복소수 미분 형식

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1. 개요

복소수 미분 형식은 복소다양체 위에서 정의되는 미분 형식의 일종이다. (p,q)차 복소수 미분 형식은 복소수 벡터 다발의 매끄러운 단면으로, 국소적으로 복소수 좌표와 그 켤레의 미분으로 표현된다. 특히, 정칙 미분 형식은 정칙 함수로 구성되며, 돌보 연산자를 통해 정의되는 돌보 코호몰로지는 정칙 미분 형식의 층 코호몰로지와 동형이다. 복소다양체의 돌보 연산자는 푸앵카레 보조정리를 만족하며, 돌보 코호몰로지는 호지 수와 베티 수 사이의 관계를 제공한다.

복소수 미분 형식

개요

{"caption":"복소수 미분 형식"}
분야	미분기하학, 미분위상수학

정의

정의	매끄러운 다양체 위의 복소수 값을 갖는 미분 형식
관련 개념	접다발, 코탄젠트 다발, 외대수
연관된 대상	돌보 연산자

성질

성질	복소다양체의 연구에 사용됨

역사

역사	돌보 연산자와 함께 연구됨

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 한국의 관점

2. 정의

$n$ 차원의 복소다양체 $M$ 을 생각하자. 그렇다면, 그 접다발의 복소화 $\mathrm T^{\mathbb C}M$ 는 복소구조 $J\colon \mathrm TM\to\mathrm TM$ , $J^2=-1$ 의 고윳값 $\pm\mathrm i$ 에 따른 고유 공간
: $\mathrm T^{\mathbb C}M = \mathrm T^+M\oplus\mathrm T^-M$
으로 분해되며, 이들은 각각 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이 가운데 $\mathrm T^+M$ 은 항상 정칙 벡터 다발이지만, $\mathrm T^-M$ 은 일반적으로 그렇지 않다.

이들에 각각 올별 복소수 쌍대 공간을 취하면, 복소수 벡터 다발
: $\mathrm T^{+*}M = \Omega^{1,0}M$
: $\mathrm T^{-*}M = \Omega^{0,1}M$
을 얻는다. 이들의 쐐기곱을 취하여 복소수 벡터 다발
: $\Omega^{p,q} = \underbrace{\Omega^{1,0}M \wedge \dotsb \wedge \Omega^{1,0}M}_p \wedge \underbrace{\Omega^{0,1}M \wedge \dotsb \wedge \Omega^{0,1}M}_q$
을 취할 수 있다. (만약 $q = 0$ 이라면 이는 역시 정칙 벡터 다발이다.) 이 다발의 매끄러운 단면을 $(p,q)$ 차 복소수 미분 형식이라고 한다.

$\Omega^{p,0}$ 은 정칙 벡터 다발이므로, 정칙 단면의 개념을 정의할 수 있다. $\Omega^{p,0}$ 의 정칙 단면을 $p$ 차 정칙 미분 형식(正則微分形式, holomorphic differential form^영어)이라고 한다.

보다 일반적으로, 복소다양체 $M$ 위의 정칙 벡터 다발 $E \twoheadrightarrow M$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $E$ 값의 복소수 미분 형식( $E$ -valued complex differential form^영어)을 $\Omega^{p,q}\otimes_{\mathbb C}E$ 의 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다. 마찬가지로, $E$ 값의 $p$ 차 정칙 미분 형식은 정칙 벡터 다발 $\Omega^{p,0}\otimes_{\mathbb C}E$ 의 정칙 단면이다.

국소적으로, $M$ 의 임의의 점의 근방 $U$ 에 복소수 좌표 $z^i,\bar z^i$ ( $i=1\dots n$ )를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수 다양체와 마찬가지로 국소적으로 복소수 미분 형식
: $\mathrm dz^i \in \Omega^{1,0}(U)\qquad(i\in\{1,\dotsc,n\})$
: $\mathrm d\bar z^i \in \Omega^{0,1}(U)\qquad(i\in\{1,\dotsc,n\})$
를 정의할 수 있다. 그렇다면, 일반적인 복소수 미분 형식은 국소적으로
: $\alpha=\sum_{i,j,\dotsc,k,l,\dotsc} f_{ij\dotso kl\dotso}\mathrm dz^i\wedge\mathrm dz^j\wedge\dotsb\mathrm d\bar z^k\wedge\mathrm d\bar z^l\wedge\dotsb$
: $f_{ij\dotso kl\dotso} \in \mathcal C^\infty(U,\mathbb C)$
꼴의 형식을 취한다. 여기서 $\mathrm dz$ 가 $p$ 개, $\mathrm d\bar z$ 가 $q$ 개 있으면 이를 $(p,q)$ -형식으로 부른다.

국소 좌표계로는 p차 정칙 미분 형식 $\alpha$ 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
: $\alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,\mathrm dz^I$
여기서 $f_I\colon U \to \mathbb C$ 는 정칙 함수다. 즉, $p$ 차 정칙 미분 형식은
: $\bar\partial\alpha=0$
을 만족하는 $(p,0)$ 차 복소수 미분 형식 $\alpha$ 이다.

M이 복소수 차원 n의 복소다양체라고 가정하자. 그러면 한 패치에서 다른 패치로의 좌표 변환이 이러한 변수의 정칙 함수인 n개의 복소수 값 함수 z¹, ..., zⁿ으로 구성된 국소 좌표계가 존재한다. 복소수 형식의 공간은 이러한 변환 함수가 단지 매끄러운 함수가 아니라 정칙 함수라는 사실에 근본적으로 의존하는 풍부한 구조를 갖는다.

M이 복소다양체라고 할 때, n개의 복소 변수 함수 z¹,...,zⁿ으로 구성된 국소 좌표 변환이 존재하고, 어떤 점의 근방에서 다른 점의 근방으로의 좌표 변환이 여러 변수 zⁱ의 정칙 함수가 된다. 복소 미분 형식의 공간은 풍부한 구조를 가지고 있으며, 기본적으로 좌표 변환의 함수가 매끄럽다(smooth)는 것보다 정칙이라는 것에 의존한다.

2.1. 1-형식

복소수 1-형식은 정칙 좌표 z와 반정칙 좌표 z̄의 미분 dz와 dz̄로 표현된다. Ω^1,0은 dz로만 구성된 복소수 1-형식의 공간이고, Ω^0,1은 dz̄로만 구성된 공간이다.

복소수 좌표를 실수부와 허수부로 분해하면, 각 j에 대해 z^j^영어 = x^j^영어 + iy^j^영어가 된다. 이때,
:
가 되며, 복소수 계수를 가진 임의의 미분 형식은 다음과 같은 합으로 유일하게 표현할 수 있다.
:
코시-리만 방정식에 의해 Ω^1,0과 Ω^0,1은 정칙 좌표 변환에 대해 불변이며, 이는 복소다양체에 복소 벡터 다발을 결정한다.

2.2. 고차 형식

고차 복소수 미분 형식은 1-형식들의 쐐기곱(wedge product)으로 정의된다. (p, q)-형식은 p개의 Ω^1,0과 q개의 Ω^0,1의 쐐기곱으로 구성된다. 즉, 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\Omega^{p,q}=\underbrace{\Omega^{1,0}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{1,0}}_{p \text{ times}}\wedge\underbrace{\Omega^{0,1}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{0,1}}_{q \text{ times}}$

E^k를 총 차수 k인 복소수 미분 형식 공간이라고 하면, E^k는 다음과 같이 직합 분해된다.

: $E^k=\Omega^{k,0}\oplus\Omega^{k-1,1}\oplus\dotsb\oplus\Omega^{1,k-1}\oplus\Omega^{0,k}=\bigoplus_{p+q=k}\Omega^{p,q}.$

이러한 직합 분해는 각 k에 대하여, p + q = k를 만족하는 각 p와 q에 대한 벡터 다발의 표준 사영(canonical projection)이 존재하게 한다.

: $\pi^{p,q}:E^k\rightarrow\Omega^{p,q}.$

국소적으로, $M$ 의 임의의 점의 근방 $U$ 에 복소수 좌표 $z^i,\bar z^i$ ( $i=1\dots n$ )를 잡을 수 있다. 일반적인 복소수 미분 형식은 국소적으로
: $\alpha=\sum_{i,j,\dotsc,k,l,\dotsc} f_{ij\dotso kl\dotso}\mathrm dz^i\wedge\mathrm dz^j\wedge\dotsb\mathrm d\bar z^k\wedge\mathrm d\bar z^l\wedge\dotsb$
: $f_{ij\dotso kl\dotso} \in \mathcal C^\infty(U,\mathbb C)$
꼴의 형식을 취한다. 여기서 $\mathrm dz$ 가 $p$ 개, $\mathrm d\bar z$ 가 $q$ 개 있으면 이를 $(p,q)$ -형식으로 부른다.

2.3. 정칙 미분 형식

각 p에 대해, 정칙 p-형식은 다발 Ω^p,0의 정칙 단면이다. 국소 좌표에서 정칙 p-형식은 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

: $\alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,dz^I$

여기서 $f_I$ 는 정칙 함수이다. 복소 켤레의 독립성으로 인해, (p, 0)-형식 α가 정칙일 필요충분조건은 다음과 같다.

: $\bar{\partial}\alpha=0.$

정칙 p-형식의 층은 종종 Ω^p로 표기되지만, 혼동을 야기할 수 있으므로, 다른 표기법을 사용하게 되었다.

3. 성질

복소수 미분 형식은 실수 미분 형식과 밀접하게 관련되어 있다. 복소다양체 $M$ 은 복소구조를 가지는 매끄러운 다양체이므로, 그 위에 (실수) 미분 형식을 정의할 수 있다.

: $(\mathrm T^*M)^{\mathbb C} = \Omega^{1,0}M \oplus \Omega^{0,1}M$
이므로,
: $\Omega^k(M) \otimes_{\mathbb R}\mathbb C= \Omega^k(M;\mathbb C) = \bigoplus_{q=0}^k \Omega^{k-q,q}(M)$
이 된다.

일반적인 외미분
: $\mathrm d \colon \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)$
은 돌보 복합체의 추가 등급에 따라서 분해되는데, 이 경우 항상
: $\mathrm d^{\mathbb C} \colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p,q+1}(M) \oplus \Omega^{p+1,q}(M)$
임을 보일 수 있다. 즉,
: $\partial\colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p+1,q}(M)$
: $\bar\partial\colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p,q+1}(M)$
로 정의하면,
: $\mathrm d = \partial + \bar\partial$
이다. 이 두 미분 연산자 $\partial$ 과 $\bar\partial$ 을 돌보 연산자(Dolbeault演算子, Dolbeault operator^영어)라고 부른다.

외미분 $d$ 는 단면의 사상 $d: \Omega^{r} \to \Omega^{r+1}$ 을 정의하며, $d(\Omega^{p,q}) \subseteq \bigoplus_{r + s = p + q + 1} \Omega^{r,s}$ 이다. 외미분 자체는 다양체의 더 엄격한 복소 구조를 반영하지 못한다.

돌보 연산자는 외미분 $d$ 와 사영 $\pi^{p,q}$ 를 이용하여 다음과 같이 정의된다.
: $\partial=\pi^{p+1,q}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p+1,q},\quad \bar{\partial}=\pi^{p,q+1}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p,q+1}$

국소 좌표에서 돌보 연산자를 설명하기 위해, $\alpha=\sum_{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^I\wedge d\bar{z}^J\in\Omega^{p,q}$ 라고 두면 (여기서 I와 J는 멀티 인덱스이다), 다음과 같이 표현된다.
: $\partial\alpha=\sum_$

👆

좌우로 밀어서 보기

\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial z^\ell}\,dz^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J
:

\bar{\partial}\alpha=\sum_

👆

좌우로 밀어서 보기

\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial \bar{z}^\ell}d\bar{z}^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J.

다음과 같은 중요한 성질이 성립한다.
:

d=\partial+\bar{\partial}

\partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0.

이러한 연산자와 그 속성은 돌보 코호몰로지와 호지 이론의 많은 측면의 기초를 형성한다.

복소다양체의 돌보 연산자들은 항등식

\partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0

을 만족시킨다. 따라서, 돌보 연산자

\bar\partial

를 사용하여 코호몰로지를 정의할 수 있다.

즉, 복소수 벡터 공간(의 층)으로 구성된 사슬 복합체

\Omega^{p,0}\stackrel{\bar\partial_0}\to\Omega^{p,1}\stackrel{\bar\partial_1}\to\Omega^{p,2}\stackrel{\bar\partial_2}\to\cdots

를 생각하자. 그 코호몰로지는

(p,q)

-형식의 동치류 공간

\operatorname H_{\bar\partial}^{p,q}=\ker\bar\partial_q/\operatorname{im}\,\bar\partial_{q-1}

이다. 이를 돌보 코호몰로지(Dolbeault cohomology^영어)라고 부른다.

돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 벡터 공간) 차원을 호지 수(Hodge number^영어)라고 한다. 호지 수

h^{p,q}=\dim\operatorname H_{\bar\partial}^{p,q}\in\mathbb N\sqcup\{\infty\}

는 베티 수

b^k

에 대응되며,

b^k(M) = \sum_{p+q=k} h^{p,q}(M)

가 성립한다.

돌보 정리에 의해 돌보 코호몰로지는 정칙 미분 형식의 층 코호몰로지와 동형이다. 즉,

\operatorname H_{\bar\partial}^{p,q}(M)\cong\operatorname H^q(M,\Omega^{p,0})

이다. 특히,

p = 0

일 경우, 0차 정칙 미분 형식은 정칙 함수이므로, 돌보 복합체는 구조층의 코호몰로지를 계산한다.

이는 실수 미분 형식의 경우 드람 코호몰로지가 상수층

\underline{\mathbb R}

의 섬세한 분해를 이루는 것과 마찬가지다. 보다 일반적으로, 임의의 정칙 벡터 다발

E

가 주어지면, 돌보 코호몰로지는

E

의 층 코호몰로지와 일치한다.

복소다양체의 별 모양 영역에서 돌보 연산자는

d

에 대한 호모토피 연산자의 분할에서 비롯된 이중 호모토피 연산자를 가진다. 이것은 복소다양체에 대한 푸앵카레 보조정리의 내용이다.

\bar \partial

및

\partial

에 대한 푸앵카레 보조정리는 국소

\partial \bar \partial

-보조정리로 더 개선될 수 있으며, 이 보조정리는 모든

d

-정확한 복소 미분 형식은 실제로

\partial \bar \partial

-정확함을 보여준다. 콤팩트한 켈러 다양체에서는 국소

\partial \bar \partial

-보조정리의 전역 형태가 성립하며, 이를

\partial \bar \partial

-보조정리라고 한다. 이는 호지 이론의 결과이며, 전역적으로

d

-정확한 복소 미분 형식(즉, 드람 코호몰로지에서의 클래스가 0인 형식)은 전역적으로

\partial \bar \partial

-정확하다는 것을 나타낸다.

3.1. 실수 미분 형식과의 관계

복소다양체 $M$ 은 복소구조를 잊으면 매끄러운 다양체가 되므로, 그 위에 (실수) 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 경우
: $(\mathrm T^*M)^{\mathbb C} = \Omega^{1,0}M \oplus \Omega^{0,1}M$
이므로,
: $\Omega^k(M) \otimes_{\mathbb R}\mathbb C= \Omega^k(M;\mathbb C) = \bigoplus_{q=0}^k \Omega^{k-q,q}(M)$
이 된다.

외미분
: $\mathrm d \colon \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)$
은 돌보 복합체의 추가 등급에 따라서 분해되는데, 이 경우 항상
: $\mathrm d^{\mathbb C} \colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p,q+1}(M) \oplus \Omega^{p+1,q}(M)$
임을 보일 수 있다. 즉,
: $\partial\colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p+1,q}(M)$
: $\bar\partial\colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p,q+1}(M)$
로 정의하면,
: $\mathrm d = \partial + \bar\partial$
이다. 이 두 미분 연산자 $\partial$ 과 $\bar\partial$ 을 돌보 연산자(Dolbeault演算子, Dolbeault operator^영어)라고 부른다.

돌보 연산자의 국소 좌표계 표현은 하위 섹션에서 다룬다.

3.2. 돌보 연산자

일반적인 외미분 $d$ 는 단면의 사상 $d: \Omega^{r} \to \Omega^{r+1}$ 을 정의하며, $d(\Omega^{p,q}) \subseteq \bigoplus_{r + s = p + q + 1} \Omega^{r,s}$ 이다. 외미분 자체는 다양체의 더 엄격한 복소 구조를 반영하지 못한다.

돌보 연산자는 외미분 $d$ 와 사영 $\pi^{p,q}$ 를 이용하여 다음과 같이 정의된다.
: $\partial=\pi^{p+1,q}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p+1,q},\quad \bar{\partial}=\pi^{p,q+1}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p,q+1}$

국소 좌표에서 돌보 연산자를 설명하기 위해, $\alpha=\sum_{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^I\wedge d\bar{z}^J\in\Omega^{p,q}$ 라고 두면 (여기서 I와 J는 멀티 인덱스이다), 다음과 같이 표현된다.
: $\partial\alpha=\sum_$

👆

좌우로 밀어서 보기

\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial z^\ell}\,dz^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J
:

\bar{\partial}\alpha=\sum_

👆

좌우로 밀어서 보기

\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial \bar{z}^\ell}d\bar{z}^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J.

다음과 같은 중요한 성질이 성립한다.
:

d=\partial+\bar{\partial}

\partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0.

이러한 연산자와 그 속성은 돌보 코호몰로지와 호지 이론의 많은 측면의 기초를 형성한다.

복소다양체의 별 모양 영역에서 돌보 연산자는

d

에 대한 호모토피 연산자의 분할에서 비롯된 이중 호모토피 연산자를 가지는데, 이는 복소다양체에 대한 푸앵카레 보조정리의 내용이다.

\bar \partial

및

\partial

에 대한 푸앵카레 보조정리는 국소

\partial \bar \partial

-보조정리로 더 개선될 수 있으며, 이 보조정리는 모든

d

-정확한 복소 미분 형식은 실제로

\partial \bar \partial

-정확함을 보여준다. 콤팩트한 켈러 다양체에서는 국소

\partial \bar \partial

-보조정리의 전역 형태가 성립하며, 이를

\partial \bar \partial

-보조정리라고 한다. 이는 호지 이론의 결과이며, 전역적으로

d

-정확한 복소 미분 형식(즉, 드람 코호몰로지에서의 클래스가 0인 형식)은 전역적으로

\partial \bar \partial

-정확하다는 것을 나타낸다.

3.3. 돌보 코호몰로지

복소다양체의 돌보 연산자들은 항등식 $\partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0$ 을 만족시킨다. 따라서, 돌보 연산자 $\bar\partial$ 를 사용하여 코호몰로지를 정의할 수 있다.

즉, 복소수 벡터 공간(의 층)으로 구성된 사슬 복합체 $\Omega^{p,0}\stackrel{\bar\partial_0}\to\Omega^{p,1}\stackrel{\bar\partial_1}\to\Omega^{p,2}\stackrel{\bar\partial_2}\to\cdots$ 를 생각하자. 그 코호몰로지는 $(p,q)$ -형식의 동치류 공간 $\operatorname H_{\bar\partial}^{p,q}=\ker\bar\partial_q/\operatorname{im}\,\bar\partial_{q-1}$ 이다. 이를 돌보 코호몰로지(Dolbeault cohomology^영어)라고 부른다.

돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 벡터 공간) 차원을 호지 수(Hodge number^영어)라고 한다. 호지 수 $h^{p,q}=\dim\operatorname H_{\bar\partial}^{p,q}\in\mathbb N\sqcup\{\infty\}$ 는 베티 수 $b^k$ 에 대응되며, $b^k(M) = \sum_{p+q=k} h^{p,q}(M)$ 가 성립한다.

돌보 정리에 의해 돌보 코호몰로지는 정칙 미분 형식의 층 코호몰로지와 동형이다. 즉, $\operatorname H_{\bar\partial}^{p,q}(M)\cong\operatorname H^q(M,\Omega^{p,0})$ 이다. 특히, $p = 0$ 일 경우, 0차 정칙 미분 형식은 정칙 함수이므로, 돌보 복합체는 구조층의 코호몰로지를 계산한다.

이는 실수 미분 형식의 경우 드람 코호몰로지가 상수층 $\underline{\mathbb R}$ 의 섬세한 분해를 이루는 것과 마찬가지다. 보다 일반적으로, 임의의 정칙 벡터 다발 $E$ 가 주어지면, 돌보 코호몰로지는 $E$ 의 층 코호몰로지와 일치한다.

복소다양체의 별 모양 영역에서 돌보 연산자는 $d$ 에 대한 호모토피 연산자의 분할에서 비롯된 이중 호모토피 연산자를 가진다. 이것은 복소다양체에 대한 푸앵카레 보조정리의 내용이다.

4. 예

리만 구 $\operatorname{\mathbb CP}^1$ 위의 모든 정칙 벡터 다발은 $\bigoplus_i \mathcal O(d_i)$ 꼴이다. 여기서 $\mathcal O(d)$는 $d$차의 유일한 정칙 선다발이다. 이는 복소수 1차원이므로 $\Omega^{1,0}$은 표준 선다발과 같으며, 이는 $\mathcal O(-2)$이다. (리만-로흐 정리에 의하여, 종수 $g$의 리만 곡면의 표준 선다발의 차수는 $2g-2$이며, 리만 구는 $g=0$인 경우이다.)

리만-로흐 정리에 의하여,
:$\operatorname H^{0,0}(\operatorname{CP}^1) = \operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(0)) = \mathbb C$
:$\operatorname H^{1,0}(\operatorname{\mathbb CP}^1) = \operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(-2)) = 0$
이다. 즉,
* $\operatorname{\mathbb CP}^1$ 위에 대역적으로 정의되는 0차 정칙 미분 형식(즉, 정칙 함수)은 상수 함수 밖에 없다.
* $\operatorname{\mathbb CP}^1$ 위에는 대역적으로 정의되는 1차 정칙 미분 형식이 존재하지 않는다.

마찬가지로,
:$\operatorname H^{1,1}(\operatorname{\mathbb CP}^1) = \operatorname H^1(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(-2)) = \operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(2))^* \cong \mathbb C$
:$\operatorname H^{0,1}(\operatorname{\mathbb CP}^1) = \operatorname H^1(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(0)) = \operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(-2))^* = \operatorname H^{1,0}(\operatorname{\mathbb CP}^1)^* = 0$
이다. 여기서 세르 쌍대성을 사용하였다.

$\operatorname{\mathbb CP}^1$ 위의 (0,0)차 및 (0,1)차 및 (1,0) 차 및 (1,1)차 복소수 미분 형식들의 공간은 각각 무한 차원의 복소수 벡터 공간이다.

5. 한국의 관점

{"caption":"복소수 미분 형식"}
분야	미분기하학, 미분위상수학

정의

정의	매끄러운 다양체 위의 복소수 값을 갖는 미분 형식
관련 개념	접다발, 코탄젠트 다발, 외대수
연관된 대상	돌보 연산자

성질

성질	복소다양체의 연구에 사용됨

역사

역사	돌보 연산자와 함께 연구됨