상향 원순서 집합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 유향 극한
3. 성질
4. 예시
5. 논리학에서의 응용
6. 반격자(Semilattice)와의 비교
7. 유향 부분 집합
참조

1. 개요

상향 원순서 집합은 임의의 유한 부분 집합이 상계를 갖는 원순서 집합을 의미하며, 유향 집합이라고도 불린다. 이는 작은 범주에서 여과 범주를 이루는 원순서 집합과 동치이다. 하향 원순서 집합은 유한 부분 집합이 하계를 갖는 원순서 집합으로 정의되며, 상향 원순서 집합과 반대 관계를 갖는다. 상향 원순서 집합은 유향 극한과 같은 개념을 정의하는 데 사용되며, 필터 기저와 순서 아이디얼 기저를 통해 필터와 순서 아이디얼을 생성한다. 자연수 집합, 전순서 집합, 특정 점으로 향하는 실수 집합 등이 상향 원순서 집합의 예시이며, 논리학에서의 응용과 반격자 및 유향 부분 집합과의 관계를 갖는다.

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상향 원순서 집합
정의
한국어	유향 집합, 방향 집합, 상향 원순서 집합
영어	Directed set
중국어	有向集合
설명
정의	부분 순서 집합(partially ordered set) 또는 전순서 집합(totally ordered set)에서, 집합 내 임의의 두 원소에 대해, 그 두 원소보다 크거나 같은 원소가 항상 존재하는 경우, 해당 집합을 상향 유향 집합(upward directed set)이라고 한다.
조건	임의의 두 원소 a, b에 대해, a ≤ c 이고 b ≤ c 를 만족하는 원소 c가 존재한다.
하향 유향 집합	집합 내 임의의 두 원소에 대해, 그 두 원소보다 작거나 같은 원소가 항상 존재하는 경우, 해당 집합을 하향 유향 집합(downward directed set)이라고 한다.
조건 (하향 유향 집합)	임의의 두 원소 a, b에 대해, c ≤ a 이고 c ≤ b 를 만족하는 원소 c가 존재한다.
추가 정보
용어	유향 전순서 집합 (directed totally ordered set) 유향 부분 순서 집합 (directed partially ordered set)
관련 개념	필터 (수학) 네트 (수학)

2. 정의

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 은 다음과 같이 작은 범주로 생각할 수 있다.

대상은 $X$ 의 원소이다.
$x,y\in X$ 에 대해, $x\lesssim y$ 라면 유일한 사상 $(x,y)\colon x\to y$ 가 존재하고, 그렇지 않다면 사상이 존재하지 않는다.
$x\in X$ 의 항등 사상은 $(x,x)$ 이다.
사상의 합성은 $(y,z)\circ(x,y)=(x,z)$ 이다.

원순서 집합

(X,\lesssim)

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합을 '''상향 원순서 집합'''(upward-directed preordered set^영어)이라고 한다.

작은 범주로 여겼을 때, 여과 범주를 이룬다.
임의의 유한 부분 집합 $\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\subseteq X$ , $n\in\mathbb N$ 은 상계를 갖는다. 즉,
* ( $n=0$ 인 경우) 공집합이 아니다.
* ( $n=2$ 인 경우) 임의의 두 원소 $x_1,x_2\in X$ 에 대하여, $x_1\lesssim y$ 이자 $x_2\lesssim y$ 인 $y\in X$ 가 적어도 하나 이상 존재한다.

n=1

인 경우는 자명하게 참이며,

n\ge3

인 경우는

n=2

인 경우를 재귀적으로 적용하여 유도할 수 있다.

마찬가지로, 원순서 집합

(X,\lesssim)

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합을 '''하향 원순서 집합'''(downward-directed preordered set^영어)이라고 한다.

작은 범주로 여겼을 때, 여과 범주의 반대 범주를 이룬다.
임의의 유한 부분 집합 $\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\subseteq X$ , $n\in\mathbb N$ 은 하계를 갖는다. 즉,
* ( $n=0$ 인 경우) 공집합이 아니다.
* ( $n=2$ 인 경우) 임의의 두 원소 $x_1,x_2\in X$ 에 대하여, $y\lesssim x_1$ 이자 $y\lesssim x_2$ 인 $y\in X$ 가 적어도 하나 이상 존재한다.

흔히 상향 원순서 집합은 단순히 "유향 집합"(directed set^영어)으로 불린다.

원순서 집합의 부분 집합 가운데 하향 원순서 집합을 이루는 것을 '''필터 기저'''(filter base^영어)라고 하며, 그 상폐포는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 원순서 집합의 부분 집합 가운데 상향 원순서 집합을 이루는 것을 '''순서 아이디얼 기저'''(ordered ideal base^영어)라고 하며, 그 하폐포는 순서 아이디얼을 이룬다.

2. 1. 유향 극한

임의의 범주

\mathcal C

속의 '''상향 그림'''(上向-, directed diagram^영어)은 정의역이 상향 원순서 집합

(I,\lesssim)

인 함자

I\to\mathcal C

이다. 상향 그림의 극한을 '''상향 극한'''(upward-directed limit^영어)이라고 한다.

임의의 범주

\mathcal C

속의 '''하향 그림'''(下向-, directed diagram^영어)은 정의역이 하향 원순서 집합

(I,\lesssim)

인 함자

I\to\mathcal C

이다. 하향 그림의 쌍대 극한을 '''하향 쌍대 극한'''(downward-directed colimit^영어)이라고 한다.

3. 성질

원순서 집합 $(X,\lesssim_X)$ 위의 상향 부분 집합들의 집합에는 다음과 같은 원순서가 주어진다.

: $B\lesssim B'\iff\forall b\in B\exists b'\in B'\colon b'\lesssim_X b$

$B\lesssim B'$ 일 경우 $B'$ 이 $B$ 보다 더 '''섬세하다'''(finer^영어)고 한다. 두 상향 부분 집합 $B$ , $B'$ 이 같은 필터를 생성하는 것은 $B\lesssim B'$ 이자 $B'\lesssim B$ 인 것과 동치이다.

마찬가지로, 원순서 집합 $(X,\lesssim_X)$ 위의 하향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 원순서가 주어진다.

: $B\lesssim B'\iff\forall b\in B\exists b'\in B'\colon b\lesssim_X b'$

두 하향 부분 집합 $B$ , $B'$ 이 같은 순서 아이디얼을 생성하는 것은 $B\lesssim B'$ 이자 $B'\lesssim B$ 인 것과 동치이다.

4. 예시

자연수 집합 $\mathbb{N}$ 과 일반적인 순서 $\,\leq\,$ 는 상향 집합의 예시이다. 모든 전순서 집합은 상향 집합이며, $(\mathbb{N}, \leq),$ $(\mathbb{N}, \geq),$ $(\mathbb{R}, \leq),$ 및 $(\mathbb{R}, \geq)$ 를 포함한다.

상향이 아닌 부분 순서 집합의 예시로는 $\{a, b\}$ 집합이 있으며, 유일한 순서 관계는 $a \leq a$ 와 $b \leq b$ 이다.

다음은 유향 집합의 예시이다.

자연수 전체의 집합 '''N'''에 일반적인 크기 관계 ≤ 를 부여하면 유향 집합이 된다(또한 전순서 집합이기도 하다).
실수 ''x''₀에 대해, 그 외의 실수 전체의 집합 '''R''' ∖ {''x''₀}는 $a\le b\iff |a - x_0| \ge |b - x_0|$ 로 정의하여 유향 집합이 된다. 이 상황은 실수가 "''x''₀를 향하는 방향"을 갖는다고 말한다. 이것은 반순서도 전순서도 아닌 유향 집합의 예시이다.
반순서 집합 ''P''에서, 각 원소의 임의의 하강 폐포, 즉 ''P''의 고정된 원소 ''x''에 대해 {''a'' ∈ ''P'' | ''a'' ≤ ''x''}의 형태로 쓸 수 있는 집합은 모두 유향 집합이다.

4. 1. 곱집합과 유향 집합

\mathbb{D}_1

과

\mathbb{D}_2

가 상향 원순서 집합이라고 할 때, 데카르트 곱 집합

\mathbb{D}_1 \times \mathbb{D}_2

는

\left(n_1, n_2\right) \leq \left(m_1, m_2\right)

를

n_1 \leq m_1

이고

n_2 \leq m_2

인 경우에만 정의함으로써 상향 원순서 집합이 될 수 있다. 곱 순서와 유사하게, 이것은 데카르트 곱에 대한 곱 방향이다. 예를 들어, 자연수 쌍의 집합

\N \times \N

은

\left(n_0, n_1\right) \leq \left(m_0, m_1\right)

를

n_0 \leq m_0

이고

n_1 \leq m_1

인 경우에만 정의함으로써 상향 원순서 집합이 될 수 있다.

4. 2. 특정 점으로의 방향성

x_0

가 실수일 때, 집합

I := \R \backslash \lbrace x_0 \rbrace

에서

a \leq_I b

를

\left|a - x_0\right| \geq \left|b - x_0\right|

로 정의하면 방향 집합이 된다. 이 경우, 실수들이 '''

x_0

를 향해 방향성을 가진다'''고 말한다. 이는 전순서도 부분 순서도 아닌 방향 집합의 한 예이다.^[1]

x_0

에서 같은 거리에 있는,

x_0

의 반대쪽에 있는 두 원소

a

,

b

에 대해 반대칭성이 성립하지 않기 때문이다. 예를 들어

\{a, b\} = \left\{x_0 - r, x_0 + r\right\}

(

r \neq 0

인 실수)이면,

a \leq_I b

와

b \leq_I a

가 동시에 성립하지만

a \neq b

이다.^[1]

만약

\R

에서 위와 같은 전순서를 정의하면, 이 역시 방향 집합이 되지만 유일한 최대 원소

x_0

를 갖게 된다. 그러나 이 경우에도 부분 순서는 아니다.^[1]

이러한 예시는 거리 공간

(X, d)

로 일반화할 수 있다.

X

또는

X \setminus \left\{x_0\right\}

에서 전순서

a \leq b

를

d\left(a, x_0\right) \geq d\left(b, x_0\right)

로 정의하면 된다.^[1]

4. 3. 극대 원소와 최대 원소

전순서 집합

(I, \leq)

의 원소

m

이 모든

j \in I

에 대해

m \leq j

이면

j \leq m

을 만족하면 '''극대 원소'''라고 한다.

모든

j \in I

에 대해

j \leq m

이면 '''최대 원소'''라고 한다.

최대 원소를 가진 모든 전순서 집합은 동일한 전순서를 가진 상향 원순서 집합이다. 예를 들어, poset

P

에서 모든 원소의 하폐포, 즉

P

에서 고정된 원소

x

에 대해

\{a \in P : a \leq x\}

형태의 모든 부분 집합은 상향 원순서 집합이다.

상향 원순서 집합의 모든 극대 원소는 최대 원소이다. 실제로, 상향 원순서 집합은 (비어 있을 수도 있는) 극대 원소와 최대 원소 집합의 동일성에 의해 특징지어진다.

4. 4. 부분 집합 포함 관계

부분 집합 포함 관계

\,\subseteq\,

는 그 쌍대

\,\supseteq\,

과 함께 주어진 임의의 집합족에 대한 부분 순서를 정의한다. 비어 있지 않은 집합족은 부분 순서

\,\supseteq\,

(각각

\,\subseteq\,

)에 대해, 두 구성원의 교집합(각각 합집합)이 어떤 세 번째 구성원의 부분 집합을 포함할 경우에만 유향 집합이다.

기호로, 집합족

I

는

\,\supseteq\,

(각각

\,\subseteq\,

)에 대해 유향 집합이다:

모든 $A, B \in I$ 에 대해, $A \supseteq C$ 이고 $B \supseteq C$ (각각 $A \subseteq C$ 이고 $B \subseteq C$ )를 만족하는 $C \in I$ 가 존재한다.
또는 동등하게, 모든 $A, B \in I$ 에 대해, $A \cap B \supseteq C$ (각각 $A \cup B \subseteq C$ )를 만족하는 $C \in I$ 가 존재한다.

이러한 부분 순서를 사용하여 정의될 수 있는 유향 집합의 예시는 다음과 같다:

사전 필터 또는 필터 베이스는 부분 순서 $\,\supseteq\,$ 에 대해 방향 집합이고, 공집합을 포함하지 않는 비어 있지 않은 집합족이다.
모든 π-시스템은 두 구성원의 교집합에 대해 닫혀 있는 비어 있지 않은 집합족이며, $\,\supseteq\,$ 에 대해 방향 집합이다.
모든 λ-시스템은 $\,\subseteq\,$ 에 대해 방향 집합이다.
모든 필터, 위상 및 σ-대수는 $\,\supseteq\,$ 와 $\,\subseteq\,$ 모두에 대해 방향 집합이다.

4. 4. 1. 그물(Net)의 꼬리

정의에 따르면, 그물은 상향 원순서 집합에서 온 함수이며, 수열은 자연수 집합

\mathbb N

에서 온 함수이다. 모든 수열은

\mathbb N

에

\leq

를 부여하여 정식적으로 그물이 된다.

만약

x_{\bullet} = \left(x_i\right)_{i \in I}

가 상향 원순서 집합

(I, \leq)

에서 온 그물이라면, 임의의 지수

i \in I

에 대해, 집합

x_{\geq i} := \left\{x_j : j \geq i \text{ with } j \in I\right\}

는

i

에서 시작하는

(I, \leq)

의 꼬리라고 불린다. 모든 꼬리의 집합

\operatorname{Tails}\left(x_{\bullet}\right) := \left\{x_{\geq i} : i \in I\right\}

는

\supseteq

에 대해 상향 원순서 집합이며, 사실 이는 심지어 전필터이기도 하다.

4. 4. 2. 근방(Neighborhood)

위상 공간

T

의 점

x_0

의 모든 근방 집합은,

U

가

V

를 포함하는 경우에만

U \leq V

로 표기함으로써 유향 집합이 될 수 있다. 이는 다음 성질들을 통해 확인할 수 있다.

모든 $U$ 에 대해, $U \leq U$ 이다. 왜냐하면 $U$ 는 자기 자신을 포함하기 때문이다.
만약 $U \leq V$ 이고 $V \leq W$ 라면, $U \supseteq V$ 이고 $V \supseteq W$ 이므로, $U \supseteq W$ 이다. 따라서 $U \leq W$ 이다.
$x_0 \in U \cap V$ 이기 때문에, $U \supseteq U \cap V$ 와 $V \supseteq U \cap V$ 가 모두 성립한다. 따라서 $U \leq U \cap V$ 와 $V \leq U \cap V$ 이다.

4. 4. 3. 유한 부분 집합

집합

\operatorname{Finite}(I)

는 집합

I

의 모든 유한 부분 집합들의 모임으로, 포함 관계

\,\subseteq\,

에 대해 상향 집합이다. 임의의 두 유한 부분 집합

A, B \in \operatorname{Finite}(I)

에 대해, 그 합집합

A \cup B \in \operatorname{Finite}(I)

는

A

와

B

모두를 포함하는 더 큰 유한 부분 집합이기 때문이다.

이러한 성질은

I

로 인덱싱된 숫자 모음

\left(r_i\right)_{i \in I}

의 일반화된 급수의 합

{\textstyle\sum\limits_{i \in I}} r_i

를 정의하는 데 사용된다. 이 합은 부분합들의 넷

F \in \operatorname{Finite}(I) \mapsto {\textstyle\sum\limits_{i \in F}} r_i

으로 정의된다. 즉, 다음과 같이 표현할 수 있다.

\sum_{i \in I} r_i ~:=~ \lim_{F \in \operatorname{Finite}(I)} \ \sum_{i \in F} r_i ~=~ \lim \left\{\sum_{i \in F} r_i \,: F \subseteq I, F \text{ 유한 }\right\}.

5. 논리학에서의 응용

전순서#분할에 대한 전순서와 부분 순서

$S$ 를 특정 속성을 가진 명제 집합인 형식적 이론이라고 하자(자세한 내용은 해당 문서 참조). 예를 들어, $S$ 는 일계 이론(체르멜로-프렝켈 집합론) 또는 더 간단한 영차 이론일 수 있다. 전순서 집합 $(S, \Leftarrow)$ 에서 $A, B \in S$ 이고 $C := A \wedge B$ 가 논리곱 $\,\wedge,\,$ 으로 구성된 명제라면, $A \Leftarrow C$ 및 $B \Leftarrow C$ 이고 $C \in S$ 이므로, 이 집합은 상향 원순서 집합이다.

$S / \sim$ 이 $S$ 와 관련된 린덴바움-타르스키 대수이면, $\left(S / \sim, \Leftarrow\right)$ 는 상향 원순서 집합이기도 한 부분 순서 집합이다.

6. 반격자(Semilattice)와의 비교

상향 원순서 집합은 (합집합) 반격자보다 더 일반적인 개념이다. 모든 합집합 반격자는 상향 원순서 집합인데, 두 원소의 합집합(최소 상계)이 원하는

c

가 되기 때문이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 {1000, 0001, 1101, 1011, 1111}을 비트 단위로 정렬된 상향 원순서 집합으로 생각해 보자.

1000 \leq 1011

은 성립하지만,

0001 \leq 1000

은 마지막 비트에서 1 > 0이므로 성립하지 않는다. 여기서 {1000, 0001}은 세 개의 상계를 가지지만, 최소 상계는 갖지 않는다(그림 참조).

7. 유향 부분 집합

원순서 집합의 부분 집합 가운데 상향 원순서 집합을 이루는 것을 '''순서 아이디얼 기저'''(ordered ideal base^영어)라고 하며, 그 하폐포는 순서 아이디얼을 이룬다. 순서 관계는 반대칭적일 필요가 없으므로, 방향 집합은 항상 부분 순서가 아니다. 그러나 '방향 부분 집합'이라는 용어는 부분 순서 집합의 맥락에서도 자주 사용된다. 이 경우, 부분 순서 집합 $(P, \leq)$ 의 부분 집합 $A$ 가 동일한 부분 순서에 따라 방향 집합이면 '''방향 부분 집합'''이라고 한다. 즉, 공집합이 아니고, 모든 원소 쌍이 상계를 갖는다. 여기서 $A$ 의 원소에 대한 순서 관계는 $P$ 에서 상속되므로 반사성과 추이성은 명시적으로 요구할 필요가 없다.

부분 순서 집합의 방향 부분 집합은 아래로 닫혀 있을 필요가 없다. 부분 순서 집합의 부분 집합은 아래로 닫힌 집합이 이상인 경우에만 방향성을 갖는다. 방향 집합의 정의는 "위로 방향성" 집합(모든 원소 쌍이 상계를 가짐)에 대한 것이지만, 모든 원소 쌍이 공통 하계를 갖는 아래로 방향성 집합을 정의하는 것도 가능하다.

방향 부분 집합은 영역 이론에서 사용되며, 이는 완비 부분 순서 집합을 연구한다. 이러한 집합은 모든 위로 방향 집합이 최소 상계를 갖도록 요구되는 부분 순서 집합이다. 이 맥락에서 방향 부분 집합은 수렴하는 수열의 일반화를 제공한다.

유향 집합에서의 순서 관계는 반대칭일 것을 요구하지 않으므로, 유향 집합은 반드시 반순서 집합은 아니다. 그러나 "유향 집합"이라는 용어를 반순서 집합의 문맥에서 사용하는 경우가 많으며, 이 경우 반순서 집합 (''P'', ≤)의 부분 집합 ''A''가 '''유향 부분 집합'''이라는 것은, ''P''에서의 순서에 의해 ''A'' 자체가 유향 집합이 되는 것으로 정의한다. 바꿔 말하면, 유향 부분 집합은 공이 아닌 부분 집합으로, 임의의 두 원소가 상계를 갖는 것을 말한다.

반순서 집합의 유향 부분 집합은 하방 닫힌일 것을 요구하지 않는다. 반순서 집합의 부분 집합이 유향 부분 집합이기 위한 필요충분조건은 그 하방 폐포가 아이디얼이 되는 것이다. 유향 집합의 정의는 "위로 유향인" 집합(임의의 두 원소가 상계를 갖는)에 대한 것이지만, 마찬가지로 임의의 두 원소가 하계를 갖는다는 "하향 유향 집합"을 정의할 수도 있다.

유향 부분 집합은 유향 완비 반순서를 연구하는 영역 이론에서 사용된다. 유향 완비 반순서란, 임의의 상향 유향 집합이 상한을 갖는 반순서 집합이다. 이 문맥에서, 부분 유향 집합은 역시 수렴 수열의 일반화를 제공한다.

참조

_[1] 서적 A Course in Advanced Calculus Courier Corporation
_[2] 서적 An Introduction to Analysis https://archive.org/[...] Springer
_[3] 서적 Fixed Point Theory in Ordered Sets and Applications: From Differential and Integral Equations to Game Theory Springer

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