial c}{\partial v}\\[3pt]\frac{\partial d}{\partial u} &\frac{\partial d}{\partial v}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}c\\ d\end{bmatrix}:=\begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix}

\frac{1}{vg^2+h(h-ug)}

\begin{bmatrix}

h & g\\[3pt]
gv & gu-h

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\ d\end{bmatrix}

여기서 행렬의 편미분 값들은 위에서 구한

g, h

와 관련된다. 이 과정을 통해

c

와

d

가 충분히 0에 가까워질 때까지 반복한다. 찾아낸

u, v

로 2차 방정식

x^2+ux+v=0

을 풀면

P(x)

의 근 두 개를 얻을 수 있다. 이후 몫

Q(x)

에 대해 같은 과정을 반복하여 모든 근을 찾는다. 이 방법은 수치적으로 안정적이며 프로그래밍 언어나 스프레드시트로 쉽게 구현할 수 있다.

2. 2. 계수 계산

베어스토우 방법은 주어진 다항식

P(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i

를 이차식

x^2 + ux + v

로 나누어 근을 찾는 방식이다. 이 과정에서 필요한 계수들을 계산하는 방법은 다음과 같다.

먼저, 다항식

P(x)

를

x^2 + ux + v

로 나누면 몫

Q(x)=\sum_{i=0}^{n-2} b_i x^i

와 나머지

cx+d

가 생성된다.

:

P(x)=(x^2+ux+v)\left(\sum_{i=0}^{n-2} b_i x^i\right) + (cx+d).

다음으로, 몫

Q(x)

를 다시

x^2 + ux + v

로 나누면 몫

R(x)=\sum_{i=0}^{n-4} f_i x^i

와 나머지

gx+h

가 생성된다.

:

Q(x)=(x^2+ux+v)\left(\sum_{i=0}^{n-4} f_i x^i\right) + (gx+h).

여기서 계수들

b_i

,

f_i

와 나머지 항의 변수

c,\,d,\,g,\,h

는 모두

u

와

v

의 함수이며, 다음과 같은 재귀적 관계를 통해 계산할 수 있다.

:

\begin{align}b_n &= b_{n-1} = 0,& f_n &= f_{n-1} = 0,\\b_i &= a_{i+2}-ub_{i+1}-vb_{i+2}&f_i &= b_{i+2}-uf_{i+1}-vf_{i+2}\qquad (i=n-2,\ldots,0),\\c &= a_1-ub_0-vb_1,& g &= b_1-uf_0-vf_1,\\d & =a_0-vb_0,& h & =b_0-vf_0.\end{align}

이차식

x^2+ux+v

가 다항식

P(x)

의 인수가 되려면 나머지 항이 0이어야 하므로, 다음 조건을 만족해야 한다.

:

c(u,v)=d(u,v)=0. \,

이 조건을 만족하는

u

와

v

의 값은 뉴턴 방법을 이용하여 반복적으로 찾아나간다. 편미분과 행렬을 이용한 업데이트 식은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix}:=\begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

\frac{\partial c}{\partial u}&\frac{\partial c}{\partial v}\\[3pt]\frac{\partial d}{\partial u} &\frac{\partial d}{\partial v}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}c\\ d\end{bmatrix}:=\begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix}

\frac{1}{vg^2+h(h-ug)}

\begin{bmatrix}

h & g\\[3pt]
gv & gu-h

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\ d\end{bmatrix}

이 계산 과정을 통해 얻어진

c, d, g, h

값을 이용하여

u, v

값을 계속 갱신하며,

c

와

d

가 충분히 0에 가까워질 때까지 반복한다.

2. 3. 뉴턴 방법 적용

베어스토우 방법은 뉴턴 방법을 사용하여 이차식

x^2 + ux + v

의 계수 ''u''와 ''v''를 조정하여, 이 이차식의 근이 원래 다항식

P(x)

의 근이 되도록 반복적으로 찾아가는 방법이다.^[1] 이차식

(x^2+ux+v)

가 다항식

P(x)

를 나누어떨어지게 하는 조건은 나눗셈의 나머지 항

cx+d

가 0이 되는 것, 즉 계수

c

와

d

가 모두 0이 되는 경우이다.

:

c(u,v)=0 \quad

이고

\quad d(u,v)=0

이 조건을 만족하는

u

와

v

의 값은 적절한 초기값을 설정한 후, 2차원 뉴턴 방법을 반복하여 찾을 수 있다. 뉴턴 방법의 반복 단계는 다음과 같은 행렬 형태로 표현된다.

:

\begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix}_{\text{new}}:=\begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix}_{\text{old}}

J^{-1}

\begin{bmatrix}c(u,v)\\ d(u,v)\end{bmatrix}

여기서

J

는

c

와

d

를

u

와

v

에 대해 편미분한 야코비 행렬이다.

:

J = \begin{bmatrix}\frac{\partial c}{\partial u}&\frac{\partial c}{\partial v}\\[3pt]\frac{\partial d}{\partial u} &\frac{\partial d}{\partial v}\end{bmatrix}

베어스토우 방법에서는 이 편미분 값들을 이전 단계에서 계산된 계수들(

g, h

등)을 이용하여 효율적으로 구할 수 있으며, 야코비 행렬의 역행렬

J^{-1}

을 계산하면 다음과 같다.

:

J^{-1} = \frac{1}{vg^2+h(h-ug)}\begin{bmatrix}

h & g\\[3pt]
gv & gu-h

\end{bmatrix}

따라서

u

와

v

를 갱신하는 최종적인 뉴턴 방법의 반복식은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix}:=\begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix}

\frac{1}{vg^2+h(h-ug)}

\begin{bmatrix}

h & g\\[3pt]
gv & gu-h

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\ d\end{bmatrix}

이 과정을

c

와

d

의 값이 충분히 0에 가까워져 수렴할 때까지 반복한다. 이 다항식의 영점을 찾는 방법은 프로그래밍 언어나 스프레드시트로 쉽게 구현할 수 있다.

3. 예제

다음 다항식의 근을 구하는 예시를 통해 베어스토우 방법을 살펴보자.

: $f(x) = 6 \, x^5 + 11 \, x^4 - 33 \, x^3 - 33 \, x^2 + 11 \, x + 6 = 0.$

베어스토우 방법은 다항식의 이차 인수를 찾는 방식으로 작동한다. 먼저 이차 인수를 $x^2-ux-v$ 형태로 가정하고, 초기값 $u, v$ 를 설정한다. 초기값은 보통 다항식의 최고차항 계수들을 이용하여 정한다. 주어진 다항식에서 $a_n=6, a_{n-1}=11, a_{n-2}=-33$ 이므로, 초기값은 다음과 같이 설정할 수 있다.

: $u = \frac{a_{n-1}}{a_n} = \frac{11}{6} \approx 1.8333 ;\quadv = \frac{a_{n-2}}{a_n} = - \frac{33}{6} = -5.5.\,$

이 초기값을 사용하여 반복적으로 $u, v$ 값을 개선해 나간다. 각 반복 단계에서의 계산 결과는 아래 표와 같다.

베어스토우 방법의 반복 단계
반복 횟수	u	v	단계 길이	근 (x² - ux - v = 0 의 근)
0	1.833333333333	−5.500000000000	5.579008780071	−0.916666666667±2.517990821623
1	2.979026068546	−0.039896784438	2.048558558641	−1.489513034273±1.502845921479
2	3.635306053091	1.900693009946	1.799922838287	−1.817653026545±1.184554563945
3	3.064938039761	0.193530875538	1.256481376254	−1.532469019881±1.467968126819
4	3.461834191232	1.385679731101	0.428931413521	−1.730917095616±1.269013105052
5	3.326244386565	0.978742927192	0.022431883898	−1.663122193282±1.336874153612
6	3.333340909351	1.000022701147	0.000023931927	−1.666670454676±1.333329555414
7	3.333333333340	1.000000000020	0.000000000021	−1.666666666670±1.333333333330
8	3.333333333333	1.000000000000	0.000000000000	−1.666666666667±1.333333333333

표에서 볼 수 있듯이, 8번의 반복 계산 후 $u$ 는 $10/3 \approx 3.3333$ 에, $v$ 는 $1$ 에 매우 가까운 값으로 수렴했다. 이는 다항식 $f(x)$ 가 $x^2 - (10/3)x - 1$ 이라는 이차 인수를 갖는다는 것을 의미하며, 이 이차 인수는 표현된 정밀도 내에서 원본 다항식의 근 $-1/3$ 과 $-3$ 을 포함한다.

또한, 4번째 반복부터 단계 길이(Step length)가 이전 단계에 비해 현저히 작아지는 것을 확인할 수 있다. 이는 베어스토우 방법이 초선형 수렴(Superlinear convergence)의 특징을 보인다는 것을 나타낸다. 즉, 반복 횟수가 늘어남에 따라 해에 수렴하는 속도가 점차 빨라진다.

4. 성능

다음은 다항식 ''f''(''x'') = 6''x''⁵ + 11''x''⁴ - 33''x''³ - 33''x''² + 11''x'' + 6 = 0 에 베어스토우 방법을 적용하는 예시이다.

첫 번째 이차 인자의 초기 추정값 ''u'', ''v''는 다항식의 최고차항 계수들을 이용하여 다음과 같이 설정할 수 있다.

:''u'' = ''a''_''n''-1 / ''a''_''n'' = 11 / 6 ≈ 1.8333

:''v'' = ''a''_''n''-2 / ''a''_''n'' = -33 / 6 = -5.5

베어스토우 방법의 반복 단계
반복횟수	u	v	단계 길이	근 (x² + ux + v = 0)
0	1.833333333333	−5.500000000000	5.579008780071	−0.916666666667 ± 2.517990821623i
1	2.979026068546	−0.039896784438	2.048558558641	−1.489513034273 ± 1.502845921479i
2	3.635306053091	1.900693009946	1.799922838287	−1.817653026545 ± 1.184554563945i
3	3.064938039761	0.193530875538	1.256481376254	−1.532469019881 ± 1.467968126819i
4	3.461834191232	1.385679731101	0.428931413521	−1.730917095616 ± 1.269013105052i
5	3.326244386565	0.978742927192	0.022431883898	−1.663122193282 ± 1.336874153612i
6	3.333340909351	1.000022701147	0.000023931927	−1.666670454676 ± 1.333329555414i
7	3.333333333340	1.000000000020	0.000000000021	−1.666666666670 ± 1.333333333330i
8	3.333333333333	1.000000000000	0.000000000000	−1.666666666667 ± 1.333333333333i

8회 반복한 후에, 이 방법은 주어진 정밀도 내에서 근 -1/3 과 -3 (즉, 이차 인자 3''x''² + 10''x'' + 3 = ''x''² + (10/3)''x'' + 1) 에 해당하는 ''u'' ≈ 10/3 ≈ 3.3333, ''v'' = 1 인 이차 인자를 생성한다. 네 번째 반복부터 단계 길이(step length)가 급격히 줄어드는 것을 통해 초선형 수렴(Superlinear convergence) 속도를 확인할 수 있다.

베어스토우 방법은 뉴턴 방법과 마찬가지로 일반적으로 국소적 2차 수렴성을 갖는다. 그러나 찾으려는 이차 인자에 해당하는 근이 중근일 경우(즉, 이차 인자의 판별식이 0에 가까울 때), 해당 인자로의 수렴 속도는 선형적으로 느려질 수 있다. 또한, 다항식이 홀수 차수이고 실수 근이 하나만 있는 경우 불안정성이 관찰될 수 있는데, 이 실수 근 근처에서 이차 인수를 찾으려고 하면 반복 과정에서 ''u'', ''v'' 값이 무한대로 발산하는 경향이 있다.

아래 이미지들은 베어스토우 방법의 수렴 영역을 시각화한 프랙탈이다. 각 점 (''s'', ''t'') ∈ [-3, 3]²은 이차 인자 ''x''² + ''ux'' + ''v''의 초기 추정값에 해당한다.

윗 반평면 (''t'' > 0): 켤레 복소수 근 ''s'' ± ''it''를 갖는 인자 (즉, ''x''² + ''ux'' + ''v'' = (''x'' - ''s'')² + ''t''² 이므로 ''u'' = -2''s'', ''v'' = ''s''² + ''t''²)
아랫 반평면 (''t'' < 0): 두 실수 근 ''s'' ± ''t''를 갖는 인자 (즉, ''x''² + ''ux'' + ''v'' = (''x'' - ''s'')² - ''t''² 이므로 ''u'' = -2''s'', ''v'' = ''s''² - ''t''²)

점의 색상은 베어스토우 반복이 어떤 근(이차 인자)으로 수렴하는지에 따라 결정되며, 검은색 점은 발산하는 경우를 나타낸다.

첫 번째 이미지(''f''(''x'') = ''x''⁵ - 1)는 단일 실수 근을 갖는 홀수 차수 다항식에서 나타날 수 있는 불안정성(넓은 검은색 발산 영역)을 보여준다. 두 번째 이미지(''f''(''x'') = ''x''⁶ - ''x'')는 추가 실수 근이 존재하면 발산 문제가 완화될 수 있음을 시사한다. 홀수 차수 다항식의 경우, 뉴턴 방법이나 다른 구간법을 사용하여 실수 근을 먼저 찾아 제거(다항식 나눗셈을 통한 감차, deflation)하면, 차수가 낮아지고 안정성이 개선된 다항식을 얻어 베어스토우 방법을 더 효과적으로 적용할 수 있다. 세 번째 이미지는 위 계산 예시에서 사용된 다항식 ''f''(''x'') = 6''x''⁵ + 11''x''⁴ - 33''x''³ - 33''x''² + 11''x'' + 6의 수렴 영역을 보여준다.

5. 한계 및 개선 방안

베어스토우 방법은 뉴턴 방법의 국소적 2차 수렴성을 상속받지만, 중복도가 1보다 큰 2차 인수의 경우 해당 인수에 대한 수렴은 선형적이다. 다항식이 홀수 차수이고 실수 근이 하나만 있는 경우 특정 종류의 불안정성이 관찰되는데, 이 실수 근에서 작은 값을 갖는 2차 인수는 무한대로 발산하는 경향이 있다.

아래 그림들은 베어스토우 방법의 수렴 특성을 보여주는 프랙탈 이미지이다.

$f(x)=x^5-1$	$f(x)=x^6-x$	$\begin{align}f(x)=&6x^5+11x^4-33x^3\\&-33x^2+11x+6\end{align}$

이미지는 2차 인수 $x^2+ux+v$ 의 계수와 관련된 쌍 $(s,t)\in[-3,3]^2$ 을 나타낸다.

윗 반평면의 점 ''t'' > 0은 복소수 근 $s\pm it$ 를 갖는 2차 인수 $x^2+ux+v=(x-s)^2+t^2$ 에 해당한다.
아랫 반평면의 점 ''t'' < 0은 실수 근 $s\pm t$ 를 갖는 2차 인수 $x^2+ux+v=(x-s)^2-t^2$ 에 해당한다.

일반적으로

(u,\,v)=(-2s,\, s^2+t\,|t|)

관계가 성립한다. 각 점은 베어스토우 반복의 최종 수렴점에 따라 색상이 지정되며, 검은색 점은 발산하는 경우를 나타낸다.

첫 번째 이미지는 단일 실수 근(

x=1

)을 갖는 홀수 차수 다항식

f(x)=x^5-1

의 경우로, 넓은 영역에서 발산(검은색)하는 불안정성을 보여준다. 두 번째 이미지는

f(x)=x^6-x = x(x^5-1)

의 경우로, 추가 실수 근(

x=0

)을 도입하면 발산 영역이 줄어들고 수렴 안정성이 개선될 수 있음을 시사한다. 다만, 이 경우 수렴 속도는 느려질 수 있다. 세 번째 이미지는 모든 근이 단위원 상에 있는 대칭 다항식

f(x)=6x^5+11x^4-33x^3-33x^2+11x+6

의 경우를 보여준다.

이러한 한계를 개선하기 위해, 홀수 차수 다항식의 경우 뉴턴 방법이나 구간 축소법 등을 사용하여 실수 근을 먼저 찾고 제거(감차)하여 짝수 차수 다항식으로 변환한 후 베어스토우 방법을 적용하는 방안을 고려할 수 있다. 이렇게 하면 발산 문제를 피하고 더 안정적인 수렴을 기대할 수 있다.

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