변동 부등식

1. 개요

변동 부등식은 주어진 집합에서 특정 부등식을 만족하는 해를 찾는 수학적 문제이다. 1959년 안토니오 시뇨리니가 처음 관련 문제를 제기했고, 1963년 가에타노 피케라가 시뇨리니 문제를 해결하며 이론의 기초를 마련했다. 귀도 스탐파키아가 편미분 방정식의 정칙성 문제를 연구하기 위해 Lax–Milgram 정리를 일반화하여 "변동 부등식"이라는 용어를 처음 사용했다. 변동 부등식은 해의 존재성, 유일성, 정규성 증명 및 해를 찾는 세 단계를 거쳐 연구되며, 실수 함수의 최소값 문제 및 시뇨리니 문제와 같은 다양한 문제들을 변동 부등식으로 표현할 수 있다.

2. 역사

변동 부등식 이론은 20세기 중반 이탈리아의 수학자들에 의해 시작되었다. 특히 안토니오 시뇨리니가 제기하고 가에타노 피케라가 해결한 시뇨리니 문제는 이 분야 연구의 중요한 계기가 되었다. 이후 귀도 스탐파키아는 관련 문제들을 포괄하는 '변동 부등식'이라는 용어를 도입하며 이론의 기초를 다졌고, 자크 루이 리옹, 조르주 뒤보 등 다른 수학자들의 기여를 통해 이론이 더욱 발전하고 프랑스 등지로 확산되었다.

2.1. 초기 연구 (1959년 ~ 1964년)

변동 부등식과 관련된 첫 번째 문제는 1959년 안토니오 시뇨리니가 제기하고 1963년 가에타노 피케라가 해결한 시뇨리니 문제였다. 이 이론에 대한 첫 번째 논문들은 피케라에 의해 1963년과 1964년에 발표되었다. 이후 귀도 스탐파키아는 편미분 방정식의 정칙성 문제를 연구하기 위해 1964년 논문에서 Lax–Milgram 정리를 일반화했으며, 이러한 종류의 부등식과 관련된 문제들에 대해 "변동 부등식"이라는 이름을 처음 사용했다.

2.2. 이론의 확장 (1964년 이후)

귀도 스탐파키아(Guido Stampacchia)는 1964년에 편미분 방정식의 정칙성 문제를 연구하기 위해 Lax–Milgram 정리를 일반화하였고, 이러한 종류의 부등식 문제에 대해 '변동 부등식'이라는 용어를 처음 사용했다.

1965년 이탈리아 브릭센에서 열린 학회에서 가에타노 피케라(Gaetano Fichera)가 시뇨리니 문제에 대한 연구를 발표하는 것을 들은 조르주 뒤보(Georges Duvaut)는 자신의 대학원생들에게 피케라의 연구를 확장하도록 권장했다. 이는 변동 부등식 이론이 프랑스 학계에 널리 퍼지는 계기가 되었다.

같은 해인 1965년, 스탐파키아는 자크 루이 리옹(Jacques-Louis Lions)과 함께 이전 연구를 확장한 결과를 발표했으며, 이에 대한 완전한 증명은 1967년에 발표되었다.

3. 정의

변동 부등식은 어떤 주어진 집합 $U$에서 특정 부등식을 만족하는 해 $u^*\; \backslash in\; U$를 찾는 문제이다.

일반적으로, 변동 부등식 문제는 임의의 유한 또는 무한-차원 바나흐 공간에서 공식화될 수 있다. 이 문제 연구의 세 가지 명백한 단계는 다음과 같다.
# 해의 존재성을 증명한다: 이 단계는 문제의 "수학적 정확성"을 의미하며, 적어도 하나의 해가 존재함을 보여준다.
# 주어진 해의 유일성을 증명한다: 이 단계는 문제의 "물리적 정확성"을 의미하며, 그 해가 물리적 현상을 나타내는 데 사용될 수 있음을 보여준다. 변동 부등식으로 모델링된 문제의 대부분이 물리적 기원을 가지기 때문에 특히 중요한 단계이다.
# 해를 찾거나, 정규성을 증명한다.

3.1. 일반적인 정의

변동 부등식은 어떤 주어진 집합 $U$에서 다음 부등식을 만족하는 $u^*\; \backslash in\; U$를 찾는 문제이다.
:$\backslash langle\; F(u^*),\; u-u^*\; \backslash rangle\; \backslash geq\; 0\; \backslash qquad\; \backslash forall\; u\; \backslash in\; U$

앤트만(1983)에 따르면, 변동 부등식의 정의는 다음과 같다. 바나흐 공간 $\backslash boldsymbol\{E\}$와 $\backslash boldsymbol\{E\}$의 부분 집합 $\backslash boldsymbol\{K\}$, 그리고 $\backslash boldsymbol\{K\}$에서 공간 $\backslash boldsymbol\{E\}$의 쌍대 공간 $\backslash boldsymbol\{E\}^\{\backslash ast\}$로의 함수 $F\backslash colon\; \backslash boldsymbol\{K\}\backslash to\; \backslash boldsymbol\{E\}^\{\backslash ast\}$가 주어졌을 때, 변동 부등식 문제는 다음의 부등식을 $\backslash boldsymbol\{K\}$에 속하는 변수 $x$에 대해 푸는 문제이다.

:$\backslash langle\; F(x),\; y-x\; \backslash rangle\; \backslash geq\; 0\backslash qquad\backslash forall\; y\; \backslash in\; \backslash boldsymbol\{K\}$

여기서 $\backslash langle\backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle\backslash colon\; \backslash boldsymbol\{E\}^\{\backslash ast\}\backslash times\backslash boldsymbol\{E\}\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$는 쌍대 쌍이다.

3.2. 유한 차원 변동 부등식

$\backslash mathbb\{R\}^n$에서의 일반적인 문제 공식화는 다음과 같다. 부분 집합 $K\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{R\}^n$와 사상 $F\backslash colon\; K\backslash to\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$이 주어졌을 때, $K$와 관련된 유한 차원 변동 부등식 문제는 다음 조건을 만족하는 $K$ 안의 $n$차원 벡터 $x$를 찾는 것이다.

:$\backslash langle\; F(x),\; y-x\; \backslash rangle\; \backslash geq\; 0\backslash qquad\backslash forall\; y\; \backslash in\; K$

여기서 $\backslash langle\backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle\backslash colon\backslash mathbb\{R\}^\{n\}\backslash times\backslash mathbb\{R\}^\{n\}\backslash to\backslash mathbb\{R\}$은 벡터 공간 $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$에서의 표준 내적이다.

4. 변동 부등식 문제 연구 단계

변동 부등식 문제 연구는 일반적으로 다음 세 단계를 거친다.

5. 예시

변동 부등식은 다양한 수학 및 물리 문제에서 나타난다. 주요 예시로는 실수 함수의 최소값 문제와 시뇨리니 문제가 있다.

* 실수 함수의 최소값 문제: 폐구간에서 미분 가능한 함수의 최소값을 찾는 문제는 변동 부등식의 간단한 예시로 볼 수 있다.
* 시뇨리니 문제: 연속체 역학에서 탄성 물체의 접촉 문제를 다루는 시뇨리니 문제는 변동 부등식의 고전적인 예시이다.

5.1. 실수 함수의 최소값 문제

이것은 표준적인 예제 문제로, 미분 가능한 함수 $f$의 최소값을 폐구간 $I\; =\; [a,b]$에서 찾는 문제를 고려한다. $x^\{\backslash ast\}$를 최소값이 발생하는 $I$의 점이라고 하자. 세 가지 경우가 발생할 수 있다.

#
# $x^\{\backslash ast\}=a$인 경우, $f^\{\backslash prime\}(x^\{\backslash ast\})\; \backslash ge\; 0;$
# $x^\{\backslash ast\}=b$인 경우, $f^\{\backslash prime\}(x^\{\backslash ast\})\; \backslash le\; 0.$

이러한 필요 조건은 $x^\{\backslash ast\}\backslash in\; I$를 찾는 문제로 요약될 수 있으며, 다음과 같다.

:$f^\{\backslash prime\}(x^\{\backslash ast\})(y-x^\{\backslash ast\})\; \backslash geq\; 0\backslash quad$ for $\backslash quad\backslash forall\; y\; \backslash in\; I.$

절대 최소값은 앞선 부등식의 해(여러 개가 있는 경우) 사이에서 찾아야 한다. 해는 실수이므로, 이것은 유한 차원 변분 부등식이다.

5.2. 시뇨리니 문제 (Signorini Problem)

가에타노 피체라는 역사적인 조사에서 Signorini 문제에 대한 자신의 해법의 기원을 설명했다. 이 문제는 강체의 마찰이 없는 표면 위에 놓여 자신의 질량력만을 받는 이방성 비균질 물체의 탄성 평형 구성, 즉 변위 $\backslash boldsymbol\{u\}(\backslash boldsymbol\{x\})$를 찾는 문제이다. 시뇨리니 문제는 변동 부등식 이론의 대표적인 예시 중 하나로 꼽힌다. 문제의 해 $\backslash boldsymbol\{u\}$는 특정 조건 하에서 '허용 변위'의 집합 내에서 존재하며 유일함이 증명되었고, 이는 변동 부등식의 형태로 표현된다.

5.2.1. 문제 정의

변동 부등식의 고전적인 예시 중 하나는 Signorini 문제이다. 이 문제는 특정 조건을 만족하는 물체의 탄성 평형 상태를 찾는 것을 목표로 한다.

문제는 다음과 같이 정의된다. 경계 $\backslash partial\; A$를 가지는 3차원 유클리드 공간의 부분 집합 $A$에 놓인 물체가 있다. 이 물체는 이방성이고 비균질하며, 강체의 마찰이 없는 표면 위에 놓여 자신의 질량력만을 받는다. 이 물체의 변위 벡터 $\backslash boldsymbol\{u\}(\backslash boldsymbol\{x\})\; =\; \backslash left(u\_1(\backslash boldsymbol\{x\}),u\_2(\backslash boldsymbol\{x\}),u\_3(\backslash boldsymbol\{x\})\backslash right)$를 찾는 것이 문제이다.

문제의 해 $\backslash boldsymbol\{u\}$는 특정 조건 하에서 '허용 변위'의 집합 $\backslash mathcal\{U\}\_\backslash Sigma$ 내에서 존재하며 유일하다. 허용 변위 집합은 다음의 모호한 경계 조건을 만족하는 변위 벡터들의 모임이다. 이 조건은 변동 부등식의 형태로 표현된다.

:$B(\backslash boldsymbol\{u\},\backslash boldsymbol\{v\}\; -\; \backslash boldsymbol\{u\})\; -\; F(\backslash boldsymbol\{v\}\; -\; \backslash boldsymbol\{u\})\; \backslash geq\; 0\; \backslash qquad\; \backslash forall\; \backslash boldsymbol\{v\}\; \backslash in\; \backslash mathcal\{U\}\_\backslash Sigma$

여기서 $B(\backslash boldsymbol\{u\},\backslash boldsymbol\{v\})$와 $F(\backslash boldsymbol\{v\})$는 다음과 같이 정의되는 범함수이다. 아인슈타인 표기법을 사용하여 나타내면 다음과 같다.

:$B(\backslash boldsymbol\{u\},\backslash boldsymbol\{v\})\; =\; -\backslash int\_A\; \backslash sigma\_\{ik\}(\backslash boldsymbol\{u\})\backslash varepsilon\_\{ik\}(\backslash boldsymbol\{v\})\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$,    $F(\backslash boldsymbol\{v\})\; =\; \backslash int\_A\; v\_i\; f\_i\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; +\; \backslash int\_\{\backslash partial\; A\backslash setminus\backslash Sigma\}\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\; v\_i\; g\_i\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash sigma$,    $\backslash boldsymbol\{u\},\backslash boldsymbol\{v\}\; \backslash in\; \backslash mathcal\{U\}\_\backslash Sigma$

이 식들에서 각 기호는 다음을 의미한다 (모든 $\backslash boldsymbol\{x\}\backslash in\; A$에 대해):

* $\backslash Sigma$: 접촉 표면 (또는 더 일반적으로 접촉 집합). 물체가 마찰 없는 평면과 닿는 부분이다.
* $\backslash boldsymbol\{f\}(\backslash boldsymbol\{x\})\; =\; \backslash left(\; f\_1(\backslash boldsymbol\{x\}),\; f\_2(\backslash boldsymbol\{x\}),\; f\_3(\backslash boldsymbol\{x\})\; \backslash right)$: 물체 전체에 작용하는 힘, 즉 체적력 (예: 중력).
* $\backslash boldsymbol\{g\}(\backslash boldsymbol\{x\})=\backslash left(g\_1(\backslash boldsymbol\{x\}),g\_2(\backslash boldsymbol\{x\}),g\_3(\backslash boldsymbol\{x\})\backslash right)$: 접촉면을 제외한 경계($\backslash partial\; A\backslash !\backslash setminus\backslash !\backslash Sigma$)에 작용하는 표면력 (예: 외부 압력).
* $\backslash boldsymbol\{\backslash varepsilon\}=\backslash boldsymbol\{\backslash varepsilon\}(\backslash boldsymbol\{u\})=\backslash left(\backslash varepsilon\_\{ik\}(\backslash boldsymbol\{u\})\backslash right)=\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\_i\}\{\backslash partial\; x\_k\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\_k\}\{\backslash partial\; x\_i\}\; \backslash right)\backslash right)$: 미소 변형 텐서. 물체의 각 부분이 얼마나 변형되었는지를 나타낸다.
* $\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}=\backslash left(\backslash sigma\_\{ik\}\backslash right)$: 코시 응력 텐서. 물체 내부에 작용하는 힘의 분포, 즉 응력 상태를 나타내며, 다음과 같이 정의된다.

::$\backslash sigma\_\{ik\}=\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; W\}\{\backslash partial\; \backslash varepsilon\_\{ik\}\}\; \backslash qquad\backslash forall\; i,k=1,2,3$

::여기서 $W(\backslash boldsymbol\{\backslash varepsilon\})=a\_\{ikjh\}(\backslash boldsymbol\{x\})\backslash varepsilon\_\{ik\}\backslash varepsilon\_\{jh\}$는 변형에 따른 탄성 포텐셜 에너지이고, $\backslash boldsymbol\{a\}(\backslash boldsymbol\{x\})=\backslash left(a\_\{ikjh\}(\backslash boldsymbol\{x\})\backslash right)$는 물질의 탄성적 성질(단단함, 방향에 따른 변형 특성 등)을 나타내는 탄성 텐서이다. 이 텐서는 물체가 이방성이고 비균질하다는 특성을 반영한다.

5.2.2. 변동 부등식 표현

문제의 해 $\backslash boldsymbol\{u\}$는 (적절한 가정 하에) 허용 변위의 집합 $\backslash mathcal\{U\}\_\backslash Sigma$에서 존재하며 유일하다. 이 해 $\backslash boldsymbol\{u\}$는 다음의 변동 부등식을 만족한다.

:$B(\backslash boldsymbol\{u\},\backslash boldsymbol\{v\}\; -\; \backslash boldsymbol\{u\})\; -\; F(\backslash boldsymbol\{v\}\; -\; \backslash boldsymbol\{u\})\; \backslash geq\; 0\; \backslash qquad\; \backslash forall\; \backslash boldsymbol\{v\}\; \backslash in\; \backslash mathcal\{U\}\_\backslash Sigma$

여기서 $B(\backslash boldsymbol\{u\},\backslash boldsymbol\{v\})$와 $F(\backslash boldsymbol\{v\})$는 다음의 범함수이며, 아인슈타인 표기법을 사용하여 정의된다.

:$B(\backslash boldsymbol\{u\},\backslash boldsymbol\{v\})\; =\; -\backslash int\_A\; \backslash sigma\_\{ik\}(\backslash boldsymbol\{u\})\backslash varepsilon\_\{ik\}(\backslash boldsymbol\{v\})\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$
:$F(\backslash boldsymbol\{v\})\; =\; \backslash int\_A\; v\_i\; f\_i\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; +\; \backslash int\_\{\backslash partial\; A\backslash setminus\backslash Sigma\}\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\; v\_i\; g\_i\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash sigma$

이때, 모든 $\backslash boldsymbol\{x\}\backslash in\; A$에 대해 각 기호는 다음을 의미한다.

* $\backslash Sigma$: 접촉 표면 (또는 더 일반적으로 접촉 집합)
* $\backslash boldsymbol\{f\}(\backslash boldsymbol\{x\})\; =\; \backslash left(\; f\_1(\backslash boldsymbol\{x\}),\; f\_2(\backslash boldsymbol\{x\}),\; f\_3(\backslash boldsymbol\{x\})\; \backslash right)$: 물체에 가해지는 체적력
* $\backslash boldsymbol\{g\}(\backslash boldsymbol\{x\})=\backslash left(g\_1(\backslash boldsymbol\{x\}),g\_2(\backslash boldsymbol\{x\}),g\_3(\backslash boldsymbol\{x\})\backslash right)$: 경계의 일부인 $\backslash partial\; A\backslash !\backslash setminus\backslash !\backslash Sigma$에 가해지는 표면력
* $\backslash boldsymbol\{\backslash varepsilon\}=\backslash boldsymbol\{\backslash varepsilon\}(\backslash boldsymbol\{u\})=\backslash left(\backslash varepsilon\_\{ik\}(\backslash boldsymbol\{u\})\backslash right)=\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\_i\}\{\backslash partial\; x\_k\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\_k\}\{\backslash partial\; x\_i\}\; \backslash right)\backslash right)$: 미소 변형 텐서
* $\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}=\backslash left(\backslash sigma\_\{ik\}\backslash right)$: 코시 응력 텐서. 이는 탄성 포텐셜 에너지 $W(\backslash boldsymbol\{\backslash varepsilon\})=a\_\{ikjh\}(\backslash boldsymbol\{x\})\backslash varepsilon\_\{ik\}\backslash varepsilon\_\{jh\}$와 탄성 텐서 $\backslash boldsymbol\{a\}(\backslash boldsymbol\{x\})=\backslash left(a\_\{ikjh\}(\backslash boldsymbol\{x\})\backslash right)$를 이용하여 다음과 같이 정의된다.
::$\backslash sigma\_\{ik\}=\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; W\}\{\backslash partial\; \backslash varepsilon\_\{ik\}\}\; \backslash qquad\backslash forall\; i,k=1,2,3$