멱등법칙

3. 주요 예시

수학 및 컴퓨터 과학 분야에서 멱등법칙의 주요 예시는 다음과 같다.
수학

• 집합 연산에서 합집합(∪)과 교집합(∩)은 멱등 연산이다.^[17]
• 논리 연산에서 논리곱(∧)과 논리합(∨)은 멱등 연산이다.^[17]
• 불 대수에서 논리곱과 논리합 연산은 모두 멱등 법칙을 만족한다.^[17]
• 선형대수학에서 사영작용소는 멱등 법칙을 만족한다.^[17] 벡터 공간의 사영작용소들은 벡터 공간 위의 선형변환이 이루는 환의 멱등원이다.
• 실수 및 복소수의 절댓값 함수, 실수의 바닥 함수는 멱등 함수이다.
• 위상 공간에서 부분집합의 폐포를 구하는 함수는 멱등 함수이다.
• 멱등 반환은 덧셈이 멱등성을 갖는 반환이다. 트로피컬 반환에서 덧셈은 멱등원이다.
• 최대공약수 도메인에서 최대공약수와 최소공배수 연산은 멱등원이다.
• 멱등 행렬의 행렬식은 0 또는 1이다.

• 클레이니 스타와 클레이니 플러스는 형식언어에서 반복을 표현하는 연산자로, 멱등법칙을 만족한다.
• C 언어의 헤더 파일은 멱등성을 가지도록 include guard|인클루드 가드^영어를 사용하여 설계된다. 즉, 특정 헤더 파일이 여러 번 포함되어도 한 번 포함한 것과 동일한 효과를 가진다.
• HTTP에서 GET, PUT, DELETE 메서드는 멱등성을 가지도록 구현되어야 하지만, POST는 그럴 필요가 없다.^[12]
• 사용자 인터페이스 설계에서, 버튼이 멱등하다는 것은 한 번 누르나 여러 번 누르나 같은 효과를 얻을 수 있다는 것을 의미한다.
• 이벤트 스트림 처리에서 멱등성은 동일한 파일, 이벤트 또는 메시지를 여러 번 수신해도 시스템이 동일한 결과를 생성할 수 있는 능력을 의미한다.
• 로드-저장 아키텍처에서 페이지 폴트를 발생시킬 수 있는 명령은 멱등적이다.^[14][15]
• 데이터베이스에서 고객의 이름과 주소를 조회하는 함수는 일반적으로 멱등적이다. 고객의 주소를 변경하는 요청 또한 멱등적이다.

3. 1. 수학

3. 2. 컴퓨터 과학

4. 정보 공학에서의 멱등성

정보 공학에서의 '''멱등성'''이란, 어떤 연산을 한 번 수행하든 여러 번 수행하든 동일한 결과를 나타내는 것을 말한다. 특히, 몇 번을 수행하더라도 오류나 불일치 상태가 변하지 않는 연산을 지칭한다.^[12][14][15]

예를 들어, 데이터베이스에서 고객의 이름과 주소를 조회하는 함수는 일반적으로 멱등적이다. 데이터베이스 내용이 변경되지 않기 때문이다. 마찬가지로, 고객의 주소를 특정 값으로 변경하는 요청도 보통 멱등적이다. 요청을 몇 번 하든 최종 주소는 같기 때문이다. 그러나 고객의 주문 요청은 여러 번 요청하면 여러 주문으로 이어지므로, 대개 멱등적이지 않다. 반면 특정 주문을 취소하는 요청은 멱등적이다. 아무리 많은 요청을 하더라도 주문은 취소된 상태로 유지되기 때문이다.

하지만 멱등적 서브루틴의 시퀀스(연속된 명령)라고 해도, 나중 서브루틴이 앞선 서브루틴이 의존하는 값을 바꾸는 경우에는 멱등적이지 않을 수 있다. 즉, ''멱등성은 순차적 구성에 대해 닫혀있지 않다''.

예쁘게 인쇄의 경우, 출력이 이미 "예쁘다면" 다시 예쁘게 인쇄해도 할 일이 없어야 하므로, 멱등적일 것으로 예상된다.

4. 1. 멱등성과 관련된 개념

• 명령형 프로그래밍에서, 부작용이 있는 서브루틴은 여러 번 호출해도 단일 호출과 동일한 시스템 상태 변화를 가져오면 멱등성이 있다.
• 함수형 프로그래밍에서, 순수 함수는 정의에서 주어진 수학적 의미에서 멱등성이 있으면 멱등성이 있다.

참조

_[1] 사전 idempotence http://www.oed.com/v[...] Oxford University Press 2010
_[2] 사전 idempotent http://www.merriam-w[...]
_[3] 간행물 Linear associative algebra https://babel.hathit[...] 1881
_[4] 서적 Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2012
_[5] 서적 Polynômes et algèbre linéaire https://books.google[...] Vuibert 1976
_[6] 서적 General Lattice Theory https://archive.org/[...] Birkhäuser
_[7] 서적 Lattice Theory Am. Math. Soc.
_[8] 문서 This is an equation between functions. Two functions are equal if their domains and ranges agree, and their output values agree on their whole domain.
_[9] 문서 If $f$ and $g$ commute under composition (i.e. if {{nowrap|1=$f\backslash circ\; g=g\backslash circ\; f$}}) then idempotency of both $f$ and $g$ implies that of {{nowrap|$f\backslash circ\; g$}}, since {{nowrap|1=$(f\backslash circ\; g)\backslash circ\; (f\backslash circ\; g)=f\backslash circ\; (g\backslash circ\; f)\backslash circ\; g=f\backslash circ\; (f\backslash circ\; g)\backslash circ\; g=(f\backslash circ\; f)\backslash circ\; (g\backslash circ\; g)=f\backslash circ\; g$}}, using the associativity of composition.
_[10] 문서 e.g. $f(g(7))=f(7)=1$, but $f(g(1))=f(5)=2\backslash neq\; 1$
_[11] 문서 also showing that commutation of $f$ and $g$ is not a [[necessary condition]] for idempotency preservation
_[12] 웹사이트 Hypertext Transfer Protocol (HTTP/1.1): Semantics and Content http://tools.ietf.or[...] IETF 2014-06-08
_[13] IETF Hypertext Transfer Protocol (HTTP/1.1): Semantics and Content
_[14] 웹사이트 Demand Paging https://web.stanford[...]
_[15] 간행물 Compiler construction of idempotent regions and applications in architecture design http://citeseerx.ist[...] 2012
_[16] 웹사이트 Geared Traction Passenger Elevator Specification Guide Information/Instructions http://www.nclabor.c[...] NC Department Of Labor, Elevator Bureau
_[17] 문서 f와 g가 교환 가능하다면, 즉 f ∘ g = g ∘ f이면, f와 g 멱등성은 f ∘ g, g ∘ f의 멱등성을 함의한다.
_[18] 문서 이는 f와 g가 교환 가능한 것이 멱등성 보존의 [[필요조건]]은 아니라는 것을 보여준다