브라우너 공간

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1. 개요

브라우너 공간은 실수체 또는 복소수체 위의 국소 볼록 공간으로, 완비 균등 공간, 콤팩트 생성 하우스도르프 공간, 반콤팩트 공간이라는 조건을 모두 만족한다. 브라우너 공간의 개념은 프레셰 공간의 개념과 쌍대 관계에 있으며, 국소 콤팩트 공간 위의 측도 공간, 매끄러운 다양체 위의 분포 공간, 슈타인 다양체, 아핀 대수적 다양체 등이 브라우너 공간의 예시로 제시된다. 이 개념은 칼만 조지 브라우너 2세에 의해 처음 연구되었다.

브라우너 공간

유형	국소 볼록 공간
속성	완비 공간 배럴 공간 몽텔 공간

참고 문헌

sfn\|Brauner\|1973 sfn\|Akbarov\|2003\|p=220 sfn\|Akbarov\|2009\|p=466
관련 항목	Brauner space

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사

2. 정의

$\mathbb{K}$ 가 실수체 $\mathbb{R}$ 또는 복소수체 $\mathbb{C}$ 라고 하자.

$\mathbb{K}$ -국소 볼록 공간 $X$ 가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, $\mathbb{K}$ -브라우너 공간이라고 한다.

* $X$ 는 (균등 공간으로서) 완비 균등 공간이다. (여기서 사용된 균등 공간 구조는 아벨 위상군의 표준적 균등 공간 구조이다.)
* 콤팩트 생성 하우스도르프 공간이다.
* 반콤팩트 공간이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $K_0 \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \dotsb \subseteq X$ 이 존재한다. (그러나 이 데이터는 브라우너 공간의 정의에 포함되지 않는다.)
* 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$ 에 대하여, $K\subseteq K_i$ 인 자연수 $i\in\mathbb{N}$ 가 존재한다. (즉, $\min\{i\in\mathbb{N}\colon K\subseteq K_i\} < \infty$ 이다.)

3. 성질

임의의 $\mathbb K$ -위상 벡터 공간 $X$ 의 연속 쌍대 공간 $X^*$ 위에, $X$ 의 모든 완전 유계 집합에서 균등 수렴하는 위상을 부여한 것을 스테레오 쌍대 공간(stereotype dual space^영어)이라고 한다.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 스테레오 공간 $X$ 이 브라우너 공간이다.
* 스테레오 쌍대 공간 $X^*$ 은 프레셰 공간이다.
즉, 브라우너 공간의 개념은 프레셰 공간의 개념과 서로 쌍대이다.

4. 예

* σ-콤팩트 국소 콤팩트 위상 공간 $M$ 에 대해, $M$ 위 모든 연속 함수들의 프레셰 공간 $\mathcal{C}(M)$ (콤팩트 집합 위 균등 수렴 위상)의 쌍대 공간 $\mathcal{C}^\star(M)$ 은 콤팩트 지지를 갖는 라돈 측도 공간이며, 브라우너 공간이다.

* 매끄러운 다양체 $M$ 위 모든 매끄러운 함수들의 프레셰 공간 $\mathcal{E}(M)$ (콤팩트 집합 위에서 각 도함수와 함께 균등 수렴하는 위상)의 쌍대 공간 $\mathcal{E}^\star(M)$ 은 콤팩트 지지를 갖는 분포 공간이며, 브라우너 공간이다.

* 슈타인 다양체 $M$ 위 모든 정칙 함수들의 프레셰 공간 $\mathcal{O}(M)$ (콤팩트 집합 위 균등 수렴 위상)의 쌍대 공간 $\mathcal{O}^\star(M)$ 은 해석적 범함수 공간이며, 브라우너 공간이다.

* 복소 아핀 대수적 다양체 $M \subseteq \mathbb{C}^n$ 위 다항식(또는 정칙 함수) 공간 $\mathcal{P}(M)$ 은 가장 강한 국소 볼록 위상을 부여받아 브라우너 공간이 된다.

* 콤팩트하게 생성된 슈타인 군 $G$ 위 모든 지수형 정칙 함수 공간 $\mathcal{O}_{\exp}(G)$ 은 자연 위상에 대해 브라우너 공간이다.

4.1. 국소 콤팩트 공간 위의 측도 공간

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 공간 $M$ 이 주어졌다고 하자. 연속 함수의 공간 $\mathcal C^0(M, \mathbb K)$ 위에, 임의의 콤팩트 집합 $K \subseteq M$ 에 대하여 함수열 $f_i \restriction K$ 가 $f \restriction K$ 로 균등 수렴하는 위상을 부여하면, 이는 위상 벡터 공간을 이룬다.

그 연속 쌍대 공간 $X = (\mathcal C^0(M, \mathbb K))^*$ 은 측도의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 임의의 콤팩트 집합 $\mathcal K\subseteq \mathcal C^0(M, \mathbb K)$ 에 대하여 범함수열 $\phi_i \restriction \mathcal K$ 가 $\phi_i \restriction \mathcal K$ 로 균등 수렴하는 위상을 부여하면, $X$ 는 브라우너 공간이 된다.

$M$ 을 $\sigma$ -콤팩트 국소 콤팩트 위상 공간으로 놓고, ${\mathcal C}(M)$ 을 $M$ 위의 모든 연속 함수(값은 ${\mathbb R}$ 또는 ${\mathbb C}$ )의 프레셰 공간으로, $M$ 의 콤팩트 집합에서의 균등 수렴 위상을 부여하면, ${\mathcal C}(M)$ 의 콤팩트 집합에서의 균등 수렴 위상으로 $M$ 위의 콤팩트 지지 라돈 측도의 이중 공간 ${\mathcal C}^\star(M)$ 은 브라우너 공간이다.

4.2. 매끄러운 다양체 위의 분포 공간

매끄러운 다양체 $M$ 이 주어졌을 때, 매끄러운 함수 공간 $\mathcal C^\infty(M,\mathbb K)$ 에 다음과 같은 조건을 만족하는 위상을 부여할 수 있다.

* 임의의 콤팩트 공간 $K\subseteq M$ 에 대하여, 함수열 $f_i$ 의 임의의 차수 도함수 $\nabla_{X_1}\nabla_{X_2}\dotsb\nabla_{X_n}f_i$ 는 $K$ 위에서 $\nabla_{X_1}\dotsb\nabla_{X_n}f$ 로 균등 수렴한다.

이 위상 벡터 공간의 연속 쌍대 공간 $X = (\mathcal C^\infty(M,\mathbb K))^*$ 은 분포의 공간으로 해석할 수 있다. 이 공간에는 다음과 같은 조건을 만족하는 위상을 부여한다.

* 임의의 유계 집합 $\mathcal B\subseteq \mathcal C^0(M, \mathbb K)$ 에 대하여, 범함수열 $\phi_i \restriction \mathcal B$ 는 $\phi_i \restriction \mathcal B$ 로 균등 수렴한다.

이렇게 정의된 위상을 갖는 $X$ 는 브라우너 공간이다.

또한, ${\mathcal E}(M)$ 을 $M$ 위의 모든 매끄러운 함수(값은 ${\mathbb R}$ 또는 ${\mathbb C}$ )의 프레셰 공간으로 정의하고, $M$ 의 콤팩트 집합에서 각 도함수와 함께 균등 수렴하는 위상을 부여하면, ${\mathcal E}(M)$ 의 유계 집합에서의 균등 수렴 위상을 갖는 $M$ 에서 콤팩트 지지를 갖는 분포의 이중 공간 ${\mathcal E}^\star(M)$ 은 브라우너 공간이다.

4.3. 슈타인 다양체

슈타인 다양체 $M$ 위의 정칙 함수 공간 $\mathcal{O}(M)$ 에 콤팩트 집합에서의 균등 수렴 위상을 부여하면 프레셰 공간이 된다. $\mathcal{O}(M)$ 의 유계 집합에서의 균등 수렴 위상을 갖는 $M$ 위의 해석적 범함수의 쌍대 공간 $\mathcal{O}^\star(M)$ 은 브라우너 공간이다.

$G$ 가 콤팩트 생성 슈타인 군일 때, $G$ 의 지수형 정칙 함수 공간 $\mathcal{O}_{\exp}(G)$ 은 자연 위상에 대해 브라우너 공간이다.

4.4. 아핀 대수적 다양체

$M \subseteq \mathbb{C}^n$ 을 복소 아핀 대수적 다양체로 놓으면, $M$ 위의 다항식(또는 정칙 함수) 공간 $\mathcal{P}(M) = \mathbb{C}[x_1, \dots, x_n] / \{f \in \mathbb{C}[x_1, \dots, x_n] : f|_M = 0\}$ 은 가장 강한 국소 볼록 위상을 부여받아 브라우너 공간이 된다. 특히 $M=G$ 가 아핀 대수적 군일 경우, $\mathcal{P}^\star(G)$ 는 전형적인 군 대수의 예가 된다.

4.5. 군 대수 (Group Algebra)

특히 $M=G$ 가 위상군의 구조를 가질 경우, 공간 ${\mathcal C}^\star(G)$ , ${\mathcal E}^\star(G)$ , ${\mathcal O}^\star(G)$ 는 전형적인 군 대수의 자연스러운 예가 된다. $M=G$ 가 아핀 대수적 군일 경우, ${\mathcal P}^\star(G)$ 는 전형적인 군 대수의 예가 된다.

5. 역사

칼만 조지 브라우너 2세(Kalman George Brauner, Jr.^영어)가 이 개념을 최초로 연구하였다.