비 (수학)

3. 표기법 및 용어

숫자 ''A''와 ''B''의 비율은 ''A'':''B''로 표현할 수 있다.^[6] 이때 ''A''는 선행항, ''B''는 후행사라고 부른다.^[10]

두 비율 ''A'':''B''와 ''C'':''D''가 같음을 나타내는 식을 비례식이라고 하며, ''A'':''B'' = ''C'':''D'' 또는 ''A'':''B''∷''C'':''D''로 쓴다.^[11]

4. 역사 및 어원

"비 (수학)"라는 단어의 기원은 고대 그리스어 λόγος|logos^grc (''logos'')에서 찾을 수 있다. 초기 번역가들은 이를 라틴어로 ratio|ratio^la ("이성"; "합리적인"이라는 단어에서와 같이)로 번역했다. 유클리드의 의미에 대한 더 현대적인 해석은 계산 또는 셈과 더 유사하다.^[14] 중세 작가들은 "비율"을 나타내기 위해 proportio|proportio^la ("비율")라는 단어를 사용했고, 비율의 동일성을 나타내기 위해 proportionalitas|proportionalitas^la ("비례")라는 단어를 사용했다.^[15]

유클리드는 《원론》에 나타난 결과를 이전 자료에서 수집했다. 피타고라스 학파는 숫자에 적용되는 비와 비례에 대한 이론을 개발했다.^[16] 피타고라스 학파의 수에 대한 개념에는 오늘날 우리가 유리수라고 부르는 것만 포함되었으며, 피타고라스 학파가 또한 발견했듯이, 공약 불가능한 비(무리수에 해당)가 존재하는 기하학에서 이 이론의 타당성에 의문을 제기했다. 공약성을 가정하지 않는 비의 이론의 발견은 아마도 크니도스의 에우독소스에 기인할 것이다. 《원론》 7권에 나타난 비례 이론의 해설은 공약 가능한 비의 이전 이론을 반영한다.^[17]

비는 대부분 몫 및 잠재적 값과 동일시되므로 여러 이론의 존재는 불필요하게 복잡해 보인다. 그러나 이것은 비교적 최근의 발전이며, 현대 기하학 교과서에서 여전히 비와 몫에 대해 별도의 용어와 표기법을 사용한다는 사실에서 알 수 있다. 이러한 이유에는 두 가지가 있다. 첫째, 이전에 언급했듯이 무리수를 진정한 수로 받아들이기를 꺼렸고, 둘째, 비의 이미 확립된 용어를 대체할 널리 사용되는 기호가 없었기 때문에 분수를 대안으로 완전히 받아들이는 것이 16세기까지 지연되었다.^[18]

5. 유클리드의 정의

유클리드 기하학 원론 제5권에는 비와 관련된 18개의 정의가 있다.^[19] 유클리드는 비를 '같은 종류'의 두 양 사이의 관계로 정의했는데, 이에 따르면 두 길이나 두 면적의 비는 정의되지만, 길이와 면적의 비는 정의되지 않는다. 두 양의 비는 각 양의 배수가 다른 양을 초과할 때 존재한다고 정의한다. 이를 현대적으로 표현하면, 양 ''p''와 ''q'' 사이에 비가 존재하려면, ''mp''>''q''이고 ''nq''>''p''인 정수 ''m''과 ''n''이 존재해야 한다는 것이다. 이 조건은 아르키메데스 성질로 알려져 있다.

정의 5는 두 비가 같다는 의미를 정의한다. 현대에는 항의 몫이 같을 때 비가 같다고 하지만, 유클리드는 다른 방식으로 정의했다. 현대 표기법으로 유클리드의 동등성 정의를 표현하면, 주어진 양 ''p'', ''q'', ''r'' 및 ''s''에 대해, ''p'':''q''∷''r'':''s''는 임의의 양의 정수 ''m''과 ''n''에 대해 ''np''<''mq'', ''np''=''mq'', 또는 ''np''>''mq''가 각각 ''nr''<''ms'', ''nr''=''ms'', 또는 ''nr''>''ms''인 경우에만 성립한다.^[21] 이 정의는 데데킨트 컷과 유사성을 갖는다.^[22]

6. 비율의 활용

원주율(π)은 원의 지름에 대한 원둘레의 비율로 정의된다.^[26] 속도는 시간 변화량에 대한 위치 변화량의 비율로 정의된다.^[27] 그러나 이 경우 분자와 분모의 단위가 다르기 때문에 영어에서는 'ratio'가 아니라 'rate'(non-dimensionless ratio)라는 용어를 사용한다.

6. 1. 통계 비율

• 구조비율·분석비율: 분모집단의 크기에 대한 부분집단의 크기의 비율로 주어지는데, 통상 백분비(百分比) 또는 천분비(千分比)로 표시된다. 이는 집단의 질적 구조를 분석하는 경우 중요한 기능을 한다.^[28]
• 지수: 동종 집단의 크기 사이의 상호관계를 나타내는 것이나, 주로 시간적 또는 장소적 변화의 크기를 살펴보는 것이 목적이다. 단독지수는 단일의 시계열에 관해 그 변화를 상대적으로 나타내기 위해 산출된 지수이며, 종합지수는 여러 시계열의 변화를 종합적으로 표시하기 위해 산출된 지수이다. 물가지수나 생산지수 등은 종합지수의 대표적인 예이다.^[28]
• 관계비율: 이종(異種) 집단간의 관계를 나타내는 비율이며 분모집단에 대한 분자집단의 관계의 조밀(稠密) 정도를 나타낸다. 이는 다시 분자집단이 분모집단에 대해 종속적인 관계를 갖는 경우의 발생 비율과, 대등한 대립관계를 갖는 경우의 대립비율(密度)로 나뉜다. 발생비율로는 출생률이나 사망률 등이 있고, 대립비율로는 토지면적에 대한 인구의 비율 등이 있다.^[28]

7. 비율의 성질

비율의 모든 양에 동일한 숫자를 곱해도 비율은 유효하게 유지된다. 예를 들어 3:2는 12:8과 같다.^[1] 일반적으로 최소 공통 분모로 용어를 줄이거나 100개당 부분 (백분율)으로 표현한다.

비율은 분수와 마찬가지로, 각 수량을 모든 수량의 공통 인수로 나누어 약분될 수 있다.^[1] 가장 간단한 형태는 비율의 숫자가 가능한 가장 작은 정수인 것으로 간주된다.^[1] 따라서 비율 40:60은 2:3의 비율과 의미가 동일하며, 후자는 두 수량을 20으로 나누어 얻는다.^[1] 수학적으로 40:60 = 2:3 또는 동등하게 40:60∷2:3으로 쓴다. 말로 표현하면 "40은 60에 대해 2는 3에 대해"이다.

두 수량 모두 정수이고 (정수를 사용하여) 더 이상 약분할 수 없는 비율을 기약 형태 또는 최소 항이라고 한다.^[1] 때로는 다른 비율을 비교하기 위해 비율을 1:''x'' 또는 ''x'':1 형식으로 쓰는 것이 유용하며, 여기서 ''x''는 반드시 정수는 아니다.^[1] 예를 들어, 비율 4:5는 1:1.25로 쓸 수 있다 (양변을 4로 나눔). 또는 0.8:1로 쓸 수도 있다 (양변을 5로 나눔).^[1]

문맥상 의미가 명확한 경우, 이 형식의 비율은 1과 비율 기호 (:) 없이 쓰기도 하지만, 수학적으로 이것은 인수 또는 승수가 된다.^[1]

8. 무리수 비율

비율은 공약 불가능한 양(비율이 분수의 값으로 무리수에 해당하는 양) 사이에도 설정될 수 있다. 피타고라스 학파가 발견한 가장 초기의 예는 정사각형의 대각선 길이와 변의 길이의 비율인데, 이는 2의 제곱근이다. 또 다른 예는 원의 둘레와 지름의 비율인데, 이것은 π라고 불리며, 단순히 무리수일 뿐만 아니라 초월수이기도 하다.

또한 잘 알려진 것은 두 길이 a^영어와 b^영어의 황금비인데, 이는 비율 a:b = (a+b):a 또는 a:b = (1+b/a):1 로 정의된다. a:b를 값 x로 가지면 방정식 x=1+1/x 또는 x^2-x-1 = 0이 생성되며, 이는 양의 무리수 해 x=a/b=(1+√5)/2를 갖는다. 따라서 황금비에 있기 위해서는 적어도 a와 b 중 하나는 무리수여야 한다. 수학에서 황금비가 나타나는 한 예는 두 개의 연속하는 피보나치 수의 비율의 극한값으로, 이러한 모든 비율은 두 정수의 비율이므로 유리수이지만, 이러한 유리수 비율의 수열의 극한은 무리수인 황금비이다.

마찬가지로, a^영어와 b^영어의 은비는 비율 a:b = (2a+b):a (= (2+b/a):1) 로 정의되며 x^2-2x-1 = 0에 해당한다. 이 방정식은 양의 무리수 해 x = a/b=1+√2를 가지므로, 은비에 있는 두 양 a와 b 중 적어도 하나는 무리수여야 한다.

9. 승률

승률은 도박 등에서 비율로 표현되는 확률의 한 형태이다. 예를 들어 "7 대 3으로 불리"(7:3)의 승률은 어떤 사건이 발생하지 않을 확률이 7이고, 그 사건이 발생할 확률이 3이라는 것을 의미한다. 성공 확률은 30%이다. 즉, 10번의 시도마다 3번의 승리와 7번의 패배가 예상된다.

10. 단위

비율은 동일한 차원의 양을 관련시키는 경우, 비록 그들의 단위가 처음에 다르더라도 무차원일 수 있다. 예를 들어, 1분 : 40초의 비율은 첫 번째 값을 60초로 변경하면 60초 : 40초가 된다. 단위가 같아지면 생략할 수 있으며, 비율은 3:2로 줄일 수 있다.

반면에, 다른 차원의 양을 관련시키는 무차원 몫은 ''비율'' (때로는 비율이라고도 함)이라고 한다.^[23][24] 화학에서 질량 농도 비율은 일반적으로 무게/부피 분율로 표현된다. 예를 들어, 3% w/v의 농도는 일반적으로 용액 100ml당 물질 3g을 의미한다. 이것은 무게/무게 또는 부피/부피 분율과 같이 무차원 비율로 변환될 수 없다.

11. 삼각형 좌표

삼각형의 꼭짓점 ''A'', ''B'', ''C''와 변 ''AB'', ''BC'', ''CA''를 기준으로 하는 점의 위치는 종종 확장된 비율 형식인 ''삼각형 좌표''로 표현된다.

바리 중심 좌표에서, 좌표가 ''α'', ''β'', ''γ''인 점은 삼각형의 모양과 크기를 가진 무중량 금속판 위에 정확히 균형을 이루는 점이다. 무게는 꼭짓점에 놓이고, ''A''와 ''B''에서의 무게 비율은 ''α'' : ''β'', ''B''와 ''C''에서의 무게 비율은 ''β'' : ''γ''이며, 따라서 ''A''와 ''C''에서의 무게 비율은 ''α'' : ''γ''이다.

삼선 좌표계에서, 좌표가 ''x'':''y'':''z''인 점은 변 ''BC''(꼭짓점 ''A'' 반대편)와 변 ''CA''(꼭짓점 ''B'' 반대편)까지의 수직 거리가 ''x'':''y''의 비율을 갖고, 변 ''CA''와 변 ''AB'' (''C'' 반대편)까지의 거리가 ''y'':''z''의 비율을 가지며, 따라서 변 ''BC''와 변 ''AB''까지의 거리가 ''x'':''z''의 비율을 갖는다.

모든 정보는 비율로 표현되기 때문에 (''α'', ''β'', ''γ'', ''x'', ''y'', ''z''로 표시된 개별 숫자는 그 자체로 의미가 없음), 바리 중심 좌표 또는 삼선 좌표를 사용한 삼각형 분석은 삼각형의 크기에 관계없이 적용된다.

참조

_[1] 간행물 New International Encyclopedia
_[2] 웹사이트 Ratios https://www.mathsisf[...] 2020-08-22
_[3] 웹사이트 Ratios https://www.purplema[...] 2020-08-22
_[4] 웹사이트 ISO 80000-1:2022(en) Quantities and units — Part 1: General https://www.iso.org/[...] 2023-07-23
_[5] 서적 The Mathematics Dictionary https://books.google[...]
_[6] 간행물 New International Encyclopedia
_[7] 문서
_[8] 웹사이트 Colon https://mathworld.wo[...] 2022-11-04
_[9] 웹사이트 ASCII Punctuation https://www.unicode.[...] Unicode, Inc. 2022
_[10] 웹사이트 from the Encyclopædia Britannica http://www.britannic[...]
_[11] 문서
_[12] 간행물 New International Encyclopedia
_[13] 웹사이트 Belle Group concrete mixing hints http://www.bellegrou[...]
_[14] 문서
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_[23] 서적 Ratio and Proportion: Research and Teaching in Mathematics Teachers https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[24] 서적 Ratio and Proportion: Research and Teaching in Mathematics Teachers https://books.google[...]
_[25] 서적 수학과 교수학습방법 탐구 학문사
_[26] 웹사이트 About Pi http://mathforum.org[...] Ask Dr. Math FAQ 2007-10-29
_[27] 서적 힘과 운동 뛰어넘기 (속보이는 물리) 동아사이언스
_[28] 글로벌2 통계비율·지수