초일관 논리

3. 고전 논리와의 비교

고전 논리는 직관논리를 포함하며, 모순으로부터 모든 것을 이끌어낼 수 있다는 특징이 있다. 이를 '''폭발률'''(爆發律)이라 부르며, 형식적으로 다음과 같이 나타낸다.

:$A,\; \backslash neg\; A\; \backslash vdash\; B$

여기서 $\backslash vdash$는 논리적 귀결 관계를 의미한다. 즉, 어떤 체계에 하나의 모순이라도 존재하면 그 체계는 자명해져 모든 명제가 증명 가능하게 된다. 반면 모순허용논리는 폭발률을 채택하지 않아 모순을 포함하면서도 자명하지 않은 체계를 다룰 수 있다.

모순허용논리는 다른 논리체계보다 추론 능력이 약하다고 여겨진다. 통상적인 논리체계에서 거짓으로 간주되는 것을 참으로 볼 가능성이 있지만, 핵심은 모순허용논리가 고전 논리의 확장된 형태가 아니며 고전 논리가 할 수 있는 모든 것을 다룰 수는 없다는 점이다. 이런 의미에서 모순허용논리는 고전 논리보다 신중하고 보수적이라고 할 수 있다.

초일관 논리의 함의 관계는 명제적으로 고전 논리보다 약하며, 더 적은 명제적 추론을 유효하다고 간주한다. 즉, 초일관 논리는 고전 논리의 명제적 확장이 아니며, 고전 논리가 수행하는 모든 함의를 명제적으로 유효하게 할 수 없다. 이러한 보수성으로 인해 초일관 언어는 알프레드 타르스키 등을 포함한 메타언어의 계층 구조를 포함하여 고전적 대응 언어보다 더 표현력이 풍부할 수 있다. 솔로몬 페퍼만에 따르면 "자연어는 직접적 또는 간접적으로 자기 지시적이지만 겉보기에 무해한 표현으로 가득하며, 이 표현은 모두 타르스키적 프레임워크에서 제외됩니다."^[5] 이러한 표현의 제약은 초일관 논리에서 극복될 수 있다.

모순 허용 논리는 고전 논리보다 약하며, 타당하다고 간주하는 추론의 수가 적다. 모순 허용 논리는 고전 논리에서 타당하다고 간주되는 추론 전부를 타당하다고 간주하지 않기 때문에, 고전 논리의 확장이라고 할 수 없다. 이 점에서 모순 허용 논리는 고전 논리보다 "보수적" 또는 "신중하다"고 할 수 있다.

4. 목적

고전논리는 직관논리를 포함하며, 모순으로부터 모든 것을 이끌어낼 수 있다는 특징이 있다. 이를 '''폭발률'''이라고 하며, 다음과 같이 표현한다.

:$A,\; \backslash neg\; A\; \backslash vdash\; B$

여기서 $\backslash vdash$는 논리적 귀결 관계를 나타낸다. 즉, 어떤 체계에 모순이 하나라도 있으면 그 체계는 자명해져 모든 명제가 참이 된다. 모순허용논리는 이 폭발률을 따르지 않으므로, 모순을 포함하면서도 자명하지 않은 체계를 다룰 수 있다.

모순허용논리는 다른 논리체계에 비해 추론 능력이 약한 것으로 평가받는다. 일반적인 논리체계에서는 거짓으로 여기는 것을 참으로 볼 여지가 있지만, 고전논리가 가능한 모든 추론을 다루지는 못한다. 이런 점에서 모순허용논리는 고전논리보다 신중하고 보수적이라고 할 수 있다.

모순허용논리가 등장한 배경에는 모순을 포함하는 정보로부터 제어된 추론을 가능하게 해야 한다는 사고방식이 있었다. 폭발률은 이러한 추론을 방해하므로 모순허용논리에서는 배제되었다. 다른 논리체계에서는 모순을 포함하는 체계가 유일하며 모든 명제가 참이 되지만, 모순허용논리에서는 모순된 체계를 구별하고 추론할 수 있으며, 필요한 경우 수정도 가능하다. 대규모 소프트웨어 시스템과 같이 모순이 없음을 보장하기 어려운 경우에도 유용하다.

4. 1. 진모순주의와의 관계

5. 트레이드오프

초일관성은 트레이드오프를 수반한다. 특히, 폭발 원리를 포기하려면 다음 두 원칙 중 적어도 하나는 포기해야 한다.^[9]

이 두 원칙 모두에 이의가 제기되었다.

한 가지 접근 방식은 선언지 도입을 거부하지만, 선언적 삼단논법과 추이성을 유지하는 것이다. 이 접근 방식에서는 자연 연역 규칙이 선언지 도입과 배중률을 제외하고는 유지된다. 또한, 추론 A⊢B가 반드시 함의 A⇒B를 의미하는 것은 아니다. 또한, 배중률뿐만 아니라 연관성, 교환성, 분배 법칙, 드 모르간 법칙, 멱등성 추론(결합 및 선언에 대해)과 같은 일반적인 부울 속성이 적용된다. 또한, 함의에 대한 모순에 강한 부정 증명(A⇒(B∧¬B))⊢¬A가 성립한다.

또 다른 접근 방식은 선언 삼단논법을 거부하는 것이다. 진리이원론의 관점에서 볼 때, 선언 삼단논법이 실패하는 것은 매우 당연하다. 이 삼단논법의 핵심 아이디어는 ''¬ A''인 경우, ''A''가 제외되고 ''B''는 ''A ∨ B''에서 추론될 수 있다는 것이다. 그러나, ''A''가 ''¬A''와 마찬가지로 성립할 수 있다면, 추론에 대한 주장은 약화된다.

또 다른 접근 방식은 이 두 가지를 동시에 수행하는 것이다. 관련 논리와 선형 논리의 많은 시스템에서는 두 개의 별도 선언 연결사가 있다. 하나는 선언지 도입을 허용하고, 다른 하나는 선언 삼단논법을 허용한다. 물론, 이로 인해 별도의 선언 연결사가 가져오는 단점, 즉 두 연결사 간의 혼동과 관계 복잡성이 발생한다.

더 나아가, 부정 증명 규칙만으로는 모순에서 모든 명제의 부정을 증명할 수 있다는 점에서 모순에 강하지 않다.

엄밀히 말하면, 위의 규칙만 가지고 있는 것은 초일관적이다. 왜냐하면 모순에서 ''모든'' 명제를 증명할 수 있는 것은 아니기 때문이다. 그러나 규칙 이중 부정 제거($\backslash neg\; \backslash neg\; A\; \backslash vdash\; A$)가 추가되면, 모든 명제를 모순으로부터 증명할 수 있다. 이중 부정 제거는 직관주의 논리에서는 성립하지 않는다.

6. 단순한 모순허용논리 (LP)

가장 유명한 모순허용논리는 LP(Logic of Paradox, 역설의 논리)라는 단순한 체계이다. 아르헨티나의 논리학자 F. G. 아센호(F. G. Asenjo)가 1966년에 제창하고, 그 뒤 프리스트가 널리 알렸다.^[50] LP는 여러 모순허용논리 중 하나이며, 비교적 단순한 예시에 해당한다.^[54]

6. 1. LP의 의미론

• $V(\; \backslash neg\; A,1)\; \backslash Leftrightarrow\; V(A,0)$
• $V(\; \backslash neg\; A,0)\; \backslash Leftrightarrow\; V(A,1)$
• $V(A\; \backslash lor\; B,1)\; \backslash Leftrightarrow\; V(A,1)\; \backslash \; \{\backslash rm\; or\}\; \backslash \; V(B,1)$
• $V(A\; \backslash lor\; B,0)\; \backslash Leftrightarrow\; V(A,0)\; \backslash \; \{\backslash rm\; and\}\; \backslash \; V(B,0)$

• ''not A''는 ''A''가 거짓일 때에만 참이다.
• ''not A''는 ''A''가 참일 때에만 거짓이다.
• ''A or B''는, ''A''가 참이거나 ''B''가 참일 때에만 참이다.
• ''A or B''는, ''A''가 거짓이자 ''B''도 거짓일 때에만 거짓이다.

7. 다른 논리학과의 관계

연관 논리는 모순허용논리의 중요한 체계 중 하나이며, 다치 논리와 겹치는 부분이 많다. 직관 논리는 ''A'' ∨ ¬''A''를 거짓으로 할 수 있지만, 초일관 논리에서는 ''A'' ∧ ¬''A''를 참으로 할 수 있다는 점에서 쌍대 관계로 여겨진다. 하지만 직관 논리는 특정 논리 체계인 반면, 초일관 논리는 다양한 체계를 포괄하는 논리 체계의 집합이므로, 직관 논리의 쌍대는 특정 초일관 논리 체계인 쌍대 직관 논리(또는 브라질 논리)이다.^[44]

7. 1. 적절성 논리

7. 2. 다치 논리

7. 3. 직관 논리

8. 응용

초일관 논리는 다양한 영역에서 모순을 다루는 수단으로 이용되어 왔다.^[56]

이 외에도 초일관 논리는 다음과 같은 분야에 응용될 수 있다.

• 양자 물리학
• 블랙홀 물리학
• 호킹 복사
• 양자 컴퓨터
• 스핀트로닉스
• 양자 얽힘
• 양자 결합
• 불확정성 원리

9. 비판

전술한 세 가지 원리(중 일부 혹은 모두)를 배제하지 않으면 성립하지 않는 모순허용논리에 대하여, 폭발률을 배제하는 것의 직관적 정당성보다도, 그 세 원리의 직관적 정당성이 낫다고 주장하는 철학자도 있다.

또한, 데이비드 루이스는 어느 명제와 그 부정이 함께 참이라고 보는 모순허용논리에 반대 입장을 주장했다.^[58] 관련해서, 모순허용논리의 「부정」은 이른바 부정이 아니라, 아리스토텔레스가 일컫는 소반대(小反對)에 상응한다는 주장도 있다.^[59]

고전 논리학에서 아리스토텔레스의 세 가지 법칙, 즉 배중률(''p'' 또는 ¬''p''), 모순율 ¬ (''p'' ∧ ¬''p'') 및 동일률(''p'' ↔ ''p'')은 연결어의 상호 정의로 인해 동일하게 간주된다. 게다가, 전통적으로 모순성(이론 또는 지식 체계에 모순이 존재하는 것)과 자명성(그러한 이론이 가능한 모든 결과를 함축한다는 사실)은 부정이 가능하다는 전제하에 불가분의 관계라고 가정한다. 이러한 견해는 모순성과 다른 형태의 비일관성을 구별하지 못한다는 근거로 철학적으로 도전받을 수 있다.

반면에, 일관성과 모순이라는 개념이 적절하게 구별되면 모순된 개념들 간의 '충돌'로부터 자명성을 유도할 수 있다. 더 나아가 일관성과 비일관성 자체의 개념은 대상 언어 수준에서 내면화될 수 있다.

고전적으로 이해되는 논리는 세 가지 주요 규칙(사고의 법칙)에 기반한다. 동일률(''LOI''), 모순율(''LNC''), 그리고 배중률(''LEM'')이다. 비모순적 논리는 ''LNC''를 수용하는 것을 거부함으로써 고전 논리에서 벗어난다. 그러나 ''LNC''는 ''LOI''와 ''LEM''과 밀접하게 연관되어 있다고 볼 수 있다.

''LOI''는 ''A''가 ''A''라고 말한다(''A''≡''A''). 즉, ''A''는 그 반대 또는 부정(''not A'', 또는 ¬''A'')과 구별된다는 의미이다. 고전 논리에서 이러한 구별은 ''A''가 참일 때 그 반대가 그렇지 않다는 사실에 의해 뒷받침된다. 그러나 ''LNC''가 없으면 ''A''와 ''not A'' 모두 참일 수 있으며(''A''∧¬''A''), 이는 두 개념의 구별을 모호하게 만든다. 그리고 구별이 없으면 동일성을 정의하는 것이 어려워진다. 따라서 ''LNC''를 버리면 ''LOI''도 제거될 위험이 있다.

''LEM''은 ''A'' 또는 ''not A''가 참이라고 말한다(''A''∨¬''A''). 그러나 ''LNC''가 없으면 ''A''와 ''not A'' 모두 참일 수 있다(''A''∧¬''A''). 따라서 ''LNC''를 버리면 ''LEM''도 제거될 위험이 있다.

따라서 부주의한 방식으로 ''LNC''를 버리면 ''LOI''와 ''LEM''을 모두 잃을 위험이 있다. 그리고 세 가지 고전 법칙을 모두 버리면 논리의 "종류"만 변경되는 것이 아니라, 기능적인 논리 체계 없이 남게 된다. 모든 논리를 잃으면 구조화된 추론의 가능성이 없어진다. 따라서 부주의한 비모순적 논리는 혼돈 외에는 다른 사고 방식을 승인하지 않을 위험이 있다. 비모순적 논리는 신중하고 정확한 기술적 정의를 사용하여 이러한 위험을 피하려고 한다. 결과적으로 비모순적 논리에 대한 대부분의 비판 또한 본질적으로 고도로 기술적인 경향이 있다(예: 역설이 참일 수 있는지 여부와 관련된 질문).

그러나 매우 기술적인 수준에서도 비모순적 논리에 반박하는 것은 어려울 수 있다. 비모순적 논리가 모순을 초래한다는 것은 분명하다. 그러나 비모순적 논리학자는 비모순적 논리의 일부 또는 결과인 모든 모순을 포함하여 모순을 받아들인다. 결과적으로, 비판의 많은 부분이 비모순적 논리의 적용 가능성과 비교적 효과성에 초점을 맞추었다. 비모순적 논리를 수용하면 정리를 대량으로 잃을 위험이 있기 때문에 이는 중요한 논쟁이다. 이러한 정리는 수학과 물리학의 기초를 형성한다.

논리학자 스튜어트 샤피로(Stewart Shapiro)는 논리의 다원주의적 관점(다양한 논리가 동등하게 적절하거나 동등하게 정확하다는 관점)에 대한 그의 주장의 일부로 비모순적 논리에 대한 주장을 펼치려고 했다. 그는 "하나의 진정한 논리"로서의 직관 논리, 또는 직관 논리와 고전 논리의 다원론이 흥미롭고 유익하다는 주장을 할 수 있음을 발견했다. 그러나 비모순적 논리에 관해서는 "저에게 적어도 ... 설득력 있는 예가 없다"고 밝혔다.^[30]

하트리 필드(Hartry Field)는 "진실을 역설로부터 구하기"에서 역설에 대한 해결책으로 비모순적 논리의 가치를 검토한다.^[31] 필드는 진실 과잉(진술이 참이면서 거짓일 수 있는 경우)과 진실 격차(진술이 참도 아니고 거짓도 아닌 경우)를 모두 피하는 견해를 주장한다. 필드가 우려하는 것 중 하나는 비모순적 메타이론의 문제이다. 논리 자체가 모순이 참이 되도록 허용하는 경우, 논리를 설명하거나 지배하는 메타이론도 비모순적이어야 할 수 있다. 메타이론이 비모순적인 경우 비모순적 틀 내에서 이루어진 모든 주장이 유효하고 무효할 수 있으므로, 논리를 정당화하는 이유(우리가 이를 수용해야 하는 이유)가 의심스러울 수 있다. 이것은 비모순적 논리의 지지자들이 역설에 빠지거나 설명력을 잃지 않고 논리가 어떻게 정당화될 수 있는지 설명해야 하는 과제를 만든다. 스튜어트 샤피로(Stewart Shapiro)는 비슷한 우려를 표명했다. "대립주의자는 (비공식적으로) 어떤 개념들을 사용하지만, 메타이론이 (완전히) 일관되지 않으면 이를 적절하게 표현할 수 없다. 일관된 메타이론을 고집하는 것은 대립주의의 핵심 측면을 훼손할 것이다"^[32]

비모순적 대립주의를 옹호하는 그의 저서 "모순 속에서"에서 그레이엄 프레스트(Graham Priest)는 메타 이론적 어려움을 인정한다. "비모순적 용어로 허용 가능한 비모순적 논리를 위한 메타 이론이 있는가? 이 질문에 대한 답은 전혀 명백하지 않다."^[33]

리트만과 키스 시몬스는 대립주의 이론이 이해할 수 없다고 주장했다. "우리가 그 이론에 '논리(L)는 참이면서 거짓이다'라는 진술뿐만 아니라 '논리(L)는 참이면서 거짓이 아니다'라는 진술도 포함되어 있다는 것을 깨달으면 당황할 수 있다."^[34]

일부 철학자들은 위의 세 가지 원칙 중 어느 것도 포기하는 것이 폭발 원리의 비직관성보다 더 크다는 이유로 대립주의에 반대했다.

데이비드 루이스와 같은 다른 사람들은 진술과 그 부정이 공동으로 참이 되는 것은 단순히 불가능하다는 이유로 비모순적 논리에 반대했다.^[35] 관련 반대는 비모순적 논리에서 "부정"은 실제로 ''부정''이 아니라 단순히 반대를 형성하는 연산자라는 것이다.^[36]

10. 주요 연구자

참조

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_[3] 간행물 "[http://philsci-archive.pitt.edu/14115/1/letj.pdf An epistemic approach to paraconsistency: a logic of evidence and truth]" University of Pittsburgh
_[4] 간행물 "Ex contradictione non sequitur quodlibet" http://citeseerx.ist[...] 2001
_[5] 학술지 Toward Useful Type-Free Theories, I
_[6] 서적 On the Philosophy of Logic https://books.google[...] Cengage Learning
_[7] 서적 The Many Valued and Nonmonotonic Turn in Logic Elsevier
_[8] 서적 Philosophies of the Sciences: A Guide John Wiley & Sons
_[9] 문서 See the article on the [[principle of explosion]] for more on this.
_[10] 문서 Priest (2002), p. 306.
_[11] 문서 LP is also commonly presented as a [[many-valued logic]] with three truth values (''true'', ''false'', and ''both'').
_[12] 문서 See, for example, Priest (2002), §5.
_[13] 문서 See Priest (2002), p. 310.
_[14] 문서 Surveys of various approaches to paraconsistent logic can be found in Bremer (2005) and Priest (2002), and a large family of paraconsistent logics is developed in detail in Carnielli, Congilio and Marcos (2007).
_[15] 문서 See Aoyama (2004).
_[16] 웹사이트 Ideal Paraconsistent Logics https://www.cs.tau.a[...] 2018-08-21
_[17] 문서 Most of these are discussed in Bremer (2005) and Priest (2002).
_[18] 문서 See, for example, [[truth maintenance systems]] or the articles in Bertossi et al. (2004).
_[19] 문서 Gershenson, C. (1999). Modelling emotions with multidimensional logic. In Proceedings of the 18th International Conference of the North American Fuzzy Information Processing Society (NAFIPS ’99), pp. 42–46, New York City, NY. IEEE Press. http://cogprints.org/1479/
_[20] 학술지 Rotary Inverted Pendulum Identification for Control by Paraconsistent Neural Network 2021
_[21] 문서 Hewitt (2008b)
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_[26] 학술지 A comprehensive review on paraconsistent annotated evidential logic: Algorithms, Applications, and Perspectives 2024-01-01
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_[29] 학술지 A comprehensive review on paraconsistent annotated evidential logic: Algorithms, Applications, and Perspectives 2024-01-01
_[30] 서적 Varieties of Logic Oxford University Press
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_[34] 서적 A Critique of Dialetheism Oxford University Press
_[35] 문서 See Lewis (1982).
_[36] 논문 Slater (1995), Béziau (2000)
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_[38] 서적 数理論理学 東京大学出版会 2012-03-09
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_[40] 문서 LP 는 일반적으로3값（참, 거짓, 양쪽 모두）을 취하는 [[다치논리]]라고도 불린다.
_[41] 서적 Priest (2002)
_[42] 서적 Priest (2002)
_[43] 서적 다양한 모순허용논리는 Bremer (2005) 나 Priest (2002) 에 소개되어 있다.
_[44] 논문 Aoyama (2004)
_[45] 서적 Bremer (2005) 및 Priest (2002)
_[46] 논문 Bertossi et al. (2004) 에 예가 있다.
_[47] 서적 Lewis (1982)
_[48] 논문 Slater (1995), Béziau (2000)
_[49] 웹사이트 무모순율에 대한 연구-기초학문자료센터 https://www.krm.or.k[...] 2020-06-23
_[50] 서적 Priest (2002)
_[51] 문서 LP는 일반적으로 세 값(참, 거짓, 또는 둘 다)을 취하는 [[다치논리]]라고도 불린다.
_[52] 서적 Priest (2002)
_[53] 서적 Priest (2002)
_[54] 서적 다양한 모순허용논리는 Bremer (2005)나 Priest (2002)에 소개되어 있다.
_[55] 논문 Aoyama (2004)
_[56] 서적 Bremer (2005) 및 Priest (2002)
_[57] 논문 Bertossi et al. (2004)에 예가 있다.
_[58] 서적 Lewis (1982)
_[59] 논문 Slater (1995), Béziau (2000)