분수 (수학)
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1. 개요
분수(fraction)는 정수 a와 0이 아닌 정수 b에 대해 a/b 또는 a:b로 나타내며, b분의 a로 읽는다. 분자는 분수의 크기를 나타내고, 분모는 부분의 종류를 나타낸다. 분수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 연산이 가능하며, 기약분수, 단위분수, 진분수, 가분수, 대분수, 번분수, 연분수, 이집트 분수 등 다양한 종류가 있다. 분수는 소수, 유리수, 대수적 수, 유리 함수, 분수체 등 다른 수학적 개념과 연관되어 있으며, 다양한 수학적 문제 해결 및 일상생활에서 활용된다.
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| 분수 (수학) | |
|---|---|
| 개요 | |
| 수학 분야 | 수학 |
| 종류 | 유리수 |
| 표기 | |
| 분자 | a |
| 분모 | b |
| 관련 개념 | |
| 종류 | 기약 분수 가분수 진분수 번분수 |
| 연산 | |
| 덧셈 | 분수 덧셈 |
| 곱셈 | 분수 곱셈 |
2. 정의
분자가 정수 , 분모가 0이 아닌 정수 인 '''분수'''는 또는 로 표기하며, '분의 '로 읽는다. 이는 비 또는 몫 으로 해석될 수 있다.
분수에서, 똑같은 크기의 부분의 개수를 나타내는 수를 '''분자'''(라틴어: numerātorla, "세는 것" 또는 "수를 세는 것"에서 유래)라고 하고, 부분의 종류나 단위를 나타내는 수를 '''분모'''(라틴어: dēnōminātorla, "이름을 짓거나 지정하는 것"에서 유래)라고 한다.[2][3] 나눗셈의 관점에서 보면, 분자는 피제수에 해당하고, 분모는 제수에 해당한다.
비공식적으로는 분자와 분모를 위치만으로 구분할 수 있지만, 공식적인 맥락에서는 일반적으로 '''분수 기호'''로 분리한다. 분수 기호는 가로(예: ) , 사선(/, 예: 2/5), 또는 대각선(4/9)일 수 있다.[8]
일반적인 산술에서 두 수의 나눗셈은 분수로 표현된다.
분수는 위아래 두 부분으로 나누어 쓴 수와 그 사이의 선으로 표현된다. 분수 표기에서, 피제수에 해당하는 수를 '''분자'''(), 제수에 해당하는 수를 '''분모'''()라고 한다. 분수의 표기법은 여러 가지가 있지만, 일반적으로는 아래와 같이 가로선을 긋고, 분자 을 선 위에, 분모 를 선 아래에 쓴다:
:
혹은 문장 중 등에서 다음과 같이 사선을 긋기도 한다:
:
분수 }}는 일본어로 “ 의 ”이라고 읽는다(예: }}는 ).[44] “ 나누기 ”라고 읽기도 한다.[44]
일반적인 유리수는 정수 와 0이 아닌 정수 의 분수 }}로 나타낼 수 있다. 다시 말해, 정수를 분자와 분모로 갖는 분수로 나타낼 수 있는 수 전체가 유리수이다.
양의 정수 에 대해, 분수 }}를 생각할 수 있다. 분수 }}는 나눗셈 의 몫 또는 단위분수 }}의 배의 수로 이해할 수 있다. 또한, 의 비를 갖는 두 양 중에서 에 해당하는 양의 크기를 1로 했을 때, 다른 에 해당하는 양의 크기는 }}가 된다. 이 사실에서 분수 }}로 나타내는 수를 두 수 의 비라고 표현하기도 한다.
2. 1. 진분수와 가분수
분자와 분모가 양의 정수일 때, 분자가 분모보다 작은 분수를 진분수(眞分數, proper fraction영어)라고 한다. 예를 들어 5/6, 3/8, 11/17은 진분수다. 분자가 분모보다 크거나 같으면 가분수(假分數, improper fraction영어) 또는 거꿀분수라고 한다. 예를 들어 7/6, 15/8, 26/17은 가분수다.[11]일반적으로 분자와 분모가 정수일 때, 진분수는 절댓값이 1보다 작은 분수다. 즉, -1 이상, 1 이하의 분수다. 반대로 가분수는 절댓값이 1보다 크거나 같은 분수다. 즉, -1 이하이거나 1 이상인 분수다. 예를 들어, -3/5는 진분수, -13/9는 가분수다.[14][15][16]
"가분수"라는 개념은 "분수"는 "조각"을 의미하기 때문에 진분수는 1보다 작아야 한다는 사실에서 유래되었으며, 17세기 교과서 ''산술의 기초(The Ground of Arts)''에서 설명되었다.[12][13]
2. 2. 대분수
'''대분수'''(帶分數, , mixed fraction영어) 또는 '''혼분수'''(混分數)는 정수와 진분수의 합으로 나타내는 분수이다. 정수 부분과 분수 부분 사이의 덧셈 기호 '+'는 생략된다. 예를 들어, 정수 부분이 3, 분수 부분이 2/7인 대분수는 3 + 2/7 대신 3 2/7과 같이 표기한다. 음의 대분수 -3 2/7은 -(3 + 2/7) = -3 - 2/7을 뜻한다.대분수의 표기법 는 곱셈 기호가 생략된 곱셈과 혼동될 수 있다. 이러한 혼동을 막기 위해 대분수를 와 같이 표기하고, 와 의 곱을 와 같이 표기할 수 있다.
가분수를 대분수로 바꿔 나타내려면, 나머지 있는 나눗셈을 사용하여, 가분수의 분자를 분모로 나눈 몫과 나머지를 구한 뒤, 몫을 정수 부분, 나머지를 분자, 원래의 분모를 새로운 분모로 취하면 된다. 예를 들어, 가분수 11/4은 분자 11을 분모 4로 나눈 몫이 2, 나머지가 3이므로, 이 가분수는 대분수 2 3/4과 같다.
초등학교에서는 모든 분수 결과를 대분수로 표현하도록 강조하기도 한다. 학교 밖에서는, 특히 미터법을 사용하지 않는 지역에서, 대분수가 측정값을 설명하는 데 일반적으로 사용된다. 예를 들어 2 1/2시간, 5 3/16인치 등이 있다. 그러나 과학적 측정은 일반적으로 십진분수를 기반으로 하는 미터법을 사용하며, 중학교부터는 수학 교육에서 "가분수"와 "대분수"의 개념을 사용하지 않고 모든 분수를 정수의 몫 ''p''/''q''인 유리수로 균일하게 취급한다.
2. 3. 번분수
'''번분수'''(繁分數, complex fraction영어) 또는 '''겹분수'''(-分數) 또는 '''복분수'''(複分數)는 분자와 분모가 분수 또는 대분수인 분수다.[49][50][51][52][53] 이는 두 분수를 포함하는 수식의 나눗셈과 같다.번분수를 보통의 분수 꼴로 바꿔 나타내려면, 분수의 나눗셈을 사용하면 된다.[49][52][53] 예를 들어,
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:
번분수의 분수 막대의 우선 순위가 불분명하다면, 이는 무의미한 수식이 된다. 예를 들어, 5/10/20/40은 다음 두 의미 가운데 하나로 해석될 수 있으므로 무의미하다.
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:
분자와 분모가 정수인 분수를 '''단분수'''(單分數, simple fraction영어) 또는 '''홑분수'''(-分數)라고 불러 번분수와 구별하기도 한다. 하지만 번분수가 분수의 나눗셈 또는 곱셈과 다를 바 없으므로 이러한 구별은 부적절하다고 여겨진다.[50]
2. 4. 연분수
'''연분수'''는 양의 정수를 더하는 연산과 역수 연산을 번갈아 가며 반복하여 얻는 분수다. 예를 들어, 다음과 같은 수식은 유한 연분수다.:
유한 연분수는 번분수의 일종이므로, 분수로 전환할 수 있다. 모든 분수는 유한 연분수 꼴로 나타낼 수 있으며, 그 방법은 유일하다. 유한 연분수를 분수 꼴로 바꾸는 과정을 반대로 진행하면 된다. 그 예는 다음과 같다.
:
양의 정수를 더하는 연산과 역수 연산을 무한히 반복하는 무한 연분수의 개념 역시 존재하지만, 이는 정수를 분자 분모로 하는 분수의 꼴로 나타낼 수 없다. 일반적으로 분자 및 요소의 범위는 양의 정수로 제한된다. 특히 분자가 모두 1인 연분수를 '''정칙 연분수''' 또는 '''단순 연분수'''라고 한다. 연분수에 포함된 요소의 개수가 유한인 경우도 무한인 경우도 있다.
2. 5. 이집트 분수
'''이집트 분수'''는 유한 개의 서로 다른 양의 분모를 갖는 단위 분수의 합을 나타내는 수식이다. 예를 들어 2분의 1 더하기 3분의 1은 이집트 분수다. 고대 이집트인들은 , , 을 제외한 모든 분수를 이러한 방식으로 표현했다. 모든 분수는 이집트 분수로 나타낼 수 있지만, 그 방법은 유일하지 않다. 예를 들어, 11 분의 9()의 이집트 분수 표현은 다음과 같다.:
이집트인은 3분의 2()을 제외한 분수들을 이러한 꼴로 나타내어 사용하였지만, 이집트인이 연분수 표현을 구하는 데 사용한 방법은 알려지지 않았다. 오늘날에는 이집트 분수 표현을 구하는 다양한 알고리즘이 존재한다. 어떤 양의 유리수도 무한히 많은 방법으로 단위 분수의 합으로 쓸 수 있다.
3. 용어
분수에서, 똑같은 크기의 부분의 개수를 나타내는 수를 '''분자'''(numerātorla, "세는 것" 또는 "수를 세는 것"에서 유래)라고 하고, 부분의 종류나 단위를 나타내는 수를 '''분모'''(dēnōminātorla, "이름을 짓거나 지정하는 것"에서 유래)라고 한다.[2][3] 예를 들어, 분수 8/5는 "5분의 1"이라는 종류의 부분 8개를 의미한다. 나눗셈의 관점에서 보면, 분자는 피제수에 해당하고, 분모는 제수에 해당한다.
분자와 분모는 일반적으로 '''분수 기호'''로 분리한다. 분수 기호는 가로(예: 1/3) , 사선(/, 예: 2/5) 형태가 있다.[8] 이 기호들은 각각 가로줄, 버지큘, 슬래시(미국식 영어), 또는 사선(영국식 영어) 그리고 분수 기호, 솔리더스[4] 또는 분수 기호로 알려져 있다.
영어 분수의 분모는 일반적으로 서수로 표현되며, 분자가 1이 아닌 경우 복수형으로 표현된다. 예외적으로 분모가 2인 경우는 항상 "반" 또는 "반들"로 읽고, 분모가 4인 경우는 "4분의 1"/"4분의" 또는 "1/4"/"1/4들"로 표현할 수 있으며, 분모가 100인 경우는 "100분의 1"/"100분의" 또는 "퍼센트"로 표현할 수 있다. 분자가 1인 경우 생략될 수 있다(예: "10분의 1" 또는 "각각 4분의 1").
일반적인 산술에서 두 수의 나눗셈은 분수로 표현된다. 분수는 위아래 두 부분으로 나누어 쓴 수와 그 사이의 선으로 표현된다. 분수 표기에서, 피제수에 해당하는 수를 분자, 제수에 해당하는 수를 분모라고 한다.
4. 분수의 종류
4. 1. 기약 분수
분자와 분모가 1 이외에 공통 인수를 갖지 않는 분수를 기약분수(약분된 분수)라고 한다(예: 2/3 , 5/6). 다시 말해, 분수 ''n''/''d''가 기약(irreducible)이라는 것은 분자 ''n''와 ''d''가 서로소(최대공약수가 1)임을 의미한다.반대로, 어떤 분수가 기약이 아닌 것을 가약(약분가능한 분수) 또는 약분 가능이라고 한다(예: 2/4 , 4/6는 가약). 가약인 분수를 기약분수로 고치는 연산을 약분 또는 간약이라고 한다.
분수 ''N''/''D''가 가약이라면, 그 분자 ''N''와 분모 ''D''는 1이 아닌 최대공약수 ''g''를 가지며,
:
''N'' = ''g'' · ''n''
''D'' = ''g'' · ''d''
와 같이 인수분해할 수 있다. 따라서, 다음과 같이 분수 ''N''/''D''를 기약분수 ''n''/''d''로 고칠 수 있다.
:''N''/''D'' = (''g'' · ''n'')/(''g'' · ''d'') = ''n''/''d''
정수의 분수에 국한하지 않고, 분자와 분모가 인수분해될 수 있다면 약분할 수 있다. 예를 들어, 분자와 분모가 미정원 ''x''의 다항식인 분수(유리식)에 대해, 다음과 같이 약분할 수 있다.
:(x3 - 5x2 + 8x - 4)/(x3 - x2 - 8x + 12) = ((x - 1)(x - 2)2)/((x + 3)(x - 2)2) = (x - 1)/(x + 3)
4. 2. 단위 분수
분자가 1이고 분모가 양의 정수인 분수를 '''단위분수'''(단위분수, unit fraction영어)라고 한다. 예를 들어 1/3은 단위분수이지만, 5/6는 단위분수가 아니다.서로 다른 유한 개의 단위분수의 합을 이집트 분수라고 하며, 수를 단위분수의 합으로 바꾸는 것을 단위분수 전개라고 한다. 예를 들어 5/6 = 1/2 + 1/3의 우변은 이집트 분수의 하나이다.
4. 3. 진분수와 가분수
분자와 분모가 양의 정수일 때, 분자가 분모보다 작으면 진분수(眞分數, proper fraction영어)라고 한다. 예를 들어, 5/6, 3/8, 11/17은 진분수다. 만약 분자가 분모보다 크거나 같다면 가분수(假分數, improper fraction영어) 또는 거꿀분수라고 한다. 예를 들어, 7/6, 15/8, 26/17은 가분수다.[11] "가분수"라는 개념은 "분수"는 "조각"을 의미하기 때문에 진분수는 1보다 작아야 한다는 사실에서 유래되었으며, 17세기 교과서 ''산술의 기초(The Ground of Arts)''에서 설명되었다.[12][13]일반적으로 분자와 분모가 정수일 때, 진분수는 절댓값이 1보다 작은 분수다. 즉, -1보다 크고 1보다 작은 분수다.[14][15] 반대로 가분수는 절댓값이 1보다 크거나 같은 분수다. 즉, -1 이하이거나 1 이상인 분수다.[16] 예를 들어, -3/5는 진분수, -13/9는 가분수다. 가분수는 0이 아닌 정수 부분을 가지며, 정수와 진분수의 합으로 분해할 수 있다.
4. 4. 대분수
'''대분수'''(帶分數, , mixed fraction영어) 또는 '''혼분수'''(混分數)는 정수와 진분수의 합을 나타내는 분수다. 정수 부분과 분수 부분 사이의 덧셈 기호 '+'는 생략된다. 예를 들어, 정수 부분이 3, 분수 부분이 2/7인 대분수는 3 + 2/7 대신 3 2/7과 같이 표기한다. 음의 대분수 -3 2/7은 -(3 + 2/7) = -3 - 2/7을 뜻한다.대분수의 표기법 는 곱셈 기호가 생략된 곱셈과 혼동될 수 있다. 이러한 혼동을 막기 위해 대분수를 와 같이 표기하고, 와 의 곱을 와 같이 표기할 수 있다.
가분수를 대분수로 바꿔 나타내려면, 나머지 있는 나눗셈을 사용하여, 가분수의 분자를 분모로 나눈 몫과 나머지를 구한 뒤, 몫을 정수 부분, 나머지를 분자, 원래의 분모를 새로운 분모로 취하면 된다. 예를 들어, 가분수 11/4은 분자 11을 분모 4로 나눈 몫이 2, 나머지가 3이므로, 이 가분수는 대분수 2 3/4과 같다.
초등학교에서는 교사들이 종종 모든 분수 결과를 대분수로 표현하도록 강조한다.[19] 학교 밖에서는 대분수가 측정값을 설명하는 데 일반적으로 사용되며, 특히 십진법 미터법을 사용하지 않는 지역에서는 일상생활과 무역에서 널리 사용된다. 예를 들어 2 1/2시간 또는 5 3/16 인치 등이 있다. 그러나 과학적 측정은 일반적으로 십진분수를 기반으로 하는 미터법을 사용하며, 중학교부터는 수학 교육에서 모든 분수를 정수의 몫 인 유리수로 균일하게 취급하여 "가분수"와 "대분수"의 개념을 사용하지 않는다.[20]
4. 5. 번분수
'''번분수'''(繁分數, 65/complex fraction}}) 또는 '''겹분수''', '''복분수'''(複分數)는 분자와 분모가 분수 또는 대분수인 분수다.[49]{{rp영어[50][51][52][53] 이는 두 분수를 포함하는 수식의 나눗셈과 같다. 예를 들어,:
와 같은 수식은 모두 번분수이다.
번분수는 분수의 나눗셈을 통해 일반적인 분수 꼴로 바꿀 수 있다.[49][52][53] 예를 들어,
:
:
와 같이 계산할 수 있다.
번분수의 분수 막대의 우선 순위가 불분명하면, 이는 무의미한 수식이 된다. 예를 들어, 5/10/20/40은 다음 두 가지 의미로 해석될 수 있으므로 무의미하다.
:
:
'compound fraction영어'는 '의 ' 또는 '의 의 '와 같은 분수를 일컫기도 한다.[50] 이는 분수의 곱셈을 통해 일반적인 분수로 나타낼 수 있다.[50]
:
:
분자와 분모가 정수인 분수를 '''단분수'''(單分數, x/simple fraction}}) 또는 '''홑분수'''라고 불러 번분수와 구별하기도 한다. 하지만 번분수가 분수의 나눗셈 또는 곱셈과 다를 바 없으므로 이러한 구별은 부적절하다고 여겨진다.[50]
복잡분수는 분자 또는 분모, 또는 둘 다가 분수 또는 가분수인 분수를 말하며, 분수의 나눗셈에 해당한다. 예를 들어, 과 는 복잡분수이다.
0이 아닌 수 = 1}}이므로, 예를 들어
:
처럼 다시 쓸 수 있다.
4. 6. 연분수
'''연분수'''는 양의 정수를 더하는 연산과 역수 연산을 번갈아 가며 반복하여 얻는 분수다. 예를 들어, 다음과 같은 수식은 유한 연분수다.:
유한 연분수는 번분수의 일종이므로, 분수로 전환할 수 있다. 예를 들어, 위 유한 연분수의 분수 꼴을 계산하면 다음과 같다.
:
모든 분수는 유한 연분수 꼴로 나타낼 수 있으며, 그 방법은 유일하다. 유한 연분수를 분수 꼴로 바꾸는 과정을 반대로 진행하면 된다. 그 예는 다음과 같다.
:
양의 정수를 더하는 연산과 역수 연산을 무한히 반복하는 무한 연분수의 개념 역시 존재하지만, 이는 정수를 분자 분모로 하는 분수의 꼴로 나타낼 수 없다.
일반적으로 분자 및 요소 의 범위는 양의 정수로 제한된다. 특히 분자 가 모두 인 연분수를 '''정칙 연분수''' 또는 '''단순 연분수'''라고 한다. 연분수에 포함된 요소 의 개수가 개인 연분수를 특히 계의 연분수라고 한다. 연분수의 계수는 유한인 경우도 무한인 경우도 있다.
4. 7. 이집트 분수
'''이집트 분수'''는 유한 개의 서로 다른 양의 분모를 갖는 단위 분수의 합을 나타내는 수식이다. 예를 들어 1/2 + 1/3는 이집트 분수다. 모든 분수는 이집트 분수로 나타낼 수 있지만, 그 방법은 유일하지 않다. 예를 들어, 9/11의 이집트 분수 표현의 예는 다음과 같다.:9/11 = 1/3 + 1/11 + 1/231 = 1/4 + 1/11 + 1/12 + 1/231 = …
이집트인은 2/3을 제외한 분수들을 이러한 꼴로 나타내어 사용하였지만, 이집트인이 연분수 표현을 구하는 데 사용한 방법은 알려지지 않았다. 오늘날에는 이집트 분수 표현을 구하는 다양한 알고리즘이 존재한다.
고대 이집트인들이 1/2, 2/3, 3/4을 제외한 모든 분수를 이러한 방식으로 표현했다는 사실에서 유래한다. 모든 양의 유리수는 이집트 분수로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 5/7은 1/2 + 1/6 + 1/21로 쓸 수 있다. 어떤 양의 유리수도 무한히 많은 방법으로 단위 분수의 합으로 쓸 수 있다. 13/17을 나타내는 두 가지 방법은 1/2 + 1/4 + 1/68과 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/68이다.
5. 분수의 연산
분수는 정수가 그러한 것처럼 서로 더하거나 빼거나, 곱하거나 나눌 수 있다. 또한, 분수의 산술은 교환 법칙과 결합 법칙과 분배 법칙을 만족시킨다.
정수와 마찬가지로 분수는 교환 법칙, 결합 법칙, 그리고 분배 법칙을 따르며, 0으로 나누기는 허용되지 않는다.
대분수의 연산은 각 대분수를 가분수로 변환하거나, 정수 부분과 분수 부분의 합으로 취급하여 수행할 수 있다.
; 곱셈
: 두 분수 }} 와 }} 의 곱하기는 다음과 같다.
:
: 마찬가지로 분수 }} 와 수 의 곱셈은 다음과 같다.
:
; 역수
: 이 아닌 분수 }} 의 역수 의 역수는 존재하지 않는다(0으로 나누기 참조).}}는 }} 이다.
:
: 특히 이 아닌 수 의 역수는 }} 이다.
:
; 나눗셈
: 두 분수 }} 와 }} 의 나누기는 피제수 }} 와 제수의 역수 }} 의 곱셈과 같다.
:
: 마찬가지로 분수 }} 와 수 의 나눗셈은 다음과 같다.
:
; 덧셈·뺄셈
: 두 분수 }} 와 }} 의 덧셈과 뺄셈은 각각 다음과 같다.
:
: 특히 분모가 같은 두 분수 }} 와 }} 의 덧셈과 뺄셈은 각각 단순히 분자끼리의 덧셈과 뺄셈으로 나타낼 수 있다.
:
: 분모 와 가 공통 인수 를 가지고, , 로 쓸 수 있는 경우, 덧셈과 뺄셈은 다음과 같다.
:
: 마찬가지로 분수 }} 와 수 의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같다.
:
5. 1. 덧셈과 뺄셈
분수의 덧셈은 전체의 몇 분의 몇을 취한 뒤, 다시 전체의 몇 분의 몇을 취했을 때, 모두 합하여 전체의 몇 분의 몇을 취했는지를 구하는 것과 같다. 분수의 뺄셈은 전체의 몇 분의 몇을 취한 뒤, 다시 전체의 몇 분의 몇을 돌려놓았을 때, 총 몇 분의 몇을 취하였는지를 구하는 것과 같다.두 분수의 분모가 같을 경우, 분모는 변하지 않고 분자만 서로 더하거나 빼면 된다. 예를 들어, \(\frac{3}{14}+\frac{5}{14}=\frac{3+5}{14}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}\)이다. 두 분수의 분모가 다를 경우, 통분하여 분모를 같게 만든 뒤 더하거나 빼면 된다. 예를 들어, 두 분모의 곱을 공통 분모로 취하는 경우 \(\frac{5}{14}+\frac{17}{21}=\frac{5\times21}{14\times21}+\frac{14\times17}{14\times21}=\frac{5\times21+14\times17}{14\times21}=\frac{343}{294}=\frac{7}{6}\)이다. 14와 21의 최소 공배수 42를 공통 분모로 취할 수도 있으며, 이 경우는 \(\frac{5}{14}+\frac{17}{21}=\frac{15}{42}+\frac{34}{42}=\frac{15+34}{42}=\frac{49}{42}=\frac{7}{6}\)이다.
두 분수의 덧셈을 기호로 표현하면 \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}\)이다. 뺄셈을 기호로 표현하면 \(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{bc}{bd}=\frac{ad-bc}{bd}\)이다.
덧셈의 첫 번째 규칙은 같은 종류의 양만 더할 수 있다는 것이다. 예를 들어, 여러 개의 25센트 동전을 더할 수 있다. 4분의 1과 3분의 1을 더하는 것과 같이 다른 종류의 양은 먼저 같은 종류의 양으로 변환해야 한다. 25센트 동전 두 개가 들어 있는 주머니와 25센트 동전 세 개가 들어 있는 또 다른 주머니가 있다고 할 때, 총 다섯 개의 25센트 동전이 있다. 25센트 동전 네 개는 1달러와 같으므로 \(\tfrac{2}{4}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{5}{4}=1\tfrac{1}{4}\)로 나타낼 수 있다.
분모가 다른 분수(예: 4분의 1과 3분의 1)를 더하려면, 모든 분수를 같은 분모를 갖도록 변환해야 한다. 변환할 분수의 종류는 각 분수의 분모(아래쪽 숫자)를 서로 곱하면 구할 수 있다. 4분의 1과 3분의 1을 더하는 경우, 두 분수 모두 12분의 1로 변환된다. 즉, \(\frac{1}{4} + \frac{1}{3}=\frac{1\times3}{4\times3} + \frac{1\times4}{3\times4}=\frac{3}{12} + \frac{4}{12}=\frac{7}{12}\)이다.
\(\frac{3}{5}+\frac{2}{3}\)을 더하는 경우, 먼저 \(\tfrac{3}{5}\)을 15분의 9로 변환하고(\(\tfrac{3}{5}\times\tfrac{3}{3}=\tfrac{9}{15}\)), \(\tfrac{2}{3}\)을 15분의 10으로 변환한다(\(\tfrac{2}{3}\times\tfrac{5}{5}=\tfrac{10}{15}\)). 따라서 \(\frac{3}{5}+\frac{2}{3} = \frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}=1\frac{4}{15}\)이다.
이 방법은 대수적으로 \(\frac{a}{b} + \frac {c}{d} = \frac{ad+cb}{bd}\)로 표현할 수 있다. 각 분모에 공통 인수가 있는 경우, 이들의 곱보다 작은 분모를 사용할 수 있다. 예를 들어, \(\tfrac{3}{4}\)와 \(\tfrac{5}{6}\)을 더할 때 각 분모는 공통 인수 2를 가지므로, 분모 24(4 × 6) 대신 절반인 분모 12를 사용할 수 있다. 즉, \(\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}\)이다.
분수의 뺄셈 과정은 본질적으로 덧셈과 같다. 공통 분모를 찾고, 각 분수를 선택한 공통 분모를 갖는 동치 분수로 변경한다. 결과 분수는 그 분모를 갖게 되며, 그 분자는 원래 분수의 분자를 뺀 결과가 된다. 예를 들어, \(\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{4}{6}-\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{6}\)이다.
5. 2. 곱셈과 나눗셈
분수의 곱셈은 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱한다. 예를 들어, ${\displaystyle {\frac {4}{15}}\times {\frac {5}{6}}={\frac {4\times 5}{15\times 6}}={\frac {20}{90}}={\frac {2}{9}}}$이다. 약분을 미리 할 수도 있는데, ${\displaystyle {\frac {4}{15}}\times {\frac {5}{6}}={\frac ^{2}}^{3}}}\times {\frac ^{1}}^{3}}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {2\times 1}{3\times 3}}={\frac {2}{9}}}$와 같다. 세 분수의 곱셈도 같은 방식으로 계산할 수 있다.두 분수의 곱셈을 기호로 표현하면 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$와 같다.
분수의 나눗셈은 나누는 수의 역수를 곱하는 것으로 계산한다. 즉, 분수 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$를 분수 ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$로 나눈 몫은 ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$의 역수인 ${\displaystyle {\frac {d}{c}}}$를 곱하여 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}}$와 같이 계산한다. 예를 들어, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\div {\frac {3}{4}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {4}{3}}={\frac {1}^{1}}}\times {\frac ^{2}}{3}}={\frac {2}{3}}}$이다.
분수의 나눗셈에서 나누는 수는 0이 아니어야 하며, 이는 나누는 수의 분자가 0이 아니어야 함을 의미한다.
5. 3. 통분
5. 4. 약분
분수의 분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하면 원래 분수와 같은 분수가 된다. 이는 0이 아닌 임의의 수 ''n''에 대해 분수 ''n/n''이 1과 같기 때문이다. 따라서 ''n/n''을 곱하는 것은 1을 곱하는 것과 같으며, 어떤 수에 1을 곱해도 그 값은 변하지 않는다. 예를 들어, 분수 1/2의 분자와 분모에 모두 2를 곱하면 2/4가 되는데, 이는 1/2와 같은 값(0.5)을 가진다. 이를 시각적으로 나타내면, 케이크를 네 조각으로 자른다고 생각할 수 있다. 그중 두 조각(2/4)을 합치면 케이크의 절반(1/2)이 된다.5. 5. 유리화
분수의 분자 또는 분모에 근호가 포함될 수 있다. 분모에 근호가 포함되어 있다면, 특히 다른 분수와 덧셈이나 비교와 같은 추가적인 연산을 수행해야 하는 경우 유리화하는 것이 도움이 될 수 있다(근호식의 간략한 형태 비교). 수동으로 나눗셈을 수행하는 경우에도 더 편리하다. 분모가 단항식 제곱근인 경우 분자와 분모에 모두 분모를 곱하여 유리화할 수 있다.:
이항식 분모의 유리화 과정에는 분모의 켤레를 분자와 분모에 곱하여 분모가 유리수가 되도록 하는 과정이 포함된다. 예를 들어 다음과 같다.
:
:
위의 예에서처럼 이 과정의 결과로 분자가 무리수가 되더라도, 분모에서 처리해야 하는 무리수의 수를 줄임으로써 후속 조작을 용이하게 할 수 있다.
6. 분수와 다른 수 체계와의 관계
6. 1. 소수와의 관계
분수와 소수는 실수를 나타내는 두 가지 방법이며, 서로 변환 가능하다. 분수를 소수로 바꾸는 방법은 분자를 분모로 나누는 세로식 나눗셈을 이용하는 것이다. 나눗셈 결과 나머지가 0이 되면 유한 소수를 얻고, 나머지가 0이 되지 않으면 무한 소수인 순환소수를 얻는다. 예를 들어, 분수 1/4의 소수 표기는 유한 소수 0.25이고, 1/3의 소수 표기는 순환 소수 0.333...이다.유한 소수는 1 뒤에 소수 자리의 수만큼 0을 붙여 분모를 만들고, 소수 부분을 (소수점을 제외한 채) 분자로 옮겨 분수로 나타낼 수 있다. 예를 들어 0.25 = 25/100 = 1/4이다. 순순환소수(소수 첫째 자리부터 순환 마디가 시작되는 순환 소수)는 9를 순환 마디의 자리의 수만큼 적어 분모를 만들고, 순환 마디를 분자로 취해 분수로 표현한다. 예를 들어 0.333... = 3/9 = 1/3, 0.626262... = 62/99이다. 혼순환소수(순순환 소수가 아닌 순환 소수)는 정수와 순순환 소수의 합으로 만든 뒤 분수로 나타내고, 마지막으로 곱하였던 수를 다시 나누어 분수로 표현한다.
십진분수는 분모가 10의 거듭제곱으로 표현되는 분수이다. 십진분수는 일반적으로 소수점 표기법을 사용하여 표현하며, 암시적인 분모는 소수점 오른쪽에 있는 자릿수에 의해 결정된다. 예를 들어 0.75의 경우 분자는 75이고 분모는 100이다. 십진분수는 과학적 표기법으로도 표현할 수 있다.
백분율은 분모가 100인 분수를 의미하며, % 기호로 표시된다. 관련 개념으로 ''퍼밀'' 또는 ''천분율''(ppt)은 암시적인 분모가 1000인 경우를 말한다.
6. 2. 유리수
분자와 분모가 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수를 유리수라고 한다.[47][48] 일반적인 유리수는 정수 ''n''과 0이 아닌 정수 ''d''의 분수 ''n''/''d''로 나타낼 수 있다. 다시 말해, 정수를 분자와 분모로 갖는 분수로 나타낼 수 있는 수 전체가 유리수이다.분수 (단, ''m'',''n''은 양의 정수)는 나눗셈 의 몫 또는 단위분수 의 ''n''배의 수로 이해할 수 있다. 또한, 의 비를 갖는 두 양 중에서 ''m''에 해당하는 양의 크기를 1로 했을 때, 다른 ''n''에 해당하는 양의 크기는 가 된다.
수학자들은 분수를 정수 (a,b)의 순서쌍(단,b는 0이 아님)으로 정의하기도 하며, 이와 관련된 연산(덧셈,뺄셈,곱셈,나눗셈)들은 다음과 같이 정의 된다.[28]
:(a,b) + (c,d) = (ad+bc,bd)
:(a,b) - (c,d) = (ad-bc,bd)
:(a,b) * (c,d) = (ac,bd)
:(a,b) / (c,d) = (ad,bc) (단, c는 0이 아님)
이러한 정의는 모든 경우에 기존에 존재하는 분수의 정의와 동일하며, 표기만 다를 뿐이다.
''a''와 ''b''가 임의의 정역 ''R''의 원소일 경우, 분수는 ''R''의 분수체의 원소이다. 예를 들어, 어떤 정역 ''D''의 계수를 가진 하나의 미정수를 갖는 다항식은 그 자체로 정역이며, 이를 ''P''라고 할때, ''a''와 ''b''가 ''P''의 원소이면, 생성된 ''분수체''는 유리분수(또는 유리함수의 체)의 체이다.
6. 3. 대수적 수
분자와 분모를 대수적 정수로 취하면, 분수는 대수적 수가 된다. 예를 들어, √2와 √3는 대수적 정수이므로, √2/√3은 대수적 수이다.6. 4. 유리 함수
분자와 분모를 다항식으로 취하면, 분수는 유리 함수가 된다. 예를 들어, 은 유리 함수이다.6. 5. 분수체
분수의 개념을 정역까지 일반화하면 분수체의 개념을 얻는다. 어떤 정역의 분수체의 원소는 정역의 두 원소의 형식적인 몫이며, 이들에게 보통의 분수와 유사한 사칙 연산을 주어 체를 이루게 할 수 있다.[54] 예를 들어, 정수환의 분수체는 유리수체,[54] 대수적 정수환의 분수체는 대수적 수체, 다항식환의 분수체는 유리 함수체이다.분수는 자연수뿐만 아니라, 정수 전체나 실수, 복소수 등을 사용하여 정의된다. 추상대수학에서 분수는 환에 충분한 역원을 추가하여 새로운 환을 만들어내는 환의 국소화 또는 전상환 등의 개념으로 일반적으로 이해할 수 있다(분수환 또는 상의 환이라는 표현도 있다).
가환환 ''R'' 의 부분집합 ''S'' 가 ''R'' 의 단위원 1을 포함하고, ''S'' 의 임의의 두 원소 ''s'', ''t'' 에 대해, 그들의 곱 ''st'' 이 다시 ''S'' 의 원소가 되는(즉, 곱셈에 대해 닫혀 있는) 경우, ''S'' 는 ''R'' 의 곱셈닫힌집합이라고 한다. 가환환 ''R'' 와 그 곱셈닫힌집합 ''S'' 에 대해, ''R'' × ''S'' 에서의 이항 관계 ∼ 를
: (r1,s1) ~ (r2,s2) ⇔ ∃ t ∈ S, t(r1 s2 - r2 s1) = 0
로 정의하면, 이것은 ''R'' × ''S'' 에서의 동치 관계를 준다. ''R'' × ''S'' 를 이 동치 관계로 나눈 것을 ''S''-1''R'' 로 나타내고, (''r'', ''s'') 의 속하는 동치류를 ''r''/''s'' 등으로 나타낸다. 이때, ''S''-1''R'' 에는, 원래 환 ''R'' 에서의 연산과 양립하는 합이나 곱과 같은 환으로서의 연산이 주어진다.
가환환 ''R'' 에 대해, ''R'' 의 영인자가 아닌 원소 전체는 곱셈닫힌집합이다. 곱셈닫힌집합 ''S'' 를 그러한 것으로 할 경우, 환 ''S''-1''R'' 은 ''R'' 의 '''전상환'''이라고 불린다. 또한, 곱셈닫힌집합 ''S'' 가 ''R'' 의 소 아이디얼 ''P'' 의 여집합으로 주어져 있는 경우에는, ''S''-1''R'' 대신에 종종 ''R''P 라고 쓰고 ''R'' 의 ''P'' 에서의 '''국소화'''라고 부른다. ''R'' 이 정역이라면, 이러한 동치 관계는 간략화되어
: r1 s2 - r2 s1 = 0
로 주어지고, 이에 따라 얻어지는 전상환은 가환체의 구조를 갖는다. 이것을 '''분수체''' 또는 상체라고 부른다.
전상환이나 상체와 같은 구조는 어떤 보편성을 주고 있으며, 예를 들어 정역의 상체는 원래의 정역을 포함하는 최소의 체를 준다는 등이 확인된다.
- 정수환 '''Z''' 의 상체는 유리수체 '''Q''' 이다.
- 체 ''k'' 위의 다항식환 ''k''[''x''] 의 상체는 유리함수체 ''k''(''x'') 이다.
- 체 ''k'' 위의 형식멱급수환 ''k''''x'' 의 상체는 형식 로랑 급수체 ''k''((''x'')) 이다.
곱셈 연산이 비가환인 경우, 나눗셈이 좌우로 구별되도록 분수도 나누는 방향의 좌우로 구별된다.
7. 분수의 역사
분수는 곱셈 역수를 나타내는 고대 기호에서 비롯되었다.[32] 기원전 1000년경, 이집트인들은 이집트 분수를 사용했으며,[33] 약 4000년 전에는 다른 방법을 사용하여 분수로 나누었다. 그들은 단위 분수로 최소공배수를 구했는데, 이는 현대적인 방법과 같은 결과를 냈다.[33] 또한, 특정 무게와 측정 시스템에 사용되는 2진 분수에 대한 다른 표기법도 있었다.[34]
고대 그리스에서는 단위 분수와 연분수가 사용되었다. 피타고라스 학파는 2의 제곱근이 무리수이므로 정수의 분수로 나타낼 수 없음을 발견했다. 기원전 150년경 인도의 자이나교 수학자들은 숫자 이론, 산술 연산, 분수 연산에 대한 연구를 담은 "스탄항가 수트라"를 저술했다.
'''분나라시'''로 알려진 현대적인 분수 표현은 아리아바타(서기 500년경),[35] 브라마굽타(서기 628년경) 및 바스카라 2세(서기 1150년경)의 저술에서 인도에서 유래한 것으로 보인다.[35] 이들은 분자(amsasa)를 분모(chedasa) 위에 배치했지만, 막대는 사용하지 않았다.[35] 산스크리트 문헌에서 분수는 항상 정수에 더하거나 빼는 것으로 표현되었고, 분수가 작은 원(०)이나 십자가(+)로 표시되면 정수에서 빼는 것으로, 기호가 없으면 더하는 것으로 이해되었다.[36]
가로 분수 막대는 알하사르(활동기 1200년경)의 저술에서 처음 확인된다.[35] 모로코 페스 출신의 그는 이슬람 상속 법률을 전문으로 하는 중세 이슬람의 수학 전문가였다. 이 분수 표기법은 13세기 레오나르도 피보나치의 저술에도 나타난다.[38]
디르크 얀 스트루이크는 소수의 기원에 대해, 일반적인 계산 관행으로서 소수의 도입이 1585년 시몬 스테빈의 소책자 ''De Thiende''와 프랑스어 번역본 ''La Disme'' 출판으로 거슬러 올라간다고 언급했다.[39] 중국 수학에서는 스테빈보다 수세기 전에 소수가 사용되었고, 페르시아 천문학자 알 카시는 15세기 초 ''산술의 열쇠''에서 소수와 60진법 분수를 매우 쉽게 사용했다.[40] 15세기에 잠시드 알 카시는 스스로 소수를 발견했다고 주장했지만, J. 레나트 베르그렌은 그가 틀렸다고 지적하며, 10세기에 바그다드의 수학자 아부 엘 하산 알 우클리디시가 처음 사용했다고 언급했다.[41]
8. 분수의 응용
9. 기타
9. 1. 가비의 법칙
두 분수 $\frac{a}{b}$, $\frac{c}{d}$가 $\frac{c}{d} - \frac{a}{b} \ge 0$, $bc - ad \ge 0$를 만족하면, $\frac{c}{d} \ge \frac{a + c}{b + d} \ge \frac{a}{b}$가 성립한다. 또한, 0이 아닌 임의의 음이 아닌 수 $p, q \ge 0$에 대해 $\frac{c}{d} \ge \frac{pa + qc}{pb + qd} \ge \frac{a}{b}$가 성립한다. 부등식의 등호가 성립하는 것은 두 분수가 같을($\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$) 경우에 한한다. 이 경우, $\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{c}{d}$가 된다. 이 성질을 '''가비의 법칙'''이라고 한다.분수 $\frac{a}{b}$는 기하학적으로 평면 위의 직교좌표계의 원점을 지나는 직선의 기울기로 볼 수 있으며, 분자와 분모는 그 직선 위의 점 $(b, a)$에 대응한다. 분수 $\frac{a + c}{b + d}$는 원점에서 시작하는 두 벡터 $\vec{A} = (b, a)$, $\vec{B} = (d, c)$의 합 $(b + d, a + c)$의 기울기, 즉 선분 $\vec{A}$, $\vec{B}$가 이루는 평행사변형의 원점을 공유하는 대각선의 기울기에 대응한다.
$\frac{c}{d} - \frac{a}{b} \ge 0$은 분수에 대응하는 직선의 기울기의 크기 관계를 나타내고, $bc - ad \ge 0$는 벡터곱 $\vec{A} \times \vec{B}$의 방향이 양수임을, 즉 $\vec{A}$, $\vec{B}$가 이루는 평행사변형이 $\vec{A}$에서 보았을 때 왼쪽(시계 반대 방향)에 그려짐을 나타낸다.
두 부등식에서 $bd > 0$을 얻는다. 분모 $b$, $d$, $b + d$의 부호는 모두 일치하므로, $bc - ad = bc + (cd - cd) - ad = (b + d)c - (a + c)d \ge 0$ 및 $bc - ad = bc + (ab - ab) - ad = (a + c)b - (b + d)a \ge 0$보다 $\frac{c}{d} \ge \frac{a + c}{b + d} \ge \frac{a}{b}$를 얻는다.
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